暑假专项作业：因式分解、分式与分式方程-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦因式分解与分式方程，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，培养抽象能力、运算能力和模型意识，适配八年级暑假专项复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|公因式确定、分式方程解的讨论|结合劳动课程标准设计工具采购情境（题9）| |填空题|6|分组分解法、新定义“智慧优数”|以平方差公式探究数论性质（题16）| |解答题|7|分式方程应用、配方法推理|助农惠农背景下的进价问题（题21），“兄弟分式”新定义探究（题23）|

暑假专项作业：因式分解、分式与分式方程-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．多项式与的公因式是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各式，能用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 4．若三边a，b，c满足，则一定是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．已知，则代数式的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 6．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B．或0 C．或0 D． 7．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 8．已知a、b满足等式，，，则x，y的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．根据《义务教育劳动课程标准（2022版）》的要求，某中学计划采购A、B两种型号的劳动工具开展农耕实践活动，预算总额设定为1200元．已知A型工具的单价比B型工具的单价便宜20元，如果全部购买A型工具，可比全部购买B型工具多买3把．设B型工具的单价为x元/把，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 10．如果关于x的分式方程有负整数解，且关于x的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数a的和为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．因式分解：________． 12．若分式方程无解，则m的值是______． 13．若，则代数式的值_____ ． 14．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为________． 15．设x为实数，已知实数x满足．则的值为________． 16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”，例如，，就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第个“智慧优数”是___． 三、解答题 17．把下列各式因式分解 (1)； (2)． 18．解分式方程： (1)； (2)． 19．先化简，再求值： ，其中， 20．我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法等方法．当不能直接运用以上方法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如： ， ． 根据上面的方法因式分解： (1)； (2)． 21．某水果店积极参与助农惠农活动，从果农处采购优质苹果助力乡村振兴．该水果店第一次花费500元购进一批苹果，由于销售状况良好，又花费1000元以相同的价格购进该品种苹果，所购质量比第一次购进质量多100千克． (1)求这种苹果的进价是多少元每千克？ (2)已知该水果店内苹果和香蕉的单价分别为元每千克和元每千克，甲共购买了千克水果，其中苹果千克，香蕉千克；乙共花费了元，其中买苹果元，买香蕉元．若甲和乙的花费相同，通过计算说明甲、乙两人谁购买水果的总质量更大． 22．［阅读材料］：把代数式通过配方等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)［类比应用］：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； (3)仿照例2的步骤，求的最小值； (4)若，则______． 23．如果两个分式和满足（为整数），则称，为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，，满足，则称，为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”． (1)已知分式，，判断，是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． (2)已知“兄弟分式”，，分式为分式的“信度值”是，求（用含的代数式表示）； (3)已知，均为非零实数，分式，属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为，求分式的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专项作业：因式分解、分式与分式方程-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B C B A D A B 1．B 【详解】解： ∵ ， ， ∴ 两个多项式的公因式是． 2．D 【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形就是因式分解，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，变形是整式乘法，由整式乘积得到多项式，不符合因式分解的定义，故A不符合题意； 选项B中，等式右边的不是整式，不符合因式分解的要求，故B不符合题意； 选项C中，等式右边 是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义，故C不符合题意； 选项D中，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合因式分解的定义，故D符合题意． 3．C 【分析】能用平方差公式分解的多项式需要满足：多项式为两项，两项是符号相反的平方项，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A、是三项式，可用完全平方公式分解，不符合要求， 选项B、中不是平方项，不符合要求， 选项C、，是两个符号相反的平方项，符合平方差公式要求，可分解为， 选项D、，两个平方项符号相同，不符合要求． 4．B 【分析】本题考查因式分解与三角形形状判断，先对已知等式因式分解，再结合三角形三边关系得到边的等量关系，即可判断三角形形状． 【详解】∵ 是的三边长， ∴ ，即 ， ∵ ∴ ∵ ∴ ，即 ∴ 一定是等腰三角形 故选：． 5．C 【分析】先利用完全平方公式对所求代数式因式分解，再代入x的值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 6．B 【分析】分式方程无解分两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解使原分式方程分母为0（即产生增根），分两种情况计算即可得到的值． 【详解】解：， 原方程两边同乘，去分母得， 整理得：， ①当整式方程无解时，此时，方程变为，不成立，原方程无解； ②当整式方程有解，但解为原方程的增根时，原方程分母，得增根， 把代入，得，即； 综上，的值为或． 7．A 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于m的表达式，再根据方程的解为非负数且分式分母不为零，列出不等式求解即可得到m的取值范围． 【详解】解：对分式方程， 方程两边同乘去分母得： ， 展开整理得： ， ， ， ∵分式方程的解为非负数，且分母不为零， ，且， 解不等式得：，且． 8．D 【分析】本题采用作差法比较大小，对差因式分解后，利用平方数的非负性判断x与y的大小关系，用到了完全平方公式因式分解的知识． 【详解】解： ， ∵任何实数的平方都满足， ∴， 即． 9．A 【分析】本题为分式方程的实际应用题，解题思路为根据B型单价表示出A型单价，再结合总预算计算两种工具的可购买数量，最后根据数量关系列方程． 【详解】解：设B型工具单价为元/把， 由“A型工具单价比B型便宜20元”可得A型工具单价为元/把， 根据“如果全部购买A型工具，可比全部购买B型工具多买3把”可得， A选项符合题意． 10．B 【分析】先求解分式方程，根据分式方程有负整数解的条件得到a的初步范围，再解不等式组，根据已知解集确定a的取值范围，最后找出所有符合条件的整数a求和即可． 【详解】解：， 方程两边同乘 去分母得：， 整理得：， 解得：， ∵分式方程有负整数解，且分母不为零， ∴ ，且， 解得：，且； 解不等式组， 解第一个不等式得： ， 解第二个不等式得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， 综上可得，且， 又∵是负整数，因此为偶数，即为偶数， ∴符合条件的整数为：， 计算和为：． 11． 【分析】本题考查因式分解，解题思路为先将原式整理为平方差的形式，利用平方差公式分解后，再对可分解的多项式继续分解，直到不能再分解为止． 【详解】解： ． 12．或 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论：一是整式方程本身无解，二是整式方程的解为分式方程的增根，分别计算得到的值即可． 【详解】解： 去分母，两边同乘最简公分母，得， 移项整理得：， 原分式方程无解，因此分两种情况讨论： 当整式方程无解时，一次项系数为，即，解得； 当整式方程有解，且解为原分式方程的增根时，分式方程的增根使原方程分母为，可得或， 把代入，得，等式不成立，此种情况舍去， 把代入，得，解得； 综上，的值为或． 13． 【分析】先将因式分解后，再把整体代入求值，即可解题． 【详解】解：， ． 14． 且 【分析】先求出分式方程的解，结合为正数且，求出的取值范围． 【详解】解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， ∵为正数，且， ∴，且， ∴且． 15． 【分析】根据已知式子得出，进而利用完全平方公式求出的值，即可求解； 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 16． 【分析】利用平方差公式将“智慧优数”转化为两数之积，通过变量代换确定两因数需同奇偶且 ，再按奇偶分类枚举、排序得到第个“智慧优数”． 【详解】解：设， 令，，则， 可得， 解得， ，为正整数， ，为同奇偶的整数， ，， ，即， ， ， 解得， ， 当，为偶数： 若，，则， 若，，则， 当，为奇数： 若，，则， 将得到的“智慧优数”从小到大排序为，，， 故第个“智慧优数”为． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 18．(1) . (2) . 【分析】本题主要考查解分式方程，先去分母转化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】（1），       ， 检验：当 时， ， ∴ 是原方程的解； （2）． ， ， ， 检验：当 时， ， ∴ 是原方程的解． 19．， 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 20．(1) (2) 【分析】（1）利用分组分解法分解即可； （2）利用拆项添项法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．(1)这种苹果的进价是元每千克 (2)乙购买水果的总质量更大 【分析】（1）通过设单价是x元每千克，列出分式方程，解分式方程即可； （2）通过作差法计算两个代数式的差，化简后根据已知条件判断正负，从而比较大小． 【详解】（1）解：设这种苹果的进价是x元每千克，根据题意可得： ， ， ， ， 经检验，是原分式方程的根， 所以，这种苹果的进价为5元每千克； （2）由题意可知，甲共购买了千克水果，花费元， 甲和乙的花费相同，所以乙花费元，则，所以， 乙共购买了千克水果， ， 因为， 所以乙购买水果的总质量更大． 【点睛】解分式方程一定要进行检验，且分式方程的分母不为0，异分母分式进行相加减，先通分，化为同分母的分式进行计算． 22．(1) 9 (2) (3) 最小值为6 (4) 【分析】（1）利用完全平方公式求解； （2）先凑成局部完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将变形为完全平方加有理数的形式即可； （4）利用完全平方公式将变形为，求出x和y即可． 【详解】（1）解：， 故横线上添加9； （2）解： ； （3）解：； 由于，所以， 即的最小值为6； （4）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 23．(1)，是“兄弟分式”，信度值 (2) (3)或 【分析】根据题目中定义的“兄弟分式”和“信度值”列式进行求解， （1）计算，观察结果是否为整数即可判断，是否为“兄弟分式”，求解的值； （2）列式，即可解得； （3）列式或，分别解得与的关系式，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，是“兄弟分式”，信度值； （2）解：∵分式为分式的“信度值”是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵分式，属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为， ∴，或， ∴由得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入中， 则有； 由得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入中， 则有． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $