精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属实验学校（经开）2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2025－2026学年度第二学期八年级数学学科 期末考试试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学计数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是一次函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，，则的长为（） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 5. 如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 菱花窗镂映晴光，雪韵冰品故事长”．我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形．测得，，则的长为( ) A. B. C. D. 7. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（ ） A. 10 B. 5 C. 8 D. 20 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若分式的值为0，则x的值为______． 10. 已知一次函数的图象与直线平行，则______． 11. 如图，在矩形中，对角线、交于点，，，则______． 12. 如图，与是位似图形，点O为位似中心．若，的面积为20，则的面积为______． 13. 如图，在中，D是边的中点，是的角平分线，于点E，连接．若，，则的长度是______． 14. 如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连接并延长，交于点G，交的延长线于点F，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，，，，均在格点上，仅用无刻度的直尺作图： （1）在图①中，过点作线段，使得且； （2）在图②中，分别在线段，上作点，，连接，使且； （3）在图③中，以线段为边画一个面积为的菱形． 18. 为了促进学生的身心健康全面发展，体育组老师们准备购买一批呼啦圈，合适的呼啦圈有A和B两款，且A款比B款的单价贵5元，已知用400元购买的A款呼啦圈的数量与用350元购买的B款呼啦圈的数量相等，A款、B款呼啦圈单价各多少元？ 19. 如图，在中，，于D． 求证：． 20. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分），并对所得到的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．八年级12名学生的成绩如下： 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． b．七、八年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c c．七年级抽取的学生成绩的箱线图如下图： （1）写出表中b、c的值：b＝______，c＝______；七年级学生成绩的上四分位数是______； （2）求八年级所抽取学生的平均成绩m； （3）若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 21. 如图，在中，对角线、交于点，、是上的两点，，连结、、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，则线段的长为______． 22. 如图，反比例函数（k是常数）与一次函数（b是常数）的图象相交于点，． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）一次函数的图象与x轴相交于点C，点P是反比例函数图像上的动点，连接、，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 23. 4月19日，2026北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松举行，上演了一场“人机大战”，如图1，102支赛队和万名跑者同场参赛，全程为21公里，小明和机器人“逍遥”一起参赛，因赛前临时检修，机器人“逍遥”比小明晚出发了小时，追上小明后休息了一段时间，继续以相同的速度跑步，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图2所示． （1）分别求出机器人“逍遥”和小明跑步的速度． （2）求图2中线段所在直线的函数表达式． （3）当机器人“逍遥”第二次追上小明时，他们距离终点的路程是多少？ 24. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对十字模型做了如下探究： （1）①如图①，在正方形中，点，分别是，上的点，且，则与的数量关系是______； ②如图②，在正方形中，若垂直平分，垂足为点，且，连接，则______； （2）如图③，在矩形中，，点，分别在边，上，且，若，求的长； （3）如图④，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点、交矩形的边于点，当点为线段的三等分点时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期八年级数学学科 期末考试试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：分母中含有字母的式子是分式，π为常数， ，，的分母均为常数，都不是分式; 的分母含有字母，是分式． 2. 2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学计数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是熟练应用知识点解题；科学记数法的表示形式为为整数，据此表示即可． 【详解】解：∵ ∴故选：D． 3. 已知函数是一次函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数中，的指数为列式，根据绝对值的性质，不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴，则， ∵，则， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义，绝对值的性质，不等式的性质的运算是解题的关键． 4. 如图，，若，，则的长为（） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理即可求出未知线段的长度． 【详解】解：∵， ∴， 将已知条件，，代入上式，得： 化简，得： ∴ 5. 如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到，，再根据平行线的性质得到，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形，  ，， ， 的平分线交于点， ，  ，  ，  ． 6. 菱花窗镂映晴光，雪韵冰品故事长”．我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形．测得，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设交于点，根据菱形的性质可得，，，勾股定理求得，则即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴． 7. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图像的倾斜程度判断水面上升的快慢，进而推断容器底面积的大小变化，图像越陡水面上升越快，容器越细，据此分析判断即可． 【详解】解：由图像可知，水面高度h随时间t的变化分为两段， 第一段图像倾斜程度较小，说明水面上升较慢，则容器下部底面积较大（较粗）， 第二段图像倾斜程度较大，说明水面上升较快，则容器上部底面积较小（较细）， ∴容器的形状应为下部较粗，上部较细， 观察各选项，A、C上下粗细相同，D下部细上部粗，B下部粗上部细， 故选项B符合题意． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（ ） A. 10 B. 5 C. 8 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形中线性质得出，结合反比例函数k的几何意义求解． 【详解】解：∵C为中点，且的面积为5， ∴， ∴， ∵轴，点C在反比例函数图像上， ∴， ∴，解得， ∵该反比例函数的图像在第一象限， ∴， ∴． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若分式的值为0，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为需要同时满足分子等于，分母不等于两个条件，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为， ∴令分子，解得， ∵分式的分母不能为， ∴，即， ∴符合条件． 10. 已知一次函数的图象与直线平行，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，两个一次函数的自变量系数相等，可得． 11. 如图，在矩形中，对角线、交于点，，，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】利用矩形对角线相等且平分得到，结合判定是等边三角形求出对角线长，最后相加即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 12. 如图，与是位似图形，点O为位似中心．若，的面积为20，则的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】先说明可得，即相似比为，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴，相似比为， ∴，即，解得：． ∴的面积为5． 13. 如图，在中，D是边的中点，是的角平分线，于点E，连接．若，，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】延长，交于点F，通过证明，根据全等三角形的性质得到、，根据三角形中位线定理得出，再根据即可解答． 【详解】解：如图：延长，交于点F， ∵是的角平分线，于点， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴、， 又∵是边的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴． 14. 如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连接并延长，交于点G，交的延长线于点F，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】 【解析】 【分析】先证，可证，故正确；由和，则，故正确；证明，得出，即可得出，故正确；证明，得．证，得．由，得．可得，故错误． 【详解】解：四边形是正方形， ，，． 在和中， ． ，，故正确； ， ． ， ． ，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 四边形是正方形， ，． ，． ． ． ， ，，． ． ． ． ，， ． 在和中 ． ． ，故错误； 综上，正确的结论为①②③． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，，，，均在格点上，仅用无刻度的直尺作图： （1）在图①中，过点作线段，使得且； （2）在图②中，分别在线段，上作点，，连接，使且； （3）在图③中，以线段为边画一个面积为的菱形． 【答案】（1）线段如图所示： （2）线段如图所示： （3）菱形如图所示： 【解析】 【分析】（1）取点上方4个单位处的格点，即为所求点； （2）取线段，的中点即为所求的点，，连接即可； （3）取点下方4个单位处的格点，即为所求点，取点左侧6个单位处的格点，即为所求点． 【小问1详解】 解：如图， 由网格可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴且； 【小问2详解】 解：如图， 由网格可知，，，， ∴点是的中点， 在和中， ， ∴， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴且； 【小问3详解】 解：由网格可知，，，， ∴四边形是菱形， ∴． 18. 为了促进学生的身心健康全面发展，体育组老师们准备购买一批呼啦圈，合适的呼啦圈有A和B两款，且A款比B款的单价贵5元，已知用400元购买的A款呼啦圈的数量与用350元购买的B款呼啦圈的数量相等，A款、B款呼啦圈单价各多少元？ 【答案】A款呼啦圈单价为40元，B款呼啦圈单价为35元. 【解析】 【分析】根据400元购买A款呼啦圈的数量与350元购买B款呼啦圈的数量相等建立等量关系，设未知数列分式方程求解． 【详解】解：设B款呼啦圈的单价为x元，则A款呼啦圈的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， （元） 答：A款呼啦圈单价为40元，B款呼啦圈单价为35元． 19. 如图，在中，，于D． 求证：． 【答案】 证明：∵于D． ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明． 20. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分），并对所得到的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．八年级12名学生的成绩如下： 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． b．七、八年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c c．七年级抽取的学生成绩的箱线图如下图： （1）写出表中b、c的值：b＝______，c＝______；七年级学生成绩的上四分位数是______； （2）求八年级所抽取学生的平均成绩m； （3）若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 【答案】（1），；七年级上四分位数是96 （2） （3）估计成绩超过90分的人数为300人 【解析】 【分析】（1） 求八年级的中位数：因为数据共12个，为偶数个，所以取排序后第6、7个数据的平均值，用中位数定义计算； 求八年级的众数：统计所有成绩中出现次数最多的数值，用众数定义确定； 求七年级上四分位数：上四分位数即分位数，对应箱线图的上边缘，直接从图中读取数值； （2）求八年级平均成绩m：将12个成绩求和后除以12，用平均数计算公式计算， （3）估计八年级成绩超过90分的人数：先统计样本中超过90分的人数，计算样本占比，再乘以总人数600，用样本估计总体的方法计算， 【小问1详解】 解：12个数据从小到大排列后，中位数是第6和第7个数据的平均数，八年级成绩排序后，第6个是89，第7个是91，因此， 因为众数是出现次数最多的数，93出现了2次，次数最多，因此， 上四分位数：，位置为，因此上四分位数是第9和第10个数据的平均数，根据箱线图，七年级上四分位数为96． 【小问2详解】 解：将12名学生的成绩相加，再除以12： ． 【小问3详解】 解：抽取的12名八年级学生中，成绩超过90分的有：91，92，93，93，95，96，共6人，占比为， 因此八年级600名学生中，估计成绩超过90分的人数为：． 21. 如图，在中，对角线、交于点，、是上的两点，，连结、、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，则线段的长为______． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分得到，结合得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形； (2)由得直角，结合邻补角求出判定为等腰直角三角形，利用勾股定理算出长度，再由即可求得长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，解得（负值舍去）， 由（1）知， ∴． 22. 如图，反比例函数（k是常数）与一次函数（b是常数）的图象相交于点，． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）一次函数的图象与x轴相交于点C，点P是反比例函数图像上的动点，连接、，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）或； （3）或. 【解析】 【分析】（1）把代入和解方程即可得到结论； （2）把代入得，，得到，于是得到不等式的解集； （3）设，先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式构建关于m的方程求解即可. 【小问1详解】 的图象与一次函数的图象交于． ∴，， ∴，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入得， ∴， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：对于，当时，，解得， ∴， 设， ∵的面积为6， ∴， 解得， 当时，，则； 当时，，则； 综上，点P的坐标为或. 23. 4月19日，2026北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松举行，上演了一场“人机大战”，如图1，102支赛队和万名跑者同场参赛，全程为21公里，小明和机器人“逍遥”一起参赛，因赛前临时检修，机器人“逍遥”比小明晚出发了小时，追上小明后休息了一段时间，继续以相同的速度跑步，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图2所示． （1）分别求出机器人“逍遥”和小明跑步的速度． （2）求图2中线段所在直线的函数表达式． （3）当机器人“逍遥”第二次追上小明时，他们距离终点的路程是多少？ 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合函数图象先求出小明的速度，据此得到机器人的跑步时间，根据速度路程时间求解即可； （2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可； （3）用待定系数法求出小明的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：小明的速度：， 机器人“逍遥”的速度：，， ； 【小问2详解】 解：，， 设线段的函数表达式为 把和代入， 得 解得， ； 【小问3详解】 解：设小明的函数解析式为， 把点代入，得， ， 联立得， 解得，， 离终点的路程为． 24. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对十字模型做了如下探究： （1）①如图①，在正方形中，点，分别是，上的点，且，则与的数量关系是______； ②如图②，在正方形中，若垂直平分，垂足为点，且，连接，则______； （2）如图③，在矩形中，，点，分别在边，上，且，若，求的长； （3）如图④，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点、交矩形的边于点，当点为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①容易证明，因此； ②过点作的平行线，交于点，容易证明四边形是平行四边形，则，由①的结论可得，再使用直角三角形的性质求出即可； （2）分别取、的中点、，连接，由中位线的性质可得，，，，则，容易证明，则，因此； （3）以点为原点建立平面直角坐标系，作于点，交于点，则，，容易证明四边形是正方形，点的坐标为，结合（1）的结论可得，则．分两类讨论，当时，则，利用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，进而得到，，使用勾股定理计算出的长；当时，同样的方法可计算出，与题意矛盾，舍去． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②如图，过点作的平行线，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 同理①可得，， 在中，，即点为的中点， ∴； 【小问2详解】 解：如图，分别取、的中点、，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：①当时，如图，以点为原点建立平面直角坐标系，作于点，交于点， ∵四边形是矩形，且，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形，点的坐标为， ∵， ∴，点的坐标为， 同理（1）可得，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∴； ②当时，如图， ∴，点的坐标为， 同理（1）可得，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为，这与点在边上矛盾，舍去； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $