专题06 幂函数与二次函数（竞赛培优专项训练,11大题型+强基、竞赛真题）高一数学人教A版全国通用

**基本信息** 聚焦幂函数与二次函数核心考点，以题型为载体构建从概念到综合应用的逻辑体系，精选竞赛真题强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂函数|6题型（含定义域、单调性等）|定义应用→图象识别→性质综合|概念生成→性质推导→应用拓展，培养抽象能力与推理意识| |二次函数|5题型（含图象、恒成立问题等）|图象分析→解析式求解→最值与恒成立|图象特征→代数表达→动态问题解决，发展模型观念| |竞赛真题|15道|综合应用与创新题型|跨知识点综合与竞赛思维训练，提升数学语言表达与问题解决能力|

专题06 幂函数与二次函数 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 幂函数的定义及应用 题型07 二次函数的图象 题型02 幂函数的图象 题型08 二次函数的详解式 题型03 幂函数的定义域与值域 题型09 二次函数的单调性与最值 题型04 幂函数的单调性与奇偶性 题型10 与二次函数有关的有解或恒成立问题 题型05 利用幂函数的性质比较大小或解不等式 题型11 二次函数的综合应用 题型06 幂函数性质的综合应用 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 幂函数的定义及应用 1．“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知函数是幂函数，则________. 3．若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 考点二 幂函数的图象 4．若幂函数的大致图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 5．如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A．是奇数且 B．是偶数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 6．在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ） A． B． C． D． 考点三 幂函数的定义域与值域 7．幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（    ） A． B．为偶函数 C．为单调递增函数 D．的值域为 9．（多选）已知函数则以下说法正确的是（    ） A．若，则是上的减函数 B．若，则有最小值 C．若，则的值域为 D．若，则存在，使得 考点四 幂函数的单调性与奇偶性 10．（多选）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 11．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上为减函数，则_____. 12．已知幂函数. (1)若函数在其定义域上是增函数，且，求实数a的取值范围； (2)若函数是偶函数，证明：，，. 考点五 利用幂函数的性质比较大小或解不等式 13．设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 14．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．已知幂函数的图象经过点，且，则实数a的取值范围是________． 考点六 幂函数性质的综合应用 16．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 17．（多选）已知幂函数的图象与坐标轴有交点，则下列结论正确的是（   ） A． B．对定义域内任意实数，都有 C．对定义域内任意实数，都有 D．函数在上单调递增 18．设幂函数的图象过点，则：①的定义域为；②是奇函数；③是减函数；④当时， 其中正确的有_________（多选、错选、漏选均不得分）． 考点七 二次函数的图象 19．设，二次函数的图象可能是 A． B． C． D． 20．二次函数的图像如图所示，则下列说法中：①；②方程的两根是；③；④；⑤时，随着增大而增大.其中正确的说法有___________（把你认为正确的说法的序号填上） 21．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 考点八 二次函数的详解式 22．已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 23．已知是二次函数，且为奇函数，当时，的最小值为1，则的表达式是______. 24．若二次函数的顶点为，与x轴交于两点，且这两点的横坐标的立方和为19，则这个二次函数的表达式为________． 考点九 二次函数的单调性与最值 25．若函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．若函数的最大值为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 27．已知函数． (1)若在区间上单调，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最大值为4，求实数的值； (3)求在区间上的最小值． 考点十 与二次函数有关的有解或恒成立问题 28．设函数，命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为______. 30．已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值与最小值； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若，恒成立，求实数的取值范围． 考点十一 二次函数的综合应用 31．已知函数，． (1)当函数不单调，求的取值范围； (2)当函数的最小值是关于的函数，求表达式． 32．已知函数． (1)若的解集为，求的解集； (2)当，，时，是否存在，使得函数定义域和值域均为，若存在，求出，的值，不存在请说明理由； 33．已知函数，．，用表示，中的最大者，记为函数． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)若函数的定义域为时，值域为，求的最小值． 一、单选题 1．（2024·山东高密冬季竞赛）设，则使的定义域为R且为奇函数的值有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·陕西咸阳高一竞赛）若幂函数的图象经过点，则在定义域内为（   ） A．减函数 B．增函数 C．偶函数 D．奇函数 3．（2026·陕西咸阳高一竞赛）记，设，则函数的最小值是（   ） A．0 B． C．1 D．2 4．（多选）（2024·湖南邵阳竞赛（初赛））已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图象如图所示，则下列选项正确的有（    ） A． B．当时，函数的最大值为 C．关于的不等式的解为或 D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 二、填空题 5．（2024·四川宜宾高一竞赛（初赛））若区间满足： ①函数f(x)在[a，b]上有定义且单调； ②函数f(x)在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f(x)的共鸣区间． 请完成：（1）写出函数的一个共鸣区间 ； （2）若函数存在共鸣区间，则实数k的取值范围是 ． 6．（2026·浙江宁波强基计划）已知和为平面坐标系中的两点，若反比例函数图象与线段AB有交点，则k的取值范围为______． 7．（2026·江苏苏州竞赛）已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 8．（2026·全国竞赛）已知函数 若在上存在最小值，求实数的取值范围. 9．（2024·南京大学强基计划）已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 . 三、解答题 10．（2026·浙江宁波强基计划）已知二次函数，当时，y的最小值为0，求a的值？ 11．（2024·浙江温州摇篮杯竞赛）已知函数为幂函数，且在上单调递增. (1)求的值，并写出的详解式； (2)解关于的不等式 ，其中. 12．（2024·湖南邵阳竞赛）已知函数，． (1)若在上的值域为，求的值； (2)若关于的不等式只有一个正整数解，求的取值范围． 13．（2026·浙江宁波强基计划）已知二次函数图象经过，， (1)求二次函数解析式 (2)若二次函数的顶点为D，P为线段CD上一点，若C，D到直线AP的距离分别为，，求的最大值 14．（2026·上海竞赛）求函数的最小值与最大值． 15．（2024·湖南邵阳竞赛）若二次函数满足，且. (1)求的详解式； (2)求函数在区间上的最大值； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 幂函数与二次函数 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 幂函数的定义及应用 题型07 二次函数的图象 题型02 幂函数的图象 题型08 二次函数的详解式 题型03 幂函数的定义域与值域 题型09 二次函数的单调性与最值 题型04 幂函数的单调性与奇偶性 题型10 与二次函数有关的有解或恒成立问题 题型05 利用幂函数的性质比较大小或解不等式 题型11 二次函数的综合应用 题型06 幂函数性质的综合应用 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 幂函数的定义及应用 1．“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由幂函数的定义求出的值，再由充分必要条件判断即可. 【详解】因为为幂函数， 所以， 解得：或, 所以“”是“为幂函数”的充分且不必要条件. 2．已知函数是幂函数，则________. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义即可求出参数. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解之可得，则. 故答案为： 3．若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 【答案】16 【详解】因为点为第四象限的点，所以幂函数的图象不过点. 设幂函数，其图象经过点和， 所以，解得，所以. 所以. 考点二 幂函数的图象 4．若幂函数的大致图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义，得到，求得或，再根据幂函数的性质，即可求得实数的值； 【详解】根据幂函数定义可知，，解得或， 当时，，当时，， 由图可知不合题意，所以. 故选：A. 5．如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A．是奇数且 B．是偶数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 【答案】D 【分析】根据给定的图象，结合幂函数的图象性质判断得解. 【详解】观察图象得，函数在上单调递增，则， 当时，，则，BC错误； 函数的图象关于轴对称，则是偶数，是奇数，A错误，D正确. 故选：D 6．在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、三、四象限. 幂函数：若，在递增且“上凸”，无此选项. 若，是偶函数，图像为开口向上的抛物线，对应选项C. 若，在递增且“下凸”，无此选项. 当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、二、四象限，无此选项. 幂函数：在递减，对应选项A、D，但A中直线截距为负，D中直线截距为负，均与矛盾.综上，只有选项C符合条件. 考点三 幂函数的定义域与值域 7．幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 8．（多选）已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（    ） A． B．为偶函数 C．为单调递增函数 D．的值域为 【答案】AC 【分析】根据幂函数的定义可得，进而可得，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由为幂函数可得， 解得 或舍去，所以，故A正确， 为单调递增函数，C正确； 由于，故为奇函数，故B错误； 的值域为R，D错误， 故选： 9．（多选）已知函数则以下说法正确的是（    ） A．若，则是上的减函数 B．若，则有最小值 C．若，则的值域为 D．若，则存在，使得 【答案】ABC 【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项. 【详解】对于A，若，，在上单调递减，故A正确； 对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1, 故B正确； 对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确； 对于D，若，当时，； 当时，； 当时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误. 故选：ABC 考点四 幂函数的单调性与奇偶性 10．（多选）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分情况讨论，当时，；当时，，再在直角坐标系中分别画出对应图象即可求解. 【详解】由题意可知：函数 当时，； 当时，. 画出函数图象： 所以函数的单调递减区间为、. 11．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上为减函数，则_____. 【答案】 【分析】根据幂函数定义及奇偶性、单调性求解. 【详解】由可得， 当时，，函数是奇函数，不符合题意； 当时，，定义域为，函数不是偶函数，不符合题意； 当时，，函数为偶函数，且在上为减函数，符合题意. 故答案为： 12．已知幂函数. (1)若函数在其定义域上是增函数，且，求实数a的取值范围； (2)若函数是偶函数，证明：，，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）借助幂函数定义与函数单调性计算可得，再利用函数单调性结合其定义域计算即可得解； （2）由幂函数定义与偶函数性质计算可得，则可得解析式，则可利用解析式结合基本不等式计算即可得证. 【详解】（1）由幂函数定义可得，即， 则或，又函数在其定义域上是增函数，则，故， 即，则函数定义域为， 则对，有，解得； （2）由（1）知，或，当时，定义域为，不符； 故，此时，定义域为， 且有，故函数是偶函数，符合； 则对，，要证， 即证，即证， 由，，当且仅当时取等， 则， 则，即， 即，即有，即得证. 考点五 利用幂函数的性质比较大小或解不等式 13．设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是幂函数且图象经过原点确定的值及的解析式，再利用的单调性即可得解. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或. 又的图象经过原点，所以，即. 因为，所以， 又因为在上单调递增， 所以． 故选：A 14．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 15．已知幂函数的图象经过点，且，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】首先求得函数的解析式，然后求解实数的取值范围即可. 【详解】设幂函数的解析式为，由题意可得：， 即幂函数的解析式为：， 则即：， 得：，求解不等式组可得实数的取值范围是. 故答案为： 考点六 幂函数性质的综合应用 16．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义和性质求，结合函数单调性确定解析式，再利用函数单调性、奇偶性得出的符号情况． 【详解】函数是幂函数， ，解得或，或， 对任意的且，满足， 在上单调递增，则， 为上单调递增的奇函数， ， ， ，故，故B正确． 故选：B． 17．（多选）已知幂函数的图象与坐标轴有交点，则下列结论正确的是（   ） A． B．对定义域内任意实数，都有 C．对定义域内任意实数，都有 D．函数在上单调递增 【答案】BC 【分析】由函数为幂函数以及图象与坐标轴有交点，分析得出参数即可判断选项A，利用函数单调性判断选项B，利用作差法和分析法判断即可得出选项C，在内取特殊值根据单调性分析即可得出选项D. 【详解】对于A，由题意知，解得， 又的图象与坐标轴有交点， 所以，故A错误； 对于B，由A选项知函数， 且函数在上单调递增， 所以对于定义域内任意实数， 当时，，则， 当时，，则，故B正确； 对于C，由函数，设， 所以 ， 所以，故C正确， 对于D， ， 由， 要证明， 即， 即， 所以即， 由，， 所以函数在上不单调递增，故D选项不正确. 故选：BC． 18．设幂函数的图象过点，则：①的定义域为；②是奇函数；③是减函数；④当时， 其中正确的有_________（多选、错选、漏选均不得分）． 【答案】②④ 【分析】根据待定系数法求出幂函数，由幂函数的性质，即可判断各项的真假． 【详解】设，因为函数的图象过点，所以，解得， 根据幂函数的图象，可知①不正确，②正确，③说法有误，应该是在上是减函数，在上是减函数，但在整个定义域上不是减函数； 对于④，设点，，点为线段的中点，点，由图可知，点在点的下方，所以．    故答案为②④． 考点七 二次函数的图象 19．设，二次函数的图象可能是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为,二次函数，那么可知， 在A中，a<0,b<0,c<0，不合题意； B中，a<0,b>0,c>0，不合题意； C中，a>0,c<0,b>0,不合题意，故选D. 20．二次函数的图像如图所示，则下列说法中：①；②方程的两根是；③；④；⑤时，随着增大而增大.其中正确的说法有___________（把你认为正确的说法的序号填上） 【答案】①②④⑤ 【分析】对于①：由图像开口与轴的交点即可判断； 对于②：由函数图象与轴两交点的坐标即可判断； 对于③：由函数图象结合时，，即可判断； 对于④：由函数的对称轴，即可判断； 对于⑤：由函数的对称轴和单调性即可判断； 【详解】对于①：因为开口向上，所以，图象与轴的交于轴的负半轴，故，所以，故①正确； 对于②：因为函数图象与轴两交点的坐标为，故方程的两根是，故②正确； 对于③：由函数图象可知，时，，故③错误； 对于④：因为函数的对称轴为，所以，故④正确； 对于⑤：因为函数的对称轴为，且开口向上，故函数在递增，故⑤正确； 故答案为：①②④⑤ 21．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 考点八 二次函数的详解式 22．已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可. 【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. 23．已知是二次函数，且为奇函数，当时，的最小值为1，则的表达式是______. 【答案】或 【分析】由二次函数和奇函数可设出解析式，再由最值讨论进行对称轴讨论，进而求得表达式即可. 【详解】设.则. 又为奇函数，，，对称轴为. 当，即时，在上为减函数，的最小值为，又，故此时无解； 当即时，的最小值，，此时； 当即时，在上为增函数，的最小值为，，此时. 综上，所求为或. 故答案为：或. 24．若二次函数的顶点为，与x轴交于两点，且这两点的横坐标的立方和为19，则这个二次函数的表达式为________． 【答案】 【分析】结合二次函数的图象与性质，以及根与系数的关系和立方和公式，列出方程组，求得的值，即可求得二次函数的解析式. 【详解】由题意，二次函数的顶点为， 可得且，即且， 设二次函数与x轴交于两点横坐标方程为， 则 则， 即 联立方程组 ，解得，则， 所以函数的解析式为. 故答案为：. 考点九 二次函数的单调性与最值 25．若函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令， 则或或或 解得或， 即实数m得取值范围为. 故选：C． 26．若函数的最大值为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】通过讨论，，确定函数单调性，确定最大值点，即可求解. 【详解】函数的对称轴为，图象开口向下. 当时，函数在区间是减函数， ，由，得. 当时，函数在区间是增函数，在上是减函数， . 由，计算出或， ， 两个值都不满足. 当时，函数在区间是增函数， ， .综上可知或. 故选：C. 27．已知函数． (1)若在区间上单调，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最大值为4，求实数的值； (3)求在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】（1）计算二次函数的对称轴，然后根据单调性可得，计算即可； （2）分类讨论与的大小关系，求出最大值即可求出参数； （3）分类讨论，，，分别计算即可. 【详解】（1）由题可知，函数的图像开口向上， 对称轴为直线，若使得函数在上单调递增 则满足，解得， 若使得函数在上单调递减，则满足，解得， 综上可得实数的取值范围是. （2）因为函数是开口向上的抛物线，对称轴为直线 则自变量离对称轴越远，函数值越大， 因，则区间中点对应数值为 ①当，即时， 解得，符合题意， ②当，即时， 解得，符合题意， 综上可得，实数的值为或． （3）①当即时，函数在区间单调递增， 所以函数的最小值为； ②当，即时， 函数在区间单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的最小值为； ③当即时，函数在区间单调递减， 所以函数的最小值为， 综上可得，函数的最小值为 考点十 与二次函数有关的有解或恒成立问题 28．设函数，命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，，分离参数得，再结合二次函数的性质即可求解. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以，， , 因为， 所以在上恒成立， 函数在上单调递增， 所以当时，有最小值1， 故的最大值为2，所以. 故选：D. 29．已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】 ∵对任意的，恒成立，∴当时，. ∵二次函数， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： （i）当，即时，函数在区间上单调递增， ∴， ∴，即，解得或， ∵，∴. （ii）当，即时， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， ∴， ∴，即， ∵二次项系数大于0且，∴不等式无解. （iii）当，即时，函数在区间上单调递减， ∴， ∴，即，解得：或， ∵，∴. 综上可知，实数的取值范围为. 30．已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值与最小值； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)最大值为，最小值为； (2) (3) 【分析】（1）利用二次函数的性质求得函数最值； （2）由题可得函数对称轴在区间外，进而求得参数的取值范围. （3）根据不等式恒成立，分离变量，结合基本不等式求得参数的取值范围． 【详解】（1）当时，函数． 因为函数是开口向上的二次函数，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 计算， 所以求函数在上的最大值为，最小值为； （2）由函数．可知函数是开口向上的二次函数，对称轴为， 若在上是单调函数，可分两种情况： ①当时，在上单调递增； ②当时，在上单调递减； 综上实数的取值范围为； （3）由题可知函数对恒成立， 整理得，因为，所以， 根据基本不等式得，当且仅当即时取等号， 可知，实数的取值范围． 考点十一 二次函数的综合应用 31．已知函数，． (1)当函数不单调，求的取值范围； (2)当函数的最小值是关于的函数，求表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数的性质列不等式求解即可. （2）根据二次函数的对称轴及定区间，对分情况讨论，分别求出对应情况下最小值即可. 【详解】（1）由函数， 可得该函数图象开口向上，对称轴为， 要使函数在不单调，可得，解得， 所以实数a的取值范围. （2）由（1）知，该函数图象开口向上，对称轴为， 当，即时，在单调递增，所以； 当，即时，在单调递减，在单调递增， 所以； 当，即时，在单调递减，所以， 综上，表达式为：. 32．已知函数． (1)若的解集为，求的解集； (2)当，，时，是否存在，使得函数定义域和值域均为，若存在，求出，的值，不存在请说明理由； 【答案】(1) (2)，或， 【分析】（1）根据一元二次方程和一元二次不等式的关系，由已知确定的符号及方程的解，利用换元法求的解集； （2）先确定的对称轴及在上的值域，再分类讨论，确定的值； 【详解】（1）由题意可知二次方程的两个解为2，4，且， 由韦达定理，有，故. 当时，可化为， 令，有，故二次方程的两个解为， 又，所以的解集为. （2）当，，时，， 则函数的对称轴为，且。 ①当时，有，且， 由二次函数的对称性可知， 故当时，的值域为，所以； 当时，由题意可知，整理得， 解得（舍去），或. ②当时，在上单调递增，有，， 即二次方程应有两个大于等于2的根，由①可知，此时不存在的值符合题意； ③当时，在上单调递减，此时不存在的值符合题意； 综上，使得定义域和值域均为的的值为，或，. 33．已知函数，．，用表示，中的最大者，记为函数． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)若函数的定义域为时，值域为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）利用函数的新定义来确定新函数值即可； （2）利用比较两个函数的大小，再得到分段的新函数； （3）利用二次函数性质，结合分类讨论思想，来求最小值即可. 【详解】（1）因为，，                          所以． （2）令， 若，则，，             当，即时，或；            当，即时，． 所以． （3）因为的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 又因为的图象开口向下，对称轴为直线，又， 所以当时，函数单调递增； 当时，函数单调递增．                 又， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增． 即函数的最小值为．                  令，可解得或． 则函数的定义域为时，值域为， 当时，，此时．                       当时，，此时． 当或时，不符题意． 所以的最小值为1． 一、单选题 1．（2024·山东高密冬季竞赛）设，则使的定义域为R且为奇函数的值有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】当时定义域为且为偶函数，不符合题意； 当时定义域为且为奇函数，不符合题意； 当时定义域为且为奇函数，符合题意； 当时定义域为且为非奇非偶函数，不符合题意； 当时定义域为且为奇函数，符合题意； 当时定义域为且为奇函数，符合题意； 故符合题意的有、、共个. 故选：B 2．（2026·陕西咸阳高一竞赛）若幂函数的图象经过点，则在定义域内为（   ） A．减函数 B．增函数 C．偶函数 D．奇函数 【答案】B 【分析】利用幂函数定义可求得其解析式，即可判断其单调性和奇偶性. 【详解】由题意得,得,即幂函数, 则函数在时单调递增,A错误，B正确. 因为函数的定义域为，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数,C，D错误. 故选：B 3．（2026·陕西咸阳高一竞赛）记，设，则函数的最小值是（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】分类讨论确定函数解析式，再计算最值即可. 【详解】易知当时，，令，即， 可得， 当时，，令， 即，显然恒成立， 由上可知，由二次函数与一次函数的单调性可知， 当时，取得最小值. 故选：B 4．（多选）（2024·湖南邵阳竞赛（初赛））已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图象如图所示，则下列选项正确的有（    ） A． B．当时，函数的最大值为 C．关于的不等式的解为或 D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 【答案】ACD 【详解】A选项，二次函数图象开口向上，故， 对称轴为，故， 图象与轴交点在轴正半轴，故， 所以，故，A正确； B选项，因为，故， 因为，所以， 当时，随着的增大而减小， 所以时，取得最大值，最大值为，B错误； C选项，因为，所以， ， 故不等式变形为， 因为，，解得：或，故C正确； D选项，，当时，取得最小值，最小值为， ，当时，取得最小值，最小值为， 所以，即，所以， 即，故D正确. 故选：ACD 二、填空题 5．（2024·四川宜宾高一竞赛（初赛））若区间满足： ①函数f(x)在[a，b]上有定义且单调； ②函数f(x)在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f(x)的共鸣区间． 请完成：（1）写出函数的一个共鸣区间 ； （2）若函数存在共鸣区间，则实数k的取值范围是 ． 【答案】或或（填一个即可）， 【详解】空1：设是区间上的共鸣区间，因为在上递增，且在上的值域也为， 所以，即，因为，所以或或， 函数的共鸣区间为或或. 空2：因为函数在上单调递增，若存在共鸣区间，则，即，也就是方程在上有两个不等的实根， 令，得， 所以在上有两个不等的实根， 令， 则，即，解得， 故实数k的取值范围是 6．（2026·浙江宁波强基计划）已知和为平面坐标系中的两点，若反比例函数图象与线段AB有交点，则k的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出线段的方程，再与反比例函数联立，借助二次函数求出范围. 【详解】设直线的方程为，则，解得， 直线的方程为，线段的方程为， 由，得当时，， 所以k的取值范围为. 7．（2026·江苏苏州竞赛）已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 【答案】 【详解】令，的图象如图所示， 由题知与有四个不同的交点，由图知， 所以的取值范围为. 8．（2026·全国竞赛）已知函数 若在上存在最小值，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】先按、、分类讨论. 时无最小值；时有最小值；时需满足一定的条件，再分与 讨论，综合得的取值范围. 【详解】若，则由可知无最小值； 若，则有最小值. 以下假设，此时在区间上单调递减， 于是在上有最小值当且仅当. 下面对的取值分类讨论： 当时，因为， 所以. 当时，因为， 所以，整理得 ， 该二次判别式，不等式左端恒大于0，无解，不符合要求. 综合以上讨论可知：当时的取值范围是. 综上所述，实数的取值范围是. 9．（2024·南京大学强基计划）已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题目得到，从而，故，换元后得到结合基本不等式求出最值. 【详解】恒成立， ， ，， ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 三、解答题 10．（2026·浙江宁波强基计划）已知二次函数，当时，y的最小值为0，求a的值？ 【答案】或或或 【分析】根据给定条件，按二次函数图象的对称轴与区间的关系分类求解. 【详解】二次函数图象的对称轴为， 当时，则当时，，因此，而，则； 当时，则当时，，因此，而，则； 当时，则当时，，因此，解得或， 所以a的值为或或或. 11．（2024·浙江温州摇篮杯竞赛）已知函数为幂函数，且在上单调递增. (1)求的值，并写出的详解式； (2)解关于的不等式 ，其中. 【详解】（1）因为为幂函数，且在上单调递增， 则，解得，所以； （2）不等式0，即 当，，即不等式解集为， 当，或，即不等式解集为， 当，或，即不等式解集为. 所以，当，不等式解集为， 当，不等式解集为， 当，不等式解集为. 12．（2024·湖南邵阳竞赛）已知函数，． (1)若在上的值域为，求的值； (2)若关于的不等式只有一个正整数解，求的取值范围． 【分析】（1）二次函数的对称轴，讨论， ，，分析二次函数的单调性，最值，建立方程组，求解即可； （2）将问题等价于只有一个正整数解，令，利用基本不等式求得最小值，并得出取等号的条件，由此可得答案. 【详解】（1）解：因为函数，，对称轴，且，，， 当时，函数在上单调递增，所以 ，即，此时无解； 当时，函数在上单调递减，所以 ，即，解得； 当，即时，函数在取得最小值，所以，即，方程在上无解， 综上得：； （2）解：关于的不等式只有一个正整数解，等价于只有一个正整数解， 令，则，当且仅当，即， 在上递减，在递增， 而，，，，，当不等式只有一个正整数解， 所以的取值范围为． 13．（2026·浙江宁波强基计划）已知二次函数图象经过，， (1)求二次函数解析式 (2)若二次函数的顶点为D，P为线段CD上一点，若C，D到直线AP的距离分别为，，求的最大值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，设出二次函数的两根式，再利用待定系数法求出解析式. （2）由（1）求出点的坐标，借助两点间距离公式确定形状，利用三角形面积求出最大值. 【详解】（1）由二次函数图象经过，设该二次函数解析式为， 又该函数图象过点，则，解得， 所以所求函数解析式为，即. （2）由（1）知，则点，， ，，为定值， 过分别作，垂足分别为，则， ， 因此当且仅当最小，即线段为斜边上的高时，最大， 所以. 14．（2026·上海竞赛）求函数的最小值与最大值． 【答案】最小值－3，最大值 【分析】令转化为上半单位圆约束，设借助换元把原式化为关于的二次函数，先求出在上半单位圆下的取值范围，再结合二次函数单调性代入区间端点得到函数最值. 【详解】令，则,隐含的几何约束条件为：（且）． 原函数可重写为关于和的表达式：， 令，因为， 所以有交叉项． 将目标函数完全转化为关于的一元二次函数：， 由柯西不等式，，故． 当时取等号．所以． 因为，当时，若，则，；若，则； 在一、二象限单位圆上，的投影最小值发生在最左侧端点（即），所以． 因此，． 二次函数开口向上，对称轴为． 因为定义域区间整体在对称轴－1.5的右侧，函数在此区间单调递增． 所以最小值；·最大值. 15．（2024·湖南邵阳竞赛）若二次函数满足，且. (1)求的详解式； (2)求函数在区间上的最大值； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）设二次函数详解式，根据已知，应用待定系数法求详解式即可； （2）由（1）得，结合其图象，讨论、、求对应最大值表达式； （3）讨论、、，对于、分别转化为、恒成立，求参数范围即可. 【详解】（1）设，因为，所以. 因为，所以，即. 因为，所以， 得对任意恒成立，所以. 由，得，所以. （2）由题知， 由的图象知，当时，由可得. ①当时，； ②当时，； ③当时，. 综上， （3）由题意得对任意恒成立， ①当时，成立，此时； ②当时，恒成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，即； ③当时，恒成立，， 又，当且仅当，即时等号成立， ，即. 综上，实数的取值范围为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $