第三单元专项03 积的变化规律（典例专项训练）四年级数学上册典例专项精讲（人教版 新教材）

**基本信息** 聚焦积的变化规律，通过选择填空结合的题型设计，系统覆盖单一/双因数变化及实际应用，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|规律反向判断、实际操作情境（如计算器输入错误修正）|从基础概念理解到实际问题解决，逐步深化对规律的灵活运用| |填空题|20题|直接应用规律计算、双因数变化综合应用|从单一因数变化（乘/除）过渡到双因数协同变化，构建“概念-应用-变式”的完整逻辑链条|

第三单元专项03 积的变化规律（典例专项训练） 一、选择题 1．已知45×5＝225，下面（    ）的结果和它相等。 A．（45÷3）×（5÷3） B．（45×5）×（5×5） C．（45＋5）×（5＋5） D．（45÷5）×（5×5） 2．，和怎样变化能使算式的积变为640？下面说法不正确的是（    ）。 A．乘10，除以10 B．乘10，除以1000 C．和口同时除以10 D．除以1000，乘10 3．聪聪想用计算器计算602×240，结果他错误地输成了602×24。下面可以弥补他的正确的方法是（    ）。 A．再乘10 B．再除以10 C．再乘100 D．再除以10 4．明明用计算器计算一个乘法算式，按键时不小心把其中的一个因数50输成了5，要想得到正确的结果，他只需要把错误结果再（    ）。 A．乘5 B．乘10 C．除以5 D．除以10 5．已知□×☆＝600，下列算式的得数等于600的是（    ）。 A．（□×2）×（☆×2） B．（□÷2）×（☆÷2） C．（□＋2）×（☆－2） D．（□×2）×（☆÷2） 6．若×6＝192，那么×600＝（    ）。 A．32 B．192 C．1920 D．19200 7．与687×20的积相等的算式是（    ）。 A．（687×2）×（20×2） B．（687×4）×（20÷2） C．（687×2）×（20÷2） D．（687÷4）×（20÷2） 8．小明用计算器计算6500×23时，不小心把6500输成650，但他仍然算出了正确结果，他输入的算式可能是（    ）。 A． B． C． 9．因为36×25＝900，所以（36÷4）×（25×4）的结果是（    ）。 A．90 B．3600 C．225 D．900 10．下列算式中，与的积不相等的是（    ）。 A．（480×2）×（80×2） B．（480×2）×（80÷2） C．（480÷2）×（80×2） 二、填空题 11．用和表示两个数，已知，那么的结果是( ）；的结果是( ）。 12．已知A×B＝60，请你利用积的变化规律填空。那么，（A×4）×B＝( ），（A÷4）×B＝( ），（A×2）×（B×2）＝( ）。 13．已知25×8＝200，那么25×16＝( ），75×8＝( ），50×( ）＝200。 14．根据14×35＝490，直接写出下面各题的得数。 14×350＝( ）     28×175＝( ） 4900÷14＝( ）      980÷35＝( ） 15．根据72×4＝288，直接写出下面各题的积。 72×40＝( ）        720×40＝( ） 16．根据24×15＝360，直接写出得数。 24×30＝( ）     24×45＝( ）      240×15＝( ）      24×150＝( ） 17．根据14×5＝70，直接写出下面算式的得数。 14×50＝( ）    140×50＝( ） 18．已知A×B＝450，则（A×3）×B＝( ），A×（B÷5）＝( ）。 19．已知，那么( ）；( ）。 20．如果，那么( ），( ）。 21．根据M×N＝176，直接填出（    ）里的数。 M×（N÷8）＝( ）                    （M÷14）×（N×14）＝( ） 22．如果A×B＝230，那么3A×B＝( ）；A×8×B÷2＝( ）；（A×9）×（B÷9）＝( ）。 23．根据第一个算式的积，找规律填出其他题的得数。 15×12＝180；     15×24＝( ）；     45×12＝( ）。 24．不计算，根据35×14＝490写出得数。 350×1400＝( ）    350×14＝( ）    350×140＝( ） 25．如果□×△＝280，那么（□÷2）×（△÷2）＝( ）；（□×6）×（△÷2）＝( ）。 26．根据，填出下面算式的得数。 ( ）    ( ）    ( ） 27．根据28×15＝420，直接写出下面各题的积。 28×150＝( ）      280×15＝( ）     （28÷4）×（15×4）＝( ） 28．根据43×25＝1075直接写出下面各数。 43×250＝( ）        43×( ）＝107500        ( ）×25＝107500 29．如果A×B＝116，那么（A×5）×B＝( ），（A÷5）×（B×5）＝( ）。 30．已知A×B＝600，那么（A×3）×B＝( ），A×（B÷5）＝( ），（A×2）×（B÷5）＝( ）。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元专项03 积的变化规律（典例专项训练） 一、选择题 1．已知45×5＝225，下面（    ）的结果和它相等。 A．（45÷3）×（5÷3） B．（45×5）×（5×5） C．（45＋5）×（5＋5） D．（45÷5）×（5×5） 【答案】D 【分析】根据积不变规律：两个数相乘，一个因数乘一个不为0的数，另一个因数除以同一个数，积不变。逐个分析选项即可。 【解答】A．（45÷3）×（5÷3）是算式45×5的两个因数都除以3，结果不相等； B．（45×5）×（5×5）是算式45×5的两个因数都乘5，结果不相等； C．（45＋5）×（5＋5）是算式45×5的两个因数都加5，结果不相等； D．（45÷5）×（5×5）是算式45×5的一个因数除以5，另一个因数乘5，结果相等。 2．，和怎样变化能使算式的积变为640？下面说法不正确的是（    ）。 A．乘10，除以10 B．乘10，除以1000 C．和口同时除以10 D．除以1000，乘10 【答案】A 【分析】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几。据此逐项分析即可。 【解答】A．（△×10）×（□÷10）＝64000×10÷10＝640000÷10＝64000，不正确。 B．（△×10）×（□÷1000）＝64000×10÷1000＝640000÷1000＝640，正确。 C．（△÷10）×（□÷10）＝64000÷10÷10＝6400÷10＝640，正确。 D．（△÷1000）×（□×10）＝64000÷1000×10＝64×10＝640，正确。 3．聪聪想用计算器计算602×240，结果他错误地输成了602×24。下面可以弥补他的正确的方法是（    ）。 A．再乘10 B．再除以10 C．再乘100 D．再除以10 【答案】A 【分析】将602×240输成了602×24，积就缩小为原来的十分之一，再乘10，就等于原来的积，据此即可解答。 【解答】602×240 ＝602×（24×10） ＝602×24×10 ＝14448×10 ＝144480 即：602×240＝602×24×10 根据分析可知，聪聪想用计算器计算602×240，结果他错误地输成了602×24。下面可以弥补他的正确的方法是再乘10。 4．明明用计算器计算一个乘法算式，按键时不小心把其中的一个因数50输成了5，要想得到正确的结果，他只需要把错误结果再（    ）。 A．乘5 B．乘10 C．除以5 D．除以10 【答案】B 【分析】根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘或除以一个不为0的数，积也要乘或除以这个数，如果把一个因数50输成了5，50÷5＝10，则一个因数除以10，积也除以10，要想得到正确的结果，把错误的积乘10即可。 【解答】他只需要把错误结果再乘10。 5．已知□×☆＝600，下列算式的得数等于600的是（    ）。 A．（□×2）×（☆×2） B．（□÷2）×（☆÷2） C．（□＋2）×（☆－2） D．（□×2）×（☆÷2） 【答案】D 【分析】根据积不变的性质解答，一个因数乘一个不为0的数，另一个因数除以同一个不为0的数，积不变。 【解答】A．一个因数，另一个因数也，则积要，所以积为2400，不符合要求。 B．一个因数，另一个因数也，则积要，所以积为150，不符合要求。 C．一个因数，另一个因数，可采用赋值法验证，使□＝20，☆＝30，原式，积不等于600，不符合要求。 D．一个因数，另一个因数，则积要，符合积不变的性质，所以积为600，符合要求。 6．若×6＝192，那么×600＝（    ）。 A．32 B．192 C．1920 D．19200 【答案】D 【分析】根据积的变化规律：一个因数不变，另一个因数从6变成600，扩大到原来的100倍，积也跟着扩大到原来的100倍。 【解答】192×100＝19200 所以×600＝19200。 7．与687×20的积相等的算式是（    ）。 A．（687×2）×（20×2） B．（687×4）×（20÷2） C．（687×2）×（20÷2） D．（687÷4）×（20÷2） 【答案】C 【分析】根据乘法算式中积的变化规律：当一个因数乘几或除以几（0除外），另一个因数反而除以或乘上相同的数时，积不变；当两个因数都乘或除以一个数（0除外），则积会乘或除以它们的积；当一个因数乘或除以一个数（0除外），另一个因数除以或乘一个数，则积会乘或除以它们的商。据此判断并选择。 【解答】A．（687×2）×（20×2）中，两个因数都乘2，则积乘4；与原算式的积不相等； B．（687×4）×（20÷2）中，一个因数乘4，另一个因数除以2，则积乘2；与原算式的积不相等； C．（687×2）×（20÷2）中，一个因数乘2，另一个因数除以2，积不变；与原算式的积相等； D．（687÷4）×（20÷2）中，一个因数除以4，另一个因数除以2，则积除以8；与原算式的积不相等。 所以，与687×20的积相等的算式是（687×2）×（20÷2）。 8．小明用计算器计算6500×23时，不小心把6500输成650，但他仍然算出了正确结果，他输入的算式可能是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】两个数相乘，其中一个乘数除以几（0除外），另一个乘数乘相同的数，积不变；如果其中一个乘数除以几（0除外），另一个乘数不变，则积也要除以相同的数；如果一个乘数除以几（0除外），另一个乘数乘不同的数，积会改变。据此分析选项解答。 【解答】A．对比6500×23与650×230，发现“650×230”的第一个乘数是由6500除以10得到的，第二个乘数是由23乘10得到的，由分析可知，积不变，选项符合题意； B．对比6500×23与650×23，发现“650×23”的第一个乘数是由6500除以10得到的，第二个乘数不变，积会改变，选项错误； C．对比6500×23与650×2300，发现“650×2300”的第一个乘数由6500除以10得到，第二个乘数由23乘100得到，由分析可知，积会改变，选项错误。 故答案为：A 9．因为36×25＝900，所以（36÷4）×（25×4）的结果是（    ）。 A．90 B．3600 C．225 D．900 【答案】D 【分析】如果一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），那么积不变；据此解答。 【解答】由分析可得： 因为36×25＝900 所以（36÷4）×（25×4）＝900 即因为36×25＝900，所以（36÷4）×（25×4）的结果是900。 故答案为：D 10．下列算式中，与的积不相等的是（    ）。 A．（480×2）×（80×2） B．（480×2）×（80÷2） C．（480÷2）×（80×2） 【答案】A 【分析】两个数相乘，两个乘数都乘同一个数，则积会改变；如果其中一个乘数乘几，另一个乘数除以相同的数（0除外），积不变。根据积的变化规律，分析选项，即可解答。 【解答】A．观察（480×2）×（80×2）与480×80，发现（480×2）×（80×2）的两个乘数，是由480×80中两个乘数分别乘2得到的，由分析可知，积会改变；选项符合题意； B．观察（480×2）×（80÷2）与480×80，发现480×80的两个乘数，第一个乘数乘2，第二个乘数除以2，即可得到（480×2）×（80÷2），由分析可知，积不变；选项不符合题意； C．观察（480÷2）×（80×2）与480×80，发现480×80的两个乘数，第一个乘数除以2，第二个乘数×2，即可得到（480÷2）×（80×2），由分析可知，积不变。选项不符合题意。 故答案为：A 二、填空题 11．用和表示两个数，已知，那么的结果是( ）；的结果是( ）。 【答案】26 208 【分析】根据积的变化规律可知，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的若干倍或缩小到原来的若干分之一（0除外），得到的积就等于原来的积的若干倍或缩小到原来的若干分之一；根据积的变化规律可知，一个数除以2，积应除以2，根据积的变化规律可知，两个数同时乘2，积应乘4，据此解答。 【解答】52÷2＝26 52×4＝208 已知○×△＝52，那么，○×（△÷2）的结果是26，故（○×2）×（△×2）的结果是208。 12．已知A×B＝60，请你利用积的变化规律填空。那么，（A×4）×B＝( ），（A÷4）×B＝( ），（A×2）×（B×2）＝( ）。 【答案】240 15 240 【分析】根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘或者除以几（0除外），此时积也乘或者除以这个数，据此解题。 【解答】B不变，A乘4，那么积也乘4，60×4＝240。所以（A×4）×B＝240。 B不变，A除以4，那么积也除以4，60÷4＝15。所以（A÷4）×B＝15。 B不变，A乘2，那么积也乘2，60×2＝120。所以（A×2）×B＝120，这时（A×2）不变，B乘2，那么积也乘2，120×2＝240。所以（A×2）×（B×2）＝240。 13．已知25×8＝200，那么25×16＝( ），75×8＝( ），50×( ）＝200。 【答案】400 600 4 【分析】积的变化规律解答：两个数相乘，一个乘数不变，另一个乘数乘（或除以）一个不为0的数，积也跟着乘（或除以）相同的数。 【解答】25×16＝25×（8×2）＝25×8×2＝200×2＝400 75×8＝（25×3）×8＝25×8×3＝200×3＝600 25×2＝50，200＝200，8÷2＝4，即50×4＝200 14．根据14×35＝490，直接写出下面各题的得数。 14×350＝( ）     28×175＝( ） 4900÷14＝( ）      980÷35＝( ） 【答案】4900 4900 350 28 【分析】1.积的变化规律，即一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）几；一个因数乘a，另一个因数乘b，积乘a×b； 2.乘除法互逆关系，即因数×因数＝积，积÷一个因数＝另一个因数。 【解答】14×350：与原式14×35＝490相比，因数14不变，因数35乘10，根据积的变化规律，积也乘10，所以490×10＝4900。 28×175：与原式相比，因数14乘2得28，因数35乘5得175，根据积的变化规律，积乘2×5＝10，所以490×10＝4900。 4900÷14：根据乘除法互逆关系，因数×因数＝积，积÷一个因数＝另一个因数，由14×350＝4900，可得4900÷14＝350。 980÷35：与原式14×35＝490相比，积乘2得980，因数35不变，根据积的变化规律，另一个因数也乘2，所以14×2＝28，即980÷35＝28。 15．根据72×4＝288，直接写出下面各题的积。 72×40＝( ）        720×40＝( ） 【答案】2880 28800 【分析】根据规律：一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积也扩大到原来的几倍；若两个因数分别扩大到原来的几倍，积就扩大到原来的这两个倍数的乘积倍。 【解答】72×4＝288 72×40＝72×4×10＝288×10＝2880 720×40＝72×10×4×10＝72×4×10×10＝288×10×10＝2880×10＝28800 16．根据24×15＝360，直接写出得数。 24×30＝( ）     24×45＝( ）      240×15＝( ）      24×150＝( ） 【答案】720 1080 3600 3600 【分析】已知24×15＝360，根据“一个因数不变，另一个因数乘几（0除外），积也乘几”的规律。观察各算式中因数相对于已知算式的变化倍数，从而确定积的变化倍数，直接得出结果。 【解答】24×30：因数24不变，因数15扩大到原来的2倍变为30，积也扩大到原来的2倍，即360×2＝720。 24×45：因数24不变，因数15扩大到原来的3倍变为45，积也扩大到原来的3倍，即360×3＝1080。 240×15：因数15不变，因数24扩大到原来的10倍变为240，积也扩大到原来的10倍，即360×10＝3600。 24×150：因数24不变，因数15扩大到原来的10倍变为150，积也扩大到原来的10倍，即360×10＝3600。 17．根据14×5＝70，直接写出下面算式的得数。 14×50＝( ）    140×50＝( ） 【答案】700 7000 【分析】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘或除以相同的数。 【解答】14×50＝14×（5×10）＝70×10＝700 140×50＝（14×10）×（5×10）＝70×10×10＝7000 18．已知A×B＝450，则（A×3）×B＝( ），A×（B÷5）＝( ）。 【答案】1350 90 【分析】根据积的变化规律可知，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的若干倍或缩小到原来的若干分之一（0除外），得到的积就等于原来的积的若干倍或缩小到原来的若干分之一；据此解答。 【解答】一个乘数B不变，另一个乘数A乘3，则积也扩大到原来的3倍，450×3＝1350，则（A×3）×B＝1350； 一个乘数A不变，另一个乘数B除以5，则积也要除以5，450÷5＝90，则A×（B÷5）＝90。 19．已知，那么( ）；( ）。 【答案】2000 200 【分析】根据积的变化规律；一个因数不变，另一个因数乘几（0除外），积也乘几；一个因数乘几，另一个因数同时除以相同的数（0除外），积不变。 【解答】已知A×B＝200，所以A×（B×10）＝2000； 所以（A×10）×（B÷10）＝200。 20．如果，那么( ），( ）。 【答案】540 270 【分析】根据积的变化规律，一个因数B不变，另一个因数A乘2，积也要乘2。一个因数A除以3，另一个因数B乘3，积不变。 【解答】270×2＝540 （A×2）×B＝540 （A÷3）×（B×3）＝270 21．根据M×N＝176，直接填出（    ）里的数。 M×（N÷8）＝( ）                    （M÷14）×（N×14）＝( ） 【答案】22 176 【分析】已知M×N＝176。对于第一个算式，一个因数M不变，另一个因数N除以8，根据积的变化规律，积也应除以8； 对于第二个算式，一个因数M除以14，另一个因数N乘14，根据积的变化规律，积不变。 【解答】根据积的变化规律：一个因数不变，另一个因数除以几（0除外），积也除以几。已知M×N＝176，在该算式中，因数M保持不变，因数N除以8。所以，新的积为：176÷8＝22。即M×（N÷8）＝22。 根据积的变化规律：一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），积不变。在该算式中，因数M除以14，因数N乘14。因为除以14和乘14相互抵消，所以积保持不变。所以，新的积仍为176。即（M÷14）×（N×14）＝176。 22．如果A×B＝230，那么3A×B＝( ）；A×8×B÷2＝( ）；（A×9）×（B÷9）＝( ）。 【答案】690 920 230 【分析】根据积的变化规律可知： 一个因数不变，另一个因数乘几（0除外），原来的积也乘几； 一个因数×，另一个因数÷（、都不为0），原来的积就先乘，再除以。 一个因数乘几（0除外），另一个因数除以这个相同的数，积不变。 【解答】（1）因为A×B＝230，所以3A×B＝230×3＝690。 （2）因为A×B＝230，所以A×8×B÷2＝230×8÷2＝1840÷2＝920 （3）因为A×B＝230，所以（A×9）×（B÷9）＝230 23．根据第一个算式的积，找规律填出其他题的得数。 15×12＝180；     15×24＝( ）；     45×12＝( ）。 【答案】360 540 【分析】两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数乘几，积也会随之乘相同的数。 【解答】15×24＝15×（12×2）＝15×24＝180×2＝360 15×24＝（15×3）×12＝45×12＝180×3＝540 24．不计算，根据35×14＝490写出得数。 350×1400＝( ）    350×14＝( ）    350×140＝( ） 【答案】490000 4900 49000 【分析】根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外），积也乘或除以几；据此解题。 【解答】已知35×14＝490，350×1400＝（35×10）×（14×100），一个因数乘10，另一个因数乘100，积就乘1000，所以350×1400＝490000； 已知35×14＝490，350×14＝（35×10）×14，一个因数乘10，另一个因数不变，积就乘10，所以350×14＝4900； 已知35×14＝490，350×140＝（35×10）×（14×10），一个因数乘10，另一个因数也乘10，积就乘100，所以350×140＝49000。 25．如果□×△＝280，那么（□÷2）×（△÷2）＝( ）；（□×6）×（△÷2）＝( ）。 【答案】70 840 【分析】根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘或除以一个不为0的数，积也要乘或除以这个数，据此填空即可。 【解答】（□÷2）×（△÷2）和□×△相比，一个因数除以2，另一个因数也除以2，积需要先除以2再除以2，280÷2÷2＝70，（□÷2）×（△÷2）＝70； （□×6）×（△÷2）和□×△相比，一个因数乘6，另一个因数除以2，积需要先乘6再除以2，280×6÷2＝840，（□×6）×（△÷2）＝840。 26．根据，填出下面算式的得数。 ( ）    ( ）    ( ） 【答案】1950 390 390 【分析】一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也要乘（或除以）相同的数，据此即可解答。 【解答】150×13对比15×13，一个因数×10，另一个因数不变，所以积×10，195×10＝1950，所以150×13＝1950； 30×13对比15×13，一个因数×2，另一个因数不变，所以积×2，195×2＝390，所以30×13＝390； 15×26对比15×13，一个因数不变，另一个因数×2，所以积×2，195×2＝390，所以15×26＝390。 27．根据28×15＝420，直接写出下面各题的积。 28×150＝( ）      280×15＝( ）     （28÷4）×（15×4）＝( ） 【答案】4200 4200 420 【分析】一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）相同的数。 【解答】28×150＝28×（15×10）＝420 ×10＝4200 280×15＝（28×10）×15＝420×10＝4200 （28÷4）×（15×4）＝28×15÷4×4＝420 28．根据43×25＝1075直接写出下面各数。 43×250＝( ）        43×( ）＝107500        ( ）×25＝107500 【答案】10750 2500 4300 【分析】积的变化规律：如果一个因数乘或除以一个不为0的数，另一个因数不变，那么积也同样乘或除以这个数。 【解答】43×250对比43×25，一个乘数×10，所以43×250＝10750； 107500对比1075，积×100，所以43×2500＝107500； 107500对比1075，积×100，所以4300×25＝107500。 29．如果A×B＝116，那么（A×5）×B＝( ），（A÷5）×（B×5）＝( ）。 【答案】580 116 【分析】根据积的变化规律，一个因数除以或乘一个不为0的数，另一个因数不变，则积也除以或乘这个数；一个因数除以或乘一个不为0的数，另一个因数乘或除以相同的数，积不变。 （A×5）×B对比A×B，一个因数乘5，另一个因数不变，所以积也乘5。 （A÷5）×（B×5）对比A×B，一个因数除以5，另一个因数乘5，所以积相当于不变。 【解答】116×5＝580 所以（A×5）×B＝580； （A÷5）×（B×5）＝116。 30．已知A×B＝600，那么（A×3）×B＝( ），A×（B÷5）＝( ），（A×2）×（B÷5）＝( ）。 【答案】1800 120 240 【分析】一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几； 一个因数不变，另一个因数除以几，积也除以几； 当两个因数一个乘2，一个除以5时，积的变化也是先乘2再除以5，据此解答。 【解答】因为A×B＝600，所以： （A×3）×B ＝A×B×3 ＝600×3 ＝1800 A×（B÷5） ＝A×B÷5 ＝600÷5 ＝120 （A×2）×（B÷5） ＝A×B×2÷5 ＝600×2÷5 ＝1200÷5 ＝240 即（A×3）×B＝1800，A×（B÷5）＝120，（A×2）×（B÷5）＝240。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $