1.5 一元二次方程、不等式-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（苏教版）

§1.5一元 ★[考试要求] 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2 的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单 复盘>必备知识 必备知识掌握 1.二次函数与一元二次方程、不等式的解集 的对应关系 判别式 △>0 △=0 △0 △=b2-4ac 二次函数 y=ax2+ bx+c(a> 0)的图象 方程a.x2 有两个相异有两个相等 +bx+c= 的实数根的实数根x 没有 0(a>0)x1,x2(x1< 实数根 的根 x2) =x2一2 ax+bx +c>0(a {xx≠ R >0)的 b 解集 ax?+bx +c<0(a >0)的 解集 2.分式不等式与整式不等式 (1)f(x) >0(<0)台→ 8(x) (2)f0≥0（≤0）日 g(x) 3.简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为 |x|<a(a>0)的解集为 知识拓展用活 (1)一元二次不等式恒成立问题 ①不等式a.x2+bx+c>0(a≠0)，x∈R 恒成立台a>0且△<0； 次方程、不等式 结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根 的分式、绝对值不等式的解法 打通教材逐点夯实 ②不等式ax2+bx十c<0(a≠0)，x∈R 恒成立台a<0且△<0： ③若a可以为0，需要分类讨论，一般优 先考虑a=0的情形， (2)对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不 要忘记a=0时的情形 (3)当△<0时，不等式ax2十bx+c>0(a≠ 0)的解集为R还是心，要注意区别， 自主诊断查验 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打 “/”或“X”) (1)若不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集 为(x1,x2),则必有a>0. () (2)若方程ax2十bx十c=0(a≠0)没有实数 根，则不等式ax2+bx十c>0的解集 为R. ( (3)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的 条件是a<0且△=b2-4ac≤0. (4)若二次函数y=a.x2+bx十c的图象开口 向下，则不等式a.x2+bx+c<0的解集 一定不是空集 2.不等式二}0的解集是 A.(-∞，1)U[3,+∞) B.(-∞，1]U(3,+∞) C.[1,3) D.[1,3] 3.不等式x2-ax一b<0的解集为(2,3)，则 a+b= 4.不等式mx2+mx+1>0对一切x∈R恒 成立，则实数m的取值范围是 12 跃升>关键能力 题型1 一元二次不等式的求解 [角度1]不含参的不等式 [例1一1][多选]下列选项中，正确的是 ( ) A.不等式一x2一x+2>0的解集为{x|x <-2,或x>1》 且不等式号1的解集为一$≤ x<2》 C.不等式|x一2|≥1的解集为{x|1≤ x≤3》 D设x∈R,则x-1<1是±0 的充分不必要条件 [角度2]含参不等式 [例1一2]解不等式12x2一ax>a(a∈R). 规律方法 解含参数的一元二次不等式时分类讨论 的方法 (1)当二次项系数中含有参数时，应讨论 二次项系数是等于0，小于0，还是大 于0，然后将不等式转化为一次不等 式或二次项系数为正的形式. 核心考点分类突破 (2)当不等式对应的一元二次方程的根的 个数不确定时，讨论判别式△与0的 关系 (3)确定无根时可直接写出解集；确定方 程有两个根时，要讨论两根的大小关 系，从而确定解集形式 跟踪训练 1.(2025·全国二卷)不等式二≥2的解 集是 ( A.{x|-2≤x≤1》 B.{x|x≤-2} C.{x|-2≤x<1〉 D.(xx>1 2.解关于x的不等式： a.x2-(2a-1)x-2≥0. 题型2 三个二次之间的关系 [例2][多选]已知关于x的不等式ax2+ bx+c>0的解集为{x|x<-2,或x> 4},则下列说法正确的是 () A.a>0 B.a+b<c C.bx+c>0的解集是{x|x>一4} D.cx2-bx十a<0的解集是 {红<-}，或x>} 1跟踪训练 [多选]已知关于x的不等式a.x2+bx+c <0的解集为（一∞，1）U(5,+∞)，则 A.a>0 B.a+b+c>0 C6x+c之0的解集是{z>音} D.cx2-bx十a<0的解集是 {红>-青或x<- 题型3 一元二次不等式恒成立问题 [例3]已知函数f(x)=m.x2-(m-1)x +m-1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R,求m 的取值范围； (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈ [一2]恒成立，求m的取值范闺： (3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0,2) 恒成立，求x的取值范围. 规律方法 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求 谁的范围，谁就是参数 (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用 判别式△，一元二次不等式在给定区 间上恒成立，不能用判别式△，一般分 离参数求最值或分类讨论 跟踪训练 已知函数f(x)=x2一3x+a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实 数a的取值范围； (2)若f(x)<0在x∈（一1,2）上恒成立， 求实数a的取值范围. ©温攀提 学习至此，请完成配套训练课时冲关5数学讲解册参考答案 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 跃升·关键能力题型1[例1](1)AD(2)A §1.1集合 跟踪训练1.C2.a>b 复盘·必备知识必备知识掌握 题型2[例2](1)C(2)ABD 1.(1)确定性互异性无序性(2)属于不属于∈ 跟踪训练 1.C 2.BCD ￠(3)列举法描述法图示法2.(1)任意一个元索 题型3[例3]AB A二B(2)A≠BA=B(3)B二A(4)任何集合任何 跟踪训练ACD 非空集合3.{xx∈A,或x∈B}AUB §1.4基本不等式 {xx∈A,且x∈B}A∩B{xlx∈U,且xEA}CA 复盘·必备知识必备知识掌握 自主诊断查验 1.(1)a>0,b>0(2)a=b(3)算术平均数几何平均数 1.(1)×(2)×(3)×(4)√2.A3.C4.AD 2.(1)2WF(2)4s 跃升·关键能力题型1[例1](1)ABD(2)-1 自主诊断查验 跟踪训练1.C2.一3 1.(1)× (2)× 题型2[例2](1)D(2)A (3)×(4)×2.B3.2√24.4 跟踪训练1.B 2{mm<-2成0≤m≤号 跃升·关键能力题型1[例1-1门(1)4(2)区 4 题型3[例3-1](1)D(2)D [例1-2]BD [例3-2](1)BCD(2)A [例1-3](1)B(2)B [例3-3]C 跟踪训练1.AD2.D 跟踪训练1.ACD2.D3.8 题型2[例2]C §1.2常用逻辑用语 跟踪训练C 复盘·必备知识必备知识掌握 题型3 1.充分必要充分不必要必要不充分充要 [例3](1)10030 既不充分也不必要2.(1)Hx(2)3x3.Hx∈M,(x) (2)该企业每月生产不少于70个人形机器人，才能确保 3x∈M,p(x)3x∈M,7(x)Hx∈M,p(x) 每月的利润不低于400万元 自主诊断查验 跟踪训练(1)65km/h(2)120km/h 1.(1)/(2)/(3)×(4)/2.AC3.C4.B §1.5一元二次方程、不等式 跃升·关键能力题型1[例1](1)B(2)C 复盘·必备知识必备知识掌握 跟踪训练1.C2.A 1.{xlz<x1,或x>x2}{xlx1<x<x2财⑦ 题型2[例2](1)C(2)[0,3] 2.(1)f(x)g(x)>0(<0)(2)f(x)g(x)≥0（≤0）且g(x)≠0 跟踪训练1.A2.[1,2] 3.(-∞，-a)U(a,+o∞)(-a,a) 题型3[例3-1](1)D(2)C 自主诊断查验 [例3-2]AD 1.(1)/(2)×(3)×(4)/2.C [例3-3](1)(-o0,1)(2)[0,4) 3.-14.[0,4) 跟踪训练1.B2.AD 跃升·关键能力题型1[例1一1]BD §1.3等式性质与不等式性质 [例1-2][解]原不等式可化为12x2-a.x-a2>0, 复盘·必备知识必备知识掌握 即(4x+a)(3x-a)>0, 1.>=<2.b=aa=c 3.b<aa>c ac>bc 令(4x+a)(3x一a)=0. ac<bca十c>b+dac>bd>0 解得x=一是=号 自主诊断查验 当a>0时，原不等式的解集为 1.(1)√(2)×(3)×(4)√2.C3.ABD 4.(-1,2) (-o,-)U(号+） 273 当a=0时，原不等式的解集为（一∞，0）U(0,十∞)： 跟踪训练BCD 当a<0时，原不等式的解集为 题型3[例3]BD (-o,号)U(-兰+∞）片 跟踪训练1.C2.A §2.2函数的单调性与最值 跟踪训练1.C 复盘·必备知识必备知识掌握 2.解：不等式ax2-（2a-1)x一2≥0可化为 1.(1)f(x1)<f(x)f(x1)>f(x2)(2)单调递增 (ax+1)(x-2)≥0. 单调递减2.f(x)≤f(x)f(.x)≥f(x,) 当a=0时，x一2≥0，不等式的解集为[2，十c∞)： 自主诊断查验 当>0时，不等式化为(+)-2)≥0，其解案为 1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.BCD3.B4.2 (-，]U2.+o: 跃升·关键能力题型1[例1-1]ABD [例1-2][解]设-1<x1<x2<1, 当a<0时，不等式化为(+）}x-2)<0, )=a=+) (1)当一<2，即口<-时，不等式的解案 则f(x1)-f(x2)= 为日小 +)+) a(x2-x1） (i)当-1=2，即u= 时，不等式的解集为2： 由于-1<x<x2<1, 所以x2-x1>0,x1-1<0,z2-1<0, 1 (前)当 >2,即 <a<0时，不等式的解集 故当a>0时，f(x1)-f(x)>0, 为[2-] 即f(x1)>f(x2）, 函数f(x)在（一1,1）上单调递减； 题型2[例2]AD 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0, 跟踪训练CD 即f(x1)<f(x),函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 题型3[例3] (2)[1,+c∞) 跟踪训练ABD 题型2[例2-1]D (3)[3,+∞) 跟踪训练 (+∞） (2)(-∞，-4] [例2-2习号 [例2-3]C 第二章 函数 [例2-4幻D §2.1函数的概念及其表示 跟踪训练1.B2.BD 复盘·必备知识必备知识掌握 §2.3 函数的奇偶性 1.实数集每一个唯一2.(1)定义域对应关系 复盘·必备知识必备知识掌握 值域(2)定义域对应关系3.列表法解析法 1.f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)原点 自主诊断查验 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)/2.D3.B4.x-2x, 1.(1)×(2)× (3)×(4)/2.D3.B4.-2 x≥1 跃升·关键能力题型1[例1一1]B 跃升·关键能力题型1[例1](1)ABD(2)(3,4) [例1-2]AD 跟踪训练2.AD 跟踪训练1.B2.C 题型2 题型2[例2-1]A [例2](1)f(x)=x2-1(x≥-1) [例2-2]C (2)f(x)=x2+2.x+1 [例2-3]-5 （80/)=2士号≠0) 跟踪训练1.ABD2.B3.ln2 274