第1章 三角形（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 浙教版初中数学三角形单元培优卷，120分钟120分，25题含选择、填空、解答，选题有深度且覆盖全面，适配单元复习，可量化掌握程度，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三线、全等判定、尺规作图|如第7题以荡秋千为情境，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|6/18|三角形三边关系、全等条件、垂直平分线|如第13题考查奇数边长最值，培养推理意识| |解答题|9/72|折叠性质、分角仪应用、网格作图|如第24题结合分角仪探究角平分线，第25题网格作图，发展数学思维与表达能力|

第1章 三角形·培优卷 【新教材浙教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）举反例证明“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图所示的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）尺规作图，作出三角形边上的高，下列作图痕迹正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在中，，点D在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（     ） A．5 B．6 C．3 D．7 6．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并伸长，此时，减小了，则的外角的变化情况为（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 7．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在中，和的平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（     ）时，． A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则∠BED的度数为（　　） A．100° B．120° C．135° D．150° 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）如图点B在上，，，，则的度数是_______． 12．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 13．（25-26七年级下·河南郑州·期末）若一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为5和7，则这个三角形周长的最大值为________． 14．如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有________对． 15．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则______． 16．如图，四边形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，AE平分∠DAB，∠D＝∠C＝90°，AD＝4BC＝8，则线段AB的长为__． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，， (1)求的度数； (2)若平分 ，求 的度数． 18．（6分）（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（6分）（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，完成下列尺规作图（保留作图痕迹，不写作图步骤）； (1)作边上的中线； (2)作边上的高． 20．（8分）如图，把沿EF折叠，使点A落在点D处．    (1)若，则的度数为______°； (2)若，试判断与的数量关系，并说明理由． 21．（8分）（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． 22．（9分）（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，． (1)求证：； (2)若，，，请求出的度数． 23．（9分）（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 24．（10分）（25-26八年级下·江西景德镇·期中）图①是一个分角仪，其中； (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与定点A重合，D，E分别在边上，画射线，交于点P，是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，的面积是100，求的长． 25．（10分）在5×6正方形网格中，点A、B、C都在格点上，用无刻度直尺作图．    (1)如图1，作钝角，且的面积为4（作一个即可）； (2)如图2，过P作，垂足为C； (3)如图3，在下方画点D，使； (4)如图4，与全等且有一条公共边的格点三角形共有______个（不包括）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形·培优卷 【新教材浙教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵是边上的中线． ∴，故A正确， ∵是的角平分线， ∴，故B正确， ∵是边上的高， ∴，故C正确， 没有条件判断，故D错误， 故选：D． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）举反例证明“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】要证明“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，反例需满足两个条件，即两个角都是锐角，且它们的和不是钝角，计算各选项后即可判断． 【详解】解：选项A：，和为钝角，不符合要求； 选项B：，，均为锐角，，和为锐角，不是钝角，满足反例要求； 选项C：，和为钝角，不符合要求； 选项D：是直角，不是锐角，不满足“两个锐角”的前提，不符合要求； 选B． 3．（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图所示的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形中边的标记确定全等三角形的对应关系，找出，利用三角形内角和定理计算即可求解． 【详解】解： ，且，，，， ， ，， ， ． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）尺规作图，作出三角形边上的高，下列作图痕迹正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作垂线的方法进行判断即可． 【详解】解：A选项，为角平分线，不符合要求； B选项，为边上的垂直平分线，不符合要求； C选项，为边上的高，符合要求； D选项，不是边上的高，不符合要求． 5．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在中，，点D在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（     ） A．5 B．6 C．3 D．7 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，又由的周长等于15，可得，继而求得答案； 【详解】解：∵点D在边的垂直平分线上， ∴， ∵，的周长为15， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并伸长，此时，减小了，则的外角的变化情况为（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【答案】D 【分析】计算出起吊物体前后的度数，可知减少了，已知减少了，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可知减少了. 【详解】解：起吊物体前： ，为的平分线， ， ， 物体被吊起后： ，， ， 减少了， 又减小了， 减少了． 7．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，根据全等三角形的性质可得，再求出的长，然后根据求解即可得． 【详解】解：由题意可知，， ，与底面垂直，B处距地面高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是． 8．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在中，和的平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作三边的垂线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，得出点到、的距离相等，先求出该距离，再计算的面积即可求解． 【详解】解：过点作于点，于点，于点，如图所示： 平分，，， ， 平分，，， ， ， 在中，，， ，即， ， ， ， ． 9．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（     ）时，． A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 【答案】D 【分析】设点E运动时间为，则，分两种情况求解：①当点从点B出发，向点左侧移动时；②当点从点B出发，向点右侧移动时，利用全等三角形的性质分别求出的长，即可得解． 【详解】解：设点E运动时间为，则， ①如图，当点从点B出发，向点左侧移动时， 为边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，解得：； ②如图，当点从点B出发，向点右侧移动时， 同理可证，， ， ， ，解得：, 综上可知，当点E运动或时，． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则∠BED的度数为（　　） A．100° B．120° C．135° D．150° 【答案】C 【分析】连接BD，根据旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝60°，可证△ABD为等边三角形，由“SSS”可证△ABE≌△DBE，可得∠ABE＝∠DBE＝30°，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接BD， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE， ∴AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴∠ABD＝60°，AB＝BD，且AE＝DE，BE＝BE， ∴△ABE≌△DBE（SSS） ∴∠ABE＝∠DBE＝30° ∴∠ABE＝∠DBE＝30°，且∠BDE＝∠ADB﹣∠ADE＝15°， ∴∠BED＝135°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握三角形全等的判定方法，能够根据题意对图形进行旋转. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）如图点B在上，，，，则的度数是_______． 【答案】/45度 【分析】先用三角形内角和定理求解的度数，再用三角形的外角性质求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴． 12．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 添加， ∴； 添加， ∴； 添加， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 13．（25-26七年级下·河南郑州·期末）若一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为5和7，则这个三角形周长的最大值为________． 【答案】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合三边长均为奇数的条件确定第三边的最大值，即可计算得到周长的最大值． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：第三边，即第三边， 三边长均为奇数， 第三边的最大值为， 三角形周长的最大值为． 14．如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有________对． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 由“边边边”可证明图中4对三角形全等． 【详解】解：、、是的四等分点， ， ，，，， ，， ，，， ，，，． 图中的全等三角形共有4对． 故答案为：4． 15．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则______． 【答案】7或13/13或7 【分析】分点D在点E左侧和点D在点E右侧两种情况讨论，利用线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）得到，再结合和的长度进行求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴， 当点D在点E左侧时，； 当点D在点E右侧时，； 故的值为7或13． 16．如图，四边形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，AE平分∠DAB，∠D＝∠C＝90°，AD＝4BC＝8，则线段AB的长为__． 【答案】10 【分析】延长AE、BC交于点F，再根据ASA证明△ADE≌△FEC，得CF＝AD＝8、∠DAE＝∠F，然后结合角平分线的定义得∠BAE＝∠F，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：如图，延长AE、BC交于点F， ∵E是DC的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FEC中， ∴△ADE≌△FEC（ASA）， ∴CF＝AD＝8，∠DAE＝∠F， ∵AD＝4BC＝8 ∴BC=2 ∴BF=BC+CF=2+8=10 ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠F＝∠BAE， ∴AB＝BF， ∴BF＝AB＝10， 故填10． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解答本题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，， (1)求的度数； (2)若平分 ，求 的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和为180度可得答案； （2）根据角平分线的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：由（1）得， ∵平分， ∴． 18．（6分）（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可证得结论； （2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴． 19．（6分）（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，完成下列尺规作图（保留作图痕迹，不写作图步骤）； (1)作边上的中线； (2)作边上的高． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【详解】（1）解：如图即为边上的中线； （2）解：如图即为边上的高． 20．（8分）如图，把沿EF折叠，使点A落在点D处．    (1)若，则的度数为______°； (2)若，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)100 (2).理由见解析 【分析】（1）运用折叠的性质及四边形的内角和定理即可解决问题； （2）由折叠得，再根据平行线的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）∵, ∴. ∵是由翻折得到, ∴. ∴. ∵, ∴， 故答案为：. （2）.理由如下: ∵是由翻折得到， ∴. ∵, ∴. ∴. 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 21．（8分）（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明是线段的垂直平分线，从而可得，再根据等边对等角得出，结合可求得，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角得出，然后利用三角形外角的性质得出，进而求得； （2）先根据的周长为20，得到，结合，可得，再根据，，可得，进而得到，从而可求得． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（9分）（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，． (1)求证：； (2)若，，，请求出的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）证明即可证得结论； （2）先根据全等三角形的对应角性质，结合已知求得，，则，然后根据三角形的内角和定理求得，最后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： ，， ． 23．（9分）（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 24．（10分）（25-26八年级下·江西景德镇·期中）图①是一个分角仪，其中； (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与定点A重合，D，E分别在边上，画射线，交于点P，是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，的面积是100，求的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)25 【分析】（1）因为，，且为公共边，所以可利用全等三角形判定定理证明和全等，那么和相等，即可判断是的平分线． （2）因为是角平分线，，所以可利用角平分线的性质得到点到的距离；由于的面积等于和的面积之和，所以可根据三角形面积公式列出关于的方程，进而求解的长． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： 由题意得 ，，又 ， ， ， 即是的平分线． （2）解：过点作于， 是的平分线，， ∴． 设， ∵ ， ∴， ∴， 解得． 即的长为． 25．（10分）在5×6正方形网格中，点A、B、C都在格点上，用无刻度直尺作图．    (1)如图1，作钝角，且的面积为4（作一个即可）； (2)如图2，过P作，垂足为C； (3)如图3，在下方画点D，使； (4)如图4，与全等且有一条公共边的格点三角形共有______个（不包括）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)7 【分析】（1）如图，选定格点C，连接，则,即为所求； （2）如图，选定格点H，连接，交于点C,则,易证，进一步可得，即； （3）如图，选定格点D，由图可知，，则; （4）如图，与全等且有一条公共边的格点；与全等且有一条公共边的格点；与全等且有一条公共边的格点；共7个． 【详解】（1）解：如图，选定格点C，连接，则, , ∴即为所求；    （2）解：如图，选定格点H，连接，交于点C,则,理由如下， 如图, ∴． ∴． ∴，即    （3）解：如图，选定格点D，则; 由图可知，， ∴．    （4）解：如图，与全等且有一条公共边的格点；    与全等且有一条公共边的格点；    与全等且有一条公共边的格点；    综上，共有7个． 【点睛】本题考查全等三角形；格点三角形，灵活运用格点图得到全等三角形，从而得到等角、相等线段是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $