重难点专训05 导数与函数图像交点、最值综合问题四大考法 （专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以四步解题流程为核心，整合参数分离、切线临界等高频技巧，系统突破导数与函数图像交点、最值综合问题，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型1-4|16道典例|四步流程（定域求导→划分单调区间→分析极值与极限→数形结合定零点）；参数分离、切线临界等技巧|从基础交点个数求参数，到与数列、最值综合，形成“概念→方法→应用”递进逻辑| |分层过关练|14道题|巩固四步流程，创新提升题融合跨知识综合|结合导数应用与数列性质，体现知识迁移与模型构建|

重难点专训05 导数与函数图像交点、最值综合问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 已知交点个数求参数（范围) 2 题型2 证明交点个数 4 题型3 交点个数与数列问题 5 题型4 交点与最值（极值）综合 6 重难专题分层过关练 7 巩固过关 7 创新提升 9 解题方法及技巧提炼 一、函数交点个数问题 四步满分标准解题流程 步骤1：定域求导：优先明确函数定义域，重点关注对数、分式函数限制条件，求解函数一阶导数，判断导函数结构。 步骤2：划分单调区间：令 f'(x)=0，求解临界点，以临界点分割定义域，逐一判断各区间函数单调性。 步骤3：分析极值与极限：计算函数极大值、极小值，结合区间端点、无穷极限（x→±∞、x→0⁺）判断函数整体走势。 步骤4：数形结合定零点：根据极值正负、端点函数值符号，结合零点存在定理，判定零点个数与参数取值范围。 高频解题技巧 1. 参数分离法：将含参零点方程整理为 a=h(x)，转化为定直线 y=a 与曲线 y=h(x) 的交点问题，简化分类讨论。 2. 切线临界法：含参零点题型的参数边界值，均对应曲线与直线相切的临界状态，优先求解切线参数。 3. 对称简化法：利用函数奇偶性、轴对称性，简化对称区间的零点分析，减少计算量。 二、闭区间函数最值问题 1. 闭区间最值定理：连续函数在闭区间[a,b]上必有最大值和最小值；开区间、无穷区间无固定端点，需结合极限判断最值是否可取。 2. 逆向解题思路：已知最值反求参数，仅需分析「极值为最值」「端点值为最值」两类临界情况。 题型通法及变式提升 题型1 已知交点个数求参数（范围) 所有交点个数问题统一转化：f(x)=g(x) ⇔ F(x)=f(x)-g(x)=0，已知 F(x)=0 根的个数，反求参数范围。全程不用画图，依靠极值正负判定，零失误、适配阅卷标准。 1．若曲线与圆（>0）有且仅有一个交点，则=_________． 2.已知且，函数，若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 3．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围． 4．已知函数，（），设. (1)求的单调区间； (2)若以（）图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求正实数的最小值； (3)是否存在实数，使得函数的图像与的图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由. 5．已知函数（ 且 ）． (1)当 时，求函数的极值； (2)若函数 的图像与的图像相交于相异两点A和B，求a的取值范围． 6．（2026·上海静安·二模）已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 7.设函数，其中实数a，b，c满足． (1)若，，求函数在处的切线方程； (2)若，求函数的极值； (3)若曲线与直线有三个互异的公共点，求的取值范围． 题型2 证明交点个数 8．已知函数，. （1）若的切线过，求该切线方程； （2）讨论与图像的交点个数. 9．“拐点”又称“反曲点”，是曲线上弯曲方向发生改变的点.设为函数的导数，若为的极值点，则为曲线的拐点. 已知函数有两个极值点，且为曲线C：的拐点. (1)求a的取值范围； (2)证明：C在Q处的切线与其仅有一个公共点； (3)证明：. 10．已知. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，设，判断是否是函数的极值点并说明理由； (3)设，点在函数的图像上，且的横坐标.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 题型3 交点个数与数列问题 11．（24-25高三上·上海青浦·期中）已知函数和，. (1)求在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最小值， ①求的值； ②证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 12．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知曲线和，它们的图像分别为曲线和． (1)求函数和的最大值； (2)证明：曲线和有唯一交点； (3)设直线与两条直线、共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，求证：，，成等比数列． 13.已知函数的表达式为，函数的表达式为，其中函数经过点. (1)求实数的值，并求函数上一点处的切线方程； (2)求函数和的单调区间和极值； (3)是否存在直线 ，使得其与两条曲线和一共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，请说明理由. 14．设，， (1)证明：； (2)若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列. 题型4 交点与最值（极值）综合 15．已知函数，. （1）求的单调区间； （2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围.若的极大值为1，求的值. 16．已知函数，且是的一个极值点． (1)求实数的值； (2)为的图象上一点，若的图象上存在异于的一点，使得在点处的切线与在点处的切线斜率相等，求的取值范围； (3)已知轴上一点，满足过点的任意一条直线与的图象至多一个公共点，求的最小值． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； (2)当时，若函数的图像与直线有3个不同的交点，求实数m的取值范围． 2．已知函数. (1)求的单调区间; (2)若和有两个公共点，求的范围. 3．已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)证明：若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 4．已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若曲线与直线有交点，求证：. 5．已知函数，为的导数． (1)讨论的单调性； (2)若直线与曲线有两个交点，求a的取值范围． 6．已知函数和有相同的最大值. (1)求； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 7．已知函数和有相同的最小值． (1)求； (2)若直线与和的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间的等量关系． 8．已知函数，其中． (1)当时，求函数的单调区间； (2)已知函数(是自然对数的底数)，若，曲线与曲线都有唯一的公共点，求实数m的取值范围． 创新提升 1．已知． （1）若直线与函数图象 相切，求的值； （2）若函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围； （3）设，为的导函数，试比较与的大小． 2．已知函数，． (1)求函数的最小值； (2)若不等式对任意的恒成立，求m的取值范围； (3)若函数的图象与的图象有，两个不同的交点，证明：．（参考数据：，） 3．已知函数，其中是自然对数的底数 （1）若曲线与直线有交点，求a的最小值； （2）①设，问是否存在最大整数k，使得对任意正数x都成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由； ②若曲线与直线有两个不同的交点，求证：. 4．已知函数和有相同的最小值，（e为自然对数的底数，且） (1)求m； (2)证明：存在直线与函数，恰好共有三个不同的交点； (3)若（2）中三个交点的横坐标分别为，，，求的值． 5．悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之其倒置时也是一种稳定状态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为，相应的反链函数表达式为. (1)证明：曲线是轴对称图形； (2)若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，证明：； (3)已知函数，其中.若对任意的恒成立，求的最大值. 6．已知函数 （1）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围； （2）若函数在区间上有两个极值点，求实数a的取值范围； （3）若函数的导函数的图象与函数图象有两个不同的交点，求实数a的取值范围． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训05 导数与函数图像交点、最值综合问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 已知交点个数求参数（范围) 2 题型2 证明交点个数 10 题型3 交点个数与数列问题 14 题型4 交点与最值（极值）综合 21 重难专题分层过关练 23 巩固过关 23 创新提升 33 解题方法及技巧提炼 一、函数交点个数问题 四步满分标准解题流程 步骤1：定域求导：优先明确函数定义域，重点关注对数、分式函数限制条件，求解函数一阶导数，判断导函数结构。 步骤2：划分单调区间：令 f'(x)=0，求解临界点，以临界点分割定义域，逐一判断各区间函数单调性。 步骤3：分析极值与极限：计算函数极大值、极小值，结合区间端点、无穷极限（x→±∞、x→0⁺）判断函数整体走势。 步骤4：数形结合定零点：根据极值正负、端点函数值符号，结合零点存在定理，判定零点个数与参数取值范围。 高频解题技巧 1. 参数分离法：将含参零点方程整理为 a=h(x)，转化为定直线 y=a 与曲线 y=h(x) 的交点问题，简化分类讨论。 2. 切线临界法：含参零点题型的参数边界值，均对应曲线与直线相切的临界状态，优先求解切线参数。 3. 对称简化法：利用函数奇偶性、轴对称性，简化对称区间的零点分析，减少计算量。 二、闭区间函数最值问题 1. 闭区间最值定理：连续函数在闭区间[a,b]上必有最大值和最小值；开区间、无穷区间无固定端点，需结合极限判断最值是否可取。 2. 逆向解题思路：已知最值反求参数，仅需分析「极值为最值」「端点值为最值」两类临界情况。 题型通法及变式提升 题型1 已知交点个数求参数（范围) 所有交点个数问题统一转化：f(x)=g(x) ⇔ F(x)=f(x)-g(x)=0，已知 F(x)=0 根的个数，反求参数范围。全程不用画图，依靠极值正负判定，零失误、适配阅卷标准。 1．若曲线与圆（>0）有且仅有一个交点，则=_________． 【答案】 【详解】联立方程,消去得. 令. 由题设可得函数存在唯一零点. ∴. 令. ∴. ∴函数在区间上单调递增. 又∵, ∴当时, ,即,当时, ,即. ∴函数在区间上单调递减, 在区间上单调递增. ∴. ∴. 2.已知且，函数，若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 【答案】 【详解】曲线与直线有且仅有两个交点， 可转化为方程有两个不同的解， 方程，化为，两边取对数得，即， 即方程有两个不同的解. 令，则， 令，解得， 当时，,此时单调递增； 当时，，此时单调递减. 故，且当时，， 又，所以，解得或， 故的取值范围是. 故答案为：. 3．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围． 【详解】（1）由得， 则， 故函数在处的切线方程为，即； （2）因为函数和函数的图象没有公共点， 故，即无实数根， 即当时，无实数根， 令，由于，故为偶函数， 所以在上无实根， 又，记， 则， ①当时，，，则， 故，满足在上无实根； ②当时，在上有实根，不符合题意； ③当时，，则在上单调递增， 则，故在上单调递增， 则，满足在上无实根； ④当时，因为在上单调递增， 且， 则存在唯一的使得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故时，，故在上单调递减，故， 又，且在上连续， 故在上有实数根，不符合题意， 综合可知，实数a的取值范围为. 4．已知函数，（），设. (1)求的单调区间； (2)若以（）图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求正实数的最小值； (3)是否存在实数，使得函数的图像与的图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由. 【详解】（1），定义域为，，求导得. 令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）切线斜率，对任意恒成立， 整理得， 设，， 的最大值为，故. 即正实数的最小值为. （3）先化简两个函数，因此左边函数为， 右边函数为，交点满足方程， 整理得， 令，问题转化为与的交点个数. 是偶函数，求导得，令得， 单调性分析： 区间 递增 递减 递增 递减 极大值，极小值 且时， 因此与有个不同交点，当且仅当. 即存在实数，的取值范围是. 5．已知函数（ 且 ）． (1)当 时，求函数的极值； (2)若函数 的图像与的图像相交于相异两点A和B，求a的取值范围． 【详解】（1）当时，，的定义域为， 而，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在处取极大值，无极小值． （2）令，即，整理得， 问题转化为在有个不同正根， 令，得到， 若，则，在单调递增，最多个零点，不符合题意， 若，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要使有个不同零点，需满足极小值小于, 又当和时，， 故，解得， 所以的取值范围． 6．（2026·上海静安·二模）已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 【详解】（1）当时，，的定义域为， ， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在处取极大值，无极小值． （2）， 设切点为，切线的斜率为，所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①得③，由②得④， ③④得⑤， 将⑤代入②中得，即⑥， 设，， 令， 由，得，单调递增， 又， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 又， 所以是的唯一零点， 即方程⑥的根，代入⑤得，切点坐标为． （3）令，即，整理得， 问题转化为在有个不同正根， 令， ， 若，则，在单调递增，最多个零点，不符合题意， 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要使有个不同零点，需满足极小值小于（当和时，满足题意）， 所以，解得， 所以的取值范围． 7.设函数，其中实数a，b，c满足． (1)若，，求函数在处的切线方程； (2)若，求函数的极值； (3)若曲线与直线有三个互异的公共点，求的取值范围． 【详解】（1）因为，，， 所以，， 故，，又， 所以切线方程为，即； （2）因为，，所以， 所以， ， 令，解得，， x 0 — 0 极大值 极小值 所以函数的极大值为，极小值为． （3）因为，所以a，b，c成等差数列，因此不妨令，， 所以曲线与直线有三个互异的公共点， 等价于方程有三个不同的实数解， 即有三个不同的实数解， 则，令， 则原方程等价于， 即有三个不同的实数解， 令，则， 当时，恒成立，即在R上严格单调递增，不合题意，舍去； 当时，令，解得，， 此时在和严格单调递增，在严格单调递减， 因此有三个不同的实数解等价于， 即， 解得或，此时． 题型2 证明交点个数 8．已知函数，. （1）若的切线过，求该切线方程； （2）讨论与图像的交点个数. 【详解】（1），则， 设切点为， 则， 化简得， 所以，， 所以切线方程为. （2）设， 即讨论零点个数. ， 时，只有一个零点； 时，在上单调递减，单调递增， ，，时，均，此时，有两个零点， 时，时，， 时， 由得，， 若时，在单增，只有一个零点； 若时，， ， 极大值极小值均小于0，从而也只有一个零点. 综上，时，只有一个交点； 时，有两个交点. 9．“拐点”又称“反曲点”，是曲线上弯曲方向发生改变的点.设为函数的导数，若为的极值点，则为曲线的拐点. 已知函数有两个极值点，且为曲线C：的拐点. (1)求a的取值范围； (2)证明：C在Q处的切线与其仅有一个公共点； (3)证明：. 【详解】（1）由题意可知有两个变号零点，即有两个正根， 令， 易知单调递减，且时， 所以时，即此时单调递增， 时，即此时单调递减，所以， 又，时，则时，， 所以要满足题意需 （2）令， 由上知，所以在内单调递增， 根据“拐点”的定义及条件知， 所以C在Q处的切线方程为：， 令，即证只有一个零点， 易知， 由上可知在上单调递减，在上单调递增， 即，所以单调递增， 显然，所以只有一个零点， 所以C在Q处的切线与其仅有一个公共点，即Q点； （3）不妨设，由题意可知是的两个变号零点， 结合（2）知， 根据的单调性知， 所以，证毕. 10．已知. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，设，判断是否是函数的极值点并说明理由； (3)设，点在函数的图像上，且的横坐标.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 【详解】（1）由条件可得， ，∴曲线在处的切线方程为， 即； （2）不是函数的极值点，理由如下： ，， 当时，易知，即， 当时，易知，即， 时，， 故当时，有，所以不是函数的极值点； （3）由题意可得， 当时，， 即， 当时，， 即， 故折线段的端点都在函数上， 考虑交点个数是否无穷，在时显然为有限个， 当时，折线段构成的折线图在两函数之间，如图所示， 下面讨论与在时的交点个数， 令，则， 令，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以， ①当时，，即时，始终的上方， 此时始终的上方，故与折线段构成的折线图没有交点； ②当时，，此时与相切， 故与折线段构成的折线图至多有一个交点； ③当时，，且时，，时，， 即及使得， 故此时与有两个交点，不妨设， 则当时，，在的上方， 故与折线段构成的折线图有有限个交点； 综上，，都有与折线段构成的折线图有有限个交点.    题型3 交点个数与数列问题 11．（24-25高三上·上海青浦·期中）已知函数和，. (1)求在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最小值， ①求的值； ②证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 【详解】（1）由，得， 所以， 所以在点处的切线方程为，即. （2）①的定义域为，而， 若，则，此时函数在上单调递增，无最小值，不符合题意，故. 令，得， 当单调递减， 当单调递增， 所以. 的定义域为，而. 当单调递减， 当单调递增， 所以. 因为和有相同的最小值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上所述，. ②证明：由①知， 且在上单调递减，在上单调递增； 在上单调递减，在上单调递增，且. 设， 则，当时，， 所以函数在上单调递增，因为， 所以当时，恒成立，即在时恒成立， 所以时，， 因为，函数在上单调递增，，函数在上单调递减， 所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为， 此时可作出函数和的大致图象， 由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时， 直线必经过点，即， 因为，所以，即， 令得， 解得或，由，得， 令得，解得或， 由，得， 所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时， 从左到右的三个交点的横坐标依次为，，， 因为，所以， 所以，，成等差数列． 所以存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点， 并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 12．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知曲线和，它们的图像分别为曲线和． (1)求函数和的最大值； (2)证明：曲线和有唯一交点； (3)设直线与两条直线、共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，求证：，，成等比数列． 【详解】（1）对求导，， 令，即，所以1，解得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，， 对求导，， 令，即，解得， 当时，，，单调递增；当时，，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，， 因此，的最大值为，的最大值为． （2）， 设，则， 令，则， 所以，当，，单调递减， 当，，单调递增，所以，即，令，则， 所以，当，，单调递减， 当，，单调递增，所以，即， 所以， 所以， 所以在为减函数， 又，，即， 所以，由零点存在定理知，在存在唯一的零点， 即方程有唯一解，所以，曲线和有唯一交点． （3）由（1）知，， 由（2）知，要使直线与两条曲线、共有三个不同交点， 则直线必过曲线和的交点，且， 所以，故有， 因为，且， 由（1）知在上递增，所以， 同理，且， 由（1）知在上递减， 所以，即， 所以，即，，成等比数列． 13.已知函数的表达式为，函数的表达式为，其中函数经过点. (1)求实数的值，并求函数上一点处的切线方程； (2)求函数和的单调区间和极值； (3)是否存在直线 ，使得其与两条曲线和一共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，请说明理由. 【详解】（1）已知函数经过点， 将点代入可得： ，即 ，解得 ， 由 可得 ，其定义域为，求导可得， 将 代入，可得， 所以函数上一点处的切线方程为， 化简得， 因此，实数 ，函数上一点处的切线方程为. （2）由 可得 ，其定义域为 ，对求导可得 ， 令 ，即 ，解得 ， 当 时， ，则 ，所以在上单调递减； 当 时，，则 ，所以在上单调递增； 所以在 处取极小值，极小值为 ，无极大值； 由 可得 ，其定义域为，求导可得， 令 ，即 ，解得， 当 时， ，则 ，所以在上单调递减； 当 时，，则，所以在上单调递增； 所以在处取极小值，极小值为，无极大值； 因此在上单调递减，在上单调递增，极小值为 ，无极大值； 在上单调递减，在上单调递增，极小值为 ，无极大值； （3）证明存在直线满足条件，观察可知， 由（2）可知 在上单调递减，在上单调递增， 极小值为 ； 在上单调递减，在上单调递增， 极小值为；两函数的最小值均为， 构造共同点：设，满足（即），整理得， 零点存在性定理，令，其定义域为， 对求导，可得， 令，求导得， 当时，，但时，， 所以存在，使得，即， 在上，单调递减，在上，单调递增， 因此的最小值为， 令，则，上式变为，因为，所以， 即，所以在上恒成立，故在上单调递增， 又因为 ， ， 所以存在，使得，即公共点存在，有， 找三个交点：令，则，因为，且，解得和； 由，因为，且，解得和； 又因为三交点横坐标为，有，即中间项的倍等于两边之和，故成等差数列； 因此，存在直线 ，使得其与两条曲线和一共有三个不同的交点， 并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列； 14．设，， (1)证明：； (2)若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列. 【详解】（1）因为，，所以等价于， 即， 令，则只需证， 设，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故，即成立， 所以成立，即得证； （2）记，则， 当时，；当时，． 故在内单调递增，在内单调递减，故； 记，则， 当时，，当时，， 故在内单调递增，在内单调递减，故. 所以函数与函数有相同的最大值，画出与的图象如下图：    可知，且，又当时，，故， 当时，直线与两条曲线和各有两个不同的交点， 则直线与曲线的两个交点分别位于区间和， 而直线与曲线的两个交点分别位于区间和， 构造，当时，；当时，， 当时，1-x<0，，，， 故在内单调递减，又，， 结合零点存在性定理可知：在内存在唯一零点， 故曲线和在有唯一一个公共点， 由图可得：若直线与两条曲线和共有三个不同的交点，，，其中，即，即， ，，， 由，又， 结合在内单调递增，故， 由，又，， 结合在内单调递减，故， 故，故，，成等比数列. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于，即，利用，且在内单调递增，求得，同理利用，且在内单调递减，求得，即可用等比中项证明，，成等比数列. 题型4 交点与最值（极值）综合 15．已知函数，. （1）求的单调区间； （2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围.若的极大值为1，求的值. 【详解】（1）由题意，函数，则， 当时，对，有， 所以当时，的单调增区间为， 当时，由，解得或， 由，解得， 所以当时，的单调增区间为，， 的单调减区间为. （2）因为在处取得极值， 所以，所以. 所以，. 由，解得，. 由（1），可得函数的单调增区间为，，的单调减区间为， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值. 因为直线与函数的图象有三个不同的交点， 结合的单调性，可得， 即实数的取值范围是. 16．已知函数，且是的一个极值点． (1)求实数的值； (2)为的图象上一点，若的图象上存在异于的一点，使得在点处的切线与在点处的切线斜率相等，求的取值范围； (3)已知轴上一点，满足过点的任意一条直线与的图象至多一个公共点，求的最小值． 【详解】（1）函数定义域为，求导得： ， 因为是极值点，故，代入得： ； （2）由（1）得​，切线斜率相等即存在 ，使得， 设，问题转化为存在不等于的正根，求的范围， 令得： 当时，，单调递减，当​时，，单调递增， 故最小值为， 当即 时，可得，仅有唯一解； 当时，存在两个不同的解，其中一个解在区间，另一个解在区间. 故的取值范围为 . （3）任意过的直线与至多一个交点，即不存在割线穿过， 等价于大于等于所有曲线的切线在轴截距的最大值， 对任意点，切线方程为： ， 令得切线在轴截距为，令，则， 令 得， 在递增，递减，故最大值为 故的最小值为​​. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； (2)当时，若函数的图像与直线有3个不同的交点，求实数m的取值范围． 【详解】（1）由题可知：在恒成立． 即在恒成立． 因为，当且仅当时等号成立，所以， 所以实数a的取值范围是； （2）由，解得，所以． 则， 令得或，令得， 所以函数在上是增函数，上是减函数，上是增函数， 当时，取得极大值，故的极大值为． 当时，取得极小值，故的极小值为． 因为函数的图像与直线有3个不同的交点，则． 2．已知函数. (1)求的单调区间; (2)若和有两个公共点，求的范围. 【详解】（1）解：， 所以 令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 综上：的增区间为：，；减区间为：，. （2）解：由（1）得，， 又 且得，则是的唯一零点 结合（1）中的单调区间得函数图像为： 由于和有两个公共点，求所以的范围是：. 3．已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)证明：若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 【详解】（1）当时，，则定义域为， ， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由题意知：且； 与有且仅有两个交点， 方程有且仅有两个不等实根，即方程有且仅有两个不等实根， 即方程有且仅有两个不等实根； 令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，当时，；当时，； 可得大致图象如下图所示， 令，则， 有且仅有两个不同实数根的充要条件为， 即，实数的取值范围为. 4．已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若曲线与直线有交点，求证：. 【详解】（1）因为， 所以， 则， 所以， 令， 显然，在上单调递增， 又， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增； （2）证明：令， 当时，曲线与直线有交点即函数在有零点， 由得，， 令 所以直线与图像 有交点 则 ， 令， 显然在上单调递减，且， 所以在上单调递增，在在上单调递减， 故在处取最大值为， 当时，，当时，， 要使直线与图像 有交点， 只需， 又因为，所以. 5．已知函数，为的导数． (1)讨论的单调性； (2)若直线与曲线有两个交点，求a的取值范围． 【详解】（1）设的定义域为,. 当时,在上为增函数,在上单调递增; 当时,令,得. 若,则单调递增, 若,则单调递减. 综上,当时,在上单调递增; 当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减. （2）直线与曲线有两个交点,即关于的方程有两个解, 整理方程,得. 令,其中, 则. 令，则. 当时,,此时函数单调递增, 当时,,此时函数单调递减. 由, 得时,,则, 当时,,则, 当时,,则, 则函数在区间上单调递增,在区间上单调递减, 则. 当趋近于时,趋近于0,即当时,; 当趋近于0时,趋近于, 作出如图所示图象： 故要使直线与曲线有两个交点,则需, 即的取值范围是. 6．已知函数和有相同的最大值. (1)求； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 【详解】（1）， 当时，当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，函数有最大值，即； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意， 由， 当时，当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，函数有最大值，即； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意， 于是有. （2）由（1）知，两个函数图象如下图所示： 由图可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设 且， 由，又， 又当时，单调递增，所以， 又，又， 又当时，单调递减，所以， ； 于是有. 7．已知函数和有相同的最小值． (1)求； (2)若直线与和的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间的等量关系． 【详解】（1）因为，所以． 若，则，此时无最小值，故. 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数， 故. 因为的定义域为，而. 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数， 故. 因为和有相同的最小值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上，. （2）由（1）知，，故，， 且在上为减函数，在上为增函数， 在上为减函数，在上为增函数，且， 所以直线与和的图象有四个不同的交点，存在以下两种情况： 第一种情况，如图：    设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为， 直线与的图象交点横坐标从左到右依次为． 由图可知且． ∵且． ∴． 同理，且． ∴． ∴，， 又∵，即：． ∴． ∴． 第二种情况，如图：      设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为， 直线与的图象交点横坐标从左到右依次为． 由图可知，，且，， ∵且． ∴． 同理，且． ∴． ∴，， 又∵，即：． ∴． ∴． 综上所述，若直线与和的图象共有四个不同的交点，从左到右四个交点横坐标之间的等量关系为：. 8．已知函数，其中． (1)当时，求函数的单调区间； (2)已知函数(是自然对数的底数)，若，曲线与曲线都有唯一的公共点，求实数m的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当时，，所以在上单调递减； 当时，令，得或；令，得； 所以在和上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为和，单调递增区间为. （2）因为，所以， 因为，曲线与曲线都有唯一的公共点， 所以，方程有唯一解，即方程有唯一解， 令，则， 对于， 当，即时，，故函数在上单调递增， 易知，当趋向于0时，趋向于无穷小，趋向于0，故趋向于无穷小； 当趋向于无穷大时，趋向于无穷大，趋向于无穷大，故趋向于无穷大； 所以的值域为， 所以，与有且只有一个交点，满足题意； 当，即时，有两个实根，且，， 若，则当或时，，当时，， 所以先增后减再增，存在一个极大值和一个极小值， 要使有唯一实数根，则大于的极大值或小于的极小值， 记为极大值点，则，恒成立， 又，即，则的极大值为， 令，则，故在上单调递增， 故，则，故， 记为极小值点，则，恒成立， 又，即，则的极小值为， 令，则， 故在上单调递减， 因为，即，取， 则，所以， 令，则， 所以在上单调递减，故， 所以，即， 所以趋向于无穷小，则趋向于无穷小， 所以不存在，使得恒成立； 若，记为极大值点，则，同理可得恒成立， 因为在上单调递减，所以，则，故， 记为极小值点，则，同理可得不存在，使得恒成立； 综上：要使，曲线与曲线都有唯一的公共点，，即的取值范围为. 创新提升 1．已知． （1）若直线与函数图象 相切，求的值； （2）若函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围； （3）设，为的导函数，试比较与的大小． 【详解】解：（1），且直线过定点，设切点为， 则，可得．故． （2），，令， 当时，；时，．在单增，在单减， 故 由图可知：． （3），，作差 令，设，，在上单调递减，则， 2．已知函数，． (1)求函数的最小值； (2)若不等式对任意的恒成立，求m的取值范围； (3)若函数的图象与的图象有，两个不同的交点，证明：．（参考数据：，） 【详解】（1）易知函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以当时，取得最小值． （2）设函数，则对任意的恒成立. ， 设函数，则， 所以在上单调递增，所以， 即，所以在上单调递增，所以， 所以的取值范围是. （3）因为函数的图象与的图象有两个不同的交点， 所以关于的方程，即有两个不同的实数根，， 所以①，②， ①②，得， ②①，得， 消得，， 由（2）得，当时，， 即对任意的恒成立. 不妨设，则，所以， 即恒成立. 因为， 所以，即. 令函数，则在上单调递增. 又，， 所以当时，，即，所以原不等式得证. 3．已知函数，其中是自然对数的底数 （1）若曲线与直线有交点，求a的最小值； （2）①设，问是否存在最大整数k，使得对任意正数x都成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由； ②若曲线与直线有两个不同的交点，求证：. 【详解】解：（1）由已知得，．      由于，所以可得 可得 得当x变化时，与的变化情况如下表所示：      x 1 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 当时，，所以 当时，有最小值 因此，当曲线与直线有交点时，．      （2）①由（1）知， 在上单调递增，在上单调递减，所以 当时，又， 则，原不等式恒成立．．      当时，令，则 ． 设，得，故当x变化时，与的变化情况如下表所示： x － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 这样，当时，，此时当x变化时，与的变化情况如下表所示： x 1 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 得，即原不等式恒成立．      当时，得，，则在内有唯一零点．此时x变化时，与的变化情况如下表所示： x 1 ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 得，即原不等式不恒成立． 综上所述，存在最大整数，使得原不等式恒成立．      ②证明：设，，．由（1）可知 所以， 由①可得即      所以都满足不等式，即， 故区间为不等式解集的子集， 得 【点睛】关键点睛：本题考查函数图像有交点求参数的范围和根据恒成立求参数范围，解答本题的关键是由在定义域内恒成立，即分析其单调性，由其导数为，设，根据的单调性，分析得出的符号，得出单调性，属于难题. 4．已知函数和有相同的最小值，（e为自然对数的底数，且） (1)求m； (2)证明：存在直线与函数，恰好共有三个不同的交点； (3)若（2）中三个交点的横坐标分别为，，，求的值． 【详解】（1）由， 时， 时 则在单调递减，在单调递增， 所以最小值； 时，， 时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以最小值； ， 即 令， 所以在定义域上单调递增， 因为， 所以解得. (2)证明：由（1）知，即； 因为， 所以当时，考虑与解的个数， 根据，单调性作图如下： 易知时，；时，； 时，；时，； 则在区间与各有一个根， 在区间与各有一个根， 要证：存在直线与函数，恰好共有三个不同的交点， 即证：在上有交点. 当时， 令 ，所以在上单调递增， ，， 所以存在，使， 即在上有交点，得证. 所以存在直线与函数，恰好共有三个不同的交点. （3）      如图与函数，恰好共有三个不同的交点， 三个交点的横坐标分别为，，，， 则有， 因为 而单调递减，所以， 因为， 而单调递增，所以， 又因为. 所以. 5．悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之其倒置时也是一种稳定状态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为，相应的反链函数表达式为. (1)证明：曲线是轴对称图形； (2)若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，证明：； (3)已知函数，其中.若对任意的恒成立，求的最大值. 【答案】(1) ， 令，则 所以为偶函数， 故曲线是轴对称图形，且对称轴为. (2) 令，得，     当；当， 所以在处取得极小值1，当趋近正无穷时，趋近正无穷， 当趋近负无穷时，趋近负无穷， 恒成立，所以在R上单调递增， 当趋近正无穷时，趋近正无穷， 当趋近负无穷时，趋近负无穷， 所以的大致图象如图所示， 不妨设， 由为偶函数可得， 与图象有三个交点，显然，令， 整理得，解得或（舍去）， 所以，即， 又因为，所以； （3）设，两边平方得：， 则，所以， 因为单调递增， 所以当，，即， 由得：，即， 该不等式组在和时同时满足，即， 上述不等式组两边同乘-1得， 当；当； 当；当； 经验证，时满足题意；综上所述：的最大值为7 6．已知函数 （1）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围； （2）若函数在区间上有两个极值点，求实数a的取值范围； （3）若函数的导函数的图象与函数图象有两个不同的交点，求实数a的取值范围． 【详解】（1） 即当时，恒成立， 设 ， 因为，所以，在上单调递增， 所以，所以，． （2）因为， 所以在区间上有两个极值点的必要条件为 在区间上有两个不同零点， 则， 当时，在上递减，在上递增 ，， 所以存在唯一的，使得， 因为在区间大于零，在区间小于零，在区间上大于零， 所以在区间上递增，在区间上递减，在上递增， 所以，分别为极大值与极小值， 所以当时函数在区间上有两个极值点； （3）因为 所以， 令，， 令，解得（舍去），. 0 ＋ ↓ 极小值 ↑ 因为有两个零点， 所以，① 又因为，所以② 代入①得到， 令， 所以在上递减，因为，所以， 因为在区间上递增，所以． i）因为，所以， ， 令，， 所以 所以在上递增，，所以 所以在区间上存在唯一一个零点． ⅱ）又因为 ， 且， 所以在区间上存在唯一一个零点， 综上时，的图像与图像有两个不同的交点． 解法二：由 得 令， 令，． ，所以当时，， 当时，，即当时，， 当时，， 所以在区间上递减，在区间上递增， 所以即， i）当时，因为 所以 取，则 所以在区间上存在唯一一个零点， ii）当时， 令， 因为，， 所以，所以在上递增， ，所以，即 所以在区间上存在唯一一个零点， 综上时，的图像与图像有两个不同的交点. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $