第04讲 有理数乘方、科学记数法、近似数 期复习讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦有理数乘方、科学记数法、近似数核心知识，从乘方定义出发，通过符号法则、易混淆式子辨析构建运算基础，衔接混合运算顺序，延伸至科学记数法的规范表达及近似数的精确度判断，形成递进式学习支架。 资料以6大易错辨析（如区分-2³与(-2)³）和10类典例精讲（含细菌分裂、算“24点”等情境）为特色，通过错误对比培养抽象能力与运算能力，结合实际问题发展应用意识，课中助力教师突破重难点，课后可通过分层作业帮助学生查漏补缺，强化知识内化。

第04讲 有理数乘方、科学记数法、近似数 （核心知识+6易错辨析+10典例精讲+课后作业） 【知识点01】乘方的定义 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方是一种特殊的乘法运算。 记作： ：底数（参与相乘的相同因数） ：指数（相同因数的个数） ：幂（乘方运算的最终结果） 读法：的次方 / 的次幂 公式展开： 特殊规定：，指数1无特殊要求时通常省略不写。 【知识点02】有理数乘方符号法则（核心重点） 无需计算具体数值，可直接根据底数和指数判断幂的符号： 正数的任何次幂都是正数； 负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数； 0的任何正整数次幂都等于0。 典型示例： 【知识点03】易混淆式子：与 两个式子外观相似，但底数、运算顺序完全不同，是本节核心考点： ：底数是，表示个相乘，括号包含负号； ：底数是，先计算的结果，再对结果取相反数，负号不在底数范围内。 对比示例： 【知识点04】有理数混合运算顺序（含乘方） 当算式中同时出现乘方、乘除、加减和括号时，严格遵循以下顺序： 1.优先计算乘方运算； 2.再计算乘除运算，同级运算从左到右依次进行； 3.最后计算加减运算； 4.有括号的先算括号内的内容，运算顺序：小括号→中括号→大括号。 【知识点05】科学记数法（本节拓展重点） 定义：把绝对值大于10的有理数表示成 的形式。 核心要求：，为正整数。 的取值规律：原数的整数位数 示例： 【知识点06】近似数与精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个近似数精确到哪一位。 示例： 精确到百分位（0.01位）。 易错点1：混淆 和 ❌ 错误解法： ✅ 正确解法： 辨析：无括号时，底数只有数字2，先算乘方再取相反数，负号不属于底数。 ❌ 错误解法： ✅ 正确解法： 辨析：底数为负数，指数3是奇数，负数的奇次幂为负数。 易错点2：分数乘方遗漏括号 ❌ 错误认知：将 等同于 ✅ 正确计算： 辨析：分数的乘方，需要将整个分数（分子+分母）作为底数，必须添加括号，仅分子平方不是分数整体的乘方。 易错点3： 符号判断错误 ❌ 错误解法： ✅ 正确解法： 辨析：该式底数是1，而非-1，先算，再取相反数；仅。 易错点4：混合运算顺序混乱 ❌ 错误解法： ✅ 正确解法： 辨析：混合运算必须先算乘方，再算乘法，不能优先合并底数与系数。 易错点5：科学记数法书写不规范 ❌ 错误书写：（，不符合要求） ✅ 规范书写： 辨析：科学记数法的核心硬性要求是，超出范围需调整指数。 易错点6：符号判断凭直觉 万能口诀：看底数，看指数，括号直接决定底数范围，不凭主观直觉判断符号。 【题型一】有理数幂的概念理解 【例1】．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 【例2】．（25-26七年级上·河北保定·期末）为了简便，可以将记为_____． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】n个相同因数相乘可以写成该数的n次方形式，据此进行解答． 【详解】解：根据乘方的定义， n个相同的因数5相乘，记为5的n次方，即． 【变式1】．（25-26七年级上·河南南阳·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查乘方的定义，依据乘方的概念直接推导即可． 【详解】解：∵求个相同因数的积的运算叫做乘方，其中相同因数为底数，因数的个数为指数， ∴个相乘可表示为， ∴答案选：． 【变式2】．（25-26七年级上·广东江门·期中）的底数是_____，指数是_____，幂是_____． 【答案】 2 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查乘方的定义，在中，a叫做底数，b叫做指数，叫做幂，据此可得答案． 【详解】解：根据乘方的定义，中，底数是，指数是2，幂是， 故答案为：，2，． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）请指出下列各式表示的意义： ，，，，． 【答案】表示3个4相乘． 表示10个3相乘． 表示4个5相乘． 表示10个相乘． 表示4个相乘． 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查幂的意义，即乘方运算表示多个相同因数相乘． 【详解】解：∵ 表示 n 个 a 相乘， ∴表示3个4相乘． 表示10个3相乘． 表示4个5相乘． 表示10个相乘． 表示4个相乘． 【题型二】有理数的乘方运算 【例3】．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算 【详解】解：选项A：，， ，符合要求； 选项B：，， ，不符合要求； 选项C：，， ，不符合要求； 选项D：，， ，不符合要求． 【例4】．（25-26七年级上·广东江门·期中）计算：___________． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】根据有理数乘方的运算法则，负数的奇次幂为负数，先计算底数绝对值的乘方，再确定结果的符号． 【详解】解：． 【例5】．（25-26七年级上·吉林·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算（含乘方、绝对值），熟练掌握有理数混合运算的顺序（先乘方、再乘除、最后加减）是解题的关键． 按照有理数混合运算的顺序，先计算乘方、绝对值，再计算除法，最后计算加减． 【详解】解： ． 【变式1】．（24-25七年级上·云南德宏·期末）下列算式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数乘方的运算，根据乘方的定义，分别计算每个选项的结果，即可判断正误． 【详解】解：∵ ，∴ A错误． ∵ ，∴ B错误． ∵ ，∴ C错误． ∵ ，等式成立，∴ D正确． 【变式2】．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）把写成（a是整数）的形式___（全部写出来）． 【答案】或 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即记作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，a叫做底数，n叫做指数．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：或 【变式3】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的乘方运算 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式4】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． （1）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （2）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （3）按照有理数的乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 【题型三】有理数乘方逆运算 【例6】．（22-23七年级下·福建三明·阶段检测）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 【例7】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）若，则________． 【答案】或3 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． 将27化为幂的形式，然后逆用有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 因为， 所以或， 故答案为：或3． 【变式1】．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，弄懂题意并掌握乘方的运算法则是解答的关键． 【详解】解：根据题意，第一天后剩尺， 两天之后剩（尺）， 第三天后剩（尺）， … 第n天后剩（尺）， 第五天后这个“一尺之棰”还剩（尺）． 故选：D． 【变式2】．（22-23七年级上·黑龙江鸡西·期中）计算：_________． 【答案】 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】把原式化为，再逆用积的乘方运算可得答案． 【详解】解： ． 故答案为： 【点睛】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键． 【变式3】．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：由（1）的结论可得：． 【题型四】乘方运算的符号规律 【例8】．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段检测）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 【变式1】．（25-26七年级上·海南三亚·期末）计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】本题考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：当时，∴，故A选项错误； 根据有理数乘方法则，互为相反数的两个数的偶次幂相等，，故B选项正确； 当时，，而，故C选项错误； 当时，，而，故D选项错误． 故选B． 【变式2】．（23-24七年级下·辽宁鞍山）一列数，a，，，，…按此规律排列下去，则第n个数是_________________． 【答案】 【知识点】乘方运算的符号规律、单项式规律题 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，寻数列规律，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的关键方法． 通过观察，发现这一列数的系数是正负间隔出现，单数为正，双数为负，系数的绝对值等于该项字母的次数，系数的绝对值和字母的次数都是这个单项式的次序，依此求解即可． 【详解】解：根据数值的变化规律可得： 第1个数a的指数为1，系数为， 第2个数a的指数为2，系数为， 第3个数a的指数为3，系数为， 第4个数a的指数为4，系数为， …， 所以这列数中的第n个数a的指数为n，系数为， 所以这列数中的第n个数为． 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）探究规律，完成相关题目．定义“*”运算： ；；；；；； (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为______，并把这两个数的______相加，请把运算法则补充完整； (2)计算： (3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 【答案】(1)正或0，平方 (2)170 (3) 【知识点】乘方运算的符号规律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题为新定义运算问题，考查了有理数的混合运算，平方的非负性等知识，归纳出符号*的运算法则是解题关键． （1）根据提供的7个计算题，从符号和绝对值两方面进行归纳即可求解； （2）根据（1）结论先计算，再计算即可求解； （3）根据（1）结论得到，即可得到，从而求出 【详解】（1）解：归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为正或0，并把这两个数的平方相加． 故答案为：正或0，平方； （2）解：； （3）解：因为， 所以， 所以， 所以． 【题型五】乘方的应用 【例9】．（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】乘方的应用 【分析】根据每过30分钟便会由1个分裂成2个，由4小时求出分裂的次数，即可确定出分裂的个数． 【详解】解：4小时求出分裂的次数为（次）， 经过30分钟，这种细胞由1个能分裂成个 经过60分钟，这种细胞由1个能分裂成个， ...， ∴经过4小时，这种细胞由1个能分裂成个． 【例10】．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第5次截取后剩下的木棒长度为_________尺． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．根据每日截取木棒的一半，每次截取后剩下的长度是前一次的一半，进而求出第5次截取后剩下的长度． 【详解】解：（尺）， 即第5次截取后剩下的木棒长度为尺， 【例11】．（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题中所给的错位相减法进行求解即可． 【详解】解：设①， 将等式两边同时乘以6得：②， 再将得：， 即． 【变式1】．（25-26七年级上·河南濮阳·期末）如图是第十四届国际数学教育大会（）会徽，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．该八进制数转换成十进制数的计算方式为：，请将十进制数20转换成八进制数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】乘方的应用 【分析】根据十进制换算成八进制的方法计算即可． 【详解】解：∵， ∴十进制数20换算成八进制数是24． 【变式2】．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查有理数的乘方的应用，由题意可得第n天操作后剩余全长的，则第1天到第n天一共截取的长度为米． 【详解】解：由题意知，第1天操作后剩余全长的， 第2天操作后剩余全长的， 第3天操作后剩余全长的， 第4天操作后剩余全长的， 第5天操作后剩余全长的， 第1天到第5天一共截取的长度为（米）， 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·福建南平·期末）我们知道，十进制是逢十进一，十进制数3742中的3表示3个千，7表示7个百，4表示4个十，2表示2个一，于是得到下面的式子：．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1． 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．将(1011)2转换为十进制数，如下：． 小明设计一种游戏：将十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”按顺序分别编号为1到12．四张卡片A，B，C，D上的数字为0或1（顺序为），如：A．1，B．1，C．0，D．0，记为，然后将二进制数转换为十进制数，就可能得到对应生肖的编号． （1）请将二进制数转换为十进制数； （2）若A，D卡片上的数字都为0，B，C卡片上的数字都为1，对应的生肖是什么？请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华设计一个“猜生日”的游戏，用5张卡片A，B，C，D，E组成的二进制数来表示1号到31号中的一天，五张卡片A，B，C，D，E上的数字为0或1（顺序为）．他的生日是八月的某天，若A，D卡片上的数字都为1，其他卡片上的数字都为0，他的生日是八月几号？请说明理由． 【答案】（1）12；（2）对应的生肖是蛇，见解析；（3）他的生日是八月18号，见解析 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制、十进制数的定义以及计算方法是正确解答的关键． （1）根据二进制与十进制的计算方法进行计算即可； （2）根据二进制的定义以及与十进制的计算方法进行计算即可； （3）根据二进制的定义以及与十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）对应的生肖是蛇．理由如下： 因为    所以对应的生肖是蛇． （3）他的生日是八月18号．理由如下： 因为     所以他的生日是八月18号． 【题型六】程序流程图与有理数计算 【例12】．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】根据流程图，列式计算即可． 【详解】解：． 【例13】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是________． 【答案】 10 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】把代入转换器中计算即可． 【详解】解：， ， 输出结果为10． 【例14】．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图是一个数值转换机，当输入的数字是时，按照图中的程序计算，求输出的答案． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，先将代入程序，然后按照程序图计算即可． 【详解】解：根据题意可知， 当时，原式． 【变式1】．（25-26七年级上·广西贵港·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】将代入程序流程图的运算步骤，先计算平方、乘3 、减去5，判断结果是否大于0，若不大于0，则再次代入计算，直到结果大于0，输出结果． 【详解】解：当时，， ， 所以输出的值为7． 【变式2】．（25-26七年级上·四川成都·期末）按如图程序计算，如果输入的数是，那么输出的数是__________． 【答案】4 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序框图与有理数的混合运算，解题的关键是逆向求解． 根据程序框图逆向求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：4． 【变式3】．（25-26七年级上·江西上饶·期中）数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后再进行下一步运算．例如：小贤先输入一个有理数，再按的顺序运算，则可列算式． (1)当时，求算式的值． (2)若小艺输入的的值为2，再按的顺序运算，请求出运算结果． 【答案】(1)65； (2)． 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）先计算乘法，最后再计算加减法； （2）根据所给顺序进行运算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：由题意得． 【题型七】算“24”点 【例15】．（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】算“24”点 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 【例16】．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握点游戏的规则是解题的关键． 根据点游戏的规则，利用给定的数字进行组合得到即可． 【详解】解：根据题意，可知四个数分别为， 通过观察可知， ． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是________． 【答案】 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键．利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】．（22-23七年级上·全国·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数的乘方运算、算“24”点 【分析】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 【变式3】．（25-26七年级上·广东阳江·期中）小明有五张写着不同数的卡片（如图），请你按要求选择卡片，回答下列问题： (1)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数的乘积最大，则这两张卡片上的数分别是？ (2)从中选择四张卡片，每张卡片的数只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可） 【答案】(1)和 (2) 【知识点】两个有理数的乘法运算、算“24”点 【分析】本题考查了有理数的乘法、除法、混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）找出两个数字，使其积最大即可； （2）利用24点游戏规则判断即可． 【详解】（1）解：，， 可知两张卡片上的数字分别是和时，乘积最大； （2）解：根据题意得： ． 【题型八】含乘方的有理数混合运算 【例17】．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要和两个数字就可以表示数，如二进制中的（注：），可以表示十进制中的．则二进制中的表示十进制中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的乘方运算，需根据二进制转十进制的规则，将二进制数按位展开为的整数次幂的和，计算得到对应十进制数． 【详解】解：二进制中的转化为十进制为：． 故选：A． 【例18】．（22-23七年级上·福建泉州·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】解：， ， ， ． 【变式1】．（25-26七年级上·四川成都）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】对每一项进行化简，再用裂项相消法计算求和． 【详解】解： ． 【变式2】．（25-26七年级上·广东东莞·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】解： ． 【变式3】．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解： （2）解： 【题型九】科学记数法 【例19】．（25-26七年级上·河南周口·期末）到2025年，我国某科技企业研发投入累计达元，这个数的原数是（    ） A．120000000 B．1200000000 C．12000000 D．12000000000 【答案】B 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【详解】解：． 故选：B． 【例20】．（22-23七年级上·河南开封·阶段检测）用科学记数法表示为______． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，为整数. 解题时需根据原数确定和的值，当原数的绝对值大于时，等于原数的整数位数减. 【详解】解：的绝对值大于，整数位数为， 可得，， 因此. 【变式1】．（25-26七年级上·全国·期末）用科学记数法表示一个数记为，则这个数原来是____________． 【答案】 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查科学记数法表示的数变回原数，科学记数法指把一个数写成（其中 ，为整数）的形式，据此解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】．（2025七年级上·北京·专题练习）用科学记数法表示． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的定义与表示方法，掌握科学记数法的形式是解题关键． 将数字转换为科学记数法形式，其中，为整数． 【详解】解：科学记数法的表示形式为（其中，为整数）， 对于， 确定：的小数点向左移动位，得到（满足）； 确定：小数点向左移动了位，得到， 故的科学记数法表示为． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列用科学记数法记出的数的原数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)1381 (2)923000 (3)2008000 (4)21100000 (5)800000000 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，把变成原数时，把a的小数点向右移动n位即可得到答案． （1）把的小数点向右移动3位即可得到答案； （2）把的小数点向右移动5位即可得到答案； （3）把的小数点向右移动6位即可得到答案； （4）把的小数点向右移动7位即可得到答案； （5）把8的小数点向右移动8位即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【题型十】近似数 【例21】．（25-26七年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 【答案】D 【知识点】求一个数的近似数、求近似数的精确度 【分析】根据近似数的精确位数判断各选项正误． 【详解】解：A.近似数精确到十分位，精确到百分位，二者意义不同，A错误； B.万精确到千位，B错误； C.300精确到个位，C错误； D. 将精确到百分位是，D正确； 【点睛】掌握近似数的精确度及四舍五入规则． 【例22】．（22-23七年级上·全国·期末）数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】近似数是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则进1，若下一位小于5，则舍去，据此即可解答． 【详解】解：根据取近似数的方法，则a的取值范围是：． 【例23】．（25-26七年级上·河南周口·期末）用四舍五入法得到的近似数精确到_________． 【答案】千位 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查近似数的精确度．科学记数法表示的近似数，其精确度由系数最后一位数字所在的数位决定，据此进行解答即可． 【详解】解：， 系数最后一位数字0对应千位， 故精确到千位． 故答案为：千位． 【变式1】．（2024七年级上·山东聊城·专题练习）一个三位小数，四舍五入后是，这个三位小数最小是( )，最大是( )． 【答案】 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】保留两位小数需观察千分位上的数字，千分位数字小于时直接舍去，千分位数字大于或等于时向前一位进，“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，分两种情况讨论即可得到结果． 【详解】解：若近似数是“四舍”得到的，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位最大取，即最大的三位小数为； 若近似数是“五入”得到的，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位最小取，即最小的三位小数为． 【变式2】．（25-26七年级上·福建漳州·期中）古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为……用四舍五入法精确到百分位为_________． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查近似数的四舍五入法，解题思路为确定精确数位，观察下一位数字，根据四舍五入规则求解． 【详解】解：根据题意，精确到百分位，即保留小数点后两位，需要观察小数点后第三位，即千分位的数字．，千分位数字为，因为，根据四舍五入规则，向百分位进．因此得到的结果为． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·寒假作业）用四舍五入法按括号里的要求对下列各数取近似值： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到千分位）； (4)亿（精确到百万位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求一个数的近似数、求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数与有效数字，解题的关键是明确四舍五入的规则，找准精确位的下一位数字进行判断． （1）精确到，看万分位数字，四舍五入； （2）精确到个位，看十分位数字，四舍五入； （3）精确到千分位，看万分位数字，四舍五入； （4）先将“亿”化为具体数，找到百万位，看十万位数字，四舍五入后用科学记数法表示． 【详解】（1）解：（精确到）； （2）解：（精确到个位）； （3）解：（精确到千分位）． （4）13.052亿. 【变式4】．（25-26七年级上·全国·寒假作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 【答案】(1)原轴长的合格范围为大于或等于，且小于 (2)产品不合格 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题主要考查了根据近似数求原数的范围，熟知近似数的相关知识是解题的关键． （1）图纸要求精确到，相当于要精确到小数点后两位，据此根据四舍五入的方法求解即可； （2）根据即可得到结论． 【详解】（1）解：∵图纸要求精确到， ∴原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； （2）解：由（1）可知，原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； ∵， ∴产品不合格． 1. 本质定义：乘方是多个相同因数相乘的特殊乘法运算，解题第一步必须分清底数和指数，括号是界定底数范围的关键。 2. 符号核心规律：正数所有次幂为正；负数偶次幂为正、奇次幂为负；0的所有正整数次幂为0，可快速判断幂的正负，简化计算。 3. 运算核心顺序：牢记“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”，杜绝运算顺序颠倒的低级错误。 4. 高频丢分点：重点区分与，分数、负数乘方必须添加括号，是本节最易出错的知识点。 5. 拓展知识点：科学记数法严格遵循的规范，熟练掌握大数的简洁表示方法，适配考试基础题型。 一、单选题 1．2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原为原数，根据科学记数法定义，将还原时，只需把的小数点向右移动位即可得到原数． 【详解】中， 将的小数点向右移动位，得到原数为，故选B． 2．中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达．将销售数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对乘方概念的理解和计算能力．需按照乘方的定义，即指数表示相同因数的连乘，逐个分析选项的正确性即可． 【详解】根据乘方的定义，，而非题目中给出的，因此选项A错误． 根据乘方的定义，，而非题目中给出的，因此选项B错误． 根据乘方的定义，，而非题目中给出的，因此选项C错误． 根据乘方的定义，，与题目中给出的相符，因此选项D正确． 故选：D． 4．下列各式化简后结果最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．根据有理数的混合运算，逐项计算，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ∵， ∴各式化简后结果最大的是． 故选：C 5．日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的，可以表示十进制中的10．那么，三进制中的表示的是十进制中的（   ） A．54 B．60 C．61 D．73 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据三进制与十进制的数的转化方法计算即可． 【详解】解：， 故三进制中的表示的是十进制中的61， 故选：C． 6．计算的结果是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握其运算法则是关键． 根据先根据有理数的乘方法则计算，再计算除法即可． 【详解】解：， 故选：A ． 7．二进制在计算机科学中有广泛应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习《进位制的认识与探究》后，小明查阅了资料并进行思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换．以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：可用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把123转换为四进制数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：， 则把123转换为四进制数是， 故选：A． 二、填空题 8．计算： _______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则，准确计算． 【详解】解：． 故答案为：． 9．用四舍五入法给取近似值，精确到的结果是_________． 【答案】 【分析】本题考查近似数，精确到时，需观察小数点后第3位上的数，四舍五入即可． 【详解】解：． 故答案为． 10．“算24点”是大家熟悉的一种游戏．现有数字6、5、5、1，请你用加、减、乘、除运算（允许用括号）写出一个运算结果为24的式子：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则．利用加、减、乘、除运算得出即可． 【详解】解：列出的算式是． 故答案为：．（答案不唯一） 11．按照如图所示的数值转换器，若输入的值为，则输出的结果为______________ 【答案】 【分析】把代入，逐步计算即可． 【详解】解：由图可得， 当时，， 当时，， 则输出的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 12．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，约定逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进几”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区别不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数1010的简单写法．十进制数一般不标注基数，现在我们通常用的是十进制数．各进制数之间可以进行转换，如二进制数1010可以转换成与其相等的十进制数，转换过程如下：，十进制数19可以转换成与其相等的二进制数，转换过程如下：为二进制下的五位数（规定当时，）．根据以上材料解决如下问题： （1）七进制数转换成十进制数的值是___________； （2）十进制数1029是二进制下的多少位数？___________位数． 【答案】 66 11 【分析】本题考查有理数的运算，掌握进制之间的转换方法是解题的关键． （1）根据进制转换规则，将七进制数每位数字乘以7的相应幂次后求和； （2）找到使成立的最小正整数n，即为二进制位数． 【详解】解：（1）七进制数转换为十进制数的计算过程为： ． 故答案为：66． （2）计算2的幂次：，． 由于， 即， 因此十进制数1029在二进制下是11位数． 故答案为：11． 三、解答题 13．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． （1）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （2）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （3）按照有理数的乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)3 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行． 15．某工厂小张师傅接受了加工两根轴的任务，他很快地完成了任务，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小张不服气地说：“图纸上要求的是，而我做的轴，一根是，另一根是，怎么不合格了？” 请你说一说，是小张师傅做的轴不合格，还是质检员故意刁难？为什么？ 【答案】小张师傅做的轴不合格．理由见解析 【分析】本题主要考查了近似数的应用，根据题意推出近似数的精确数x应满足，据此可得结论． 【详解】解：小张师傅做的轴不合格．理由如下： ∵近似数的精确数x应满足，而小张师傅做的一根轴长，小于， ∴不合格； ∵另一根轴长，大于， ∴也不合格． 16．河北枣类特产体验店上架了两种商品：赞皇大枣和金丝小枣，单价分别为5元/份､8元/份．现已售出m份赞皇大枣和n份金丝小枣，共卖出Q元． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)当时，用科学记数法表示Q的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式以及科学记数法，解题的关键是根据单价，数量和总价的关系列出代数式，并正确进行数值计算和科学记数法的转换．根据“总价=单价数量”分别求出两种枣的销售额，再求和得到的表达式． （1）将m，n的值代入表达式计算的值． （2）将计算结果用科学记数法表示． 【详解】（1）解：根据“总价=单价数量”，赞皇大据的销售额为元；金丝小枣的销售额为元． 两种枣的总销售额等于赞皇大据销售额与金丝小枣销售额之和， 所以； （2）由题意得：． 17．某校为提高全校学生的身体素质，倡导全校学生利用课余时间加强体育锻炼．为响应学校号召，小张同学为自己制定了每天跑步3千米的计划，以下是小张同学一周内的跑步记录，其中超过3千米的记为正，不足3千米的记为负． 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 与计划的差值（单位：千米） (1)在这一周内，小张同学跑步路程最长的一天比跑步路程最短的一天多了 千米； (2)小张同学这一周的跑步总路程是否完成了自己的计划？ 请通过计算说明理由； (3)若小张同学每跑步1千米大约消耗90大卡的热量，则在这一周的跑步过程中，小张共计消耗多少大卡的热量？（结果用科学记数法表示） 【答案】(1)2.2 (2)小张同学这一周的跑步总路程完成了自己的计划， ∵千米， ∴小张同学这一周的跑步总路程完成了自己的计划； (3)大卡 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意，准确列出算式是解决本题的关键． （1）用最多的一天减去最少的一天即可求解； （2）求出表格中数据的和即可求解； （3）用小明在这一周一共跑的总路程乘以平均每跑1千米消耗的卡路里，即可求解． 【详解】（1）解：千米， 故答案为：2.2； （2）略 （3）解：大卡． 18． 阅读下面的材料：我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算． 定义：如果（，，），则b叫做以a为底N的对数，记作． 例如：因为，所以；因为，所以． (1)填空： ，   (2)如果 ，求m的值． (3)对于“对数”运算，小明同学认为有“（，，，）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正． 【答案】(1)1；4 (2)29 (3)不正确，理由见解析， 【分析】（1）利用阅读材料中的方法计算各项即可得到结果； （2）根据新运算的定义将已知转化为，然后解方程即可得出答案； （3）设，，根据同底数幂的乘法的运算性质和新运算的定义整理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1，4； （2）∵， ∴， ∴； （3）不正确，理由如下： 设，， 则，（，，，）， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题立意比较新颖，根据题中条件计算并且推算出对数运算的法则，考查了学生的举一反三的能力和对新知识的掌握，属于基础题．结合已有知识读懂新运算的定义是解决此题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 有理数乘方、科学记数法、近似数 （核心知识+6易错辨析+10典例精讲+课后作业） 【知识点01】乘方的定义 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方是一种特殊的乘法运算。 记作： ：底数（参与相乘的相同因数） ：指数（相同因数的个数） ：幂（乘方运算的最终结果） 读法：的次方 / 的次幂 公式展开： 特殊规定：，指数1无特殊要求时通常省略不写。 【知识点02】有理数乘方符号法则（核心重点） 无需计算具体数值，可直接根据底数和指数判断幂的符号： 正数的任何次幂都是正数； 负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数； 0的任何正整数次幂都等于0。 典型示例： 【知识点03】易混淆式子：与 两个式子外观相似，但底数、运算顺序完全不同，是本节核心考点： ：底数是，表示个相乘，括号包含负号； ：底数是，先计算的结果，再对结果取相反数，负号不在底数范围内。 对比示例： 【知识点04】有理数混合运算顺序（含乘方） 当算式中同时出现乘方、乘除、加减和括号时，严格遵循以下顺序： 1.优先计算乘方运算； 2.再计算乘除运算，同级运算从左到右依次进行； 3.最后计算加减运算； 4.有括号的先算括号内的内容，运算顺序：小括号→中括号→大括号。 【知识点05】科学记数法（本节拓展重点） 定义：把绝对值大于10的有理数表示成 的形式。 核心要求：，为正整数。 的取值规律：原数的整数位数 示例： 【知识点06】近似数与精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个近似数精确到哪一位。 示例： 精确到百分位（0.01位）。 易错点1：混淆 和 ❌ 错误解法： ✅ 正确解法： 辨析：无括号时，底数只有数字2，先算乘方再取相反数，负号不属于底数。 ❌ 错误解法： ✅ 正确解法： 辨析：底数为负数，指数3是奇数，负数的奇次幂为负数。 易错点2：分数乘方遗漏括号 ❌ 错误认知：将 等同于 ✅ 正确计算： 辨析：分数的乘方，需要将整个分数（分子+分母）作为底数，必须添加括号，仅分子平方不是分数整体的乘方。 易错点3： 符号判断错误 ❌ 错误解法： ✅ 正确解法： 辨析：该式底数是1，而非-1，先算，再取相反数；仅。 易错点4：混合运算顺序混乱 ❌ 错误解法： ✅ 正确解法： 辨析：混合运算必须先算乘方，再算乘法，不能优先合并底数与系数。 易错点5：科学记数法书写不规范 ❌ 错误书写：（，不符合要求） ✅ 规范书写： 辨析：科学记数法的核心硬性要求是，超出范围需调整指数。 易错点6：符号判断凭直觉 万能口诀：看底数，看指数，括号直接决定底数范围，不凭主观直觉判断符号。 【题型一】有理数幂的概念理解 【例1】．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】．（25-26七年级上·河北保定·期末）为了简便，可以将记为_____． 【变式1】．（25-26七年级上·河南南阳·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·广东江门·期中）的底数是_____，指数是_____，幂是_____． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）请指出下列各式表示的意义： ，，，，． 【题型二】有理数的乘方运算 【例3】．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例4】．（25-26七年级上·广东江门·期中）计算：___________． 【例5】．（25-26七年级上·吉林·期末）计算：． 【变式1】．（24-25七年级上·云南德宏·期末）下列算式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）把写成（a是整数）的形式___（全部写出来）． 【变式3】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式4】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型三】有理数乘方逆运算 【例6】．（22-23七年级下·福建三明·阶段检测）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【例7】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）若，则________． 【变式1】．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式2】．（22-23七年级上·黑龙江鸡西·期中）计算：_________． 【变式3】．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【题型四】乘方运算的符号规律 【例8】．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段检测）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·海南三亚·期末）计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24七年级下·辽宁鞍山）一列数，a，，，，…按此规律排列下去，则第n个数是_________________． 【变式3】．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）探究规律，完成相关题目．定义“*”运算： ；；；；；； (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为______，并把这两个数的______相加，请把运算法则补充完整； (2)计算： (3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 【题型五】乘方的应用 【例9】．（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例10】．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第5次截取后剩下的木棒长度为_________尺． 【例11】．（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 【变式1】．（25-26七年级上·河南濮阳·期末）如图是第十四届国际数学教育大会（）会徽，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．该八进制数转换成十进制数的计算方式为：，请将十进制数20转换成八进制数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． 【变式3】．（25-26七年级上·福建南平·期末）我们知道，十进制是逢十进一，十进制数3742中的3表示3个千，7表示7个百，4表示4个十，2表示2个一，于是得到下面的式子：．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1． 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．将(1011)2转换为十进制数，如下：． 小明设计一种游戏：将十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”按顺序分别编号为1到12．四张卡片A，B，C，D上的数字为0或1（顺序为），如：A．1，B．1，C．0，D．0，记为，然后将二进制数转换为十进制数，就可能得到对应生肖的编号． （1）请将二进制数转换为十进制数； （2）若A，D卡片上的数字都为0，B，C卡片上的数字都为1，对应的生肖是什么？请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华设计一个“猜生日”的游戏，用5张卡片A，B，C，D，E组成的二进制数来表示1号到31号中的一天，五张卡片A，B，C，D，E上的数字为0或1（顺序为）．他的生日是八月的某天，若A，D卡片上的数字都为1，其他卡片上的数字都为0，他的生日是八月几号？请说明理由． 【题型六】程序流程图与有理数计算 【例12】．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【例13】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是________． 【例14】．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图是一个数值转换机，当输入的数字是时，按照图中的程序计算，求输出的答案． 【变式1】．（25-26七年级上·广西贵港·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】．（25-26七年级上·四川成都·期末）按如图程序计算，如果输入的数是，那么输出的数是__________． 【变式3】．（25-26七年级上·江西上饶·期中）数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后再进行下一步运算．例如：小贤先输入一个有理数，再按的顺序运算，则可列算式． (1)当时，求算式的值． (2)若小艺输入的的值为2，再按的顺序运算，请求出运算结果． 【题型七】算“24”点 【例15】．（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例16】．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是________． 【变式2】．（22-23七年级上·全国·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【变式3】．（25-26七年级上·广东阳江·期中）小明有五张写着不同数的卡片（如图），请你按要求选择卡片，回答下列问题： (1)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数的乘积最大，则这两张卡片上的数分别是？ (2)从中选择四张卡片，每张卡片的数只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可） 【题型八】含乘方的有理数混合运算 【例17】．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要和两个数字就可以表示数，如二进制中的（注：），可以表示十进制中的．则二进制中的表示十进制中的（    ） A． B． C． D． 【例18】．（22-23七年级上·福建泉州·期中）计算： 【变式1】．（25-26七年级上·四川成都）计算：． 【变式2】．（25-26七年级上·广东东莞·期中）计算： 【变式3】．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）计算： (1)； (2)． 【题型九】科学记数法 【例19】．（25-26七年级上·河南周口·期末）到2025年，我国某科技企业研发投入累计达元，这个数的原数是（    ） A．120000000 B．1200000000 C．12000000 D．12000000000 【例20】．（22-23七年级上·河南开封·阶段检测）用科学记数法表示为______． 【变式1】．（25-26七年级上·全国·期末）用科学记数法表示一个数记为，则这个数原来是____________． 【变式2】．（2025七年级上·北京·专题练习）用科学记数法表示． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列用科学记数法记出的数的原数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【题型十】近似数 【例21】．（25-26七年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 【例22】．（22-23七年级上·全国·期末）数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【例23】．（25-26七年级上·河南周口·期末）用四舍五入法得到的近似数精确到_________． 【变式1】．（2024七年级上·山东聊城·专题练习）一个三位小数，四舍五入后是，这个三位小数最小是( )，最大是( )． 【变式2】．（25-26七年级上·福建漳州·期中）古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为……用四舍五入法精确到百分位为_________． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·寒假作业）用四舍五入法按括号里的要求对下列各数取近似值： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到千分位）； (4)亿（精确到百万位）． 【变式4】．（25-26七年级上·全国·寒假作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 1. 本质定义：乘方是多个相同因数相乘的特殊乘法运算，解题第一步必须分清底数和指数，括号是界定底数范围的关键。 2. 符号核心规律：正数所有次幂为正；负数偶次幂为正、奇次幂为负；0的所有正整数次幂为0，可快速判断幂的正负，简化计算。 3. 运算核心顺序：牢记“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”，杜绝运算顺序颠倒的低级错误。 4. 高频丢分点：重点区分与，分数、负数乘方必须添加括号，是本节最易出错的知识点。 5. 拓展知识点：科学记数法严格遵循的规范，熟练掌握大数的简洁表示方法，适配考试基础题型。 一、单选题 1．2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 2．中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达．将销售数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式化简后结果最大的是（    ） A． B． C． D． 5．日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的，可以表示十进制中的10．那么，三进制中的表示的是十进制中的（   ） A．54 B．60 C．61 D．73 6．计算的结果是（     ） A． B． C．1 D．2 7．二进制在计算机科学中有广泛应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习《进位制的认识与探究》后，小明查阅了资料并进行思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换．以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：可用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把123转换为四进制数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．计算： _______． 9．用四舍五入法给取近似值，精确到的结果是_________． 10．“算24点”是大家熟悉的一种游戏．现有数字6、5、5、1，请你用加、减、乘、除运算（允许用括号）写出一个运算结果为24的式子：______． 11．按照如图所示的数值转换器，若输入的值为，则输出的结果为______________ 12．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，约定逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进几”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区别不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数1010的简单写法．十进制数一般不标注基数，现在我们通常用的是十进制数．各进制数之间可以进行转换，如二进制数1010可以转换成与其相等的十进制数，转换过程如下：，十进制数19可以转换成与其相等的二进制数，转换过程如下：为二进制下的五位数（规定当时，）．根据以上材料解决如下问题： （1）七进制数转换成十进制数的值是___________； （2）十进制数1029是二进制下的多少位数？___________位数． 三、解答题 13．计算： (1)； (2)； (3)． 14．计算： (1)； (2)． 15．某工厂小张师傅接受了加工两根轴的任务，他很快地完成了任务，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小张不服气地说：“图纸上要求的是，而我做的轴，一根是，另一根是，怎么不合格了？” 请你说一说，是小张师傅做的轴不合格，还是质检员故意刁难？为什么？ 16．河北枣类特产体验店上架了两种商品：赞皇大枣和金丝小枣，单价分别为5元/份､8元/份．现已售出m份赞皇大枣和n份金丝小枣，共卖出Q元． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)当时，用科学记数法表示Q的值． 17．某校为提高全校学生的身体素质，倡导全校学生利用课余时间加强体育锻炼．为响应学校号召，小张同学为自己制定了每天跑步3千米的计划，以下是小张同学一周内的跑步记录，其中超过3千米的记为正，不足3千米的记为负． 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 与计划的差值（单位：千米） (1)在这一周内，小张同学跑步路程最长的一天比跑步路程最短的一天多了 千米； (2)小张同学这一周的跑步总路程是否完成了自己的计划？ 请通过计算说明理由； (3)若小张同学每跑步1千米大约消耗90大卡的热量，则在这一周的跑步过程中，小张共计消耗多少大卡的热量？（结果用科学记数法表示） 18． 阅读下面的材料：我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算． 定义：如果（，，），则b叫做以a为底N的对数，记作． 例如：因为，所以；因为，所以． (1)填空： ，   (2)如果 ，求m的值． (3)对于“对数”运算，小明同学认为有“（，，，）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正. 1 学科网（北京）股份有限公司 $