第17讲 函数的基本性质（3）（函数的最值）-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（沪教版2020必修第一册）

第17讲 函数的基本性质（3）（函数的最值） 【基础知识】 一、函数的最值 2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题； 3、闭区间的连续函数必有最值。 二、函数的值域的求法 1．直接观察 2．配方 3．基本不等式/耐克函数 4．判别式法 5．分离常数法/部分分式法 6．换元 7．数形结合 8．单调性 9．奇偶性(*) 【考点剖析】 一、特殊方法 考点一：．直接观察 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1．求函数 的值域； 【难度】★【答案】∵故函数的值域是： 例2．求函数 的值域 【难度】★★【答案】 考点二：配方法 主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． 对于求二次函数 或可转化为形如 的函数的值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解； 例3.求函数 的值域； 【难度】★ 【答案】将函数配方得：∵ 由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时， 故函数的值域是：[4，8] 例4．求二次函数 的值域； 【难度】★ 【答案】函数的定义域为 ， ，从而函数为对称轴为 的开口向下的二次函数， ， .即函数的值域为 . 注：学过指数函数和对数函数后应用的更为广泛一些。主要就是和二次函数有关的求值域问题用此方法。 例5．求 的最大值 【难度】★★【答案】35 例6．设 ，求 的最值 【难度】★★【答案】 例7．求函数 的值域 【难度】★★【答案】 考点三：．基本不等式 对形如（或可转化为） ，可利用 求得最值。注意“一正、二定、三相等”； 例1．求函数 的值域； 【难度】★【答案】 例2．求函数 的值域。 【难度】★【答案】定义域 ， ，满足取等号的条件。 例3．求函数 的值域； 【难度】★★【答案】 例4．求 的值域； 【难度】★★【答案】 例5．求 的值域； 【难度】★★【答案】 时， ； 时， 考点四：判别式法 一般地，形如 的函数，我们可以将其转化为 的形式，再通过 求得 的范围；但当函数为指定区间上的函数时，用判别式法求出 的范围后，应将端点值代回到原函数进行检验，避免发生错误； 例1．求函数 的值域； 【难度】★★ 【答案】 可化为 当 即 时，方程在实数范围内有唯一解 ； 当 即 时， ， ，即 解得 ， 函数的值域为 例2．设函数 的值域为 ，求 ； 【难度】★★ 【答案】化归二次方程有实数解，利用判别式构造值域的不等式，借助根与系数的关系布列方程组求解. 解集为 ，解得 考点五：分离常数法/部分分式法 对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域． 例1．求函数 的值域； 【难度】★★ 【答案】 ，因为 ，则 ， 故函数 的值域为 。 例2．（1） ；（2） ； 【难度】★★ 【分析】对于分式函数一般采用分离常数的方法，先将分式函数变为基本函数，再通过基本函数的图像和性质求值域。分式函数分离之后可能变为：反比例型 函数；耐克函数 ；二次型函数 等。 【解答】（1） 所以原函数的值域是 （2）因为 当 时， ，所以 当且仅当 时等号成立； 当 时， ，所以 当且仅当 时等号成立； 所以函数的值域为 。 二、通用方法 考点六：换元法 有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域． 例1．求 的值域； 【难度】★ 【答案】令 ，则 ， ， 所以函数值域为 ． 例2．求函数 的值域； 【难度】★ 【答案】设 则t≥0 ∴x=1(t2代入得y=f (t )=2×(1(t2)+4t=(2t2+4t+2=(2(t(1)2+4 ∵t≥0∴y≤4∴所求值域为 考点七：数形结合 对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图像来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化； 例1．求函数 的值域． 【难度】★ 【答案】求分段函数的值域可作出它的图像，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域． 解：作图像如图所示． ， ， ， ， 函数的最大值、最小值分别为 和 ，即函数的值域为 ． 例2．求函数 的值域； 【难度】★★ 【答案】原函数变形为 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=