4.3.2 对数的运算 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习围绕对数运算，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从单一公式到综合应用的知识进阶，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|对数定义、基本运算法则（加减、换底公式初步）|单选、多选为主（1-5题），直接考查公式辨析与简单计算，强化符号意识| |中档层|公式变形、多步运算（已知对数表示未知对数、化简）|填空与化简题（7-10题），需逆向应用公式，培养运算能力| |提升层|综合应用（指数对数互化、实际问题建模）|应用题（14题茶水温度）、综合解答题（16题换底综合），体现模型意识与推理能力|

4.3.2　对数的运算 1. （2025秋·内蒙古校级同步）已知（且），则（　　） A.  B.  C.  D.  2.若lg x－lg y＝t，则lg－lg ＝（　　） A.3t B.t C.t D. 3. 下列等式成立的是 （ ） A.  B.  C.  D.  4.（　　） A.  B.  C.  D.  5.（多选）设f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），对于任意的正实数x，y，都有（　　） A.f（xy）＝f（x）f（y） B.f（xy）＝f（x）＋f（y） C.f＝ D.f＝f（x）－f（y） 6.（多选）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（　　） A.logab·logcb＝logca B.logab·logca＝logcb C.2lg a＋2lg b＝2lg ab D.2lg ab＝2lg a·2lg b 7. 已知，用表示　　　　. 8.已知m＞0且10x＝lg（10m）＋lg，则x＝　　　　. 9.若a＝log23，b＝log32，则a·b＝　　　　，lg a＋lg b＝　　　　. 10. 化简下列各式： （1）； （2） 11.  , 则等于（　　） A.  B.  C.  D.  12.已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝（　　） A.或 B. C. D.2或 13.设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝4c2，则log2（1＋）＋log2（1＋）＝　　　　. 14. (2025高 - 上·南山期末) 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是，环境温度是，那么分钟后茶水的温度（单位：）可由公式求得，其中是常数，现有刚泡好的茶水温度是，放在室温的环境中自然冷却，分钟以后茶水的温度是。 (1) 求的值（计算结果精确到）； (2) 经验表明，当室温是时，刚泡好的茶水温度是，自然冷却至时引用口感最佳，刚刚泡好的茶水大约要放置几分钟才能达到最佳饮用口感？（计算结果精确到）参考数据： 15.（多选）已知3a＝5b＝15，则a，b满足的关系是（　　） A.ab＞4 B.a＋b＞4 C.a2＋b2＜4 D.（a＋1）2＋（b＋1）2＞16 16.已知正实数u，v，w均不等于1，若loguvw＋logvw＝5，logvu＋logwv＝3，求logwu的值. 4.3.2　对数的运算 1.C　由（且），可得.故选：C. 2.A　lg－lg＝3lg－3lg＝3lg＝3（lg x－lg y）＝3t. 3.A　对于A：，A符合题意；对于B：，B不符合题意；对于C：，C不符合题意；对于D：，D不符合题意；故答案为：A. 4.C　  , , 故选: C. 5.BD　由对数运算法则f（xy）＝loga（xy）＝logax＋logay.所以f（xy）＝f（x）＋f（y）.f＝loga＝logax－logay，所以f＝f（x）－f（y）. 6.BD　log24·log164＝2×＝1≠log162＝，因而A错误；logab·logca＝·＝＝logcb，因而B正确；2lg ab＝2lg a＋lg b＝2lg a·2lg b，故D正确，C错误. 7.　解析：因为，所以。故答案为：。 8.0　解析：lg（10m）＋lg＝lg 10＋lg m＋lg ＝1，所以10x＝1＝100，所以x＝0. 9.1　0　解析：因为a＝log23，b＝log32，则a·b＝·＝1，lg a＋lg b＝lg ab＝lg 1＝0. 10.解：（1）原式； （2）原式。 11.C　  , , , , . 故选: C. 12.D　令t＝logab，则t＋＝，∴2t2－5t＋2＝0，即（2t－1）（t－2）＝0，解得t＝或t＝2，∴logab＝或logab＝2，∴a＝b2或a2＝b，∵ab＝ba，代入得2b＝a＝b2或b＝2a＝a2，∴b＝2，a＝4或a＝2，b＝4，∴＝2或＝.故选D. 13.1　解析：原式＝log2＋log2＝log2（·）＝log2 ＝log2 ＝log2＝log22＝1. 14.解：（1）由题意得，代入， 可得，整理得，取对数得. （2）由题意得， 令，可得， 解得分钟. 15.ABD　因为3a＝5b＝15，所以a≠b，a＝log315，b＝log515，所以log153＝，log155＝，所以＋＝1.由≤≤≤，可得ab＞4，a＋b＞4，a2＋b2＞8，所以（a＋1）2＋（b＋1）2＝a2＋2a＋1＋b2＋2b＋1＞18＞16.故选A、B、D. 16.解：令loguv＝a，logvw＝b， 则logvu＝，logwv＝， 则loguvw＝loguv＋loguv·logvw＝a＋ab， 即a＋ab＋b＝5，＋＝3， 则ab＝， 因此logwu＝logwv·logvu＝ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $