《第5章分式与分式方程》暑假巩固提升练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 北师大版八年级数学下册《分式与分式方程》暑假巩固提升单元卷，覆盖分式概念、性质及方程应用，通过生活情境与数学思维融合，适配暑假分层巩固需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|7|最简分式、分式意义、方程去分母|基础概念辨析，如分式值正负判断| |填空题|7|分式化简求值、增根问题、统计估计|创新题型如分式拆分（第12题）、标记鱼估计（第14题）| |解答题|6|分式运算、方程应用、实际问题建模|综合应用如购物划算比较（第19题）、工厂生产方程（第20题），渗透模型意识与数据意识|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第5章分式与分式方程》 暑假巩固提升综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列各式中，最简分式是（     ） A． B． C． D． 2．对于分式下列说法不正确的是（     ） A．时，分式值为0 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 3．已知，则下列式子一定成立的是（     ） A． B． C． D． 4．不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数化为整数，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 5．将关于x的分式方程去分母可得（     ） A． B． C． D． 6．已知关于x的分式方程的解是，则常数a的值是（   ） A． B．5 C． D． 7．七年级学生去距学校50的合肥渡江战役纪念馆参观，一部分学生骑自行车先出发，过了30分钟，其余学生乘中巴车出发，结果他们同时到达．已知中巴车平均速度比自行车的平均速度每小时多20千米．设自行车的平均速度为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 9．若分式与的值互为相反数，则的值为______． 10．若，则______． 11．已知实数a，b，c满足，，则______． 12．把一个分式化为另外几个分式的代数和的形式是处理分式运算和变形的常见策略．已知（a，b为常数），则_____． 13．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为_______． 14．李商隐《洞庭鱼》的诗句“洞庭鱼可拾，不假更垂罾．”生动描绘了洞庭湖鱼类繁盛的景象．洞庭湖地区某水产养殖专业户为了估计池塘里鱼的数目，第一次捕捞了100条鱼，将这些鱼都做上标记后放回池塘．几天后，第二次捕捞了3000条鱼，发现其中有15条鱼身上有标记，由此可估计该池塘里有_______条鱼． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．化简，再求值：，其中x是的正整数解． 17．已知分式方程，请在下列三个条件中任意选择一个，求m的值． ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1． 18．阅读下面的解题过程． 已知，求的值 解：由，知； 即， ． 说明：该题的解法叫做“倒数法” 请你利用“倒数法”解下面题目： 已知， (1)求的值； (2)求的值 19．谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． 刘奶奶：我每次买元的大米； 张奶奶：我每次买的大米． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为元，第二次大米的价格为元．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元，第二次购买大米的价格为元，且，则两次购买大米总体算下来谁更划算呢？ 20．列方程解下列问题：某工厂生产甲、乙两种产品．每天生产的甲产品比每天生产的乙产品多300个：2天生产的甲产品比3天生产的乙产品多400个． (1)求该工厂每天生产的甲、乙产品各多少个？ (2)为了满足市场需求，工厂进行技术改造．改造后，每天生产乙产品增加的数量比每天生产甲产品增加的数量的多50个．若生产4800个甲产品的天数比生产3200个乙产品所需的天数少2天，求每天生产甲产品增加的数量． 参考答案 1．D 【详解】解：A选项，分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式； B选项，分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式； C选项，分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式； D选项的分子与分母没有公因式，不能约分，是最简分式. 2．C 【分析】根据分式有意义的条件和分式值的判断方法，逐一验证选项即可得到答案. 【详解】解：对于分式， ∵当时，分子为，分母，分式值为，∴A选项说法正确； ∵当时，分母，分式无意义，∴B选项说法正确； ∵当时，代入得，结果为正数，不是负数，∴C选项说法错误，符合题意； ∵当时，代入得，结果为正数，∴D选项说法正确； 3．B 【分析】根据已知，结合分式的性质或代入变形即可判断各选项是否成立． 【详解】解：∵， ∴，且， A、，，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，不一定等于，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 4．C 【分析】利用分式的基本性质将分子分母同乘适当的数，即可在不改变分式值的前提下把系数化为整数． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘一个不等于的整式，分式的值不变， 将原分式的分子分母同时乘以，可得：． 5．D 【详解】解：∵方程的两个分母分别为和， ∴最简公分母为， 方程两边同时乘去分母：得． 6．A 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解得到的值． 【详解】解：∵是分式方程的解， ∴将代入原方程，得， 移项得， 两边同乘（）， 得， 整理得， ∴． 7．C 【分析】由题意，先表示出自行车和中巴车的时间，再根据两车时间差建立等量关系即可列方程． 【详解】解：∵设自行车的平均速度为，中巴车平均速度比自行车每小时多20千米 ∴中巴车的平均速度为． 自行车走完全程的时间为小时，中巴车走完全程的时间为小时． ∵骑自行车的学生先出发30分钟，两车同时到达， 自行车行驶时间比中巴车多小时 ∴可列方程为． 8．或0或2 【分析】先将分式化简为整式与分式和的形式，再根据分式的值为正整数且为整数，确定的所有可能取值，进而求解得到整数的值. 【详解】解： 分式的值是正整数，是整数， 为整数，且是正整数， 或 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，不是正整数，舍去. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 综上，整数的值为或或． 9．0 【分析】根据题意得关于x的分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：∵分式与的值互为相反数， ∴， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解为， 即当x的值为0时，分式与的值互为相反数． 10． 【分析】根据分式的运算法则将已知算式通分，再转化为所求分式的值． 【详解】∵， ∴， ∴． 11．3 【分析】根据已知两个等式，用含的代数式分别表示和，再将结果代入所求代数式化简即可得到答案． 【详解】解：由，移项得： ， 因此， 由，移项得： ， 整理得 ， ． 12．2 【分析】先将等式右侧通分，再与等式左边进行比较，对应项系数相等，列出一个关于二元一次方程组，解方程组可得的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 13． 【分析】先将分式方程化为整式方程，用含的式子表示，再根据方程的解为正数且分式有意义，列出不等式求解的取值范围. 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母，得， 移项合并同类项，得， ∵方程的解是正数，且分式方程要有意义，分母不能为， ∴且， 解得且. 14．20000 【分析】本题考查用样本估计总体的统计方法，解题思路为利用总体中标记鱼的比例与样本中标记鱼的比例相等，列方程求解池塘鱼的总数． 【详解】解：设该池塘里共有条鱼， 根据题意可得 ， 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合实际意义． 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把除法化为乘法，再约分即可； （2）先计算乘方，再计算除法运算即可； （3）按照同分母分式的减法运算法则计算即可； （4）先通分，化为同分母，再计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ． 16．， 【详解】解： ， ∵ ∴正整数或2 ∵ ∴ ∴，原式． 17．①；②或2；③12 【分析】①根据方程增根的情况求解即可；②根据题意得出，再由方程无解求解即可；③将代入原方程求解即可． 【详解】解：①去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：； ②方程两边同时乘以，得， ， 方程无解， 或， 或， 或2； ③将代入原方程得， 解得：， m的值为12． 18．(1) (2) 【分析】本题考查分式的性质与完全平方公式的应用，核心方法为“倒数法”，即通过对已知分式和目标分式取倒数，结合代数变形求解． 【详解】（1）解：由，知， ∴， ∴； （2）解：对取倒数，得． ∵， ∴， ∴． 19．(1) 两次购买大米总体看刘奶奶更划算 (2) 两次购买大米总体看刘奶奶更划算 【分析】（1）已知两次大米的具体单价，根据两人的购买规则分别计算总花费、总质量，求出平均单价后比较大小即可得出结论； （2）用含、的代数式分别表示出两人的平均单价，再通过作差法比较两个代数式的大小，即可得出结论． 【详解】（1） 解：已知刘奶奶每次购买20元大米，张奶奶每次购买大米，第一次单价为6元，第二次单价为5元， 刘奶奶两次购买的总花费为：（元） 刘奶奶两次购买的总质量为： 刘奶奶购买大米的平均单价为：（元） 张奶奶两次购买的总花费为：（元） 张奶奶两次购买的总质量为： 张奶奶购买大米的平均单价为：（元） 两次购买大米总体看刘奶奶更划算； （2）解：已知第一次单价为元，第二次单价为元，且，， 刘奶奶两次购买的总花费为：（元） 刘奶奶两次购买的总质量为： 刘奶奶购买大米的平均单价为：（元） 张奶奶两次购买的总花费为：（元） 张奶奶两次购买的总质量为： 张奶奶购买大米的平均单价为：（元） 计算两者的差： ，， ， 即 两次购买大米总体看刘奶奶更划算． 20．(1)该工厂每天生产甲产品500个，乙产品200个． (2)每天生产甲产品增加的数量是300个． 【分析】（1）根据甲乙日产量的数量关系设未知数，利用“2天生产的甲产品比3天生产的乙产品多400个”的条件列一元一次方程求解； （2）设甲产品日增加量为未知数，根据增加量的关系表示出改造后甲乙的日产量，再利用生产天数的数量关系列分式方程，检验后得到结果． 【详解】（1）解：设该工厂每天生产乙产品个，则每天生产甲产品个． 根据题意列方程得 解得 则 答：该工厂每天生产甲产品500个，乙产品200个． （2）解：设每天生产甲产品增加的数量为个，则每天生产乙产品增加的数量为个． 改造后每天生产甲产品数量为个，每天生产乙产品数量为个． 根据题意列方程得 解得 检验：当时，，所以是原方程的解，且符合题意． 答：每天生产甲产品增加的数量是300个． 学科网（北京）股份有限公司 $