第03讲 集合的运算（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（沪教版必修第一册）

第03讲 集合的运算（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：交集及其性质 知识点02：并集及其性质 知识点03：全集、补集及其性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：交集运算 题型02：并集运算 题型03：补集运算 题型04：集合混合运算 题型05：含参数集合运算 题型06：根据交集、并集求元素与集合个数 题型07：利用Venn图求集合 题型08：容斥定理的应用 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】交集及其性质 1.交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； 2.文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （1） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （2）表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （3） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 【例1】已知，，求。 【知识点02】并集及其性质 1.并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 4 ；②，；③； ④；⑤若，则； 2.文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 （1） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （2） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B （3） 表示集合A与B没有公共元素的情况 【例2】已知，，求。 【知识点03】全集、补集及其性质 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U A 【例3】已知全集，，，那么_______． 【题型01】交集运算 【典例1-1】（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）设集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 【变式1-2】（25-26高一上·上海·期末）若集合，集合，则________． 【变式1-3】（25-26高一上·上海黄浦·阶段检测）已知集合．求． 【题型02】并集运算 【典例2-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，则_____. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，则______． 【变式2-3】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【题型03】补集运算 【典例3-1】（25-26高一下·上海嘉定·阶段检测）已知全集，集合，则______． 【变式3-1】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知全集，设集合，则________． 【变式3-2】已知全集为，集合．求． 【变式3-3】已知全集，集合.求. 【题型04】集合混合运算 【典例4-1】（25-26高一上·上海·期末）设全集，集合，集合，则______. 【变式4-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知全集，集合是子集，满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）全集为，，，则________． 【变式4-3】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知全集，方程的解集是，集合，.求，，. 【题型05】含参数集合运算 【典例5-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，且，则（   ）． A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期末）已知集合，．若，则______． 【变式5-2】（25-26高一上·上海·期中）已知全集，，，或，且，求实数的取值范围． 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期中）设全集为，，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【题型06】根据交集、并集求元素与集合个数 【典例6-1】已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】已知集合，则中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-2】已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-3】（24-25高一上·上海·阶段检测）设集合，，集合M满足，则这样的集合M共有______个 【题型07】利用Venn图求集合 【典例7-1】（25-26高一上·上海松江·期中）设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（   ）    A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·上海·期中）若全集，集合，或，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C．或 D． 【变式7-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）如图，为全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是__________．    【变式7-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是______________．    【题型08】容斥原理的应用 【典例8-1】（24-25高一·上海·暑假作业）学校举办秋季趣味运动会，高一（6）班共42名学生报名参加，已知报名参加跑步的有16人，参加跳绳的有24人，参加踢毽子的有12人，其中有8人兼报了两个项目，则兼报三个项目的共 人． 【变式8-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）某校高中一年级学生中，参加数学兴趣小组的有85人，参加物理小组的有80人.其中既参加数学小组又参加物理小组的有35人，两个小组都不参加的有入160，则该校一年级共有_________名学生. 【变式8-2】行知中学高一某班学生参加物理和数学竞赛辅导班的选拔，已知该班学生参加物理竞赛辅导选拔的人数是该班全体人数的八分之三；参加数学竞赛辅导选拔的人数比参加物理竞赛辅导选拔的人数多3人；两个科目都参加选拔的人数比两个科目都不参加的学生人数少7人；则该班参加数学竞赛辅导选拔的人数是__________. 【变式8-3】求，，，，中既不能被整除，又不能被整除，也不能被整除的数的个数． 知识点01交集（核心梳理） 1. 定义与公式 由同时属于集合、的所有公共元素构成的集合，叫做与的交集。 口诀：取公共、找重叠 2. 核心性质 1. 交换律： 2. 幂等律： 3. 空集性质： 4. 包含关系： 知识点02并集（核心梳理） 1. 定义与公式 由属于集合或属于集合的所有元素构成的集合，叫做与的并集。 口诀：全合并、去重复 2. 核心性质 1. 交换律： 2. 幂等律： 3. 空集性质： 4. 包含关系： 知识点03全集与补集（核心梳理） 1. 定义与公式 全集：研究范围内包含所有元素的集合，记作。 补集：全集中剔除集合剩余的元素组成的集合。 口诀：全集去剩余 2. 核心性质 互补律：A∩=，A∪=U，； 德摩根律（难点必考）：=，= 知识点04集合混合运算优先级（必考） 运算顺序：先算括号 → 再算补集 → 最后算交、并 优先级：括号 > 补集 > 交集、并集 知识点05高频易错点总结 1. 交集为空：两个集合无公共元素时，结果为，不可写空集合。 2. 并集去重：合并元素必须剔除重复元素，集合元素具有唯一性。 3. 补集看全集：补集运算必须先确定全集，全集不同，补集结果不同。 4. 空集区分：，，不可混淆 一、填空题 1．（25-26高一上·上海·期中）已知全集，集合，则______. 2．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，则_________． 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知全集为，若，则______. 4．（25-26高一上·上海松江·期中）已知集合，和集合，则__________. 5．（25-26高一上·上海·期中）集合，，且，则实数的取值范围____. 6．（25-26高一上·上海·期末）已知集合．若，则实数________． 7．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，则______. 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）设全集，集合，集合，则如图阴影部分表示的集合为__________.    9．设为常数，集合，集合，则的元素个数为__________． 10．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，若，，，则集合______. 11．（24-25高一上·上海·期中）学校举办秋季趣味运动会，高一（6）班共42名学生报名参加，已知报名参加跑步的有16人，参加跳绳的有24人，参加踢毽子的有12人，其中有8人有且仅报了两个项目，则有且仅报了三个项目的共__________人. 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）某中学高一（1）班共50名学生，在一次数学和语文的学科兴趣调查中，喜欢数学的学生人数占全班总人数的，喜欢语文的学生人数比数学的多5人，另外，两门学科都不喜欢的人数比都既喜欢数学又喜欢语文的学生数的多5人，问两门学科都喜欢的学生有___________人. 二、单选题 13．（24-25高一上·上海·阶段检测）集合（    ） A． B． C． D． 14．设全集则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）设全集为，集合A、B满足，，则（   ）． A． B． C． D． 16．（25-26高一上·上海·期中）维恩（Venn）图是辅助研究复杂集合关系的重要工具．已知全集，集合、为的子集，满足，，，则下列判断正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 三、解答题 17．（25-26高一上·上海·期中）已知，，若，求实数的值. 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知全集，，，，求集合． 19．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，，且，，求的值． 20．（25-26高一上·上海·期末）设全集，已知集合，. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 21. （25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 集合的运算（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：交集及其性质 知识点02：并集及其性质 知识点03：全集、补集及其性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：交集运算 题型02：并集运算 题型03：补集运算 题型04：集合混合运算 题型05：含参数集合运算 题型06：根据交集、并集求元素与集合个数 题型07：利用Venn图求集合 题型08：容斥定理的应用 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】交集及其性质 1.交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； 2.文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （1） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （2）表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （3） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 【例1】已知，，求。 解：第一步：根据交集定义，寻找两个集合的公共元素。 集合元素： 集合元素： 公共元素为： 第二步：写出交集结果 答案： 【知识点02】并集及其性质 1.并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 4 ；②，；③； ④；⑤若，则； 2.文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 （1） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （2） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B （3） 表示集合A与B没有公共元素的情况 【例2】已知，，求。 解：第一步：合并两个集合所有元素，重复元素只保留一个。 集合元素： 集合元素： 合并去重后元素： 第二步：写出并集结果 答案： 【知识点03】全集、补集及其性质 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U A 【例3】已知全集，，，那么_______． 【答案】 【分析】利用集合的交集与补集运算即可解出答案. 【详解】因为，，所以， 又，所以. 故答案为：. 【题型01】交集运算 【典例1-1】（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集定义计算即可. 【详解】由已知可得， 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）设集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意，，解得或， 所以. 故选：B 【变式1-2】（25-26高一上·上海·期末）若集合，集合，则________． 【答案】 【分析】利用集合的交集运算进行求解. 【详解】因为集合，集合，所以. 故答案为：. 【变式1-3】（25-26高一上·上海黄浦·阶段检测）已知集合．求． 【答案】 【分析】联立即可求解. 【详解】根据题意，联立方程，解得， . 【题型02】并集运算 【典例2-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题中条件，根据并集的概念，可直接得出结果. 【详解】因为集合，，则. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，则_____. 【答案】 【分析】根据题意，结合集合并集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合，，根据集合并集的概念与运算，可得. 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，则______． 【答案】 【分析】先求得集合B，根据并集运算的概念，即可得答案. 【详解】由题意，所以 . 故答案为： 【变式2-3】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，先求出集合，再根据并集的定义求解即可；（2）先求出集合，根据，在数轴上表示出集合，根据图可列不等式组求解即可. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）因为，所以. 又，在数轴上表示出集合，如图： 由图知，解得，即实数的取值范围是. 【题型03】补集运算 【典例3-1】（25-26高一下·上海嘉定·阶段检测）已知全集，集合，则______． 【答案】（或） 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】因为全集，集合， 所以集合在全集中的补集为且. 【变式3-1】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知全集，设集合，则________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用补集的定义直接求解. 【详解】全集，则集合， 所以. 故答案为： 【变式3-2】已知全集为，集合．求． 【答案】或 【分析】根据补集运算求解即可. 【详解】因为全集为，集合， 所以或. 【变式3-3】已知全集，集合.求. 【答案】 【分析】利用集合的补集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 【题型04】集合混合运算 【典例4-1】（25-26高一上·上海·期末）设全集，集合，集合，则______. 【答案】 【分析】先求出，再求出其补集即可. 【详解】由集合，集合可得， 又全集，因此. 故答案为： 【变式4-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知全集，集合是子集，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的运算求解. 【详解】已知全集，且，所以. 因为，且，所以集合必须包含元素（否则不能包含）， 同时中的元素只能来自（因为）， ， 由于的元素只能是中的元素，所以. 故选：A 【变式4-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）全集为，，，则________． 【答案】 【分析】写出集合，再由集合间的运算进行求解． 【详解】， ， 而， 则或， 故答案为： 【变式4-3】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知全集，方程的解集是，集合，.求，，. 【答案】； 【分析】由方程的根求出得出集合，再由集合的交并补运算求解即可. 【详解】因为方程的解集是， 所以由根与系数的关系可得， 故，， 所以，， 又， 所以. 【题型05】含参数集合运算 【典例5-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，且，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意并利用集合的包含关系求解参数即可. 【详解】因为，所以，则，故C正确. 故选：C 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期末）已知集合，．若，则______． 【答案】 【详解】因为集合，，且， 所以，所以. 【变式5-2】（25-26高一上·上海·期中）已知全集，，，或，且，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先求得或，得到，再根据，由或求解. 【详解】由全集，，， 当，即时，，， 又因为 或，且，成立； 所以； 当，即时，或， 则， 又因为 或，且， 所以或，解得或， 此时或， 综上：实数的取值范围是. 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期中）设全集为，，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助补集与并集定义计算即可得； （2）由题意可得，再分与讨论即可得. 【详解】（1）根据题意可得：，则 （2） 若，有，解得； 若，，解得 综上所述：的取值范围为 【题型06】根据交集、并集求元素与集合个数 【典例6-1】已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意求，即可得元素的个数. 【详解】因为集合， 则，共3个元素. 故选：C. 【变式6-1】已知集合，则中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】求出集合A、B即可由交集定义得解. 【详解】由题可得集合， ， 所以， 所以中的元素个数为4. 故选：C 【变式6-2】已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据集合元素的特点，用列举法写出满足条件的元素即可. 【详解】中的元素需要同时满足：是正整数、、. 由得，代入得：. 因为是正整数，所以的取值为， 对应得到满足条件的有序数对为：，共个元素， 所以中元素的个数为. 【变式6-3】（24-25高一上·上海·阶段检测）设集合，，集合M满足，则这样的集合M共有______个 【答案】32 【分析】根据集合的交、并运算得出，再由子集个数计算公式得解. 【详解】因为，，集合M满足 所以，则这样的集合M共有个. 故答案为： 【题型07】利用Venn图求集合 【典例7-1】（25-26高一上·上海松江·期中）设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据韦恩图得出集合间关系判定选项. 【详解】图中阴影部分的集合是. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·上海·期中）若全集，集合，或，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据给定的韦恩图，利用并集、补集的定义求解. 【详解】由集合，或，得或， 由韦恩图得图中阴影部分所表示的集合为. 故选：B 【变式7-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）如图，为全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是__________．    【答案】 【分析】根据集合的交集和补集的定义即可求解. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合是， 故答案为： 【变式7-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是______________．    【答案】 【分析】先分析出图中的阴影部分表示的集合，再求出集合，从而求出图中阴影部分的集合． 【详解】图中的阴影部分表示的集合为且， 又，， 图中的阴影部分表示的集合且． 故答案为：． 【题型08】容斥原理的应用 【典例8-1】（24-25高一·上海·暑假作业）学校举办秋季趣味运动会，高一（6）班共42名学生报名参加，已知报名参加跑步的有16人，参加跳绳的有24人，参加踢毽子的有12人，其中有8人兼报了两个项目，则兼报三个项目的共 人． 【答案】1． 【分析】利用容斥原理，结合总人数和恰好参加两个项目的人数，求解兼报三个项目的人数． 【详解】解：由题意可知，兼报三个项目的人数为人． 故答案为：1． 【变式8-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）某校高中一年级学生中，参加数学兴趣小组的有85人，参加物理小组的有80人.其中既参加数学小组又参加物理小组的有35人，两个小组都不参加的有入160，则该校一年级共有_________名学生. 【答案】290 【分析】根据给定条件，利用集合的容斥原理，列式计算得答案. 【详解】依题意，至少参加一个兴趣小组的人数为， 而两个小组都不参加的有入160，所以该校一年级共有（名）. 故答案为：290 【变式8-2】行知中学高一某班学生参加物理和数学竞赛辅导班的选拔，已知该班学生参加物理竞赛辅导选拔的人数是该班全体人数的八分之三；参加数学竞赛辅导选拔的人数比参加物理竞赛辅导选拔的人数多3人；两个科目都参加选拔的人数比两个科目都不参加的学生人数少7人；则该班参加数学竞赛辅导选拔的人数是__________. 【答案】18 【分析】根据给定条件，利用集合思想结合容斥原理列式计算作答. 【详解】记该班全体学生形成集合U，该班学生人数为n，参加物理竞赛辅导选拔的人形成集合A，则， 参加数学竞赛辅导选拔的人形成集合B，则，两个科目都参加选拔的人数为， 于是得， 两个科目都不参加的学生人数为，依题意，， 即有，解得，则， 所以该班参加数学竞赛辅导选拔的人数是18. 故答案为：18 【变式8-3】求，，，，中既不能被整除，又不能被整除，也不能被整除的数的个数． 【答案】540 【分析】分别表示被整除，被整除，被整除的数的集合，再由容斥原理计算可得. 【详解】记集合，， ，， 所以根据容斥原理得: ，其中“”表示向下取整， 所以，，，，中既不能被整除，又不能被整除， 也不能被整除的数的个数为． 知识点01交集（核心梳理） 1. 定义与公式 由同时属于集合、的所有公共元素构成的集合，叫做与的交集。 口诀：取公共、找重叠 2. 核心性质 1. 交换律： 2. 幂等律： 3. 空集性质： 4. 包含关系： 知识点02并集（核心梳理） 1. 定义与公式 由属于集合或属于集合的所有元素构成的集合，叫做与的并集。 口诀：全合并、去重复 2. 核心性质 1. 交换律： 2. 幂等律： 3. 空集性质： 4. 包含关系： 知识点03全集与补集（核心梳理） 1. 定义与公式 全集：研究范围内包含所有元素的集合，记作。 补集：全集中剔除集合剩余的元素组成的集合。 口诀：全集去剩余 2. 核心性质 互补律：A∩=，A∪=U，； 德摩根律（难点必考）：=，= 知识点04集合混合运算优先级（必考） 运算顺序：先算括号 → 再算补集 → 最后算交、并 优先级：括号 > 补集 > 交集、并集 知识点05高频易错点总结 1. 交集为空：两个集合无公共元素时，结果为，不可写空集合。 2. 并集去重：合并元素必须剔除重复元素，集合元素具有唯一性。 3. 补集看全集：补集运算必须先确定全集，全集不同，补集结果不同。 4. 空集区分：，，不可混淆 一、填空题 1．（25-26高一上·上海·期中）已知全集，集合，则______. 【答案】 【分析】利用补集的定义直接求解即可. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，则_________． 【答案】 【分析】根据并集、补集运算求解即可. 【详解】因为， 所以，， 故答案为： 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知全集为，若，则______. 【答案】 【分析】由集合和，求出全集，再由集合求出集合. 【详解】由，则全集， 又，所以. 故答案为： 4．（25-26高一上·上海松江·期中）已知集合，和集合，则__________. 【答案】/ 【分析】根据并集的定义求解. 【详解】因，， 则. 故答案为： 5．（25-26高一上·上海·期中）集合，，且，则实数的取值范围____. 【答案】 【分析】由并集的结果直接得到的范围. 【详解】因为，，且， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 6．（25-26高一上·上海·期末）已知集合．若，则实数________． 【答案】 【详解】因为，所以，因为且，集合中元素具有互异性， 所以或， 解得，此时，符合题意，故 7．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，则______. 【答案】 【分析】先计算集合，结合交集的定义得到结果； 【详解】因为，， 则， 故答案为：. 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）设全集，集合，集合，则如图阴影部分表示的集合为__________.    【答案】 【分析】根据交集和补集的概念求出即可. 【详解】因，，则， 又，则， 故如图阴影部分表示的集合为. 故答案为： 9．设为常数，集合，集合，则的元素个数为__________． 【答案】 【分析】由交集定义可确定，由此可得元素个数. 【详解】，的元素个数为. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，若，，，则集合______. 【答案】 【分析】先求出，再求出，从而可求. 【详解】因为，故， 而且两两相交为空集， 故，故， 故答案为： 11．（24-25高一上·上海·期中）学校举办秋季趣味运动会，高一（6）班共42名学生报名参加，已知报名参加跑步的有16人，参加跳绳的有24人，参加踢毽子的有12人，其中有8人有且仅报了两个项目，则有且仅报了三个项目的共__________人. 【答案】 【分析】根据重复计算的数量来计算出正确答案. 【详解】依题意可知，有且仅报了三个项目的有人. 故答案为： 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）某中学高一（1）班共50名学生，在一次数学和语文的学科兴趣调查中，喜欢数学的学生人数占全班总人数的，喜欢语文的学生人数比数学的多5人，另外，两门学科都不喜欢的人数比都既喜欢数学又喜欢语文的学生数的多5人，问两门学科都喜欢的学生有___________人. 【答案】 【分析】根据容斥原理列式计算即可. 【详解】由题意可知，喜欢数学的学生为人，喜欢语文的学生为人， 设两门学科都喜欢的人数为，则两门都不喜欢的人数为， 故有， 解得. 故答案为：. 二、单选题 13．（24-25高一上·上海·阶段检测）集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对集合进行化简，然后再求交集即可. 【详解】由题，， 则. 故选：C. 14．设全集则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件分析可得，从而可得结论 【详解】因为，所以，3不可能同时在两集合中， 因为，所以， 因为，所以，， 若，则，不合题意， 所以，则， 故选：B 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）设全集为，集合A、B满足，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用德摩根定律结合补集的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 则，故C正确. 故选：C 16．（25-26高一上·上海·期中）维恩（Venn）图是辅助研究复杂集合关系的重要工具．已知全集，集合、为的子集，满足，，，则下列判断正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】结合Venn图，逐项判断即可. 【详解】由题意画出Venn图，如下：    对于A：若，，则不符合题意； 对于C：若，，则，不符合题意； 对于D：若，，则，不符合题意； 对于B：经验证符合题意， 故选：B 三、解答题 17．（25-26高一上·上海·期中）已知，，若，求实数的值. 【答案】或 【分析】由可得，分别计算和，结合集合的互异性可得的值. 【详解】∵， 由集合元素互异性，可知. 由. ①或， 当时，集合不满足互异性，故舍去， 当时，集合符合条件； ② 当时，集合符合条件. 综上，实数的值为1或. 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知全集，，，，求集合． 【答案】， 【分析】根据集合运算的结果画出图，根据图可确定结果.或利用集合运算的定义法解出答案； 【详解】方法1（图法）：根据题意作出图如图所示 由图可知，． 方法2（定义法）：，，∴． 又，∴． ∵，，∴． 19．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，，且，，求的值． 【答案】 【分析】根据，推出，，，再根据算出a的值，最后对算出的值进行验证即可． 【详解】，因式分解得，故， ，因式分解得，故， 因为，所以，又因为， 所以可知，，， 将代入，得，解得或， 当时，A对应的方程为，与B对应方程相同，此时，不满足，舍； 当时，A对应的方程为，解得，符合条件； 综上，a的值为． 20．（25-26高一上·上海·期末）设全集，已知集合，. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由交集与并集的定义即可得解； （2）先计算出集合的补集，再由集合的包含关系得到不等式，求出答案. 【详解】（1）若，则，又因为， 故，. （2）因为，故或. 因为恒成立，故. 因此，若，则有或， 解得或， 即的取值范围为. 21. （25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况讨论得到的取值范围； （2）分和解方程得到集合，再分和两种情况讨论方程两根与和的大小关系，解出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以 ， 当时，由，得，符合， 当时，由得，解得，即， 综上，的取值范围为； （2）当时，，此时，不符合题意； 当时，由得或，所以， 当时，，要使得，则，解得， 当时，，要使得，则，解得， 综上，的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $