第十四章 全等三角形（单元分层自测·冲刺卷）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上册全等三角形单元冲刺卷，以现实情境为载体，覆盖全等判定、性质及应用，梯度设计适配单元复习，提升数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|全等图形识别、判定依据（如打碎模具用ASA）|结合生活场景（古城绿地建亭子），考查几何直观| |填空题|6/18|全等性质、角平分线性质（如角平分线到两边距离）|辨析概念（面积与全等关系），强化空间观念| |解答题|9/72|实际测量（斜坡高度）、模型探究（倍长中线）、动态几何（点运动全等）|突出推理能力，如荡秋千问题证全等，体现应用意识与创新思维|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十四章 全等三角形·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫全等图形，它们的形状、大小完全相同，逐一分析各选项即可． 【详解】选项：两个图形形状相同，但大小不同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都完全相同，所以它们是全等图形． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角形的判定依据是． 3．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图，揭阳古城里有一块由三条路围成的三角形绿地，规划在绿地里面修建一个亭子，使亭子中心到三条路的距离相等，则亭子应该建在（    ） A．在边两条高的交点处 B．在边两条中线的交点处 C．在边两条垂直平分线的交点处 D．在和两条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】根据三角形中到三边的距离相等的点是三条内角平分线的交点，由此可得答案． 【详解】解：由三角形的内角平分线的性质，这个亭子应修建在三条角平分线的交点处，即在和两条角平分线的交点处． 4．（2026·山西运城·三模）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵角尺两边相同的刻度分别与点重合， ∴， ∵，， ∴． 5．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，且，，则的长为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【详解】解：， ， ． 6．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，是的平分线，于点E，于点F．若，，，则的长是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】由角平分线的性质定理可得，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，点在边上，过点作，过点作，交的延长线于点，．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】证明，得到，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，厘米，厘米，，如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动，若经过秒后，与全等，则的值是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或2 【答案】C 【分析】根据，分和两种情况，利用对应边相等列方程求解． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上所述，的值是或． 9．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点，若满足，则的长度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】如图，过点作于点，由角平分线的性质得，，证明得，而，则，证明得，再分两种情况讨论，一是点在线段上，则，二是点在线段的延长线上，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵点是的角平分线上一点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为上一点，点是线段上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图1，点在线段上， 此时； 如图2，点在线段的延长线上， ， 此时， 综上所述，的长度为或． 10．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】过作于，在线段上取一点，使，连接，，根据角平分线得到，，再证明，得到，则，最后根据点分别为上一个动点，得到当在上，与重合时，最小． 【详解】解：过作于，在线段上取一点，使，连接，， ∵为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴当在上时， ∵点分别为上一个动点， ∴当在上，与重合时，最小． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级上·山东德州·期中）下列几种说法 ①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形的面积相等．⑤三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．其中正确的是 _____________． 【答案】①④⑤ 【分析】结合全等三角形的性质与三角形面积的相关知识，逐个判断每个说法的正误即可． 【详解】解：①全等三角形的对应边相等，符合全等三角形的性质，说法正确； ②面积相等的两个三角形不一定全等，例如底为高为和底为高为的三角形，面积相等但形状不同，不全等，说法错误； ③周长相等的两个三角形不一定全等，例如三边长为和的三角形周长相等，但形状不同，不全等，说法错误； ④全等三角形可以完全重合，因此全等的两个三角形的面积相等，说法正确； ⑤三角形的中线把对边分为长度相等的两段，分成的两个小三角形等底同高，因此面积相等，说法正确． 综上，正确的说法是①④⑤． 12．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在的方格纸中，__________ ． 【答案】 【分析】取格点、、、、，证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 添加， ∴； 添加， ∴； 添加， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 14．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则长为______． 【答案】 3 【分析】根据垂直的定义得到，利用同角的余角相等证明，结合利用证明，根据全等三角形对应边相等得到，结合线段的和差关系计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 15．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据角平分线的定义和垂直的定义，利用证明，从而得到，即为的中点，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得的面积等于面积的一半； 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 16．（25-26八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 【答案】3 【分析】根据题意得和，过点作于点，过点作于点，根据角平分线得，则有，结合，解得，即可得． 【详解】解：∵是中线，， ∴， ∵的面积为8， ∴， 过点作于点，过点作于点，如图， ∵是角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 则， ∵， ∴， 则． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴·····························3分 (2)方法一：如图，连接，得到， 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴；·····························6分 方法二：如图，连接，得到， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴·····························6分 【分析】（1）在和中，结合已知的、公共角与，依据即可证明两三角形全等； （2）可连接，得到；由（1）得，由全等性质可知、，结合推得，再根据三边对应相等，依据即可证明；也可连接，得到，同上得、，依据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 18．（6分）（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）某校有一处斜坡，数学老师带领兴趣小组的学生测量了该斜坡上一点距水平地面的高度，测量方案如下： 主题 测量斜坡上一点距水平地面的高度 测量方案及示意图 测量方案 示意图 ①用皮尺测量斜坡上点、之间的距离米； ②准备一根长为米的竹竿，并在竹竿顶部系一根足够长的绳子； ③将竹竿竖立在点处（米），拉直绳子，使得绳子； ④用皮尺测得米．    说明 ，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述方案，求该斜坡上一点距水平地面的高度． 【答案】1米． 【分析】分析题目条件，证明即可． 【详解】解：， ． ， ． ． ， ．····························2分 在和中， ．·····························4分 米， 米． 即点距水平地面的高度为1米．·····························6分 19．（6分）（25-26七年级下·四川成都·期末）小萌同学与爸妈周末去公园游玩——荡秋千，如图所示，小萌坐在秋千的起始位置处，与地面垂直并交于点，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小萌时． (1)判断与是否全等，并说明理由； (2)求处距离地面的高度． 【答案】(1)，理由如下： 由题意可知，， 故， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴．·····························3分 (2) 【分析】（1）根据等角的余角相等和直角三角形的性质得出，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵，分别为和， ∴， ∵， ∴， ∴处距离地面的高度为．·····························6分 20．（6分）（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ；·····························3分 (2)3 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ．·····························6分 21．（8分）（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ∵， ∴ ，∴， 在和中，， ∴， ∴．·····························4分 (2) 【分析】（1）利用证明三角形全等，即可得到与的数量关系； （2）由全等三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，求出，根据平角的定义，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，， ∴， 在和中，，， ∴ ∴．·····························8分 22．（8分）（25-26七年级下·宁夏银川·期末）【探究与发现】 (1)如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A．    B．    C．    D． 【变式与应用】 (2)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】 (3)如图2，，，与互补，连接，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 证明：如图，延长至H，使，连接． ∵E是的中点 ∴ 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． 【答案】(1)B (2) (3)证明：如图，延长至H，使，连接． ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由三角形中线的定义得到，再根据，可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，根据三角形三边的关系求出的取值范围，则可求出的取值范围； （3）由全等三角形的性质得到，则可证明，得到，据此可证明；再证明，得到，据此可证明． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴；·····························2分 （2）解：由（1）得， ∴， 在中，由三角形的三边关系可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴；·····························5分 （3）略·····························8分 23．（8分）（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 【答案】(1)50 (2) 【分析】（1）依据角平分线定义得，结合，用证，由全等性质得，结合求出． （2）作，由得（等腰三线合一），结合推出，再用证明，得． 【详解】（1）解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ．·····························3分 （2）解：过点作于点，如图2所示： ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ， ．·····························8分 24．（12分）（25-26八年级下·四川内江·开学考试）按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． (3)或或 【分析】（1）延长到，使，连接．证明．，，证明．则．即可得到答案； （2）延长到，使，连接．证明，则，，证明，则．即可得到答案； （3）在上截取，使，连接．证明．则，．证明．则，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ∴． ． ． ；·····························3分 （2）略·····························7分 （3）当（1）的结论成立， 当图3中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ．·····························12分 25．（12分）（25-26八年级上·新疆塔城·期末）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在；点的坐标为：，，． 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）利用证明，再利用全等三角形的性质运算即可； （3）分类讨论点的位置，结合全等三角形的性质运算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴；·····························2分 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴和中， ， ∴， ∴，， ∴；·····························6分 （3）解：存在，理由如下： ①：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ②：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ③：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： 设， ∵，， ∴，，，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 综上，点的坐标为：，，．·····························12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十四章 全等三角形·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图，揭阳古城里有一块由三条路围成的三角形绿地，规划在绿地里面修建一个亭子，使亭子中心到三条路的距离相等，则亭子应该建在（    ） A．在边两条高的交点处 B．在边两条中线的交点处 C．在边两条垂直平分线的交点处 D．在和两条角平分线的交点处 4．（2026·山西运城·三模）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，且，，则的长为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 6．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，是的平分线，于点E，于点F．若，，，则的长是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，点在边上，过点作，过点作，交的延长线于点，．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，厘米，厘米，，如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动，若经过秒后，与全等，则的值是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或2 9．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点，若满足，则的长度为（     ） A． B． C．或 D．或 10．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级上·山东德州·期中）下列几种说法 ①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形的面积相等．⑤三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．其中正确的是 _____________． 12．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在的方格纸中，__________ ． 13．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 14．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则长为______． 15．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 16．（25-26八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 18．（6分）（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）某校有一处斜坡，数学老师带领兴趣小组的学生测量了该斜坡上一点距水平地面的高度，测量方案如下： 主题 测量斜坡上一点距水平地面的高度 测量方案及示意图 测量方案 示意图 ①用皮尺测量斜坡上点、之间的距离米； ②准备一根长为米的竹竿，并在竹竿顶部系一根足够长的绳子； ③将竹竿竖立在点处（米），拉直绳子，使得绳子； ④用皮尺测得米．    说明 ，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述方案，求该斜坡上一点距水平地面的高度． 19．（6分）（25-26七年级下·四川成都·期末）小萌同学与爸妈周末去公园游玩——荡秋千，如图所示，小萌坐在秋千的起始位置处，与地面垂直并交于点，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小萌时． (1)判断与是否全等，并说明理由； (2)求处距离地面的高度． 20．（6分）（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 21．（8分）（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 22．（8分）（25-26七年级下·宁夏银川·期末）【探究与发现】 (1)如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A．    B．    C．    D． 【变式与应用】 (2)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】 (3)如图2，，，与互补，连接，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 证明：如图，延长至H，使，连接． ∵E是的中点 ∴ 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． 23．（8分）（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 24．（12分）（25-26八年级下·四川内江·开学考试）按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 25．（12分）（25-26八年级上·新疆塔城·期末）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十四章 全等三角形·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图，揭阳古城里有一块由三条路围成的三角形绿地，规划在绿地里面修建一个亭子，使亭子中心到三条路的距离相等，则亭子应该建在（    ） A．在边两条高的交点处 B．在边两条中线的交点处 C．在边两条垂直平分线的交点处 D．在和两条角平分线的交点处 4．（2026·山西运城·三模）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，且，，则的长为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 6．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，是的平分线，于点E，于点F．若，，，则的长是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，点在边上，过点作，过点作，交的延长线于点，．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，厘米，厘米，，如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动，若经过秒后，与全等，则的值是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或2 9．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点，若满足，则的长度为（     ） A． B． C．或 D．或 10．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级上·山东德州·期中）下列几种说法 ①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形的面积相等．⑤三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．其中正确的是 _____________． 12．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在的方格纸中，__________ ． 13．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 14．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则长为______． 15．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 16．（25-26八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 18．（6分）（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）某校有一处斜坡，数学老师带领兴趣小组的学生测量了该斜坡上一点距水平地面的高度，测量方案如下： 主题 测量斜坡上一点距水平地面的高度 测量方案及示意图 测量方案 示意图 ①用皮尺测量斜坡上点、之间的距离米； ②准备一根长为米的竹竿，并在竹竿顶部系一根足够长的绳子； ③将竹竿竖立在点处（米），拉直绳子，使得绳子； ④用皮尺测得米．    说明 ，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述方案，求该斜坡上一点距水平地面的高度． 19．（6分）（25-26七年级下·四川成都·期末）小萌同学与爸妈周末去公园游玩——荡秋千，如图所示，小萌坐在秋千的起始位置处，与地面垂直并交于点，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小萌时． (1)判断与是否全等，并说明理由； (2)求处距离地面的高度． 20．（6分）（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 21．（8分）（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 22．（8分）（25-26七年级下·宁夏银川·期末）【探究与发现】 (1)如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A．    B．    C．    D． 【变式与应用】 (2)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】 (3)如图2，，，与互补，连接，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 证明：如图，延长至H，使，连接． ∵E是的中点 ∴ 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． 23．（8分）（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 24．（12分）（25-26八年级下·四川内江·开学考试）按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 25．（12分）（25-26八年级上·新疆塔城·期末）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十四章全等三角形冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 3 5 6 > 10 D D C D B B C D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.①④⑤ 12.90° 13.AC=DF 14.3 15.8 16.3 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(6分) 【答案】(I)证明：在△ADE和△ABC中， ∠D=∠B ∠A=∠A AE=AC' △ADE≌△ABC(AAS) …3分 (2)方法一：如图，连接BD,得到△BCD≌aDEB, A E 证明：，△ADE≌△ABC, .AB=AD,BC=DE. 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，AE=AC, ∴，AB-AE=AD-AC,即BE=CD, 在△BCD和△DEB中， CD=BE BC=DE BD=DB' △BCD≌ADEB(SSS) …6分 方法二：如图，连接EC,得到aBEC≌△DCE, D :△ADE≌△ABC, .AB=AD,BC=DE. 又，AE=AC, ∴AB-AE=AD-AC,即BE=CD, 在△BEC和△DCE中， BE=CD ∠B=∠D BC=DE △BEC≌ADCE(SAS) …6分 【分析】(1)在△ADE和△ABC中，结合已知的∠D=∠B、公共角∠A与AE=AC,依据AAS即可证明 两三角形全等： (2)可连接BD,得到△BCD≌aDEB,由(I1)得△ADE≌△ABC,由全等性质可知AB=AD、BC=DE 结合AE=AC推得BE=CD,再根据三边对应相等，依据SSS即可证明△BCD≌△DEB;也可连接EC, 得到△BEC≌aDCE,同上得BC=DE、BE=CD,依据SAS即可证明△BEC≌aDCE. 【详解】(1)略 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)略 18.(6分) 【答案】1米。 【分析】分析题目条件，证明△DAE≌△ABC即可. 【详解】解：AD⊥AC, ∠DAE+∠BAC=90° :BC⊥AC, ∴.∠ABC+∠BAC=90° .∠DAE=∠ABC :DE⊥AB,BC⊥AC ∠AED=∠ACB=90°.…2分 在△DAE和△ABC中， I∠DAE=∠ABC ∠AED=∠ACB AD=AB ∴.△DAE≌△ABC(AAS) …4分 .BC=AE AE=1米， .BC=1米 即点B距水平地面的高度为1米.…6分 19.(6分) 【答案】()△COE≌aOBD,理由如下： 由题意可知∠CEO=∠BD0=90°，OB=OC, 故∠BOD+∠OBD=90°， ∠B0C=90°， ,∠COE+∠BOD=90°， ,∴.∠COE=∠OBD」 在△COE和△OBD中， 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠COE=∠OBD ∠CEO=∠ODB OC=OB △COE≌AOBD(AAS) …3分 (2)1.4m 【分析】(1)根据等角的余角相等和直角三角形的性质得出∠COE=∠OBD,即可证明△COE≌△OBD (2)根据全等三角形的性质得出CE=OD,OE=BD,结合题意，即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：，aCOE≌aOBD ∴.CE=OD,OE=BD :BD,CE分别为1.4m和1.8m, DE=0D-OE=CE-BD=1.8-1.4=0.4(m) MD=1m, ME=MD+DE=1+0.4=1.4(m) C处距离地面的高度为l.4m,…6分 20.(6分) 【答案】(I)证明：·∠DEB=90°， .∠BEF=90°， Rt△ABC≌Rt△DBE, .BC=BE 在Rt△BCF和RtABEF中， (BF=BF BC=BE, ∴.RtABCF≌RtABEF(HL) …3分 (2)3 【分析】(I)根据Rt△ABC≌Rt△DBE,得BC=BE,即可证明△BCF≌△BEF, (2)根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得AF的长. 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)解：Rt△ABC≌Rt△DBE. .DE=AC. DE=4, .AC=4, Rt△BCF≌RtaBEF, .CF=EF, :EF=1, CF=1, AF=AC-CF=4-1=3.…6分 21.(8分) 【答案】()AC=BD,理由如下： ,∠AOB=∠COD, ∴.∠AOB+∠COB=∠COD+∠COB ,.∠AOC=∠BOD, OA=OB ∠AOC=∠BOD 在 和 中， AOC △BOD OC=OD △AOC≌△BOD(SAS) AC=BD.…4分 (2)130° 【分析】(I)利用SAS证明三角形全等，即可得到AC与BD的数量关系： (2)由全等三角形的性质，可得∠OAC=∠OBD,根据三角形的内角和，求出∠BP=∠AO卫=50°，根 据平角的定义，即可求出∠APD 【详解】(1)略 △AOC≌△BOD(SAS) (2)解：由(1)可得， ,∴.∠OAC=∠OBD 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△AOD和△BPO中，∠BOP=∠AQ0,∠OAg=∠QBP, ∠BPQ=∠AOQ=50° ∠APD=180°-∠BP2=180°-50°=130°.8分 22.(8分) 【答案】(I)B (2)1<AD<5 (3)证明：如图，延长OE至H,使EH=OE,连接CH. E是AC的中点， AE=CE, 在△AEO和△CEH中， AE=CE ∠AEO=∠CEH OE=EH △AEO≌△CEH(SAS) CH=OA∠EAO=∠ECH, .CHOA ,.∠OCH+∠AOC=180°， :∠AOC与∠BOD互补， .∠AOC+∠BOD=180°， ∴∠OCH=∠BOD: .OB=OA. .'.CH=OB, 又，OC=OD. △OCH≌aDOB(SAS) ..BD=OH, .OH=OE+HE =20E, 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..OE=OH 2 .OE=1BD 2 【分析】(I)由三角形中线的定义得到BD=CD,再根据AD=ED,∠ADC=∠EDB,可利用SAS证明 △ADC≌AEDB. (2)由全等三角形的性质得到BE=AC,根据三角形三边的关系求出AE的取值范围，则可求出AD的 取值范围： (3)由全等三角形的性质得到CH=OA,∠EAO=∠ECH,则可证明CH‖OA,得到 ∠OCH+∠AOC=180°，据此可证明∠OCH=∠BOD;再证明△OCH≌△DOB,得到BD=OH,据此 可证明OE=二BD 【详解】(I)解：：AD是△ABC的中线， .BD=CD 又：AD=ED,∠ADC=∠EDB」 △ADC≌△EDB(SAS) …2分 (2)解：由(1)得△ADC≌aEDB, ∴.BE=AC, 在△ABE中，由三角形的三边关系可得AB-BE<AE<AB+BE, .6-4<AE<6+4, .2<AE<10, 又，AE=AD+ED=2AD, .2<2AD<10, 1KAD<5…5分 (3)略8分 23.(8分) 【答案】(1)50 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)C0=5 【分析】(I)依据角平分线定义得LACD=∠BCD,结合AC=BC,CD=CD,用SAS证 △ACD≌△BCD,由全等性质得LCAO=∠DBC,结合∠CAO=50°求出LDBC (2)作DN⊥AC,由AD=DE得AN=EN(等腰三线合一)，结合AC+CE=10推出AC+CE=2CN, 再用HL证明RtACDNS≌RtACDO,得CO=CN=5. 【详解】(1)解：CD平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD 在△ACD和△BCD中， AC=BC ∠ACD=∠BCD CD=CD ∴.△ACD≌△BCD(SAS) ∠CAO=∠DBC, :∠CA0=50°， ∠DBC=50°.3分 (2)解：过点D作DN1AC于点N,如图2所示： N E B 图2 AD=DE :AN =EN, .AE=AN+EN =2EN, .AC=CE+AE=CE+2EN, ..AC+CE=CE+2EN+CE=2(CE+EN)=2CN 又：AC+CE=10, ∴.2CN=10. 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CN=5, :CD平分∠ACB,AO⊥BC于点O,DN⊥AC于点N, ∠COD=∠CND=90°，D0=DN, 在Rt△CDO和RtACDN中， DO=DN CD=CD, .Rt CDN≌RtACDO(HL) .C0=CN=5.…8分 24.(12分) 【答案】(I)EF=BE+FD (2)(I)中的结论EF=BE+FD仍然成立. 理由是：如图2，延长EB到G,使BG=DF,连接AG. A G B E 图2 :∠ABC+∠D=180°∠ABG+∠ABC=180° ∠ABG=∠D, 在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠D BG=DF △ABG≌△ADF(SAS) ,AG=AF,∠1=∠2， ∠1+∠3=∠2+2∠3=2∠BAD=∠EMF ∴.∠GAE=∠EAF 又AE=AE, 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△AEG≌AAEF ∴.EG=EF .EG=BE+BG ∴EF=BE+FD (3)EF=BE+FD或EF=BE-FD或EF-FD-BE 【分析】(I)延长EB到G,使BG=DF,连接AG.证明△ABG≌△ADF(SAS).AG=AF,∠I=∠2， 证明△AEG≌△AEF,则EG=EF,即可得到答案； (2)延长EB到G,使BG=DF,连接AG.证明△ABG≌△ADF(SAS),则AG=AF,A=∠2，证明 △AEG≌△AEF,则EG=EF.即可得到答案： (3)在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.证明△ABG≌△ADF(SAS).则∠BAG=∠DAF, AG=AF AEG≌△AEF(SAS),EG=EF .证明 .则 ,即可得到结论. 【详解】(I)解：如图1，延长EB到G,使BG=DF,连接AG. 在 中， G B E 图1 .·△ABG△ADF AB=AD ∠ABG=∠ADF=90° BG=DF ·.△ABG≌△ADF(SAS) .AG=AF,1=∠2， A+∠3=∠2+∠3=)∠BAD=∠EAF ∴.∠GAE=∠EAF 又AE=AE, 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△AEG≌△AEF ∴.EG=EF .EG=BE+BG EF=BE+FD;…3分 (2)略…7分 (3)当(1)的结论EF=BE+FD成立， 当图3中，EF=BE-FD或EF=FD-BE」 证明：在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG, 图3 ∠B+∠ADC=180°∠ADF+∠ADC=180° ∠B=∠ADF :在△ABG与△ADF中， 「AB=AD ∠ABG=∠ADF BG=DF ∴.△ABG≌△ADF(SAS) ∠BAG=∠DAF,AG=AF」 ·∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD ∴，∠GAE=∠EAF, AE=AE, .△AEG≌△AEF(SAS) ∴.EG=EF .EG=BE-BG 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..EF BE-FD. 同理可得：EG=EF EG=BG-BE EF=FD-BE.…12分 25.(12分) 【答案】(I)CD=BE (2)BE=0.4cm 3)存在；P点的坐标为： (10,10）(2,14)(4,8) 【分析】(I)利用AAS证明△ADC≌△CEB,即可得到CD=BE: (2)利用AAS证明△BCE≌△CAD,再利用全等三角形的性质运算即可； (3)分类讨论P点的位置，结合全等三角形的性质运算即可 【详解】(I)解：CD=BE,理由如下： ,AD⊥DE,BE⊥DE, ∴，∠D=∠E=90°=∠ACB ,∠D+∠DAC=∠ACE=∠ACB+∠BCE, .∠DAC=∠BCE .在△ADC与△CEB中， ∠D=∠E ∠DAC=∠BCE AC=BC △ADC≌△CEB(AAS) CD=BE:…2分 (2)解：：AD⊥CE,BE⊥CE, ∴.∠E=∠ADC=90°， ,∠ACB=90°， .∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°， ∴.∠BCE=∠CAD」 .△BCE和△CAD中， 12/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠E=∠ADC ∠BCE=∠CAD BC=AC △BCE≌△CAD(AAS) .'BE=CD,CE=AD=2cm. BE=CD=CE-DE=2-1.6=0.4cm:…6分 (3)解：存在，理由如下： ①：当PB=AB,∠ABP=90°时，过点B作平行于x轴的直线DE,AD⊥DE于点D,PE⊥DE于点E, 如图所示： P A ·(-2,6)B(6,2) .AD=6-2=4BD=6-(-2)=8 由(I)同理可证△ABD≌aPEB, .AD=BE=4,PE=BD=8. “P点的横坐 =BE+x。=4+6=10,P 点的纵坐标 =PE+yB=8+2=10 ,P(10,10) ②：当PA=AB,∠PAB=90°时，过点A作平行于y轴的直线GF,PG⊥GF于点G,BF⊥GF于点F, 如图所示： 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Fh B A(-2,6)B(6,2) :4F=6-2=4.BF=6-(-2)=8 由(I)同理可证△PGA≌△AFB, .PG=AF=4,GA=BF=8. “.P点的横坐标 PG+,=4+(-2)=2,P点的纵坐标=GA+,=8+6=14, P(2,14) ③：当PA=PB,∠APB=9O°时，过点P作平行于x轴的直线MN,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点 N,如图所示： M PN 0 设P) 1(-2,6)B(6,2) PN=x8-xp=6-a NB=yp-y8=b-2 PM=Xp-X=a-(-2)=a+2 MA=yp-y1=b-6 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(I)同理可证△APM≌△PBW, ∴.PN=MA,PM=NB. [6-a=b-6 .a+2=b-2, a=4 解得：1b=8· .P(4,8) 综上，P点的坐标为： (10,10)(2,14)(4,8) …12分 15/15