《第20章勾股定理》暑假巩固提升综合练习题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 人教版八年级数学下册《第20章勾股定理》暑假巩固提升卷，以勾股定理及逆定理为核心，融合实际应用、文化传承与创新题型，适配单元知识巩固与暑假能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|7题|勾股数判定、梯子问题、数轴表示无理数|基础概念与直观应用结合，如第3题数轴与勾股定理融合| |填空题|7题|面积计算、最短路径、垂美四边形|情境化问题设计，如第13题芦苇问题，第12题创新“垂美”四边形| |解答题|6题|综合计算、云梯滑动、荒地改造、渔船定位|分层设计，从基础计算（第15题）到跨学科应用（第19题渔船定位），渗透模型意识与推理能力|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《第20章勾股定理》 暑假巩固提升综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．要登上高的建筑物，为了安全需使用梯子，梯子底端需至少离建筑物，则梯子的长度至少为（    ） A． B． C． D． 3．如图，数轴上点C所表示的数为，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（   ） A． B． C． D．2 4．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1， 的顶点A，B，C均正方形格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．点A到直线的距离是2 5．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中卷九“勾股”有一个问题：“今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”意思是有一扇门，不知道它的高度和宽度；有一根竹竿，不知道它的长度．将竹竿横着放，比门宽长出尺；竖着放，比门高长出尺；斜着放，恰好能与门的对角线重合，求门的高度、宽度和对角线的长度？设门的对角线长度为尺，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若的三边长分别是，，，则的面积为______． 9．如图所示，是一块由花园小道围成的正方形绿地，米，在离C处7米的绿地旁边B处有健身器材，为提醒居住在A处的居民爱护绿地，不直接穿过绿地从A到B，而是沿小道从，请问沿小道从与从A沿直线到B相比多走了_________米． 10．如图，四边形中，，，点E为线段的中点，，，，则_____． 11．如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为____________． 12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 13．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为______尺． 14．如图，在等腰中，，点在边上且，点，分别为边，上的动点，连接，，得到，则周长的最小值为______． 三、解答题 15．在中，． (1)若，，求的长． (2)若，，求的长． 16．如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 17．一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． (1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ (2)当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？ 18．某村为美化人居环境 ，计划将村口一块四边形荒地改造为公园．如图，测得，，，， (单位：米）． (1)求的面积； (2)已知每平方米土地的改造费用为元，求改造这块荒地的费用． 19．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 20．如图1，已知，以为边分别向外作等边和等边，连接，则有．    (1)如图2，已知，以为边分别向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，猜想与有什么数量关系？并说明理由． (2)如图2，连接，若的值为　 　． (3)运用图．（1），图（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得米，的长为　 　（结果保留根号）． 参考答案 1．D 解： A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 2．B 【分析】根据墙面与地面垂直，可知建筑物高度、梯子底端到墙面的水平距离、梯子长度构成直角三角形，再利用勾股定理求出梯子长度即可求解． 【详解】解：∵建筑物墙面垂直于地面， ∴建筑物高度、梯子底端到建筑物的水平距离、梯子长度构成直角三角形，梯子为该直角三角形的斜边， ∵建筑物高为，梯子底端离建筑物至少，即直角三角形两条直角边长分别为和， ∴由勾股定理得，梯子长度为， ∴梯子长度至少为． 3．A 【分析】利用勾股定理求得的长，即可解答． 【详解】解：由题意可知，在中，， ∴， ∴， 即点A所表示的实数是． 4．C 【分析】利用网格，根据勾股定理计算三边长度的平方，利用勾股定理逆定理判断三角形形状，进而计算面积和点到直线的距离，逐一排查选项． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ， ，故A选项结论正确； ， 是直角三角形，且，故B选项结论正确； ∴ ，故C选项结论错误； 设点 到直线的距离为 ， ，即， ，故D选项结论正确． 5．C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，设，则，，再在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：设， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， 在中，由勾股定理得： ， 即， ， ， ， ， 故的长为． 6．C 【分析】根据四边形是长方形，则，，，由折叠的性质可知，,，由勾股定理得到，则，在中，由勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到，即， 解得． 7．B 【分析】设门的对角线长度为尺，则竹竿的长度为尺，表示出门宽、门高后，由勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门的对角线长度为尺，则竹竿的长度为尺， 将竹竿横着放，比门宽长出尺；竖着放，比门高长出尺， 门宽尺；竖着放，门高尺， 则由勾股定理可得． 8． 【分析】过点作于点，利用勾股定理求出高，再结合三角形面积公式求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得：， ，即， 解得， ， 则三角形面积为． 9．6 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解题的关键是正确的运用勾股定理求．在直角中，为斜边，已知，，则根据勾股定理可以求斜边，根据少走的距离为可以求解． 【详解】解：在中，为斜边， （米）， 少走的距离为：（米）． 10． 【分析】先延长与的延长线交于点，再证明，进一步得，，，，最后利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，延长与的延长线交于点， 点E为线段的中点， ． ， ． 又 ， ， ，， ，． ， ． 11． 【分析】根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：吸管在盒内长度为， 总长度． 12． 【分析】由题意可得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，，， ∴ ． 13．12 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，，，， 由得， 解得， 则水的深度为12尺． 14． 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，连接分别交于点，交于点，先证明点、、、在同一直线上，由题意可得，，由对称性可得：，，，，，求出，，由勾股定理可得，即可得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，连接分别交于点，交于点， ∵， ∴， ∴，即点、、、在同一直线上， ∵，， ∴，， 由对称性可得：，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 15．(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）由含30度角的直角三角形的性质求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∴． 16．(1) (2)为直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【分析】（1）对和运用勾股定理求解即可； （2）证明三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴的长为； （2）略 17．(1)这架云梯的顶端到地面的距离是 (2)云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理进行计算即可； （2）根据勾股定理求出，再求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意，得，，， 由勾股定理，得； 答：这架云梯的顶端到地面的距离是； （2）解：由题意，得，， 由勾股定理，得， ∴， 故云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是． 18．(1) (2)元 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，，即可求解； （2）先求出四边形的面积，再用面积乘以，即可求解． 【详解】（1）解： ，米，米， 米， ， ， ，， ， 是直角三角形，， ； （2）解： ， ， 改造这块荒地的费用为元． 19．(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 20．(1)，理由见解析 (2)82 (3)米 【分析】（1）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，可得出，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出，进而得出，结合等腰直角三角形的性质及勾股定理求解即可； （3）在的外侧作，使，连接，就可以得出，就有，由勾股定理就可以求出的值，进而得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都为等腰直角三角形， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接交于点O，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和是等腰直角三角形，， ∴， ∴； （3）解：在的外侧作，使，连接，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，米， 由勾股定理，得， ∵米， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $