6.7 角的和差 预习讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦“角的和差”核心知识点，从角的两种定义（公共端点射线组成、射线旋转形成）切入，衔接角度制换算（度分秒关系），延伸至钟面角、方位角等实际应用，再通过角平分线性质构建角的和差运算体系，形成完整知识支架。 资料以6类题型（角的表示、度分秒运算等）为载体，结合钟表、方位等现实情境，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），通过角平分线推理题发展推理意识（数学思维），用符号准确表达角关系提升数学语言能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过练习查漏补缺，强化知识应用。

角的和差 一：角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 二：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 三：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 四：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 五：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点 六：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 题型1：角的表示 1.下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的表示方法和图形选出即可． 【详解】A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠O不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的、、表示同一个角，故本选项正确； D、图中∠1、∠MON、∠O不表示同一个角，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力． 2.下列图形中，能用，，表示同一个角的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的表示方法进行逐一分析，即角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． 【详解】A、因为顶点B处有2个角，所以这2个角均不能用∠B表示，故本选项错误； B、因为顶点B处只有1个角，所以这个角能用∠ABC，∠B，表示，故本选项正确； C、因为顶点B处有3个角，所以这3个角均不能用∠B表示，故本选项错误； D、因为顶点B处有4个角，所以这4个角均不能用∠B表示，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是角的表示方法，熟知角的三种表示方法是解答此题的关键． 题型2：角度制及其运算 1. 度 分 秒． 【答案】 【分析】根据，进行计算即可． 【详解】解：，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查度，分，秒的转化．熟练掌握，是解题的关键． 2.用度表示为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了度分秒的换算，从大单位到小单位要乘以进率，而从小单位到达单位要除以进率．根据度分秒的进率为，再进行换算即可． 【详解】解：， 故答案为 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了角度的加减运算，先把转化为，再进行减法运算即可得到答案，掌握角度的单位换算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 4． ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据，，进行换算即可，注意大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率． 【详解】解： ， 故答案为：，，． 题型3：钟面角 1.下列说法正确的是（    ） A．8时45分，时针与分针的夹角是 B．6时30分，时针与分针重合 C．3时30分，时针与分针的夹角是 D．9时整，时针与分针的夹角是 【答案】D 【分析】根据钟表上每个大格的夹角为，每个小格的夹角为，逐一计算出四个选项中时针与分针的夹角进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、8时45分，时针与分针间有个大格，其夹角为，原说法错误，不符合题意，选项错误； B、6时30分，时针与分针间有个大格，时针与分针不重合，原说法错误，不符合题意，选项错误； C、3时30分，时针与分针间有个大格，其夹角为，原说法错误，不符合题意，选项错误； D、9时整，时针与分针间有3个大格，时针与分针的夹角是，原说法正确，符合题意，选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了钟表时针与分针的夹角，解题关键是熟练掌握钟表上每个大格的夹角为，每个小格的夹角为，利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形更容易解题． 2．（2026上·重庆·七年级重庆一中校考阶段练习）图①钟面的角与图②钟面的角分别是（    ）度 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据钟面，每小时一个大格，每个度数为，即可得出图①钟面的角的度数，从而列式求解即可得到答案．根据钟面，的时针与时针之间间隔度数为，即可得出时的时针与分针之间间隔度数． 【详解】解：图①钟面的角的度数为：； 的时针与时针之间间隔度数为， ∴时的时针与分针之间间隔度数为， ∴图②钟面的角的度数为：． 故选：C． 【点睛】本题考查钟面角的应用，掌握钟面每一个大格的角度是解决问题的关键． 题型4：余角与补角 1.已知，与互余，则 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个角的余角，根据互余两角的度数之和为90度，进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2. 的角的补角等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角的计算，理解补角的概念，掌握补角的计算，角度的换算方法是解题的关键． 根据，运用进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 3.在三角形中，若的补角是，的余角是，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考考查了补角和余角的知识，几何中角度的计算，理解补角和余角的性质是解答本题的基础．根据补角和余角的性质求出和，即可求出． 【详解】解： ∵的补角是，的余角是， ∴， ∴， 故选：A． 4．一个角的补角比这个角的余角的3倍少10°，这个角的度数是（    ） A．40° B．35° C．30° D．45° 【答案】A 【分析】互余的两个角和为，互补的两个角和为，建立方程求解． 【详解】解：设这个角为度数，则， 解得； 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，补角的定义，余角的定义，根据题意建立方程是解题的关键． 5.如图，与互为补角，与互为余角，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了余角和补角，角平分线的定义，熟练掌握余角和补角，角平分线的定义进行求解是解决本题的关键． （1）根据余角的性质可得．由已知条件，可得，计算即可得出答案． （2）根据题意与互为补角，可得．设，由OE平分，可得，，再由列方程求解即可． 【详解】（1）∵与互为余角， ∴， ∵， ， ∴． （2）∵与互为补角， ∴． 设， ∵OE平分， ∴，， ∵， ∴ ， 解得：， ∴． 题型5：几何图形中角的计算 1.下列说法：①射线与射线是同一条射线；②两点确定一条直线；③把一个角分成两个角的射线叫作这个角的平分线；④连接两点的线段叫作这两点之间的距离．其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查射线识别，直线公理，角平分线的定义，两点之间的距离．根据射线定义可判断①，根据直线公理可判断②，根据角平分线的定义可判断③，根据两点之间距离定义可判断④． 【详解】解：射线与射线的起点不同方向不同，不是同一条射线，故①不正确； 经过两点，有且只有一条直线，两点确定一条直线，故②正确； 把一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线，故③不正确； 连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，故④不正确． 所以正确的说法有1个． 故选：A． 2.如图，已知，平分，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，平分，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，设，则，由角平分线的定义可得，，进而可得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4.若，则 ． A． B． C．或 D．无法确定 【答案】或 【分析】本题考查角的运算，掌握角的和差运算是解题的关键，注意要分类讨论． 根据题意，先求出，再分两种情况：①当点D在内部时，②当点D在外部，分别根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 分两种情况：①当点D在内部时，如图1． 则； ②当点D在外部（如图2）． 则． 综上，或， 5.如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，根据邻补角先求出，然后根据翻折可知进而求解． 【详解】解： 由翻折可知 故选：C． 6.如图．平分，平分．若，，则 ．    【答案】/82度 【分析】证明， ，求解，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的性质及角的运算，运用整体代换的思想是解题关键． 7．如图所示，是的平分线，是的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义和平面内角的相关计算，理解并掌握角平分线的定义是解题关键． 根据题意可知，结合角平分线的定义可得，由即可获得答案； 【详解】解：∵， ， ∵是的平分线， ， ∵是的平分线， ， ， 故选：B． 8.如图所示，点O是直线上一点，，平分．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查角的计算，关键是掌握角平分线定义．由平角定义求出的度数，由角平分线定义求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：是直线上一点， ， ， ， 平分， ， ， ． 9．如图，直线交于点O，平分平分：，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差运算，方程思想的应用．由角平分线知；设，由建立方程即可求得x的值，从而得；再角平分线的定义及和角关系即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 10.平面内，，为内部一点，射线平分，射线平分，射线平分，当时，的度数是 ． 【答案】 【分析】首先根据角平分线的定义可得，再设，用含的代数式表示出和，根据题意列出方程可得答案． 【详解】解：当在外部时，    射线平分，射找平分， ，， ， 射线平分， ， 设，则，， ， 解得， ∴； 当在内部时，    射线平分，射找平分， ，， ， 射线平分， ， 设，则，， ，解得：，不合题意； 综上，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，主要考查学生计算能力和推理能力，注意要分类讨论． 题型6：角的数量关系 1.如图，已知∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是(　　) A. β B. (α﹣β) C. α﹣β D. α 【答案】D 【解析】∵∠AOB＝α，∠BOC＝β， ∴∠AOC＝α+β， ∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线， ∴∠NOC＝∠BOC＝，∠MOC＝∠AOC＝， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝﹣＝． 故选：D． 2.如图，已知内部有两条射线，，平分，平分，，的度数分别为，，求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，根据已知可得，进而得出，根据即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴ ∴ ∵，，的度数分别为，， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角的和差倍分，数形结合是解题的关键． 3.如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出，进而即可求得； （2）由角平分线的定义得出，即； （3）由角平分线的定义得出得出，根据，，进而即可求解． 【详解】（1）解： 、分别平分，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 、分别平分，， ， ， ， ； （3）解：成立，理由如下， 、分别平分，， ， ， ． 4.如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分．    (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题考查了角度之间的和差关系，和角平分线有关的计算． （1）先求出，再根据平分，得出，即可求解； （2）易得，根据角平分线的定义得出，最后根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 整理得：． 5.已知，过点O任作一射线，平分，平分， (1)如图，当在内部时，试探寻与的关系； (2)当在外部时，其它条件不变，上述关系是否成立？画出相应图形，并说明理由． 【答案】(1) (2)或；理由见解析 【分析】本题考查了角的运算，角平分线的定义； （1）根据角平分线的定义可得，，根据，即可求解． （2）同（1）的方法，画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：平分平分， ，， ， ． （2）如图所示： 平分平分， ，， ， ． 如图所示， 平分平分， ，， ∴ ． 如图所示，当在的外部时， 温故知新 1.下列四个说法：①两点确定一条直线；②多项式的次数是9；③；④是方程．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的次数，度分秒的转换，方程的定义，根据相关知识逐一判断即可，熟知相关概念是解题的关键． 【详解】解：①两点确定一条直线，故①正确； ②多项式的次数是6，故②错误； ③，，，故③正确； ④不是方程，故④错误， 故正确的个数为2个， 故选：B． 2.如图，已知直线相交于点平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角平分线平分角，求出的度数，再利用平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴； 故选C． 3.如图，将三角板的直角顶点放在直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的和与差、角度的计算．根据、、，可得：． 【详解】解：如下图所示，， ， ， ， ． 故选：D ． 4.下列说法正确的个数有（   ） ①代数式的最小值是； ②若，则一定是正数； ③若，则的化简结果为0； ④若，，则； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的非负性，有理数的运算，角的大小比较，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据绝对值的非负性判断①②；根据有理数的乘除法法则，绝对值的意义判断③；将转化为度，分，秒的形式，比较大小，判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴代数式的最小值是；故①正确； ∵， ∴， ∴，即：一定是非负数；故②错误； 若，则：，或，， ∴或；故③正确； ∵， ∴，故④正确； 故选B． 5.用度、分、秒表示31.21°为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据1度等于60分，1分等于60秒，31.21°由大单位转换成小单位乘以60，按此转化即可. 【详解】解：31.21°= 故选：A 【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，掌握换算公式是解题的关键. 6.已知平面内∠AOB＝50°，∠COB＝10°，OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，则∠EOF＝   　． 【答案】30°或20° 【解析】①当OC在∠AOB外部时，如图所示： ∵∠AOB＝50°，∠COB＝10°，OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC， ∴∠EOB＝＝， ， ∴∠EOF＝∠EOB+∠BOF＝25°+5°＝30°； ②当OC在∠AOB内部时，如图所示： ∵∠AOB＝50°，∠COB＝10°，OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC， ∴， ， ∴∠EOF＝∠BOE﹣∠FOC＝25°﹣5°＝20°， 故答案为：30°或20°． 7.如图，直线、相交于点，平分，，则的度数是     　． 【答案】146° 【分析】根据题意，得，结合平分，求得，根据，解答即可． 本题考查了平角的定义，角的平分线，对顶角相等，熟练掌握角的平分线，平角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， 8.当时钟指向时间为时，钟表上的时针与分针的夹角为 度． 【答案】 9.如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是 ．      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，求出的度数，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，解题的关键是能够正确求出的度数． 10.如图，，为外的一个锐角，且，射线平分，平分，则的度数为 ． 【答案】45° 【分析】根据题意，先求得∠COB的值；OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，则可求得∠AOM、∠AON的值；∠MON=∠AOM+∠AON，计算得出结果． 【详解】∵∠AOB=90°，且∠AOC=40°， ∴∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°， ∵OM平分∠BOC， ∴∠BOM=∠BOC=65°， ∴∠AOM=∠AOB-∠BOM=25°， ∵ON平分∠AOC， ∴∠AON=∠AOC=20°， ∴∠MON=∠AOM+∠AON=45°． ∴∠MON的度数是45°． 【点睛】本题考查了余角的计算，角的计算，角平分线的定义．首先确立各角之间的关系，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是解题的关键． 11.一个角的余角的2倍比这个角的补角少，则这个角是 度． 【答案】 【分析】设这个角为，根据一个角的余角的2倍比这个角的补角少，列出方程，解方程即可． 【详解】解：， 设这个角为，根据题意得： ， 解得：， 即这个角为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，余角和补角的计算，解题的关键是根据等量关系，列出方程． 12.如图，平分，平分，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】70° 【分析】本题考查了角的和与差，角的平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； 利用角的平分线的性质，可设，则，结合角的和差求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 13.如图，，平分，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角和角平分线的定义，角度和差，根据角度和差得出，则有，然后通过角平分线定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 角的和差 一：角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 二：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 三：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 四：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 五：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点 六：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 题型1：角的表示 1.下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 2.下列图形中，能用，，表示同一个角的是（  ） A． B． C． D． 题型2：角度制及其运算 1. 度 分 秒． 2.用度表示为 ． 3．计算： ． 4． ． 题型3：钟面角 1.下列说法正确的是（    ） A．8时45分，时针与分针的夹角是 B．6时30分，时针与分针重合 C．3时30分，时针与分针的夹角是 D．9时整，时针与分针的夹角是 2．（2026上·重庆·七年级重庆一中校考阶段练习）图①钟面的角与图②钟面的角分别是（    ）度 A． B． C． D． 题型4：余角与补角 1.已知，与互余，则 ． 2. 的角的补角等于 ． 3.在三角形中，若的补角是，的余角是，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．一个角的补角比这个角的余角的3倍少10°，这个角的度数是（    ） A．40° B．35° C．30° D．45° 5.如图，与互为补角，与互为余角，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型5：几何图形中角的计算 1.下列说法：①射线与射线是同一条射线；②两点确定一条直线；③把一个角分成两个角的射线叫作这个角的平分线；④连接两点的线段叫作这两点之间的距离．其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，已知，平分，且，则 ． 3．如图，平分，平分，若，则 ． 4.若，则 ． 5.如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 6.如图．平分，平分．若，，则 ．    7．如图所示，是的平分线，是的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8.如图所示，点O是直线上一点，，平分．若，求的度数． 9．如图，直线交于点O，平分平分：，求的度数． 10.平面内，，为内部一点，射线平分，射线平分，射线平分，当时，的度数是 ． 题型6：角的数量关系 1.如图，已知∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是(　　) A. β B. (α﹣β) C. α﹣β D. α 2.如图，已知内部有两条射线，，平分，平分，，的度数分别为，，求的度数． 3.如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 4.如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分．    (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 5.已知，过点O任作一射线，平分，平分， (1)如图，当在内部时，试探寻与的关系； (2)当在外部时，其它条件不变，上述关系是否成立？画出相应图形，并说明理由． 温故知新 1.下列四个说法：①两点确定一条直线；②多项式的次数是9；③；④是方程．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，已知直线相交于点平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3.如图，将三角板的直角顶点放在直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 4.下列说法正确的个数有（   ） ①代数式的最小值是； ②若，则一定是正数； ③若，则的化简结果为0； ④若，，则； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5.用度、分、秒表示31.21°为（    ） A． B． C． D． 6.已知平面内∠AOB＝50°，∠COB＝10°，OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，则∠EOF＝   　． 7.如图，直线、相交于点，平分，，则的度数是     　． 8.当时钟指向时间为时，钟表上的时针与分针的夹角为 度． 9.如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是 ．      A． B． C． D． 10.如图，，为外的一个锐角，且，射线平分，平分，则的度数为 ． 11.一个角的余角的2倍比这个角的补角少，则这个角是 度． 12.如图，平分，平分，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 13.如图，，平分，若，则的度数为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $