精品解析：2022年湖南省长沙市天心区长沙市雅礼外国语学校七年级数学竞赛班专题第一讲：实数的概念与性质综合运用

第一讲：实数的概念与性质综合运用 1. 判断下列说法是否正确？ ①带根号的数是无理数；（ ） ②两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数；（ ） ③一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数；（ ） ④一个无理数的平方一定是有理数．（ ） （江苏省竞赛试题） 2. 下面有3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．其中，正确的结论有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知是的立方根，而是的相反数，且，求与的平方和的立方根． 4. 已知实数满足，求的值． （“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题） 5. 已知非零实数，满足，则等于（　　）． A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 （全国初中数学联赛试题） 6. 若，满足，求的取值范围． （北京竞赛试题） 7. 已知实数a、b、x、y满足，，求的值． （北京市竞赛试题） 8. 已知实数，，满足，求的值． 9. 已知、是有理数，且，求、的值． 10. 怎样证明是无理数？ 11. 设，，，，都是有理数，是无理数． 求证： （1）当时，是有理数； （2）当时，是无理数． 12. 已知是整数，求所有满足条件的正整数的和． 课后练习： 13. 一个正数x的两个平方根分别是与，则a值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 （黄冈竞赛） 14. 代数式＋＋的最小值是（ ） A. 0 B. 1＋ C. 1 D. 2 15. 代数式的最小值为____． 16. 设a，b是有理数，且满足等式，则__________． 17. 若，且，则在数轴上表示，两数的对应点的距离为____． 18. 已知，则_________． 19. 若m满足关系式，试确定m的值． （全国联赛） 20. 若，满足，求的取值范围． （北京市初二年级竞赛试题） 21. 已知，且满足，求的值．（其中表示不超过的最大整数）． （北京竞赛试题） 22. 已知实数a、b、x、y满足，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲：实数的概念与性质综合运用 1. 判断下列说法是否正确？ ①带根号的数是无理数；（ ） ②两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数；（ ） ③一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数；（ ） ④一个无理数的平方一定是有理数．（ ） 【答案】 ①. × ②. × ③. × ④. × 【解析】 【分析】逐个验证关于无理数的说法，通过举反例即可判断正误． 【详解】解：①带根号的数不一定是无理数，例如，是有理数，因此①错误； ②两个无理数运算结果不一定是无理数，例如，是有理数，因此②错误； ③无理数乘有理数结果不一定是无理数，例如，是有理数，因此③错误； ④无理数的平方不一定是有理数，例如是无理数，仍是无理数，因此④错误． （江苏省竞赛试题） 2. 下面有3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．其中，正确的结论有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】通过举例验证是否成立即可． 【详解】解：①取两个不同无理数和，，差为整数，故①正确； ②取两个不同无理数和，，积为整数，故②正确； ③取两个不同非整数有理数和，，，和与商均为整数，故③正确；综上，正确的结论有3个． 3. 已知是的立方根，而是的相反数，且，求与的平方和的立方根． 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根定义和相反数性质列方程组，求解得到，，再计算的立方根即可． 【详解】解：∵是的立方根， ∴，， ∵是的相反数， ∴， ∴，两边同时立方可得：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∴，， ∴． 4. 已知实数满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再判断的正负情况从而去绝对值，整理整式后即可求出结果． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得，得， ∴， ∴， ∴． ∴代入原式得，， 移项，得， ∴两边同时平方，得． ∴． 【点睛】二次根式具有双重非负性，绝对值具有非负性，利用非负性判断的取值范围，从而化简整理代入求解． （“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题） 5. 已知非零实数，满足，则等于（　　）． A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵（a-3）b2≥0， ∴a-3≥0， ∴a≥3， ∴2a-4＞0， ∴原式变形为， ∴b+2=0，（a-3）b2=0， ∴b=-2，a=3， ∴a+b=3+（-2）=1． 故选C． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． （全国初中数学联赛试题） 6. 若，满足，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】令​，，根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性可得，，将已知条件转化为方程组，分别用含的式子表示，再利用的范围列关于的不等式组即可． 【详解】令​，，则必然有，， ∴根据题意可得 ，​ 将①得： 将②得：，  两式相减消去得，即； 同理消去得，即，  ∵，， ∴ 解得：  ∴的取值范围是． （北京竞赛试题） 7. 已知实数a、b、x、y满足，，求的值． 【答案】17 【解析】 【分析】利用非负数的性质求出 a 与 b 的值，进而求出 x 与 y 的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ． 【点睛】此题考查了实数的运算，解题的关键是注意非负性质的应用． （北京市竞赛试题） 8. 已知实数，，满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式被开方数非负求出，得到等式左边为0，再利用算术平方根的非负性列出方程组，将代入方程组消元，进而求出的值． 【详解】解：∵二次根式与有意义， ∴ ∴． ∴． ∴， ∴ ∵，即，代入方程组： 化简： 解得：． 9. 已知、是有理数，且，求、的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据、是有理数得出，解方程组即可得出答案． 【详解】解：∵、是有理数， ∴， 解得：． 10. 怎样证明是无理数？ 【答案】证明：用反证法 假设是有理数． 则存在互质的正整数,,使得． 两边平方得，即． 是偶数， 是偶数． 是偶数． 设(为正整数)，代入得： ，即，化简得． 是偶数， 是偶数． 是偶数． ，均为偶数，与,互质矛盾． 假设不成立，即是无理数． 【解析】 【分析】本题通过反证法完成证明，由于直接验证一个数是无限不循环小数难度极大，可以利用有理数与无理数的对立互斥关系，通过推翻反设得到最终结论． 【详解】略 11. 设，，，，都是有理数，是无理数． 求证： （1）当时，是有理数； （2）当时，是无理数． 【答案】（1）解：有意义， ． 已知，分两种情况讨论： ① 当时， ． ， 分子， ， 为有理数，， 是有理数，即是有理数． ② 当时， ， ， ， ， ， 为有理数，， 是有理数，即是有理数． 综上所述，当时，是有理数． （2）解：假设是有理数， ，， ， 整理得， 均为有理数， 和都是有理数， 若， 则是有理数，与是无理数矛盾， ， ，即， ， ， ，与已知矛盾， 假设不成立，即当时，是无理数． 【解析】 【分析】（1）把变形，再由，根据分式有意义的条件，分和两种情况进行讨论，从而得出y是有理数； （2）假设是有理数，把变形，再由，以及，，，都是有理数，推出x是有理数，与已知矛盾，进而得出y为无理数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 12. 已知是整数，求所有满足条件的正整数的和． 【答案】 【解析】 【分析】设，为正整数，是奇数，则，分两种情况：①当时，②当时，进行求解即可． 【详解】解：设，为正整数， ∴， 即， ∴ ∵均为正整数，且， ∴均为正整数，且， ∵，为偶数， ∴同奇或同偶， 是奇数，， 分两种情况：①当时， 解得， ②当时， 解得， 综上可知，所有满足条件的正整数为和， 则所有满足条件的正整数的和为． 课后练习： 13. 一个正数x的两个平方根分别是与，则a值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键．根据正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数求解即可． 【详解】∵一个正数x的两个平方根分别是与， ∴， 解得． 故选C． （黄冈竞赛） 14. 代数式＋＋的最小值是（ ） A. 0 B. 1＋ C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再结合算术平方根的性质求代数式的最小值． 【详解】解：要使代数式有意义，需满足，，．解得． ∵ 被开方数越大，算术平方根越大， ∴ 当时，，，的值均随的增大而增大． ∴ 代数式的值随的增大而增大． ∴ 当时，代数式取得最小值．代入得最小值为． 15. 代数式的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的非负性，得到的最小值为，即可求出原代数式的最小值． 【详解】解：∵， ∴的最小值是， 当时，， ∴代数式的最小值为． 16. 设a，b是有理数，且满足等式，则__________． 【答案】1或 【解析】 【详解】b=-5,, a=, 或者-11. 17. 若，且，则在数轴上表示，两数的对应点的距离为____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，得到方程组，解得，从而得到，的值，即可求解． 【详解】解：由题意得，解得， ∴，， ∴当，或，时，； 当，或，时，， 综上可知，，两数对应点的距离为或． 18. 已知，则_________． 【答案】2010 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握相关的性质， 根据二次根式有意义的条件可知，再去绝对值，化简后可得，即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得 ， 则． 又， ， ， ， ． 故答案为：2010． 19. 若m满足关系式，试确定m的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据被开方数非负求出的值，再根据非负数和为零的性质列方程组求解． 【详解】解：根据题意得 整理得 因此 将代入原等式右边，得 原等式化为 ∴ 解得： 又 ∴ 解得． （全国联赛） 20. 若，满足，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】令​，，根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性可得，，将已知条件转化为方程组，分别用含的式子表示，再利用的范围列关于的不等式组即可． 【详解】令​，，则必然有，， ∴根据题意可得 ，​ 将①得： 将②得：，  两式相减消去得，即； 同理消去得，即，  ∵，， ∴ 解得：  ∴的取值范围是． （北京市初二年级竞赛试题） 21. 已知，且满足，求的值．（其中表示不超过的最大整数）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式，新定义，解答本题的关键之处是求出，，…，这个数中有多少个为，有多少个为． 首先理解表示的含义，再结合，求出，，…，这个数中有多少个为，有多少个为，然后求出的取值范围，最后再根据的含义求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，…，等于或， 由题设知，其中有个等于， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （北京竞赛试题） 22. 已知实数a、b、x、y满足，，求的值． 【答案】17 【解析】 【分析】利用非负数的性质求出 a 与 b 的值，进而求出 x 与 y 的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ． 【点睛】此题考查了实数的运算，解题的关键是注意非负性质的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $