4.3.2对数的运算同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础、进阶、综合三层设计，覆盖对数运算全知识点，从单一运算到综合应用，适配新授课巩固需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|对数基本运算、性质直接应用|单选题1-5、填空题12-14，聚焦指数对数互化等单一知识点，如题1指数式化对数式| |进阶层|换底公式、运算性质综合|单选题6-9、多选题10-11、填空题15-17，多知识点交叉，如题16换底公式与方程结合| |综合层|比较大小、函数应用|解答题18-22，实际问题解决，如题22函数最值与不等式，体现模型意识|

4.3.2对数的运算 同步练习 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（     ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（     ） A． B．1 C． D． 4．已知，，则（     ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．已知，则属于（ ） A． B． C． D． 8．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 9．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 二、多选题 10．下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 11．下列计算正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，则 三、填空题 12．________． 13．求值：__________. 14．计算：______. 15．计算：_____________． 16．已知实数，且，则________． 17．已知，，用，表示为__________． 四、解答题 18．比较下列三个数值的大小：． 19．（1）计算； （2）求函数的值域． 20．计算： (1)； (2)； (3)． 21．化简并计算下列各式： (1)； (2)； (3). 22．已知函数且． (1)若函数在区间上的最大值比最小值大，求实数的值； (2)若函数的图象过． ①比较与的大小； ②解不等式：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《4.3.2对数的运算 同步练习 （附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D B D A B B ABC 题号 11 答案 BCD 1．C 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用 【详解】因为，所以，所以. 2．B 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的幂运算性质化简求解. 【详解】根据对数的幂运算性质得:, 已知，代入得：, 两边除以，可得：. 3．A 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数幂的运算、对数的运算性质的应用、求分段函数值 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，即，故选项A正确. 4．D 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】将对数式转化为指数式，再利用幂的运算法则计算即得. 【详解】因 ， 得 ，则 ，又， . 5．B 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】由得，则， 即，得或， 则或. 6．D 【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式证明恒等式 【分析】利用指数与对数的关系和换底公式求出的关系即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 即， 故选：D 7．A 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为， 因为，所以， 又，， 所以，即属于. 故选：A 8．B 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算、运用换底公式化简计算 【详解】根据同底数幂乘法法则：，故A错误； 根据幂的运算性质：，故B正确； 根据对数运算性质：，故C错误； 根据对数的换底公式：，故D错误. 9．B 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式证明恒等式 【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误． 【详解】由logab·logcb＝·≠logca，故A错； 由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确； 对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立. 故选：B. 10．ABC 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据指数、对数的运算法则，化简计算，即可得答案. 【详解】对于A，由对数恒等式知，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，，故D错误. 11．BCD 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数运算判断A，应用指数对数运算化简求值判断B，应用换底公式及对数运算判断C，应用指数运算计算判断D. 【详解】A，，故A错误； B，，故B正确； C，，故C正确； D，，所以，故D正确. 12． 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据指数和对数的运算性质求解. 【详解】原式. 13． 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数的恒等式、换底公式以及对数的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】原式. 14．/ 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【详解】原式. 15．17 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】由指数与对数的运算法则结合条件求解即可. 【详解】原式为， 其中，， ，， 即. 16．16 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】由换底公式可得 ，且，故。 设（），则原方程可化为：， 两边同乘以整理得 ， 解得或。 ∵ ，∴ 舍去，即， ∴ 。 17． 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】将指数化为对数，结合对数运算求解. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 18． 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】利用换底公式变形成分式形式，然后正向使用浓度不等式可得结论． 【详解】由换底公式得， 根据浓度不等式有，即， 同理可得，故． 19．（1）；（2） 【知识点】指数幂的运算、求指数型复合函数的值域、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据指数幂及对数的运算性质求解即可； （2）令，可得，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1） . （2）令，则，函数在上单调递增，且时，， 则函数的值域为. 20．(1) (2) (3) 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3） . 21．(1) (2)1 (3)19 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】使用指对运算法则求解. 【详解】（1），， ， ， 原式 （2） （3）令， 则 ， 又，，， 原式. 22．(1)或 (2)①，② 【知识点】比较指数幂的大小、根据指数函数的最值求参数、对数的运算、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）按与分类讨论指数函数的单调性，求出最值，利用条件列方程，可得答案； （2）代入点，可得，①利用指数函数的单调性可得答案；②将不等式等价转化，设，判断其在上的单调性，结合，利用函数单调性解不等式. 【详解】（1）当时，在上单调递增，最大值为，最小值为， 由题意得：，解得：； 当时，在上单调递减，最大值为，最小值为， 由题意得：，解得：； 综上，的值为或； （2）依题意，由得，即，则. ①因，且在上是增函数， 所以； ②因，则（其中）， 由可得，即， 令，则在上单调递增，且， 所以不等式等价于， 故原不等式的解集为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $