《第4章因式分解》暑假巩固提升综合练习题2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦因式分解全方法体系，以概念辨析为起点，通过提公因式、公式法、分组分解等方法训练，结合几何直观与实际情境，构建从基础到创新的知识逻辑链。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-2题|因式分解定义辨析|概念生成→要素识别| |基础方法|填空8-12题|提公因式与公式法|方法原理→步骤规范| |综合应用|解答15-16题|整体代入与降次|公式逆用→代数变形| |拓展创新|解答17-20题|分组分解与数形结合|跨模块整合→模型建构|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》 暑假巩固提升综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．多项式中，各项的最大公因式是（　　） A． B． C． D． 3．已知边长分别为，的长方形的周长为20，面积16，则的值为（    ） A．160 B．80 C．320 D．40 4．已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（     ） A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 5．已知a，b，c均为正数，且满足，则下列关系式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … … 明文 … 中 爱 国 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ） A．我爱中国 B．美丽中国 C．我爱美丽 D．中国美丽 7．如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因式分解（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．分解因式：________． 9．若，则的值是__________． 10．若，则________． 11．若，则的值为_____． 12．因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．则分解因式的正确结果______． 13．如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”． 因为，，，，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，…，按此规律，2028是第______个“智慧数” 14．高力装饰城某家居装饰店接到一个订单，要求用店内如图所示的，，三种板材装饰一面正方形背景墙．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形背景墙的边长是______． 三、解答题 15．把下列各式分解因式． (1) (2) (3) (4) 16．已知，，分别求下列代数式的值． (1)； (2)． 17．[阅读材料]：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决]： (1)因式分解：； (2)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 18．我们知道，和这样的式子可以运用完全平方公式进行因式分解．有些多项式不是完全平方式，我们可以用配方法将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：①分解因式：； 解：原式 ； ②求代数式的最小值． 解：原式， ∵，∴， ∴当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)当x为何值时，有最小值？最小值为多少？ (3)求证：无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 19．“弘毅”数学小组在对多项式进行因式分解时发现，其前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了．具体过程为： ． 通过查阅相关资料得知，这种因式分解的方法叫作“分组分解法”，受此启发，请你尝试解决以下问题． (1)分解因式：； (2)已知：，．求的值； (3)若的三边a，b，c满足，请判断的形状并说明理由． 20．数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合是初中数学非常重要的思想方法之一，数形结合可以使数与形之间相互转化．如图，现有A、B、C三种卡片若干． (1)观察图1，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式； (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值； (3)观察图2，分解因式： 参考答案 1．C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式乘积的形式，结合变形是否正确逐一判断选项，正确理解因式分解的定义是解题关键. 【详解】解：∵因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，A选项从左到右是整式乘法，不是因式分解， ∴A不符合题意； ∵，变形错误，不是正确的因式分解， ∴B不符合题意； ∵，将多项式化为两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义， ∴C符合题意； ∵的右边不是整式乘积的形式， ∴D不符合题意； 2．A 【分析】根据最大公因式的定义，先求各项系数的最大公约数，再确定各项共有的字母的最低次幂，即可得到结果． 【详解】解：多项式的各项系数为，其绝对值的最大公约数是， 各项都含有的字母为，只出现在第二项，因此公因式不含， 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 该多项式各项的最大公因式为． 3．A 【分析】根据长方形周长和面积公式得到和的值，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵边长为、的长方形周长为，面积为， ∴，， ∴， ∴． 4．B 【分析】根据平方差公式，将进行因式分解，即可得出结论． 【详解】解： ， ∴能被65和63整除， ∴这两个整数是63和65． 5．A 【分析】通过对等式移项分解因式，结合a，b，c为正数的条件，推导出正确结论． 【详解】解：将已知等式移项整理得：， 利用平方差公式分解前两项，提取后两项公因式得：， 提取公因式得：， ∵，，均为正数， ∴， ∴， 即， 因此一定正确的关系式是． 6．A 【分析】先对密文用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，再对应密码表得到明文即可． 【详解】解：， ， ， ∵8对应明文“我”， 对应明文“爱”， 对应明文“中”， 对应明文“国”， ∴组合后明文可为“我爱中国”． 7．A 【分析】计算四个小图形的面积之和，再确定拼成的大长方形的长和宽，根据面积相等即可得出多项式的因式分解形式，注意因式分解是将和化为积的形式． 【详解】解：∵四个小图形的面积分别为：，，，， ∴四个图形的面积之和为：， 又∵这四个图形能拼成一个大长方形， ∴大长方形的长为，宽为或长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∴根据面积相等可得：且符合多项式的因式分解． 8． 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解． 【详解】解：． 9． 【详解】解：， ． 10． 【分析】先将移项为，再运用提公因式的方法求代数式的值即可． 【详解】∵， ∴，， ∴ ． 11． 【分析】先对进行分母有理化，再整理得到关于的降次关系式，将所求多项式分组变形，利用降次关系式代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 12． 【分析】根据看错的分解结果，分别提取出正确的的值代入，再分解即可． 【详解】解：甲分解结果，甲看错，故； 乙分解结果，乙看错，故． 则原式为，分解为． 13． 【分析】设是正整数，由，得出所有的奇数，除之外都是“智慧数”；结合，得出所有大于或等于能被整数的偶数都是“智慧数”；再求出不是“智慧数”；结合，得出是能被整除的偶数，是“智慧数”；从而即可得出结果． 【详解】解：设是正整数， ∵， ∴所有的奇数，除之外都是“智慧数”； ∵，， ∴所有能被整数的偶数，除之外都是“智慧数”； 令被除余的偶数为（为正整数）， 假设，若、同为奇数或同为偶数，则能被整除，若、为一个奇数和一个偶数，则为奇数，不能被整除， ∴不是“智慧数”； ∵， ∴是能被整除的偶数，是“智慧数”； ∴从到，所有满足条件的奇数有个，所有满足条件能被整除的偶数有个， ∵， ∴2028是第个“智慧数”． 14． 【分析】首先根据图形分别表示出、、三种板材的面积，然后根据使用的数量计算出背景墙的总面积，最后利用完全平方公式将总面积分解为平方的形式，从而得出正方形的边长． 【详解】解：由图可知，型板材的面积为，型板材的面积为，型板材的面积为， 根据题意，这面正方形背景墙的总面积为： ， 因为背景墙是正方形，且面积为， 所以这面正方形背景墙的边长是． 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用平方差公式分解即可； （2）提取公因式即可； （3）先提公因式再利用完全平方公式分解即可； （4）先利用完全平方公式分解，再用平方差公式分解即可． 【详解】（1） 解：原式； （2） 解：原式； （3） 解：原式= ； （4） 解：原式= 16．(1) (2)8 【分析】根据，，可得，，利用平方差公式分解因式可得：，再代入求值即可； 根据，，可得，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ，， ，， ； （2）解： ，， ∴ ∴ ． 17．(1) (2)见解析 【分析】（1）设 ，则原式可化为，利用完全平方公式因式分解为，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （2）先计算，再利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， 则 ； （2）解： ， ∵n为正整数， ∴是正整数． ∴， 即代数式的值一定是某个整数的平方． 18．(1) (2)当时，代数式取最小值 (3)见解析 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵ ∴ 当时，代数式取最小值； （3）解： ∵， ∴ ∴无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 19．(1) (2) (3)为等边三角形．理由见解析 【分析】本题考查了分组分解法分解因式，平方差公式，完全平方公式，等边三角形的判定，熟练掌握分组分解法分解因式是解题的关键． （1）将前两项组合和后两项组合提取公因式，再提取公因式即可． （2）将前两项组合利用公式法分解因式，将后两项组合提取公因式，再利用提公因式法分解因式，再将其值代入即可． （3）根据，推导出，进而可得，则，由此可判断． 【详解】（1）解： ． （2）解：， 当，时， 原式． （3）解：为等边三角形． 理由如下： ， ， ． ，b，c是的三边， ∴ ， 是等边三角形． 20．(1) (2)21 (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，解题的关键是： （1）最右边一幅图的面积等于边长为的大正方形的面积，又等于一个边长为a的小正方形面积加上两个长为，宽为b的长方形面积，再加上边长为的小正方形的面积，据此可得答案； （2）先计算出，则一共需要A卡片6张，B卡片11张，C卡片5张，据此可得答案； （3）观察图形可知，3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片的面积之和等于长为，宽为的长方形面积，据此可得答案． 【详解】（1）解∶最右边图的面积等于边长为的大正方形的面积，即为，也等于边长为a的小正方形面积加上两个长为，宽为b的长方形面积，再加上边长为的小正方形的面积，即， ∴； （2）解： ， ∴一共需要A卡片6张，B卡片11张，C卡片4张， ∴，，， ∴； （3）解：观察图形可知，图2中一共用了3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片，组成的是一个长为，宽为的长方形， ∵3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片的面积之和等于长为，宽为的长方形面积 ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $