专题04 一网打尽集合中的含参问题（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合含参问题8类核心题型，构建“概念-策略-典例-变式”四维训练体系，强化逻辑推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |元素与集合关系求参|1典例+3变式|四步策略：定属性→列条件→验互异→查边界|从元素基本关系切入，夯实集合概念基础| |元素个数求参|1典例+3变式|三原则：互异性优先→空集单独论→边界值核验|承接元素关系，延伸至集合基数问题| |集合包含关系求参|1典例+3变式|数轴法/分类讨论，空集必讨论|拓展集合间关系，深化子集概念应用| |集合相等求参|1典例+3变式|元素对应法+和积性质巧解|综合元素与包含关系，提升等价转化能力| |交集/并集/补集/混合运算求参|各1典例+3变式|运算性质转化+数形结合（数轴/Venn图）|从单一运算到综合应用，构建完整集合运算体系|

专题04 一网打尽集合中的含参问题 （题型突破·举一反三） 题型01 根据元素和集合的关系求参 1 题型02 根据集合中元素的个数求参 2 题型03 根据集合间的包含关系求参 4 题型04 根据集合相等求参 5 题型05 根据交集结果求参 6 题型06 根据并集结果求参 8 题型07 根据补集结果求参 10 题型08 根据交并补混合运算结果求参 11 ▌题型01 根据元素和集合的关系求参 1．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合A中的元素 a A a属于集合A 不属于 a不是集合A中的元素 aA a不属于集合A 2．常用数集 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 3．由元素与集合关系求参数问题的解题策略 (1)先明确集合属性：先确定集合是数集、点集等类型，厘清集合元素的约束规则. (2)根据关系列条件：元素属于集合时，直接代入元素特征式列等式/不等式；元素不属于集合时，代入后取相反条件. (3)必验元素互异性：所有求出的参数必须回代集合检验，剔除导致元素重复的无效值. (4)补查边界场景：若集合本身含参数，优先验证空集、系数为0等特殊边界，避免漏解. 【典例1】（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 【变式1-1】若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【变式1-2】（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，则______. 【变式1-3】（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. ▌题型02 根据集合中元素的个数求参 由集合元素个数求参数解题策略 1．优先验证互异性：先根据条件算出参数的初步候选值，逐一代回集合核对元素是否重复，直接剔除增根. 2．单独讨论空集：若题目给出集合元素个数为0，必须优先单独分析空集对应的参数情况，避免漏解. 3．边界值回代验证：和方程、不等式结合的题型，锁定参数范围后回代边界值核验，避免错判集合的端点. 【典例2】若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 【变式2-1】（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【变式2-2】（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【变式2-3】（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌题型03 根据集合间的包含关系求参 1.子集的概念 (1)定义：一般地，对于两个集合A与B,如果集合的任何一个元素都属于集合，即若，则，那么称集合A是集合B的子集. (2)记法与读法：当集合A是集合B的子集时，我们说这两个集合有包含关系，记作：.读作：包含于，或包含. (3)用Venn图表示如下: B A (4)当A不是B的子集时，我们记作“”或），读作：“A不包含于B”（或“B不包含A”）. 2．与数集有关的包含关系求参 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 3．与不等式有关的包含关系求参 (1)已知两个无限集的包含关系求参数问题，常常借助数轴，先把静集合（不含参数）在数轴上表示出来，然后利用条件，确定动集合（含参数）的端点与静集合的端点的位置关系，并建立不等式进行求解，还要特别注意端点值能否取到. (2)由于空集是是任何集合的子集，因此利用解决问题时，一定要分两种情况进行讨论. (3) 求得时参数的取值范围后，再剔除A=B时参数的值，即得时参数的取值范围. 【典例3】（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【变式3-1】（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【变式3-3】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ ▌题型04 根据集合相等求参 1.集合相等的定义 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等.记作A=B. 2．用Venn图表示两集合相等 3．利用集合相等求参的策略 (1)若已知有限数集A=B，求集合中的参数，常规思路是利用“若两个集合相等，则两个集合中的对应元素完全相同”这一结论分类讨论求解. (2)此外，也可利用集合相等的两个拓展性质巧解：若有限数集A=B，则(1)两个集合的所有元素之和相等；(2) 两个集合的所有元素之积相等. 【典例4】（2026高二下·江西·竞赛）实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 【答案】 【分析】根据已知条件求出，进而求出，再利用高次幂尾数规律求解． 【详解】已知，则，故， 所以，故，解得， ，的末尾两位数为， 的末尾两位数为， 的末尾两位数为 之后每次乘以，末两位恒为， 故的末尾两位数为， 从而所求的末尾两位数为． 【变式4-1】（2026高一·全国·专题练习）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【变式4-2】（2026高一·全国·专题练习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【变式4-3】（2026高三下·湖北·竞赛）已知且，集合，．若，则______． ▌题型05 根据交集结果求参 1.交集的概念 知识点 自然语言 符号语言 图形语言(Venn图) 交集 对于两个集合、，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集.记作，读作“A交B”. 2.交集的性质 A ， B 3．根据交集结果求参的策略 (1)对于已知交集结果求参数值的问题，可直接根据集合的交集运算的概念得到不同集合中元素之间的关系，再列方程组求解.这类有时也可借助数形结合思想转化求解. (2)利用集合的交集运算，容易推得以下性质成立： 合理运用上述性质，可以把转化为集合之间的关系,便转化为题型03，上一节最后再化归为常见的方程、不等式问题. 【典例5】（25-26高一上·辽宁大连·期中）集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求得，进而结合交集的定义求解即可； （2）由可得，进而结合包含关系分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由， 则或，而， 则. （2）由，得，而， 当时，，即； 当时，有，解得. 综上所述，的取值范围为. 【变式5-1】（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【变式5-2】（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【变式5-3】（25-26高一上·河北衡水·期中）已知集合 ，或，， ． (1)求 ， (2)若 ，求实数的取值范围． ▌题型06 根据并集结果求参 1.并集的概念 知识点 自然语言 符号语言 图形语言(Venn图) 并集 对于两个集合、，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做集合与的并集. 记作，读作“A并B”. 2．并集的性质 ， 3．根据并集结果求参的策略 （1）对于已知并集结果求参数值的问题，可直接根据集合的并集运算的概念得到不同集合中元素之间的关系，再列方程组求解.这类有时也可借助数形结合思想转化求解. （2）利用集合的并集运算，容易推得以下性质成立： 合理运用上述性质，可以把转化为集合之间的关系,便转化为题型03，上一节最后再化归为常见的方程、不等式问题. 【典例6】已知集合 (1)若,求实数的取值范围; (2)若,求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】因为的含义是;的含义是且另外在讨论的过程中,还需注意是的一种情况,不要漏掉. 【解析】(1)因为,所以 当时,,解得; 当或时,,解得,此时; 当时,是方程的两个根, 则有,解得 综上所述,实数的取值范围是或 (2)因为,所以.因为，且集合中至多有两个元素,所以. 由(1)知 【变式6-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【变式6-2】．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式6-3】（河北省部分学校2025-2026学年度高二下学期期末联考数学试题）已知全集，集合，. (1)若a=1，求； (2)若，求a的取值范围. ▌题型07 根据补集结果求参 1.全集与补集的概念 知识点 自然语言 符号语言 图形语言(Venn图) 全集与补集 （1）全集：如果一个集合含有我们研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作. （2）对于一个集合，由全集中所有不属于的元素组成的集合，叫做中子集的补集（或余集）. ＝ 2.补集的性质 （1）补集是全集的子集，即; （2）= . 3．根据补集结果求参的策略 对于已知补集结果求参数值的问题，可直接根据集合的补集运算的概念得到不同集合中元素之间的关系，再列方程组求解.这类有时也可借助数形结合思想转化求解. 【典例7】（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式7-1】（25-26高三上·天津红桥·期末）已知全集，集合，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【变式7-2】（25-26高一上·福建·阶段检测）设，若，则实数________． 【变式7-3】（25-26高一·全国·课后作业）已知全集，且，则实数的值为__________ ▌题型08 根据交并补混合运算结果求参 根据交并补混合运算结果求参数的题型求解策略 1.先化简集合：先解出所有给定集合的最简形式，含解析式的先求定义域/值域，含不等式的先完成求解. 2.可视化辅助：数集类运算画数轴标注区域，离散类集合画韦恩图标明交并补对应范围. 3.列式求解+验证：根据题干要求对应区域列参数等式/不等式，重点排查空集特殊情况，最终要验证端点值是否符合要求、是否满足集合元素互异性. 【典例8】（25-26高一上·广东东莞·期末）已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用并集运算求解即可；    （2）先求出集合B的补集，然后利用交集运算得，进而列不等式求解即可. 【详解】（1）因为 所以； （2）由，得或， 若，则，， 当，即时，满足； 当，即时，满足； 综上，的取值范围是或. 【变式8-1】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【变式8-2】（25-26高一下·湖南怀化·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【变式8-3】（25-26高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一网打尽集合中的含参问题 （题型突破·举一反三） ▌题型01 根据元素和集合的关系求参 【典例1】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 【变式1-1】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 【变式1-2】2或或 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. ▌题型02 根据集合中元素的个数求参 由集合元素个数求参数解题策略 1．优先验证互异性：先根据条件算出参数的初步候选值，逐一代回集合核对元素是否重复，直接剔除增根. 2．单独讨论空集：若题目给出集合元素个数为0，必须优先单独分析空集对应的参数情况，避免漏解. 3．边界值回代验证：和方程、不等式结合的题型，锁定参数范围后回代边界值核验，避免错判集合的端点. 【典例2】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 【变式2-1】C 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 【变式2-2】C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 【变式2-3】D 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. ▌题型03 根据集合间的包含关系求参 【典例3】 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 【变式3-1】D 【详解】∵ 解不等式，即得，即. ∵ 集合，且， ∴ 集合中的所有元素都属于集合，故， 即实数的取值范围是. 【变式3-2】 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 【变式3-3】8 【分析】根据集合A是非空集合且⫋，得到中只有1个元素，即一元二次方程只有一个根，然后由求解. 【详解】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 则. ▌题型04 根据集合相等求参 【典例4】 【分析】根据已知条件求出，进而求出，再利用高次幂尾数规律求解． 【详解】已知，则，故， 所以，故，解得， ，的末尾两位数为， 的末尾两位数为， 的末尾两位数为 之后每次乘以，末两位恒为， 故的末尾两位数为， 从而所求的末尾两位数为． 【变式4-1】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 【变式4-2】 【分析】两个集合相等且都有三个元素，又都含有元素 ，所以除去公共元素 后，剩余两个元素组成的集合也相等．对两个二元集合的元素对应关系分类讨论，并结合集合元素的互异性检验所得结果． 【详解】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 【变式4-3】5 【分析】利用集合相等则元素和相等先求出的可能值，结合集合元素性质排除不符合的解，再匹配对应元素求出，最终计算. 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. ▌题型05 根据交集结果求参 【典例5】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求得，进而结合交集的定义求解即可； （2）由可得，进而结合包含关系分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由， 则或，而， 则. （2）由，得，而， 当时，，即； 当时，有，解得. 综上所述，的取值范围为. 【变式5-1】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 【变式5-2】 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集、交集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，又， ，． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 【变式5-3】 【答案】(1) 或 ， (2) 【详解】（1） ，或， 或； 又，则 . （2） ，则需， 解得，故实数的取值范围为. ▌题型06 根据并集结果求参 【典例6】 【答案】（1）或；（2）. 【分析】因为的含义是;的含义是且另外在讨论的过程中,还需注意是的一种情况,不要漏掉. 【解析】(1)因为,所以 当时,,解得; 当或时,,解得,此时; 当时,是方程的两个根, 则有,解得 综上所述,实数的取值范围是或 (2)因为,所以.因为，且集合中至多有两个元素,所以. 由(1)知 【变式6-1】B 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 【变式6-2】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 【变式6-3】 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先解一元二次不等式化简集合，写出的补集，再代入化简集合，最后取两集合的交集得到结果； （2）由推出，结合集合非空与子集区间端点约束列出不等式组，解不等式组得到参数的取值范围. 【详解】（1）因为的解集为， 所以，则或， 当时，，所以. （2）若，则， 因为，所以， 解得，即的取值范围为. ▌题型07 根据补集结果求参 【典例7】D 【详解】全集，集合，， ，，故选项D正确. 【变式7-1】C 【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解. 【详解】全集，由，得，而， 所以. 故选：C 【变式7-2】1 【分析】根据一元二次方程的根，结合补集定义即可求解. 【详解】解：由得，解得或， 而， 可得，故， 故答案为：1 【变式7-3】或 【分析】根据补集的定义求解. 【详解】因为全集，且， 所以，得或. 故答案为：或 ▌题型08 根据交并补混合运算结果求参 【典例8】 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用并集运算求解即可；    （2）先求出集合B的补集，然后利用交集运算得，进而列不等式求解即可. 【详解】（1）因为 所以； （2）由，得或， 若，则，， 当，即时，满足； 当，即时，满足； 综上，的取值范围是或. 【变式8-1】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 【变式8-2】 【分析】（1）根据并集的定义计算可得； （2）首先求出，再根据，即可求出的取值范围. 【解析】（1）当时，， 所以； （2）因为，所以， 又，， 所以，所以实数m的取值范围为. 【变式8-3】 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一网打尽集合中的含参问题 （题型突破·举一反三） 题型01 根据元素和集合的关系求参 1 题型02 根据集合中元素的个数求参 3 题型03 根据集合间的包含关系求参 5 题型04 根据集合相等求参 7 题型05 根据交集结果求参 10 题型06 根据并集结果求参 12 题型07 根据补集结果求参 15 题型08 根据交并补混合运算结果求参 16 ▌题型01 根据元素和集合的关系求参 1．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合A中的元素 a A a属于集合A 不属于 a不是集合A中的元素 aA a不属于集合A 2．常用数集 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 3．由元素与集合关系求参数问题的解题策略 (1)先明确集合属性：先确定集合是数集、点集等类型，厘清集合元素的约束规则. (2)根据关系列条件：元素属于集合时，直接代入元素特征式列等式/不等式；元素不属于集合时，代入后取相反条件. (3)必验元素互异性：所有求出的参数必须回代集合检验，剔除导致元素重复的无效值. (4)补查边界场景：若集合本身含参数，优先验证空集、系数为0等特殊边界，避免漏解. 【典例1】（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 【变式1-1】若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 【变式1-2】（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，则______. 【答案】2或或 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. 【变式1-3】（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. ▌题型02 根据集合中元素的个数求参 由集合元素个数求参数解题策略 1．优先验证互异性：先根据条件算出参数的初步候选值，逐一代回集合核对元素是否重复，直接剔除增根. 2．单独讨论空集：若题目给出集合元素个数为0，必须优先单独分析空集对应的参数情况，避免漏解. 3．边界值回代验证：和方程、不等式结合的题型，锁定参数范围后回代边界值核验，避免错判集合的端点. 【典例2】若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 【变式2-1】（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【答案】C 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 【变式2-2】（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 【变式2-3】（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. ▌题型03 根据集合间的包含关系求参 1.子集的概念 (1)定义：一般地，对于两个集合A与B,如果集合的任何一个元素都属于集合，即若，则，那么称集合A是集合B的子集. (2)记法与读法：当集合A是集合B的子集时，我们说这两个集合有包含关系，记作：.读作：包含于，或包含. (3)用Venn图表示如下: B A (4)当A不是B的子集时，我们记作“”或），读作：“A不包含于B”（或“B不包含A”）. 2．与数集有关的包含关系求参 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 3．与不等式有关的包含关系求参 (1)已知两个无限集的包含关系求参数问题，常常借助数轴，先把静集合（不含参数）在数轴上表示出来，然后利用条件，确定动集合（含参数）的端点与静集合的端点的位置关系，并建立不等式进行求解，还要特别注意端点值能否取到. (2)由于空集是是任何集合的子集，因此利用解决问题时，一定要分两种情况进行讨论. (3) 求得时参数的取值范围后，再剔除A=B时参数的值，即得时参数的取值范围. 【典例3】（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 【变式3-1】（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 解不等式，即得，即. ∵ 集合，且， ∴ 集合中的所有元素都属于集合，故， 即实数的取值范围是. 【变式3-2】（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 【变式3-3】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 【答案】8 【分析】根据集合A是非空集合且⫋，得到中只有1个元素，即一元二次方程只有一个根，然后由求解. 【详解】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 则. ▌题型04 根据集合相等求参 1.集合相等的定义 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等.记作A=B. 2．用Venn图表示两集合相等 3．利用集合相等求参的策略 (1)若已知有限数集A=B，求集合中的参数，常规思路是利用“若两个集合相等，则两个集合中的对应元素完全相同”这一结论分类讨论求解. (2)此外，也可利用集合相等的两个拓展性质巧解：若有限数集A=B，则(1)两个集合的所有元素之和相等；(2) 两个集合的所有元素之积相等. 【典例4】（2026高二下·江西·竞赛）实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 【答案】 【分析】根据已知条件求出，进而求出，再利用高次幂尾数规律求解． 【详解】已知，则，故， 所以，故，解得， ，的末尾两位数为， 的末尾两位数为， 的末尾两位数为 之后每次乘以，末两位恒为， 故的末尾两位数为， 从而所求的末尾两位数为． 【变式4-1】（2026高一·全国·专题练习）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 【变式4-2】（2026高一·全国·专题练习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【答案】 【分析】两个集合相等且都有三个元素，又都含有元素 ，所以除去公共元素 后，剩余两个元素组成的集合也相等．对两个二元集合的元素对应关系分类讨论，并结合集合元素的互异性检验所得结果． 【详解】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 【变式4-3】（2026高三下·湖北·竞赛）已知且，集合，．若，则______． 【答案】5 【分析】利用集合相等则元素和相等先求出的可能值，结合集合元素性质排除不符合的解，再匹配对应元素求出，最终计算. 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. ▌题型05 根据交集结果求参 1.交集的概念 知识点 自然语言 符号语言 图形语言(Venn图) 交集 对于两个集合、，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集.记作，读作“A交B”. 2.交集的性质 A ， B 3．根据交集结果求参的策略 (1)对于已知交集结果求参数值的问题，可直接根据集合的交集运算的概念得到不同集合中元素之间的关系，再列方程组求解.这类有时也可借助数形结合思想转化求解. (2)利用集合的交集运算，容易推得以下性质成立： 合理运用上述性质，可以把转化为集合之间的关系,便转化为题型03，上一节最后再化归为常见的方程、不等式问题. 【典例5】（25-26高一上·辽宁大连·期中）集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求得，进而结合交集的定义求解即可； （2）由可得，进而结合包含关系分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由， 则或，而， 则. （2）由，得，而， 当时，，即； 当时，有，解得. 综上所述，的取值范围为. 【变式5-1】（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 【变式5-2】（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集、交集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，又， ，． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 【变式5-3】（25-26高一上·河北衡水·期中）已知集合 ，或，， ． (1)求 ， (2)若 ，求实数的取值范围． 【答案】(1) 或 ， (2) 【详解】（1） ，或， 或； 又，则 . （2） ，则需， 解得，故实数的取值范围为. ▌题型06 根据并集结果求参 1.并集的概念 知识点 自然语言 符号语言 图形语言(Venn图) 并集 对于两个集合、，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做集合与的并集. 记作，读作“A并B”. 2．并集的性质 ， 3．根据并集结果求参的策略 （1）对于已知并集结果求参数值的问题，可直接根据集合的并集运算的概念得到不同集合中元素之间的关系，再列方程组求解.这类有时也可借助数形结合思想转化求解. （2）利用集合的并集运算，容易推得以下性质成立： 合理运用上述性质，可以把转化为集合之间的关系,便转化为题型03，上一节最后再化归为常见的方程、不等式问题. 【典例6】已知集合 (1)若,求实数的取值范围; (2)若,求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】因为的含义是;的含义是且另外在讨论的过程中,还需注意是的一种情况,不要漏掉. 【解析】(1)因为,所以 当时,,解得; 当或时,,解得,此时; 当时,是方程的两个根, 则有,解得 综上所述,实数的取值范围是或 (2)因为,所以.因为，且集合中至多有两个元素,所以. 由(1)知 【变式6-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 【变式6-2】．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 【变式6-3】（河北省部分学校2025-2026学年度高二下学期期末联考数学试题）已知全集，集合，. (1)若a=1，求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先解一元二次不等式化简集合，写出的补集，再代入化简集合，最后取两集合的交集得到结果； （2）由推出，结合集合非空与子集区间端点约束列出不等式组，解不等式组得到参数的取值范围. 【详解】（1）因为的解集为， 所以，则或， 当时，，所以. （2）若，则， 因为，所以， 解得，即的取值范围为. ▌题型07 根据补集结果求参 1.全集与补集的概念 知识点 自然语言 符号语言 图形语言(Venn图) 全集与补集 （1）全集：如果一个集合含有我们研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作. （2）对于一个集合，由全集中所有不属于的元素组成的集合，叫做中子集的补集（或余集）. ＝ 2.补集的性质 （1）补集是全集的子集，即; （2）= . 3．根据补集结果求参的策略 对于已知补集结果求参数值的问题，可直接根据集合的补集运算的概念得到不同集合中元素之间的关系，再列方程组求解.这类有时也可借助数形结合思想转化求解. 【典例7】（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】全集，集合，， ，，故选项D正确. 【变式7-1】（25-26高三上·天津红桥·期末）已知全集，集合，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解. 【详解】全集，由，得，而， 所以. 故选：C 【变式7-2】（25-26高一上·福建·阶段检测）设，若，则实数________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的根，结合补集定义即可求解. 【详解】解：由得，解得或， 而， 可得，故， 故答案为：1 【变式7-3】（25-26高一·全国·课后作业）已知全集，且，则实数的值为__________ 【答案】或 【分析】根据补集的定义求解. 【详解】因为全集，且， 所以，得或. 故答案为：或 ▌题型08 根据交并补混合运算结果求参 根据交并补混合运算结果求参数的题型求解策略 1.先化简集合：先解出所有给定集合的最简形式，含解析式的先求定义域/值域，含不等式的先完成求解. 2.可视化辅助：数集类运算画数轴标注区域，离散类集合画韦恩图标明交并补对应范围. 3.列式求解+验证：根据题干要求对应区域列参数等式/不等式，重点排查空集特殊情况，最终要验证端点值是否符合要求、是否满足集合元素互异性. 【典例8】（25-26高一上·广东东莞·期末）已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用并集运算求解即可；    （2）先求出集合B的补集，然后利用交集运算得，进而列不等式求解即可. 【详解】（1）因为 所以； （2）由，得或， 若，则，， 当，即时，满足； 当，即时，满足； 综上，的取值范围是或. 【变式8-1】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 【变式8-2】（25-26高一下·湖南怀化·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【分析】（1）根据并集的定义计算可得； （2）首先求出，再根据，即可求出的取值范围. 【解析】（1）当时，， 所以； （2）因为，所以， 又，， 所以，所以实数m的取值范围为. 【变式8-3】（25-26高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $