3.3立方根（同步练习）2026-2027学年浙教版七年级数学上册

**基本信息** 本同步练习通过“基础认知-技能应用-综合拓展-易错巩固”四层设计，构建从立方根概念辨析到规律探索的完整巩固路径，强化运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|立方根概念|3道概念判断题，辨析存在性与符号规律| |技能应用|求立方根及逆向运算|12道计算题，含直接开方与代数式求值| |综合拓展|规律探索与综合应用|9道跨知识点题，结合算术平方根与新定义运算| |易错巩固|易混点强化|3道针对性题，纠正符号判断与特殊值记忆错误|

3.3立方根同步练习 题型一 立方根的概念 1. 下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 【答案】D 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解、求一个数的立方根 【详解】解：∵负数有立方根，例如，∴A选项错误； ∵负数有立方根，但负数没有平方根，∴ B选项错误； ∵任意数都只有一个立方根，∴ C选项错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，因此不为的数的立方根与被开方数同号，∴ D选项正确． 2. 下列说法正确的是（     ） A．正数有两个互为相反数的立方根 B．负数没有立方根 C．一个数的立方根的符号与这个数的符号相同 D．的立方根是 【答案】C 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【详解】解：根据立方根的定义：若，则是的立方根， 任何实数都只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， A选项，正数只有一个正的立方根，故A错误； B选项，负数有一个负的立方根，故B错误； C选项，正数的立方根为正，负数的立方根为负，的立方根为， 因此一个数的立方根的符号与这个数的符号相同，故C正确； D选项，的立方根只有一个，故D错误． 3. 下列命题中，正确的是（     ） ①算术平方根等于本身的数只有0；        ②倒数等于本身的数只有1； ③立方根等于本身的数有和0；         ④绝对值等于本身的数只有0和1； A．只有③ B．①和② C．只有① D．③和④ 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、立方根概念理解、实数的性质 【分析】根据算术平方根、倒数、立方根、绝对值的定义，逐一判断每个命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：①对于算术平方根等于本身的数，的算术平方根是，也等于本身，算术平方根等于本身的数是和，①错误； ②对于倒数等于本身的数，的倒数是，也等于本身，倒数等于本身的数是和，②错误； ③对于立方根等于本身的数，，，，立方根等于本身的数是和，③正确； ④对于绝对值等于本身的数，所有非负数的绝对值都等于本身，不止和，④错误． 综上，只有③正确． 题型二 求一个数的立方根 4. 的立方根是（     ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根 【详解】∵， 又， 的立方根是， 即的立方根是． 5. 的相反数的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查立方根、相反数、平方根的定义，按步骤逐步计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 的相反数是 根据平方根的定义，若，则 ∴ 的平方根是 即的相反数的平方根是． 6. 下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的立方根、计算单项式乘单项式、利用二次根式的性质化简 【分析】根据二次根式的性质、立方根定义，单项式乘以单项式运算法则，有理数的乘方运算，逐一计算各选项即可判断正误，得到正确结果． 【详解】解：、，该选项计算错误，不符合题意； 、根据立方根的性质，可得，该选项计算正确，符合题意； 、，该选项计算错误，不符合题意； 、，该选项计算错误，不符合题意． 7. 若a是的平方根，则（    ） A．－3 B． C．或 D．3或－3 【答案】C 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，掌握先计算平方得到基础值，再求平方根确定的可能值，最后求立方根是解题的关键． 先计算 的值，得到 9，则 是 9 的平方根，即或，再求的立方根即可． 【详解】解：∵  ， ∴ 是 9 的平方根，即 ， 当 时，， 当 时，， ∴ 或 ， 故选： C． 8. 化简：_______． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算、求一个数的立方根 【详解】解： ． 9. 的绝对值是________． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、求一个数的立方根 【分析】先根据立方根的定义计算出的值，再根据绝对值的性质计算最终结果． 【详解】解：，则． 10. 已知，则的值是_______． 【答案】2 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【详解】解：， ， 把代入得． 11. 化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)6 (2) (3) (4) 【知识点】求一个数的立方根 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 12. 已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． (1)求，，的值； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 【答案】(1)，， (2) (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根、已知一个数的立方根，求这个数 【详解】（1）解：的立方根是， ， ； 的算术平方根为3， ， ，且， ； （2）解：由（1）可知：，，， ∴， 的平方根为； （3）解：， 的立方根为. 题型三 已知一个数的立方根求这个数 13. 若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【详解】解：∵ ∴． 14. 若，则（   ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】利用立方根的性质，结合已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：根据立方根的性质可得：， 又∵， ∴． 15. 若的算术平方根是2，是27的立方根，则的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【知识点】算术平方根的实际应用、已知一个数的立方根，求这个数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】先根据算术平方根的定义求出的值，再根据立方根的定义求出的值，最后代入计算结果，选出对应选项． 【详解】解：的算术平方根是， ， ． 是的立方根， ， ， ． ． 16. 若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可． 【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69， ∴a=297.5625，b=-656.234909． ∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9， ∴x=2.975625，y=656234.909， ∴． 故选：A． 17. 若，则________ 【答案】 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】先利用等式的基本性质化简原方程，再根据立方根的定义，对等式两边同时立方，即可求出的值. 【详解】解：原方程为 ， 根据等式的基本性质，等式两边同乘，得， 根据立方根的定义，将等式两边同时立方，得， 计算得 将未知数系数化为，得． 18. 已知，则的值是_____． 【答案】3 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】根据立方根的定义，对等式两边同时开立方，转化为一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：∵， ∴， 解得：. 19. 已知，则x的值为__________． 【答案】0或1或2 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数．根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， 故答案为：0或1或2． 20. 已知，且与互为相反数，则y的值为______． 【答案】4或或5 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】根据题意可得，根据立方根是它本身的数有和0得到或或，据此求出x的值，进而求出的值，根据题意可得到，即，据此建立方程求解即可． 【详解】解：， ， 或或， 或或， 或或． 与互为相反数， ， ， 或或， 或或 ． 21. 求下列等式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2) 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】（1）方程两边同时除以3，再开平方，即可作答． （2）先移项合并同类项，再开立方，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ 解得，； （2）解：∵， ∴， 解得． 22. 定义运算，且，，，其中为任意实数．如： ． (1)求的值； (2)若的立方根是2，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、新定义下的实数运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用、有理数的加减运算、立方根、平方根以及解一元一次方程： （1）根据定义进行加法运算即可； （2）利用题意列等式，利用新定义将等式的左边化简为一元一次方程，再求解出，最后计算其平方根． 【详解】（1）解：． （2）解：的立方根是2， ， ， ， ， 解得， 的平方根为． 题型1 与立方根有关的规律探索 23. 若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查立方根的运算性质，将待求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根性质计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ，， ∴ ． 24. 我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴排除选项、， 接下来求的立方根： 第一步：确定位数，∵，，且 ， ∴，即是两位数； 第二步：确定个位数字，∵的个位数字是，只有的立方个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步：确定十位数字，划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 25. 【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【知识点】求一个数的算术平方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． 题型2 算术平方根与立方根的综合 26. 的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、实数的混合运算 【分析】根据算术平方根和立方根的意义分别进行计算，然后根据有实数的运算法则求解即可. 【详解】原式 ； 故答案为：A. 27. 若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 28. 一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 29. 已知，那么的立方根是(　　) A．-1 B．1 C．3 D．7 【答案】B 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】根据非负数的性质，得出a，b的值，再代入计算即可． 【详解】：∵， ∴， ∴，， ∴a=-4，b=3， ∴=1， ∴的立方根为1， 故答案为：B． 30. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为___________． 【答案】8 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】先根据数轴的定义可得，从而可得，再计算算术平方根和立方根即可得． 【详解】由数轴的定义得：， 则， 所以， 故答案为：8． 31. 若＝3，(4x＋3y)3＝－8，则＝________． 【答案】－1 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：-1. 32. （新定义题）我们规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”． （1）若是“最美实数”，则a的值为________； （2）若与都是“最美实数”，且，则的值为_______． 【答案】 或 1 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、新定义下的实数运算、构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，算术平方根等于它的立方根的数为1或0． （1）根据算术平方根等于它的立方根的数为1或0，得出或，求出a的值即可； （2）根据算术平方根等于它的立方根的数为1或0，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程即可． 【详解】解：（1）根据题意得， 两边六次方得：，即，解得或， 则或， 解得：或． 故答案为：或 （2）解：∵与都是“最美实数” ∴或或或， 解得：或或或， ∵， ∴和不符合题意； ∴当时，； 当时，； 综上分析可知：的值为1． 故答案为：1， 易错1 混淆立方根与平方根存在的条件 1. 下列结论中，正确的是（     ） A．的立方根是 B．没有平方根 C．算术平方根等于它本身的数是0，1， D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解、求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义，根据相关定义逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】选项A：， 的立方根是， 选项A错误，不符合题意； 选项B：正数都有平方根，， 有平方根， 选项B错误，不符合题意； 选项C：负数没有算术平方根，是负数， 算术平方根等于它本身的数只有和， 选项C错误，不符合题意； 选项D：， ， 选项D正确，符合题意． 【总结】 1. 平方根：只有非负数才有平方根，负数没有平方根 2. 立方根：正数、0、负数都有唯一立方根 易错2 立方根结果符号判断错误 2 下列说法错误的是（　　） A．a2与（﹣a）2相等 B．与互为相反数 C．与互为相反数 D．|a|与|﹣a|互为相反数 【答案】D 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】利用平方运算，立方根的化简和绝对值的意义，逐项判断得结论． 【详解】∵（﹣a）2＝a2， ∴选项A说法正确； ∵＝﹣a，＝a， ∴与互为相反数，故选项B说法正确； ∵＝﹣， ∴与互为相反数，故选项C说法正确； ∵|a|＝|﹣a|， ∴选项D说法错误． 故选：D． 【总结】立方根符号与被开立方数完全相同 易错3 特殊值记忆混乱 3. 有下列说法： ①平方根是它本身的数有，； ②算术平方根是它本身的数有，； ③立方根是它本身的数有，，； ④如果一个数的负的平方根等于它的立方根，那么这个数是或． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的基本概念逐一判断每个说法的正误即可得到答案． 【详解】解：① 平方根是本身的数：∵ 的平方根是 ，不等于它本身，只有 的平方根是它本身，∴①错误； ② 算术平方根是本身的数：∵ 的算术平方根是 ， 的算术平方根是 ，∴算术平方根是本身的数是 和 ，∴②正确； ③ 立方根是本身的数：∵ ，，，∴立方根是本身的数有 ，，，③正确； ④ 若一个数的负的平方根等于它的立方根：∵负数没有平方根， 不存在平方根，只有 满足条件，∴④错误． 综上，正确的说法是②③． 【总结】 1. 平方根等于本身：只有0 2. 算术平方根等于本身：0，1 3. 立方根等于本身的数：-1，0，1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3立方根同步练习 题型一 立方根的概念 1. 下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 2. 下列说法正确的是（     ） A．正数有两个互为相反数的立方根 B．负数没有立方根 C．一个数的立方根的符号与这个数的符号相同 D．的立方根是 3. 下列命题中，正确的是（     ） ①算术平方根等于本身的数只有0；        ②倒数等于本身的数只有1； ③立方根等于本身的数有和0；         ④绝对值等于本身的数只有0和1； A．只有③ B．①和② C．只有① D．③和④ 题型二 求一个数的立方根 4. 的立方根是（     ） A． B．4 C． D．16 5. 的相反数的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 6. 下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 7. 若a是的平方根，则（    ） A．－3 B． C．或 D．3或－3 8. 化简：_______． 9. 的绝对值是________． 10. 已知，则的值是_______． 11. 化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 12. 已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． (1)求，，的值； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 题型三 已知一个数的立方根求这个数 13. 若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 14. 若，则（   ） A．5 B．7 C． D． 15. 若的算术平方根是2，是27的立方根，则的值为（   ） A． B． C． D．0 16. 若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 17. 若，则________ 18. 已知，则的值是_____． 19. 已知，则x的值为__________． 20. 已知，且与互为相反数，则y的值为______． 21. 求下列等式中的值： (1)； (2)． 22. 定义运算，且，，，其中为任意实数．如： ． (1)求的值； (2)若的立方根是2，求的平方根． 题型1 与立方根有关的规律探索 23. 若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 24. 我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 25. 【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 题型2 算术平方根与立方根的综合 26. 的值为(　　) A． B． C． D． 27. 若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 28. 一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 29. 已知，那么的立方根是(　　) A．-1 B．1 C．3 D．7 30. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为___________． 31. 若＝3，(4x＋3y)3＝－8，则＝________． 32. （新定义题）我们规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”． （1）若是“最美实数”，则a的值为________； （2）若与都是“最美实数”，且，则的值为_______． 易错1 混淆立方根与平方根存在的条件 1. 下列结论中，正确的是（     ） A．的立方根是 B．没有平方根 C．算术平方根等于它本身的数是0，1， D． 易错2 立方根结果符号判断错误 2 下列说法错误的是（　　） A．a2与（﹣a）2相等 B．与互为相反数 C．与互为相反数 D．|a|与|﹣a|互为相反数 易错3 特殊值记忆混乱 3. 有下列说法： ①平方根是它本身的数有，； ②算术平方根是它本身的数有，； ③立方根是它本身的数有，，； ④如果一个数的负的平方根等于它的立方根，那么这个数是或． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 学科网（北京）股份有限公司 $