3.2《勾股定理的逆定理》暑假预习 -2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦勾股定理逆定理的暑假预习试卷，通过生活情境（如班级菜园、婴儿车安全）与几何应用（网格作图、四边形面积）结合，强化推理意识与空间观念。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|勾股数判断、逆定理应用、直角三角形判定|基础巩固，如第4题分类讨论第三边| |填空题|10|三角形形状判断、角度计算、实际距离|情境化设计，如第14题菜园面积计算| |解答题|10|网格作图、综合证明、面积与距离计算|综合应用，如第24题劳动基地面积与篱笆长度|

3.2《勾股定理的逆定理》暑假预习 一、单选题 1.下列各组数为勾股数的是() A.0.5,1.2,1.3B.6,8,10 C.8,24,25 D.2,5,5 2.若一个三角形的三边长分别为“，b,c,且满足等式(a+c-B=2ac,则该三角形是 () A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判定 3.下列由线段a,b,c组成的三角形是直角三角形的是() A.a=4,b=5,c=6 B.a=8,b=15,c=17 C.a=14,b=13,c=15 D.a={,b=c C= 5, 4 =3 4.小明准备选用一些小棒作为三角形的边长制作直角三角形模型.现有长度为5cm和12cm的 小棒，能与它们制成直角三角形模型的小棒长度可以是() A.13cm B.12cm C.8cm D.6cm 5.已知一个三角形的三边长分别为2,3,5，则该三角形最长边上的中线长为() 3 A.2 B.1 C.2 D.无法确定 6.如图，四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°.则四边形ABCD的面积是 A.72 B.66 C.42 D.36 7.如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等 腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若 正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为() ③ ② ② ③ (4) ① A.2 B.4 C.⑧ D.162 8.如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为 √26 A.5 B.v6 C.2 D.2 9.如图，在△ABC中，AB=13,AC=12,BC=5,点D是AC的中点，连接BD,则BD的长为 D B 13 A.6 B.2 C.7 D.√61 10.如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=1,AD=2V6,AB⊥BC,四边形ABCD 的面积为() D A B A.12 B.6+V6 C.2V6 D.2W6+6 二、填空题 11.已知△ABC的三边a,b,c满足a2=b-c2,则aABC的形状为 12.在△ABC中，AB=V5,BC=2,AC=1,则∠ACB的度数为 13.如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,BC=10,根据尺规作图痕迹，线段AD的长为 14.为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，实验中学分给各班级一块地， 让学生学习种菜.八(1)班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为 2.5m,6m,6.5m m2 则三角形菜地的面积是 15.如图，学校A前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB,AC两条路可到达公路.经测 量AC=30m,AB=40m,BC=50m,现需新修建一条从学校A到公路的路，则学校A到公路的 最短距离AD为 m B 16.手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示.已知AB=4, AD=3BC=13CD=12∠BAD=90° ,且 若连接BD,则 BDC 的度数为 D 图① 图② 17.如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图.根据安全标准需满足BC⊥CD,现测得 AB=CD=6dm BC=3dm AD=9dm ，其中B与D之间由一个固定为90°的零件连接（即 ∠ABD=90° )，则该车（填“符合”或“不符合”）安全标准. B SD 18.如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点A,B,C,D 均是格点，则∠AOC的度数为一· 一B D 19.如图，阴影部分是八年级某班的班级菜园的示意图，经测量，AB=AC=13m,BC=10m」 BD=6m CD=8m ,则阴影部分面积为 20.如图，在△ABC中，AB=8,BC=12,D为BC的中点，已知AD=10. --- D D B 图① 图② (1)如图①，∠BAD+∠ADB= (2)如图②，将△ABD沿AD折叠，使点B落在△ABC外点E处，连接CE,则线段CE的长为 三、解答题 21.如图，在5×8的网格中，已知格点线段AB(格点为网格线的交点)· A (1)利用网格画出格点线段AC,使AC=V3(点C不在网格的边框上)； (2)在(1)的条件下，∠CAB=。,并证明此结论. 22.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点 为顶点按下列要求画三角形： (1)以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2,3,3 (2)判断(1)中的三角形是否为直角三角形？ 23.如图，在四边形ABCD中，AB=9,BC=12,CD=17,AD=8,∠B=90°， D (1)连接AC,求AC的长； (2)求四边形ABCD的面积. 24.为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形ABCD空地改造 成校园劳动实践基地.为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据，经测量，AD=6米， 1B=8米，BC=24米，CD=26米，2A=90. B (1)为方便分区管理，学校计划在B、D两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆. (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持. 25.如图，在三角形支架中，AD⊥BC,AB=2m,AC=1.5m,DC=0.9m (1)求BD的长； (2)判断支架外框△ABC的形状，并说明理由. 26.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=4,AD=3,BC=13,CD=12. D B (1)求证：BD⊥DC; (2)求四边形ABCD的面积. 27.如图所示，某小区的两个喷泉A,B之间的距离为25m,现要为喷泉铺设供水管道AM, BM,供水点M在小路1C上，供水点M到B的距离的长 M 2m.BM的长为 5m M (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道AM的长； (2)试判断AC与BM的位置关系，并说明理由. 28.如图，△ABC中，AB=3,AC=5,BC边上的中线AD=2,延长AD到点E,使得DE=AD, 连接CE, D (1)求证：△DEC≌aDAB; (2)求BC的长； (3)求△ABC的面积. 29.【问题情境】如图①，在△ABC中，AD为BC边上的高. 斜梁 竖梁 横梁 图① 图② 图③ 【特例研究】 (1)若CD=1,AD=2,BD=4,求证：AB⊥AC； 【问题解决】 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁 BD⊥ C,斜梁4C=42m,BD=24m,枝梁8C=m.若横梁8C与竖梁1B不垂直则为不安 全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由. 30.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，BE平分∠ABC,已知AB=6,BD=4,BC=9. D (1)求证：△ABC是直角三角形. (2)求AE的长. 参考答案 一、单选题 1.B 解：：勾股数要求三个数都是正整数，选项A的数都是小数，选项D的数不是正整数，∴，排 除A、D: 对选项B,,62+82=36+64=100,102=100, ∴.62+82=102，三个数都是正整数，是勾股数，符合题意； 对选项C,.82+242=64+576=640,252=625,640≠625，，不是勾股数，不符合题意： 2.B 解：(a+c-=a2+2ac+c2-=2ac， .a2+c2-b2=0, 整理得：a2+c2=b2, ∴.该三角形是直角三角形. 3.B 解：A、选项中最长边为6,4+52=16+25=41,6=36,41≠36，.该三角形不是直角三角形， 故本选项不符合题意. B、选项中最长边为17,82+152=64+225=289,17=289,289=289，该三角形是直角三角形， 故本选项符合题意. C、选项中最长边为15,132+14=169+196=365,152=225,365≠225，.该三角形不是直角 三角形，故本选项不符合题意. 1 121411 士 D、选项中最长边为3， 周得方六.周专，品对该三角形不直角三 角形，故本选项不符合题意 故选：B. 4.A 解：设第三根小棒长度为xcm :直角三角形中，a2+b2=c2(c为斜边)， 情况1：当x为斜边时，x>12>5, .52+12=x2解得：x=13(取正值) 情况2：当12为斜边时，x<12, .5+x2=12,解得：x=119,不在选项中 ∴.只有x=13cm满足条件， 故选：A. 5.C 解：由题知2+(5)=9=32 ∴该三角形是直角三角形，3是斜边长， 3 最长边上的中线长为2， 故选：C 6.D 解：连接AC，,如图： 在△ABC中， ∠B=90°，AB=3,BC=4 ..AC=AB2+BC2=5 1 1 SMBc=7AB×BC=号×3×4=6 2 在△ACD中， :AD=13,AC=5,CD=12 .122+52=132 ..CD2+AC2=AD2 .△ACD是直角三角形， 5am540xcD=x5x2=30, .四边形ABCD的面积为=SABc+S4Cp=6+30=36 7.C 解：根据勾股定理得： 正方形①的面积=正方形②的面积+正方形②的面积=2正方形②的面积， ,正方形①的面积为64， 1 正方形②的面积为2×64=32， 同理，正方形@的面积为2×32=16， 正方形④的面积为2 ×16=8 .正方形④的边长为V⑧，即第4个正方形的边长V8. 故选：C. 8.C 解：由图可得，AC=32+32=18,BC=2+22=8,AB=52+1P=26, .AC2+BC2=AB2 .△ACB ∠ACB=90° 为直角三角形. 又：D为AB中点， CD=26 . 9.D 解：，AC=12,BC=5,AB=13, .AC2+BC2=122+52=144+25=169, AB2=132=169 .'AC2+BC2=AB2, ∴.∠C=90°. ,点D是AC的中点， :cn-4c=6, ∴.在RIABCD中， BD=VBC2+CD2=V52+62=V25+36=V61 10.B 解：连接AC,如图所示： B 在Rt△ABC中， AC=AB2+BC2=5 .在△ACD中， (26)+12=52 即AD2+CD2=AC2 .△ACD为直角三角形， snan=5c+5m-号4Bsc+号4DcD-x3x4+x26x1=6+6 1 二、填空题 11.直角三角形 解：a2=b2-c2, .a2+c2=b2, .△ABC是直角三角形. 12.90° 解：在△ABC中，AB=5,BC=2,AC=1, AC2+BC2=1P+2=1+4=5,AB=(5=5 .'AC2+BC2=AB2, ∴.∠ACB=90° 24 13.5 解：在△ABC中，AB=8,AC=6,BC=10, .AB2+AC2=82+62=100=102=BC2 △ABC 是直角三角形， ∠BAC=90° 由作图可知，AD⊥BC, -5c号4B4C=方8cAD, .AD=AB.AC_8x6 24 BC=10=5. 14.7.5 解：2.52+62=6.25+36=42.25=6.52 “该三角形为直角三角形，两条直角边长分别为25m和6m 2.5m 1 :三角形菜地的面积为2×2.5x6=75(m). 15.24 解：302+402=502， :.AC2+AB2=BC2, ∴.∠BAC=90°， -CCAD 1 2×30x40=×50×AD 2 ∴.AD=24m. 16.90° ?解：∠BAD=90°，AB=4,AD=3, ∴.BD=VAB2+AD2=5, BC=13,CD=12, .CD2+BD2=122+52=169=132=BC2, ∴.△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°. 17.符合 解：在RtABD中，∠ABD=90°，AB=6dm,AD=9dm, 由勾股定理，得BD2=AD2-AB2=92-62=45 因为BC=3dm,CD=6dm, 所以BC2+CD2=32+62=45, 所以BC2+CD2=BD2, 所以∠BCD=90°，即BC⊥CD, 所以该婴儿车符合安全标准. 18.45 解：如图，将线段CD向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至BE, D 则点D的对应点为点B,点C的对应点为E,CD//BE, ∴.∠AOC=∠ABE :BE2=22+42=20AE2=22+42=20AB2=22+62=40 :BE2+AE2=AB2 BE=AE .△AEB 为等腰直角三角形， ∴.∠AOC=∠ABE=45° 19.36m2 解：如图，作AE⊥BC,交BC于点E, D B BC=10m,8D=6m,CD=8m,即62+8=10 .BD2+CD2=B C,则BDC是D=90 的直角三角形， 5ac=x6x8=24m). .AB=AC=13m BC=10m AE L BC BE=1BC=5m 2 在Rt△ABE中，4E=AB-BE=Vi32-了-12(m) 5=号x12×10=60m）. :.S影=S,4Bc-S,B0c=60-24=36(m2） 则阴影部分面积为36m2. 20. 90 7.2 解：(1)D为BC的中点， :.BD=BC-6 2 AD=10,AB=8,62+82=102, ..BD2+AB2=AD2, ·△ABD是直角三角形，且∠B=90°， ∴.∠BAD+∠ADB=90°： (2)连接BE交AD于O. :BC=12,D为BC的中点， ∴.BD=DC=6. :△ABD≌△AED(折叠的性质)， .AB=AE,BD=DE, ∴.AD是线段BE的垂直平分线， ∴.BO=OE,AD⊥BE. :SA4=14B-BD=AD.BO 2 2 :60=1B.BD-8x624 AD 105, BE=2B0=48 · BD=DE DC=6. ∴.∠DBE=∠DEB,∠DEC=∠DCE, .'∠DBE+∠BED+∠DEC+∠DCE=18O°， ∴.2∠BED+2∠DEC=180°， ∴.∠BEC=∠BED+∠DEC=90°， :cE=ac-e-2-(=72 三、解答题 21.(1)解：如图： B :.4C=V22+32=3 (2)证明：连接BC, 由画法知AC=V3, 由勾股定理得4B=VP+5=V26,BC=V2+3=5 :AC2+BC2=（V13+V13=26,AB2=(V26=26, .AC2+BC2=AB2, ∴.△ABC ∠ACB=90°， 是直角三角形，且 .BC=13=AC. .AC=BC, ∠CAB=180°-90 -=45° 2 22.解：(1)如图：△ABC即为所求， (2)由勾股定理可知，三边正好为勾股弦，即2+3=( 六(1)中的三角形是直角三角形. 23.（1)解：在△ABC中，AB=9,BC=12,∠B=90°， :4C=VAB+BC=12+9=15 (2)解：CD=17,AD=8,AC=15, .AD2+AC2=82+152=64+225=289,CD2=172=289, .AD2+AC2=CD2, .∠CAD=90°， .S四边形ABCD=S△MBC+SAADC -24B-BC+AD-AC 1 2 1 1 ×9×12+二×8×15 2 =114 24.(1)解：如图，连接BD, 在RtAABD中，∠A=90°， .AD=6,AB=8, BD-4D+AB-68-10 答：至少需要10米的篱笆； (2)解：BD=10,BC=24,CD=26, BD2+BC2=102+242=676CD2=262=676 ∴.BD2+BC2=CD2, ∴.△BCD是直角三角形，∠CBD=90°， :San=)6D-BC=2×10x24=120 2 2 片S△ABD= 号4B4D×6x8=24, 2 .∴S四边形BCD=S△4BD+SARCD=24+120=14 答：这块劳动实践基地的总面积为144平方米. 25.(1)解：AD⊥BC, ∴.∠ADC=∠ADB=90 在Rt△ADC中，AC=1.5m,DC=0.9m, :4D=4C2-CD=152-0.9=1,2(m） 在Rt△ADB中，AB=2m,AD=1.2m :BD=VAB-AD=V22-1.2=1.6(m） ∴.BD的长为l.6m; (2)△ABC为直角三角形，理由如下： 由(1)知，BD=1.6m, .∴.BC=BD+DC=1.6+0.9=2.5m, .AB=2m,AC=1.5m, ∴.AB2+AC2=2+1.52=6.25,BC2=2.52=6.25, .AB2+AC2=BC2, ∴.∠BAC=90° ∴.△ABC是直角三角形. 26.(1)证明：∠BAD=90°，AB=4,AD=3. 由勾股定理，得BD=VAD+AB=S+4=5 :BC=13CD=12 .BC2=132=169,BD2+CD2=52+122=25+144=169 ..BC2 BD2+CD2 ∴.△BCD 为直角三角形， .BD⊥DC 2)解：S酒地cp年So+823x4+x5X2E6+30=36 2 27.(1)解：.MN⊥AB, ∴.∠ANM=∠BWM=90°， .MW的长为12m,BM的长为l5m, .BN=1BM2-MN2=9(m) AB=25m, AN=AB-BN =16(m) .AM=VAN2+MW2=20(m）) 答：供水点M到喷泉A需要铺设的管道AM的长为20m; (2)解：AC⊥BM, 理由：.AM=20m,AB=25m,BM=15m .AM2+BM2=202+152=400+225=625,AB2=252=625, .AB2=AM2+BM2. ∴.∠AMB=90°， ∴.AC⊥BM. 28.(1)证明：，AD是△ABC的中线， .BD=CD, 又.∠ADB=∠EDC,AD=ED, :aDEC≌aDAB(SMS) (2)解：△DEC≌△DAB, .'CE=AB=3, .DE AD=2, .'AE =AD+DE=4, ∴.AE2+CE2=4+32=16+9=25, 又AC2=52=25, .'AE2+CE2=AC2, .∠AEC=90°； 在RI4CED中，由勾股定理得CD=VCE+DE=V3+2=B AD是△ABC的中线， ∴.BC=2CD=2V13; (3)解：aDEC≌aDAB, S.ABD=S.FCD, S.48C=S.AD+S.4CD =S.ECD+S.ACD SACE _1 AE-CE 1 =-×4×3 2 =6 29.(1)解：.AD⊥BC. ∴.∠ADB=∠ADC=90°， .AC2=AD2+CD2=5,AB2=AD2+BD2=20. .CD=1,BD=4, ∴.BC=5,即BC2=25, .'AC2+AB2 BC2, ∴.△ABC是直角三角形，且AB L AC. (2)解：小华设计的房梁不安全，理由如下： .BD LAC, ∴.∠ADB=∠BDC=90°， .CD=VBC2-BD=3.2m ∴.AD=AC-CD=lm, .AB2=AD2+BD2=6.76, ∴.AB2+BC2=6.76+16=22.76,AC2=4.2=17.64≠22.76，即AB2+BC2≠AC2, .BC与AB不垂直， .小华设计的房梁不安全. 30.(1)证明：：AD是BC上的高， ∴.∠ADB=∠ADC=90° 在RtAABD中，AD=√AB2-BD2=V6-4=2N5, 在RtAACD中，CD=BC-BD=5, AC=VAD2+CD2=2W5+52=35, AB2+4C2=62+3V5=36+45=81,BC2=81 .AB2+AC2=BC2 ∴.∠BAC=90° △ABC 是直角三角形； (2)如图，过点E作EF⊥BC于点F. D F :BE平分 ABC ,由(1)得 ∠BAC=90° ∴.AE=EF S.ABC=SABE+S.CBE c4D-44c+8ciF, 9x25-64E+ 1 1 ×9AE 2 AE=v⑤ 5.