专题05等腰三角形(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026年人教版数学七升八暑假预习讲义

专题05等腰三角形暑假预习讲义 1.掌握等腰、等边三角形定义，分清腰、底、顶角、底角各部分名称。 2.熟记等腰三角形 “等边对等角”“三线合一” 两大核心性质，规范书写几何推理。 3.掌握等腰三角形判定 “等角对等边”，能区分性质与判定的逻辑区别。 4.熟记等边三角形三个内角均为 60°，掌握两种等边三角形判定方法。 5.会结合内角和、外角性质解决等腰三角形角度、边长计算，注意分类讨论。 6.能综合轴对称、全等三角形知识完成等腰三角形简单证明，体会分类、转化思想。 分层预习要求 基础：熟记等腰、等边三角形性质与判定，基础角度求值； 提高：运用三线合一证明线段、垂直、角平分； 拓展：等腰三角形边长 / 角度多解分类讨论，几何综合证明。 预习必备 知识梳理 1.等腰三角形核心知识速查表 2.等腰三角形基础概念 3.等腰三角形的重要性质 4.等腰三角形的核心判定 5.含30°角的直角三角形重要推论 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.等边对等角 2.三线合一 3.等角对等边证明等腰三角形 4.等角对等边证明边相等 5.等角对等边求边长 6.含30度角的直角三角形 7.格点图中画等腰三角形 8.找出图中的等腰三角形 9.等腰三角形的性质与判定 10.等边三角形的性质 11.等边三角形的判定 12.等边三角形的判定与性质 13.大(小)边对大(小)角定理 14.最短路径问题 强化题型 解答题11题型 知识点01:等腰三角形核心知识速查表 知识点02:等腰三角形基础概念 1. 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两条边：腰；第三条边：底边 两腰的夹角：顶角；腰与底边的夹角：底角 对称性：轴对称图形，1 条对称轴，为顶角平分线所在直线。 2. 特殊等腰三角形 —— 等边三角形 三条边全部相等的三角形是等边三角形，属于特殊的等腰三角形。 有3 条对称轴。 知识点03.等腰三角形的重要性质（必背） 性质 内容 几何语言 图示 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点04:等腰三角形的核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 知识点05:含 30° 角的直角三角形重要推论 1.内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2.几何语言： CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中线 ⇒ CD = AB 3.逆推论（判定）：直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对锐角为30。 Rt△ABC 中，∠C=30° ⇒ AB= BC。 知识点06:高频易错点汇总 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 三线合一滥用 腰上的高也套用三线合一 三线合一仅针对底边、顶角 看清是底边还是腰再使用 分类讨论遗漏 已知边长 / 角度只算一种情况 锐角需分顶角、底角；边长分腰、底 题干无图默认双解，钝角只有一解 等边三角形判定 只说等腰三角形就是等边 必须附加一个 60° 角才是等边三角形 判定条件缺一不可 30° 直角三角形 分不清哪条边是斜边 30° 角对的直角边 = 斜边一半，直角对斜边最长 做题标记直角与 30° 角 概念混淆 认为等腰三角形只有 1 条对称轴 等边三角形是特殊等腰，有 3 条对称轴 普通等腰 1 条，等边 3 条 题型1.等边对等角 【典例】用个全等的等腰三角形拼成如图所示的风车图案，则图中等腰三角形顶角的度数是_____． 【答案】 【分析】根据中心角由五个等腰三角形的底角围成，可先求底角，然后求顶角即可. 【详解】解：∵等腰三角形的底角为： ∴顶角为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，是边上的高．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等腰三角形的性质求出顶角的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，F是边、的垂直平分线的交点，连接、，若，则__________． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理可得，连接，则，，从而可得，，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 如图，连接， ∵F是边、的垂直平分线的交点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，在中，，，是的中线，平分，、相交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角结合三角形的内角和定理可得，由三线合一可得，结合角平分线可得，最后使用三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型2.三线合一 【典例】如图，屋顶房梁的钢架是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以确定竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是__________ ． 【答案】三线合一 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”． 【跟踪专练1】在等腰中，是边上的高，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断底和腰，再利用三线合一求解即可． 【详解】解：如图， ∵等腰中，． ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，点在边上，点在线段上，且，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】要得到，即点为的中点，结合图形可考虑利用等腰三角形“三线合一”的性质.已知，若添加，可利用等边对等角及角的和差关系推出，进而证明，得到，最后利用等腰三角形顶角平分线也是底边中线的性质即可得证． 【详解】解：添加条件：； 理由如下： 因为， 所以， 因为， 所以， 即， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， 即平分， 在中，因为，平分， 所以． 【跟踪专练3】如图，在中，，在上截取，作的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等腰三角形的“三线合一”和三角形中线平分其面积的性质，可推出的面积是面积的一半． 【详解】解：，且平分， 为的中线，为中点， 为的中线， ，， ，， ，即， ， ． 题型3.等角对等边证明等腰三角形 【典例】如图，已知一块四边形草地，其中，，，，则这块土地的面积为______．    【答案】 【分析】分别延长交于点，证明和是等腰直角三角形，然后求出和的面积即可． 【详解】解：如图，分别延长交于点，   ，， ， ， m，m， m，m， ，， 这块土地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过作辅助线，构造新的直角三角形，利用土地的面积来求解． 【跟踪专练1】如图，是一块三角形木板的残余部分，量得，，，则这块三角形木板另外一边的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和为，可得，则是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：，， ， ，即是等腰三角形， ， ． 【跟踪专练2】在中，是中点，，，垂足分别是，，，则是________三角形． 【答案】等腰 【分析】根据全等三角形的判定和性质求出，即可证明是等腰三角形． 【详解】∵是中点， ∴， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【跟踪专练3】如图，在中，，和的平分线分别交于点F，G，若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】由和角平分线的性质可得，根据等角对等边得出，再由线段的和差关系可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵和的平分线分别交于点F，G， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴. 题型4.等角对等边证明边相等 【典例】如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E．若，，则的周长为______．    【答案】9 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形中等角对等边的性质，证得的周长为是解决此题关键． 根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质，可得，等量代换可得，根据等角对等边可得，同理可得，可求得的周长为，据此即可求得． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：9． 【跟踪专练1】如图，在中，，D为的中点，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等角对等边得出，根据三线合一得出，，即可判断． 【详解】解：∵， ∴， 又D为的中点， ∴，，， 故A、C、D选项正确，但不符合题意； B选项无法证明，故错误，符合题意． 【跟踪专练2】如图，点为和角平分线的交点，，，．过作分别交，于点，．则的周长为__________． 【答案】 【分析】连接，，根据角平分线的性质，结合平行线的性质，证出，，即可得出的周长即为，故可得出结果． 【详解】解：连接，，如下图所示： ∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为： ． 【跟踪专练3】如图，在△ABC中，平分．若，则等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用角平分线的性质得到，从而得到，最后根据“在直角三角形中，所对边是斜边的一半”求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型5.等角对等边求边长 【典例】如图，，若，，则________． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的性质．等角对等边，根据全等三角形的性质得到，，根据等角对等边得出，进而可知． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，点为右侧一点，连接，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据等角对等边，由 可得 ，由 可得 ，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，的平分线交于点，交于点．如果，，那么_________． 【答案】 9 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义证得，从而得到，再结合求出，最后由求解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ，， ， ． 【跟踪专练3】如图，点是平分线上的一点，交于，于点，若，，则的长为（     ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】过点作，得到，由平行线的性质得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：过点作， ∵D是平分线上的一点，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型6.含30度角的直角三角形 【典例】如图，在中，，，，则_____． 【答案】6 【详解】解：在中，， ． 【跟踪专练1】一架梯子的长为，梯子与地面的夹角为，则梯脚之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直角三角形两锐角互余得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，，，则到的距离为________． 【答案】2.3 【分析】根据垂直平分线性质，以及等腰三角形性质推出，再结合三角形外角推出，最后根据直角三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：垂直平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴到的距离为． 【跟踪专练3】如图，在中，，，于点A，与边交于点D，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据等边对等角，求出，角的和差关系推出，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，再根据，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵于点A， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 题型7.格点图中画等腰三角形 【典例】如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小方格的格点上，则使为等腰三角形的顶角顶点有________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数． 【详解】解：当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有5个； 当为腰时，分别以、点为圆心，以为半径作弧，可找出格点的个数有3个； ∴这样的点有8个． 故答案为：8． 【跟踪专练1】在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为腰；②为底边． 【详解】解：如图，①是腰时，红色的4个点可以作为点C，②是底边时，黑色的2个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，点，都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点也在格点处，则点所处的位置个数为_____． 【答案】6 【分析】根据网格结构，分别以、为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点，即可得到点的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有6个． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知A、B两点都在格点上，如果点C也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点C共有（   ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分情况讨论是解题的关键．结合图形，利用格点，分别讨论A、B、C分别为顶点时的情况，即可解决． 【详解】解：如图，以A为顶点时，符合条件的C点有、、、、，以B为顶点时，符合条件的C点有、，当C点为顶点时，没有符合条件的C点，故符合条件的点C共有7个． 故选：D． 题型8.找出图中的等腰三角形 【典例】如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    【答案】4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 【跟踪专练3】如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 题型9.等腰三角形的性质与判定 【典例】如图，从枕木的端点往铁轨拉两条长度相等的固定绳与，当固定点到枕木的端点的距离相等，且在同一直线上时，枕木就垂直于铁轨．其依据是______． 【答案】等腰三角形的三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 故答案为：等腰三角形的“三线合一”． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点是边上一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ， ， 又， ， ， 点是边上一点， ，选项符合题意． 【跟踪专练2】如图，在中，，垂足为，点在边上，，，，垂足为．如果，，那么_______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，得出，证明，得到，，即可得解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格中有线段，点在网格的格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明得到，，可证明，进而得到，再根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 由网格的特点可得，，， ， ，， ， ， ， ， ． 题型10.等边三角形的性质 【典例】在等边中，若过点作，垂足为点，则________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，可得平分，即可计算出的度数． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ∴平分， ． 【跟踪专练1】如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，根据等边三角形的性质可知，根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 【答案】/40度 【分析】先利用等边三角形每个内角为，结合，在中求出，再由对顶角、翻折性质得，推出，最后在中用内角和算出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得出，结合求出，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ∴， ， （两直线平行，同位角相等）． 题型11.等边三角形的判定 【典例】在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求解． 【详解】解：括号内填（答案不唯一）可以使等腰成为等边三角形． 【跟踪专练1】已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】利用平方和绝对值的非负性推导三边的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，即， ∴是等边三角形． 【跟踪专练2】在中，，，，P是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，点B的对应点为点D，若与直线所夹的锐角为，则的长为________． 【答案】3或 【分析】本题考查了直角三角形的性质、翻折的性质、等边三角形的判定，根据题意准确画出示意图是解题的关键． 根据含30度角的直角三角形的性质可得，再分两种情况讨论：当或时，利用直角三角形和等边三角形的性质求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与直线所夹的锐角为， ∴或； 当时，如图， 由翻折的性质得，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 由翻折的性质得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 综上，的长为3或． 故答案为：3或． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质和已知条件证明 是等腰三角形，再根据等边三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解： ，即 是等腰三角形 对于 A，若 ，则 ， 是等边三角形，故 A 不符合题意； 对于 B，若 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 B 不符合题意； 对于 C，若 ，则 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 C 不符合题意； 对于 D，若 平分 ，只能得到 ，无法推出 的内角为 或三边相等，故 D 符合题意． 题型12.等边三角形的判定与性质 【典例】如图，池塘旁边有一条笔直的小路和一棵小树A．测得的相关数据如下：．由上述数据可知__________m． 【答案】48 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质；证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：48． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】证明出是等边三角形，得到，然后求解即可． 【详解】解：∵以点A为圆心，长为半径作弧， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在等边三角形中，、的平分线交于点O，和的垂直平分线分别交于点E、F．如果，那么的周长是______． 【答案】27 【分析】连接，结合等边三角形的性质、角平分线的定义以及垂直平分线的性质证明为等边三角形，易得，进而可得，可证明，然后计算的周长即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵的平分线交于点O，和的垂直平分线交于E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 【跟踪专练3】如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】只要证明，是等边三角形，垂直平分线段即可一一判断． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ，， 线段沿翻折，得到线段， ，，，故②正确， ，，故①，③正确， ，， ， ， 是等边三角形， ，故④正确， 综上所述，正确的个数有4个． 题型13.大(小)边对大(小)角定理 【典例】在中，若，则_______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】确定两个角对应的对边，利用大角对大边即可比较边长大小． 【详解】解：在中，根据三角形边角关系：在同一个三角形中，大角对大边． 的对边为，的对边为， 已知， 可得，即． 【跟踪专练1】在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】在中，已知，，则应满足的条件是________． 【答案】 【分析】根据三角形大边对大角的性质，可得与的大小关系，再结合三角形内角和定理，即可推导出的取值范围． 【详解】解：在中，根据三角形边角关系：大边对大角， 边所对的内角为，边所对的内角为， 又 ， 根据三角形内角和定理， 可得 三角形的内角大于，即 解得 综上可得． 【跟踪专练3】如图，在中，根据图形折叠后的情况，不可以判定的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过折叠的性质，通过比较与的大小，即可判断与的大小，从而求解． 【详解】解：、如图， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 、如图， 由折叠可知，， ∴， ∴，不符合题意； 、由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 、如图， 由折叠可知，， 无法确定与的大小，从而无法确定与的大小，符合题意． 题型14.最短路径问题 【典例】如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）． 【答案】② 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边式解决问题的关键． 由三角形三边关系得到，根据图形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴ 路线的长度为， 路线的长度为， 故答案为：②． 【跟踪专练1】某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称−最短路线问题，关键是确定点M的位置． 根据折叠可知B和E关于AD对称，由对称的性质得出当M和D重合时，此时的值最小，即为． 【详解】解：连接，由题可知B和E关于AD对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M和点D重合时，此时的值最小，即为， ∴则的最小值为5， 故答案为：5． 【跟踪专练3】如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，从村庄到公路不能穿过生态保护区，结合图形可知到的最短路径需经过生态保护区的右下角顶点，将问题转化为求两点之间线段最短的问题求解即可 ． 【详解】解：设生态保护区右下角的顶点为， 从村庄到公路不能穿过生态保护区， 到的最短路径需经过点，即路径为， 总路程为， 为定值， 要使总路程最短，只需最短， 点在直线上方，点在直线下方， 根据“两点之间，线段最短”，连接交直线于点，此时最小， 即三点共线 观察图形，选项A符合共线且与相连的特征． 解答题 1．如图，等腰中，，、分别是、的四等分点，连接、．求证：． 【答案】证明：、是、的四等分点， ，． ， ，． ， ∴， ． 【分析】由等腰三角形的性质并结合题意可得，，再利用证明即可得证． 【详解】略 2．如图四边形中，于点，，连接、交于点，若点是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据题意可得，，进一步可推得，再根据等腰三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点． (1)从图中找出几对全等直角三角形，并给出证明． (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)，，，，， 证明：∵与是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴． (2)证明：由（1）可知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）根据题意容易证明，则，进而证明和，则，，因此．由等腰三角形的性质可得，，，从而证明和． （2）证明步骤见（1）． 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，点B，E，C，F在直线l上，，相交于点，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)证明： ， ， 即， 在和中， ． (2)证明：由（1）可知，， ， ， 是等腰三角形． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，等腰三角形的判定方法，进行解答，即可． （1）根据全等三角形的判定方法，可证明，即可； （2）由全等三角形的性质，得到，根据等角对等边，即可． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，，，与相交于点E，若F是的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明可得，利用等边对等角可得，再利用等腰三角形三线合一的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴． 6．如图，，，与相交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）证明，得到． （2）由含30度直角三角形的性质得出，由可得出，即可求出． 【详解】（1）证明：略． （2）解∶∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，，，、相交于点O． (1)求证：； (2)连接，则与的数量关系是_____． 【答案】(1)证明：在和中， ∴； (2) 【分析】（1）根据“”证明； （2）由得，得，进而得出，从而可得出． 【详解】（1）略； （2）解：如图， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 8．如图，已知：与都是等边三角形，点B、C、D在一直线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴； (2)证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，进而得到，根据即可证明； （2）根据等边三角形的性质得到，进而根据三线合一得到，根据全等三角形的性质得到，进而得到，即可证明． 【详解】（1）略； （2）略． 9．如图，在中，点、是边上两点，且． (1)求证：； (2)如果且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形．理由见解析 【分析】（1）由得到，再由即可得到； （2）由得到，根据等角的余角相等求得，得到，，可得到是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：是等边三角形． 理由：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 10．如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明：∵、都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵， ∴，， ∵分别是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）首先结合等边三角形的性质证明，进一步可得，然后利用“”证明即可； （2）首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 11．如图，一条东西流向的小河在处直角转弯，改变为南北流向，河宽不变．两地分别在河的北岸和西岸，现分别要在东西、南北流向的河上建两座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河两岸是平行线，桥与河垂直） 【答案】见解析 【分析】由于河的宽度是固定的，因此当最小时，最小，沿垂直河岸的方向平移点A到，使得河宽，再利用两点之间线段最短，可确定桥的位置． 【详解】解：如图，把河的两岸看成平行线和，将沿河岸垂直的方向平移等于河宽的距离，即点移动到点，点移动到点，则，； 同理，将点B沿垂直河岸方向平移河宽距离到点，使得，则； 所以， 在连接两点的线中，线段最短， 因此与直线的交点的位置即为所求，即在点处造桥，所得路径最短．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05等腰三角形暑假预习讲义 1.掌握等腰、等边三角形定义，分清腰、底、顶角、底角各部分名称。 2.熟记等腰三角形 “等边对等角”“三线合一” 两大核心性质，规范书写几何推理。 3.掌握等腰三角形判定 “等角对等边”，能区分性质与判定的逻辑区别。 4.熟记等边三角形三个内角均为 60°，掌握两种等边三角形判定方法。 5.会结合内角和、外角性质解决等腰三角形角度、边长计算，注意分类讨论。 6.能综合轴对称、全等三角形知识完成等腰三角形简单证明，体会分类、转化思想。 分层预习要求 基础：熟记等腰、等边三角形性质与判定，基础角度求值； 提高：运用三线合一证明线段、垂直、角平分； 拓展：等腰三角形边长 / 角度多解分类讨论，几何综合证明。 预习必备 知识梳理 1.等腰三角形核心知识速查表 2.等腰三角形基础概念 3.等腰三角形的重要性质 4.等腰三角形的核心判定 5.含30°角的直角三角形重要推论 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.等边对等角 2.三线合一 3.等角对等边证明等腰三角形 4.等角对等边证明边相等 5.等角对等边求边长 6.含30度角的直角三角形 7.格点图中画等腰三角形 8.找出图中的等腰三角形 9.等腰三角形的性质与判定 10.等边三角形的性质 11.等边三角形的判定 12.等边三角形的判定与性质 13.大(小)边对大(小)角定理 14.最短路径问题 强化题型 解答题11题型 知识点01:等腰三角形核心知识速查表 知识点02:等腰三角形基础概念 1. 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两条边：腰；第三条边：底边 两腰的夹角：顶角；腰与底边的夹角：底角 对称性：轴对称图形，1 条对称轴，为顶角平分线所在直线。 2. 特殊等腰三角形 —— 等边三角形 三条边全部相等的三角形是等边三角形，属于特殊的等腰三角形。 有3 条对称轴。 知识点03.等腰三角形的重要性质（必背） 性质 内容 几何语言 图示 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点04:等腰三角形的核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 知识点05:含 30° 角的直角三角形重要推论 1.内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2.几何语言： CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中线 ⇒ CD = AB 3.逆推论（判定）：直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对锐角为30。 Rt△ABC 中，∠C=30° ⇒ AB= BC。 知识点06:高频易错点汇总 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 三线合一滥用 腰上的高也套用三线合一 三线合一仅针对底边、顶角 看清是底边还是腰再使用 分类讨论遗漏 已知边长 / 角度只算一种情况 锐角需分顶角、底角；边长分腰、底 题干无图默认双解，钝角只有一解 等边三角形判定 只说等腰三角形就是等边 必须附加一个 60° 角才是等边三角形 判定条件缺一不可 30° 直角三角形 分不清哪条边是斜边 30° 角对的直角边 = 斜边一半，直角对斜边最长 做题标记直角与 30° 角 概念混淆 认为等腰三角形只有 1 条对称轴 等边三角形是特殊等腰，有 3 条对称轴 普通等腰 1 条，等边 3 条 题型1.等边对等角 【典例】用个全等的等腰三角形拼成如图所示的风车图案，则图中等腰三角形顶角的度数是_____． 【跟踪专练1】如图，在中，，是边上的高．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，F是边、的垂直平分线的交点，连接、，若，则__________． 【跟踪专练3】如图，在中，，，是的中线，平分，、相交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型2.三线合一 【典例】如图，屋顶房梁的钢架是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以确定竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是__________ ． 【跟踪专练1】在等腰中，是边上的高，则度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，点在边上，点在线段上，且，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）． 【跟踪专练3】如图，在中，，在上截取，作的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 题型3.等角对等边证明等腰三角形 【典例】如图，已知一块四边形草地，其中，，，，则这块土地的面积为______．    【跟踪专练1】如图，是一块三角形木板的残余部分，量得，，，则这块三角形木板另外一边的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．无法确定 【跟踪专练2】在中，是中点，，，垂足分别是，，，则是________三角形． 【跟踪专练3】如图，在中，，和的平分线分别交于点F，G，若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 题型4.等角对等边证明边相等 【典例】如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E．若，，则的周长为______．    【跟踪专练1】如图，在中，，D为的中点，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点为和角平分线的交点，，，．过作分别交，于点，．则的周长为__________． 【跟踪专练3】如图，在△ABC中，平分．若，则等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 题型5.等角对等边求边长 【典例】如图，，若，，则________． 【跟踪专练1】如图，点为右侧一点，连接，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 【跟踪专练2】如图，在中，的平分线交于点，交于点．如果，，那么_________． 【跟踪专练3】如图，点是平分线上的一点，交于，于点，若，，则的长为（     ） A． B．2 C．1 D． 题型6.含30度角的直角三角形 【典例】如图，在中，，，，则_____． 【跟踪专练1】一架梯子的长为，梯子与地面的夹角为，则梯脚之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，，，则到的距离为________． 【跟踪专练3】如图，在中，，，于点A，与边交于点D，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型7.格点图中画等腰三角形 【典例】如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小方格的格点上，则使为等腰三角形的顶角顶点有________个． 【跟踪专练1】在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，点，都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点也在格点处，则点所处的位置个数为_____． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知A、B两点都在格点上，如果点C也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点C共有（   ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 题型8.找出图中的等腰三角形 【典例】如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    【跟踪专练1】如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪专练2】如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【跟踪专练3】如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型9.等腰三角形的性质与判定 【典例】如图，从枕木的端点往铁轨拉两条长度相等的固定绳与，当固定点到枕木的端点的距离相等，且在同一直线上时，枕木就垂直于铁轨．其依据是______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点是边上一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，垂足为，点在边上，，，，垂足为．如果，，那么_______． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格中有线段，点在网格的格点上，则（     ） A． B． C． D． 题型10.等边三角形的性质 【典例】在等边中，若过点作，垂足为点，则________． 【跟踪专练1】如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 【跟踪专练3】如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型11.等边三角形的判定 【典例】在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 【跟踪专练1】已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【跟踪专练2】在中，，，，P是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，点B的对应点为点D，若与直线所夹的锐角为，则的长为________． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 题型12.等边三角形的判定与性质 【典例】如图，池塘旁边有一条笔直的小路和一棵小树A．测得的相关数据如下：．由上述数据可知__________m． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪专练2】如图，在等边三角形中，、的平分线交于点O，和的垂直平分线分别交于点E、F．如果，那么的周长是______． 【跟踪专练3】如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型13.大(小)边对大(小)角定理 【典例】在中，若，则_______．（填“”、“”或“”） 【跟踪专练1】在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在中，已知，，则应满足的条件是________． 【跟踪专练3】如图，在中，根据图形折叠后的情况，不可以判定的是（  ） A． B． C． D． 题型14.最短路径问题 【典例】如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）． 【跟踪专练1】某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 【跟踪专练3】如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，等腰中，，、分别是、的四等分点，连接、．求证：． 2．如图四边形中，于点，，连接、交于点，若点是的中点，．求证：． 3．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点． (1)从图中找出几对全等直角三角形，并给出证明． (2)求证：是等腰三角形． 4．如图，点B，E，C，F在直线l上，，相交于点，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 5．如图，，，与相交于点E，若F是的中点，连接．求证：． 6．如图，，，与相交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 7．如图，，，、相交于点O． (1)求证：； (2)连接，则与的数量关系是_____． 8．如图，已知：与都是等边三角形，点B、C、D在一直线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 9．如图，在中，点、是边上两点，且． (1)求证：； (2)如果且，试判断的形状，并说明理由． 10．如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 11．如图，一条东西流向的小河在处直角转弯，改变为南北流向，河宽不变．两地分别在河的北岸和西岸，现分别要在东西、南北流向的河上建两座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河两岸是平行线，桥与河垂直） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $