专题07 指数运算（竞赛培优专项训练，11大题型+强基、竞赛真题）高一数学人教A版全国通用

**基本信息** 聚焦指数运算全维度，以“概念-运算-应用”递进逻辑构建训练体系，覆盖竞赛核心题型与真题，培养抽象能力、运算能力及推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |由根式的意义求范围|3题|范围判断、条件关系|从根式定义出发，建立概念与取值范围的关联| |根式的化简与求值|3题|化简、函数求值|强化根式运算规则，衔接代数变形| |分数指数幂与根式互化|3题|互化判断、综合运算|搭建指数幂与根式的转化桥梁，深化概念理解| |指数幂的运算|3题|运算性质应用、大小比较|巩固指数幂运算法则，提升运算准确性| |条件求值问题|3题|代数式求值、最值求解|结合已知条件，培养整体代换思想| |等式的证明|3题|恒等式证明、关系推导|发展逻辑推理能力，强化代数论证| |幂的综合应用|3题|方程求解、实际应用|整合知识解决复杂问题，体现数学应用意识|

专题07指数运算 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 由根式的意义求范围 题型05 条件求值问题 题型02 根式的化简与求值 题型06 等式的证明 题型03 分数指数幂与根式的互化 题型07 幂的综合应用问题 题型04 指数幂的运算 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题10道） 考点一 由根式的意义求范围 1.若，则等式成立的条件是 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由题意利用根式的性质得到关于x,y的不等式组，然后确定x,y的符号即可. 【详解】，，．由 ，得 . 故选C. 2.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得，则， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 3.求使等式成立的实数a的取值范围为_____． 【答案】 【分析】由成立，即可得出，解得即可. 【详解】， 要使成立， 需解得， 即实数a的取值范围是， 故答案为：. 考点二 根式的化简与求值 4.，求______． 【答案】 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 5.已知函数，则______． 【答案】/-0.5 【分析】先计算内层函数的值，再将其作为自变量代入函数计算外层函数的值. 【详解】因为，所以将代入中，可得 因为，所以将代入中，可得. 故答案为:. 6.化简：（1）；          （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由于，所以直接开方可得结果； （2）由于，所以直接开方化简即可 【详解】（1）原式 ． （2）原式=， ∵， ∴， 所以，原式＝． 考点三 分数指数幂与根式的互化 7.（多选）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指数幂的运算法则依次计算即可. 【详解】对选项A：，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误； 故选：BC 8．已知，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以．因为，则，所以，因此． 9.（Ⅰ）计算：    （Ⅱ）化简： 【答案】（Ⅰ）100；（Ⅱ） 【分析】（I）利用根式和指数运算公式化简所求表达式. （II）利用根式和指数运算公式化简所求表达式. 【详解】（Ⅰ）原式. （Ⅱ）原式. 考点四 指数幂的运算 10．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算求解. 【详解】设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 11．如果为实数，且，那么一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助指数运算法则计算可得，即得D符合；通过举反例排除A，B，C项可得结果. 【详解】由，可得， 则，即， 即，故，故D符合题意； 对于A，若取，则，故A不合题意； 对于B，若取，则，故B不合题意； 对于C，若取，则，故C不合题意. 故选：D. 12. (1)已知，，求的值； (2)已知，为正实数，求的值； (3)已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据指数幂的运算法则求解即可； （2）根据指数幂的运算法则及完全平方公式、立方差公式求解即可； （3）由题可得，利用换元法及求根公式求解即可. 【详解】（1）原式. （2）因为， ， 所以. （3）由可得， 即， 又，令，则， 解得，即. 考点五 条件求值问题 13.已知，则（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同构可得，故可得正确的选项. 【详解】由可得， 由可得，故， 设， 因为均为上的减函数，故为上的减函数， 而，故， 故即，故. 故选：B 14.（多选）已知正数a，b满足，则（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】对于A，根据条件，利用基本不等式，得到，即可求解；对于B，根据题意知，代入结合基本不等式即可判断；对于C，由代入得，再令，根据分式函数最值可得，接着即可判断；对于D，由，结合的最小值为，注意两次取等条件不一致即可判断． 【详解】对于选项A，因为，且， 所以，当且仅当时取等号， 令，得到，解得或（舍）， 所以，的最小值为9，故A错误； 对于B，由，则， ， 当且仅当，即时取等， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，，， 则， 令，则， ， ，当且仅当，即时取等， 则， ， 当且仅当时取等，故C正确； 对于D，因为，当且仅当取等号， 又，当且仅当,时取等号， 又，所以，故D错误． 故选：BC． 15.已知，且，则最小值为____． 【答案】 【详解】因为，则， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为. 考点六 等式的证明 16．已知，求证: 【答案】证明见解析 【分析】将题设中的等式化为，根据这两个等式可证． 【详解】证明：因为， 故， 所以， 所以， 故， ， 故． 17．已知，求证：3k2+2＝2m2． 【答案】证明见解析 【分析】由，化为2|m|2+3k2，两边平方整理利用完全平方公式即可得出． 【详解】证明：∵， ∴2|m|2+3k2， 两边平方可得：， 化为， ∴． 18．若a，b为不等于1的正数，并且实数x，y，z满足关系式．求证： (1)若，则； (2)若，则． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，代入，根据指数幂的运算法则计算可得； （2）依题意可得，由可得，，再代入根据指数幂的运算法则计算可得． 【详解】（1）证明：由得 将①代入②，得，∴，∴，∴，∴． （2）证明：由，得， ∵，∴，． 由，得，即， ∴．两边同乘以，得． 考点七 幂的综合应用问题 19．从解决一元二次方程到解决一元三次方程，人类历经数千年，直到公元16世纪，意大利数学家费罗（1465－1526）、塔尔塔利亚（1500－1557）等人出现，人们才彻底掌握实系数的一元三次方程的求根公式．其过程是先发现了形如的三次方程的求解方法，再将一般形式的一元三次方程转化为形如的三次方程．求解形如的三次方程的具体方法是利用恒等式，作变换：，转化为关于，的二次方程就可以得到，的值，进而求出未知数的值．利用此方法求解方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，则根据题意的，解方程得到的值，然后还原成即可. 【详解】因为， 令，则， 即 依题意 即， 所以， 整理得,即 解得或 当时，，即； 当时，，即 所以. 故选：B. 20．（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 【答案】（1）6；（2）7； 【分析】（1）直接由指数幂的运算可得；（2）先将等式完全平方求出，再平方可得，由立方差的公式可求. 【详解】（1）； . （2）因为正实数满足，所以， 所以， . 21．对于正整数和非零实数，若，，求的值． 【答案】，， 【分析】利用指数幂的运算，由已知可得，可得，结合已知可求的值. 【详解】. 同理可得， 所以， 又， 所以， 又为正整数，且 均不为1， 又因为， 所以. 一、选择题 1．（2025·安徽高二上竞赛）（多选）对任意实数，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A：利用诱导公式化简：左边 右边，不满足对任意实数成立，故A错误； 对于B：利用指数幂运算法则： ，对任意恒成立，故B正确； 对于C：作差比较： ，对任意实数平方为非负恒成立，故C正确； 对于D：作差移项整理： ， 由指数函数是增函数，若，则，，所以， 即成立， 若，则，所以，即成立， 综上，对任意实数，成立，故D正确. 二、填空题 2．（2025·河南驻马店一中竞赛），求 ． 【答案】 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 3．（2026·广东汕尾高一下竞赛）方程的实数解为__________. 【答案】 【分析】由指数的运算和指数、对数的转化即可求解. 【详解】原方程可化为， 即， 所以，即， 所以. 3、 解答题 4．（2024·山东潍坊高一上竞赛）（1）计算：. 【详解】（1） . 5．(2024·湖南邵阳竞赛)． 【详解】 . 6．（2024·安徽阜阳一中数学竞赛节选）（1）计算：； （2）解不等式： ；        【详解】（1） . （2）由可得；， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 7．（2025·广东汕头高一竞赛）已知，求的值； 【答案】 【分析】结合指数幂的运算法则，借助完全平方公式计算即可求解； 【详解】由，则，即， ，又，则，故， 故. 8．（2024·湖南邵阳竞赛）（1）计算： （2）已知，，求的值． 【详解】（1）原式 ； （2）由、， 则， 故 . 9．（2024·山东滨州高一竞赛）若，求的值. 【答案】23 【分析】平方可得，再次平方可得.然后根据立方和公式展开，代入即可得出答案. 【详解】因为， 所以，， 所以，， 所以， 所以，. 又， 所以，， 所以，. 10．（2024·第四届全国英才杯竞赛）若、都是实数，且，求的值. 【详解】因为，所以， 则， 设, 则，，， 将代入，得， 整理得，所以，代入得， 则，解得或， 当时， ， 当时， . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07指数运算 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 由根式的意义求范围 题型05 条件求值问题 题型02 根式的化简与求值 题型06 等式的证明 题型03 分数指数幂与根式的互化 题型07 幂的综合应用问题 题型04 指数幂的运算 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题10道） 考点一 由根式的意义求范围 1.若，则等式成立的条件是 A．， B．， C．， D．， 2.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.求使等式成立的实数a的取值范围为_____． 考点二 根式的化简与求值 4.，求______． 5.已知函数，则______． 6.化简：（1）；          （2）． 考点三 分数指数幂与根式的互化 7.（多选）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 8．已知，则 ． 9.（Ⅰ）计算：    （Ⅱ）化简： 考点四 指数幂的运算 10．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 11．如果为实数，且，那么一定有（    ） A． B． C． D． 12. (1)已知，，求的值； (2)已知，为正实数，求的值； (3)已知，求的值. 考点五 条件求值问题 13.已知，则（    ） A．2026 B． C． D． 14.（多选）已知正数a，b满足，则（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 15.已知，且，则最小值为____． 考点六 等式的证明 16．已知，求证: 17．已知，求证：3k2+2＝2m2． 18．若a，b为不等于1的正数，并且实数x，y，z满足关系式．求证： (1)若，则； (2)若，则． 考点七 幂的综合应用问题 19．从解决一元二次方程到解决一元三次方程，人类历经数千年，直到公元16世纪，意大利数学家费罗（1465－1526）、塔尔塔利亚（1500－1557）等人出现，人们才彻底掌握实系数的一元三次方程的求根公式．其过程是先发现了形如的三次方程的求解方法，再将一般形式的一元三次方程转化为形如的三次方程．求解形如的三次方程的具体方法是利用恒等式，作变换：，转化为关于，的二次方程就可以得到，的值，进而求出未知数的值．利用此方法求解方程的解为（    ） A． B． C． D． 20．（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 21．对于正整数和非零实数，若，，求的值． 一、选择题 1．（2025·安徽高二上竞赛）（多选）对任意实数，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2025·河南驻马店一中竞赛），求 ． 3．（2026·广东汕尾高一下竞赛）方程的实数解为__________. 3、 解答题 4．（2024·山东潍坊高一上竞赛）计算：. 5．(2024·湖南邵阳竞赛)． 6．（2024·安徽阜阳一中数学竞赛节选）（1）计算：； （2）解不等式： ；        7．（2025·广东汕头高一竞赛）已知，求的值； 8．（2024·湖南邵阳竞赛）（1）计算： （2）已知，，求的值． 9．（2024·山东滨州高一竞赛）若，求的值. 10．（2024·第四届全国英才杯竞赛）若、都是实数，且，求的值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $