暑假专项作业：因式分解、分式与分式方程-2025-2026学年北师大版数学八年级下册
暑假专项作业：因式分解、分式与分式方程-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）
一、单选题
1．多项式
与
的公因式是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列各式，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若
三边a，b，c满足
，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．已知
，则代数式
的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
6．若关于
的分式方程
无解，则
的值为（ ）
A．
B．或0 C．
或0 D．
7．若关于的分式方程
的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
8．已知a、b满足等式，
，
，则x，y的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．根据《义务教育劳动课程标准（2022版）》的要求，某中学计划采购A、B两种型号的劳动工具开展农耕实践活动，预算总额设定为1200元．已知A型工具的单价比B型工具的单价便宜20元，如果全部购买A型工具，可比全部购买B型工具多买3把．设B型工具的单价为x元/把，则下列所列方程正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
10．如果关于x的分式方程
有负整数解，且关于x的不等式组
的解集为
，那么符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．因式分解：
________．
12．若分式方程
无解，则m的值是______．
13．若
，则代数式
的值_____ ．
14．若关于的分式方程
的解为正数，则
的取值范围为________．
15．设x为实数，已知实数x满足
．则
的值为________．
16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，
的平方差，且
，则称这个正整数为“智慧优数”，例如，
，
就是一个“智慧优数”，可以利用
进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第
个“智慧优数”是___．
三、解答题
17．把下列各式因式分解
(1)
；
(2)
．
18．解分式方程：
(1)
；
(2)
．
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19．先化简，再求值：
，其中
，
20．我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法等方法．当不能直接运用以上方法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如：
，
．
根据上面的方法因式分解：
(1)
；
(2)
．
21．某水果店积极参与助农惠农活动，从果农处采购优质苹果助力乡村振兴．该水果店第一次花费500元购进一批苹果，由于销售状况良好，又花费1000元以相同的价格购进该品种苹果，所购质量比第一次购进质量多100千克．
(1)求这种苹果的进价是多少元每千克？
(2)已知该水果店内苹果和香蕉的单价分别为元每千克和
元每千克
，甲共购买了
千克水果，其中苹果千克，香蕉千克；乙共花费了
元，其中买苹果元，买香蕉元．若甲和乙的花费相同，通过计算说明甲、乙两人谁购买水果的总质量更大．
22．［阅读材料］：把代数式通过配方等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用．
例1：用配方法因式分解：
．
原式
例2：求
的最小值．
解：
；
由于
，所以
，
即的最小值为5．
(1)［类比应用］：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：
______；
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