2.1 等式性质与不等式性质（第2课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦不等式的性质，通过“思考”环节回顾作差法和重要不等式，搭建新旧知识桥梁，引导学生类比等式性质探究不等式的对称性、传递性等核心内容。 其亮点是类比探究与逻辑证明结合，体现数学思维的推理能力，如通过等式性质猜想不等式性质并严格证明。例题与小测注重数学语言表达，如例4用参数法转化代数式范围，课堂总结以表格梳理性质，帮助学生系统掌握，提升逻辑思维，为教师提供清晰教学路径。

2.1 等式性质与不等式性质 第2课时 不等式的性质 第二章 一元二次函数、方程与不等式 1 学习目标 1.通过类比等式性质理解掌握不等式性质 2.能利用不等式性质证明大小关系 2 创设情境 思考：回顾上节课学习了哪些内容？ 回顾：1.比较大小：作差法（与0比较） a>b⟺ a−b>0 a<b⟺ a−b<0 a=b⟺ a−b=0 2.重要不等式：∀a,b∈R,a2+b2≥2ab，当且仅当a = b时，等号成立. 可用于求最值变形： 3 性质1  如果a=b，那么              ； 性质2  如果a=b，b=c，那么            ； 性质3  如果a=b，那么                    ； 性质4  如果a=b，那么                  ； 性质5  如果a=b，c≠0，那么                 。 对称性 探究新知 任务1：探究等式的性质． 思考：请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性，你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 性质1和性质2反映了相等关系自身的特性. 性质3、4、5反映了等式在运算中保持的不变性. 运算中的不变性就是性质. b=a a=c a±c=b±c ac=bc 可乘性 传递性 可加性 4 探究新知 任务2：探究不等式的性质. 探究：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？ 猜想： 证明:∵a>b,∴a-b>0. 由正数的相反数是负数,得-(a-b)<0. 即b-a<0,∴b<a. 同理可证,如果b<a,那么a>b. 等式性质1 若a=b ,则b=a; 性质1 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b. 即a>b⇔b<a.（对称性） 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b. 5 探究新知 猜想： 证明:由两个实数大小关系的基本事实知 等式性质2 若a=b,b=c,则a=c; 性质2 如果a>b，b>c，那么a>c. 即a>b,b>c⇔a>c.（传递性） 如果a>b，b>c，那么a>c. 想一想：如果a≥b，b>c，那么a≥c吗？ 6 探究新知 证明:∵(a+c)-(b+c)=a-b>0, ∴a+c>b+c. 等式性质3 如果a>b，那么a+c>b+c.（可加性） 不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向. A B A1 B1 A B A1 B1 把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等的距离，移动后两点左右位置关系不会改变. 由性质3可得，a+b>c ⇒ a+b+(-b)>c+(-b) ⇒ a>c-b 不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边． 7 探究新知 证明:ac-bc=(a-b)c. ∵a>b,∴a-b>0. 根据同号相乘得正,异号相乘得负, 得当c>0时,(a-b)c>0,即ac>bc; 当c<0时,(a-b)c<0,即ac<bc. 等式性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc;如果a>b，c<0，那么ac<bc.（可乘性） 不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向． 思考：由该性质可得 ac>bc⇒a>b吗？ 8 探究新知 证明:由a>b和性质3,得a+c>b+c；由c>d和性质3,得b+c>b+d; 再根据性质2，得a+c>b+c>b+d，即a+c>b+d. 等式性质5 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.（同向可加性） 思考：1.同向不等式两边同时分别减同一个实数，依旧成立吗？ 2.由该性质可得a+c>b+d ⇒a>b，c>d吗？ 9 探究新知 等式性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.（同向同正可乘性） 注：不等式只有同向可加性，同向可乘还必须保证是正数. 等式性质7 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2).（同正可乘方性） 实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据. 10 例题讲解 例1 已知a>b>0，c<0，求 . 分析：要证明 ，因为c＜0，所以可以先证明 . 利用a>b>0和性质3，即可证明 . 解：因为a>b>0，所以ab>0， 于是 即 由 c<0，得 . 11 方法归纳 利用不等式性质证明不等式时，可从结论出发，结合已知条件，寻求使当前命题成立的充分条件，而这个充分条件是容易由已知条件证明的； 应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 比较大小的方法 特殊值法：可用于判断不等式不成立，不能用于证明不等式成立． 性质法：∵a<b<0,由可乘性得 作差法：作差并与0比较． 作商法：作商并与1比较． 12 例题讲解 例2 已知−1<a<b<1,则a−b的取值范围是 ．        解：∵−1<a<b<1 ∴−1<a<1,−1<b<1,a<b ∴−1<−b<1 ∵a−b=a+(−b) ∴−2<a−b<2. 又∵a<b ∴a−b<0 综上所述∴−2<a−b<0. 13 例题讲解 例3 若 12<a<60 , 15<b<36 ,求的范围. 分析：除化乘． 解：∵=a.,由题意得12<a<60，<<，∴<a., 即<<4. 14 例题讲解 例4 已知 −1<a+b<5 , −4<a−b<2,求 2a−4b 的取值范围. 解： 设 2a−4b=x(a+b)+y(a−b)=(x+y)a+(x−y)b,（x,y∈R),则 ∴2a−4b=−(a+b)+3(a−b) . ∵−1<a+b<5 , −4<a−b<2 , ∴−5<−(a+b)<1 , −12<3(a−b)<6 , ∴−17<−(a+b)+3(a−b)<7 ,即 −17<2a−4b<7 . 15 方法归纳 利用不等式的性质求代数式范围要注意的问题 (1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质． (2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如：由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等． (3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误． 16 练一练 给出下列结论： ①若ac>bc，则a>b； ②若a<b，则ac2<bc2； ③若 <0，则a>b； ④若a>b，c>d，则a－c>b－d； ⑤若a>b，c>d，则ac>bd. 其中正确结论的序号是______. ③ 17 方法归纳 利用不等式性质判断不等式是否成立的方法: (1)运用不等式的性质判断. 要注意不等式成立的条件, 不要弱化条件,尤其是不能凭想象捏造性质. (2)特殊值法.取特殊值时, 要遵循如下原则:一是满足题设条件; 二是取值要简单,便于验证计算 18 随堂小测 1、用不等号“＞或“＜”填空： （1）如果a＞b，c＜d,那么a-c____b-d （2）如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac____bd （3）如果a＞b＞0，那么______ （4）如果a＞b＞c＞0，那么______ ＞ ＜ ＜ ＜ 19 随堂小测 2、已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题中是真命题的是（ ） A.如果a＞b ，那么 ＞ B.如果ac＜bc ，那么a＜b C.如果a＞b ，那么 ＞ D.如果a＞b ，那么 ＞ D 20 随堂小测 3、已知a＞b＞c，且a+b+c=0，则下列不等式恒成立的是（ ） A.ab ＞bc B.ac＞bc C.ab＞ac D.a|b|＞|b|c C 4、小明有50元钱去买水果，他发现如果买1kg阳光玫瑰和1250g涌泉蜜桔则钱不够，若买1.2kg阳光玫瑰和400g涌泉蜜桔则钱有余，设800g阳光玫瑰与1.4kg涌泉蜜桔的价格分别为a，b(单位：元)，则(    ) A. a<b B. a>b C. a=b D. a，b大小无法比较 D 21 随堂小测 5、已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证： ＜ 证明：- -(-)= . ∵c＜d＜0,∴-c＞-d＞0 ∵a＞b＞0,∴-ac＞-bd＞0,即-ac-（-bd）＞0. 又cd＞0,∴＞0,∴- -(-)＞0,即-＞-＞0 ∴＞ ,∴ ＜ 方法1 22 随堂小测 5、已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证： ＜ 证明： ∵c＜d＜0,∴-c＞-d＞0，∴0＜- ＜- ∵a＞b＞0,∴-＞-＞0 ∴＞ ,∴ ＜ 方法2 23 课堂总结 不等关系 不等式 不等式的基本性质 不等关系自身的特性 ⇔ ，⇒ 不等式在运算中的不变性 ； ，c＞0⇒ac＞bc ； ，c＜0⇒ac＜bc. 两实数大小关系的基本事实 24 课堂总结 不等式的性质 不等式的性质内容 对称性 a>b⇔b<a 传递性 a>b,b>c⇒a>c 可加性 a>b⇔　 　　 可乘性 a>b,c>0⇒ac＞bc  a>b,c<0⇒ac＜bc 同向可加性 a>b,c>d⇒a＋c＞b＋d 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac＞bd 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N+,n≥2) 25 【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 不等式的基本性质都有哪些？ 使用不等式性质进行推导时，需要注意哪些问题？ 26 加油ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ 27 $