6.4线段的和差培优讲义2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦“线段的和差”核心知识点，系统梳理线段性质（两点之间线段最短）、两点间距离概念、比较方法（度量/重合）、中点及n等分点，通过“性质-概念-方法-模型”递进，构建从基础到应用的学习支架。 特色在于模型化梳理（单/双中点模型）与分层题型设计，通过“巧分点”等问题培养抽象能力与推理意识，结合实例帮助学生用数学语言表达线段关系。课中辅助教师突破难点，课后通过温故知新与多样练习助力学生查漏补缺。

线段的和差 知识点1．线段的性质：两点之间线段最短 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 知识点2．两点间的距离 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 知识点3．比较线段的长短 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，AC＝AB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DB＝CB＝AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 知识点4．n等分点的概念 ◆1、线段的中点： 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. ◆2、等分线段 （1）把一条线段分成三条相等的线段的点，叫做线段的三等分点. 如图点M、N是线段AB三等分点,则 AM ＝MN ＝BN ＝ AB . （2）类似的，把一条线段分成四条相等的线段的点，叫做线段的四等分点. 如图点M、N、P是线段AB四等分点，则AM＝ MN ＝NP＝PB＝ AB . 【模型一】线段单中点 如图一，点P为线段AB中点，则有如下结论： （1） ：PA=PB; （2） ：AB=2AP=2PB； （3） 图一 【模型二】线段双中点 （1）线段上的双中点 图二 （2）线段延长线上的双中点模型 图三 题型1：线段的和差计算 1.（25-26七年级上·北京·期中）已知A，B，C为直线l上的三点，如果线段，那么A，C两点间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和与差．由于点A，B，C在直线l上的相对位置不确定，需分类讨论：当点B在点A和点C之间时，为与之和；当点A在点B和点C之间时，为与之差． 【详解】解：分两种情况： 当点B在点A和点C之间时，； 当点A在点B和点C之间时，， 故答案为：或． 2.（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知在直线上有两点C，D（点A在点B的左侧），若，，且D是中点，则的长等于 ． 【答案】4或8 【分析】此题考查了线段中点的相关计算，分两种情况画出图形，利用线段的中点和线段的和差分别进行求解即可． 【详解】解：如图1，当点C在点B的左边， ∵，， ∴， ∵D是中点， ∴； 如图1，当点C在点B的右边， ∵，， ∴， ∵D是中点， ∴； 综上可知，的长等于4或8． 故答案为：4或8． 3.（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义：若点为直线上的一点，且满足，则称点是线段的“巧分点”．现已知，点是线段的“巧分点”，则 ． 【答案】2或6 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．由已知条件不能确定点在直线上的位置，故要分情况讨论：当在线段上时及当要线段的延长线上时，然后进行求解即可． 【详解】解：本题有两种情况： 当点在线段上时，如图， ，， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ，， ； 故答案为2或6． 4.（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知C、D是线段上不重合的两点． (1)若，求证：； (2)若，，且，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查线段的和差计算； （1）由得到； （2）根据和在线段上与线段外，在的左边或右边，分情况讨论，分别画出图形，根据列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当和都在线段上，且在的左边时， 此时由图可得， 由可得，解得， ∴； 当和都在线段上，且在的右边时， 此时由图可得， 由可得，解得， ∴； 综上所述，或． 题型2：中点模型 1.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，且，点为线段的中点． (1)若，求的长； (2)在直线上有一点，满足，若，请直接写出的长（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，．   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2.（2026七年级上·全国·专题练习）线段，点C在直线上，且，点M为的中点，求线段的长． 【答案】或 【分析】此题考查了线段的和差计算和线段中点的相关计算．分两种情况：点C在线段的延长线上，点C在线段上，分别画图进行解答即可． 【详解】 解：分两种情况讨论： ①如图1所示：点C在线段的延长线上， ∵，， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴； ②如图2，点C在线段上， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∴ ， 综上可知：的长为或 3．（2026七年级上·河北·专题练习）如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，； (1)若，求的长； (2)若F为的中点，求长． 【答案】(1)20 (2)6 【分析】本题考查与线段中点有关的计算、一元一次方程的几何应用，根据图形得到线段间的数量关系是解答的关键． （1）设，则，先根据线段中点求得，由列方程求得x，进而由可求解； （2）根据点E是线段的中点，得出，根据F为的中点，得出，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：设，由得， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵点E是线段的中点， ∴， 为的中点， ， ． 4．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图，点B，D在线段上． 发现：____________； 求值：若D是线段的中点，，求线段的长． 【答案】； 【分析】本题考查线段的和差，线段中点．根据线段的和差即可解答“发现”．先由线段的中点求出，再根据得到，再由即可解答． 【详解】解：发现：． 故答案为：；． 求值：因为D是线段的中点，， 所以， 因为，， 所以， 所以． 5.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点是线段上的一点，且，和分别是和的中点，已知，，则线段的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了线段中点的性质与线段长度的计算，解题的关键是利用中点性质求出相关线段的长度． 根据线段中点的定义求出、、的长度，再通过线段的和差关系求出的长度． 【详解】解：因为是的中点，， 所以， 又因为， 所以， 因为是的中点，所以， 则． 故答案为：5． 6．（25-26七年级上·河北唐山·期中）线段，点在线段上，是线段的中点，是线段的中点．    (1)求线段的长度； (2)老师说：其它条件不变，无论长度怎么改变，线段和始终满足一个不变的数量关系，请你直接写出来． 【答案】(1)线段的长度为； (2)． 【分析】本题考查线段中点的相关计算，线段和差，线段之间的数量关系． （1）根据题意可得，，由，即可得； （2）根据题意可得，，结合，即可得线段和的数量关系． 【详解】（1）解：∵点在线段上，是线段的中点，是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的长度为． （2）解：∵点在线段上，是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴． 7．（2026七年级上·全国·专题练习）如图，点、、、在同一直线上，已知，且点、分别是、的中点，若，求线段的长度． 【答案】14 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及和差关系是正确解答的关键． 根据线段的和差关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【详解】解：设， ， ，， ， ， 点、分别是、的中点， ，， ， 解得， ． 8．（2026七年级上·全国·专题练习）如图，A、B、C、D四点在同一直线上，M是的中点，N是的中点． (1)若，，，则 ． (2)若，，用a、b表示线段． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，关键是根据线段的中点及各线段间的关系求解． （1）由已知M是的中点，N是的中点，可求出和，从而求出； （2）已知M是的中点，N是的中点，推出，，则推出，从而得出答案． 【详解】（1）解：∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：13． （2）解：∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型3：n等分点 1.如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ． 答案：8或10 【思路点拨】 本题主要考查了线段和差倍分的计算，解题关键是熟练掌握线段与线段之间的和差倍分关系． 先根据已知条件求出和的长，然后根据点的位置，分两种情况讨论，画出图形，利用已知条件，求出的值即可． 【解题过程】 解：，点是中点， ， 分两种情况讨论： ①点的位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； ②点位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； 综上可知：的长度为8或10， 2.已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【思路点拨】 本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．分时和时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可． 【解题过程】 解：∵，，N是线段的中点， ∴，， ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； ②若，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； 故答案为：40或80． 3.（25-26七年级上·河南新乡·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． （1）根据题意，小明求得______． （2）小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 【思路点拨】 （1）由，，得，根据，分别是，的中点，即得 ， ，故； （2）①由，分别是，的中点，知 ， ，即得 ，故 ； ②由 ， ，知 ， ，即得 ，故 ； ③由 ， ，知 ， ，即得 ，故 ． 【解题过程】 （1）解：，， ， ，分别是，的中点， ， ， ； 故答案为：； （2）解：①，分别是，的中点， ， ， ， ， ； 故答案为： ； ② ， ， ， ， ， ， ； ③ ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 4.已知线段上有一点，其中，，若是的中点，是的三等分点（靠近点），求的长． 【答案】 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，由中点的定义可得，进而利用线段的差计算解答即可．解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 【详解】解：如图： ∵，，是的中点，是的三等分点（靠近点），∴， ∴，， ∴． 即的长为． 题型4：线段的数量关系 1.（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点、是线段上两点，、分别是线段、的中点，给出下列结论：①若，则；②；则；③；其中正确的有 （请填写序号） 【思路点拨】 由可得，再由线段的中点，即可判断①；可得，再由线段的中点 可判断②；由结合线段的中点可判断③． 【解题过程】 解：， ， 是线段的中点， ， ， ， ， 即， 故①正确； ， ， ， M、N分别是线段、的中点， ， ， ， 故②正确； M、N分别是线段、的中点， ， ， ， ， 故③正确； 故答案：①②③． 2.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，C点是线段的中点，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差关系以及与线段有关的中点计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据C点是线段的中点，，得，再结合，，则，，即可判断A选项和D选项；再结合线段的和差运算得，，即可判断B选项和C选项，进行作答即可． 【详解】解：∵C点是线段的中点，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 故D选项是符合题意的，A选项是不符合题意的； ∵C点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故B选项是不符合题意的； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故C选项是不符合题意的； 3.（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，则下列结论：① ；②；③ ；④ ，其中正确结论的有 （     ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【思路点拨】 根据题中的已知条件，结合图形，对结论进行一一论证，从而选出正确答案． 【解题过程】 解： 是的三等分点，， ，， ， ， ， ， 故①正确； ， ， ， ， 是线段的中点， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， 故③不正确； ，， ， ， ， 故④正确； 综上，正确的有①②④， 故选：B． 4.已知C、 D是线段上两点，且 ， ，若点M、N分别是线段、的中点，，则线段的长是 ． 【思路点拨】 本题考查了中点的定义及两点之间的距离的求法，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．设，分①当点D在点C的左边时，②当点D在点C的右边时，两种情况讨论，分别利用建立方程求解即可． 【解题过程】 解：设，则 ， ， ①当点D在点C的左边时，画图如下： 则，， 又∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， 解得：， ②当点D在点C的右边时，画图如下： 则，， 又∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， 解得：， 综上所述：线段AB的长是45或36， 故答案为：45或36． 5.如图，点A、B、C、D在同一直线上，已知，且点E、F分别是AC、BD的中点，若EF＝8，求线段AF的长度． 【解答】解：设AB＝a， ∵ABAC， ∴AC＝3a，BC＝AC﹣AB＝2a， 又∵BCCD， ∴CD＝3a， ∵点E、F分别是AC、BD的中点， ∴AE＝CEACa，BF＝DFBDa， ∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝6aaa＝2a＝8， 解得a＝4， ∴AF＝AD﹣DF＝6aaa＝14． 6．如图，，求线段BE的长度． 【解答】解：设AB＝12a，则ACAB＝3a，BDAB＝2a， ∵AE＝CD， ∴AC+CE＝CE+DE， ∴AC＝DE＝3a， ∵AB＝AC+CE+DE+BD＝12a， ∴3a+4+3a+2a＝12a， 解得a＝1， ∴BE＝BD+DE＝2a+3a＝5． 7.如图，已知点，是线段上两点，，是线段的中点，点是线段的三等分点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查选段的和差运算，线段中点的定义，熟练掌握数形结合思想是解题的关键； (1)根据线段的比，可设，则，，由求出的值即可； (2)根据线段的比，可设，则，，再根据线段中点的定义得出，由列方程求出的值，再根据进行计算即可. 本题考查两点间的距离， 【详解】（1）解：由于，可设，则，， ∴， ∴， ，，， 是线段的中点， ， ； （2）由于，可设，则，， 是线段的中点， ， ， ，即， 解得， ． 8.如图，线段，，，点、分别是线段和线段的中点，求线段的长． 【答案】 【分析】此题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段长的计算，理解线段中点的定义，根据题目中的已知条件设置适当的未知数构造方程组是解决问题的关键． 设，根据，设，，则，根据得，则，再根据得，由此解出，，得，然后根据线段中点定义即可解答． 【详解】解：设， ， 设，， ， ， ， ， ， ， 即， 将代入，得：， 解得：， ， ，，， ， 点、分别是线段和线段的中点， ，， ． 9.（25-26七年级上·甘肃武威·期末）如图，已知线段和的公共部分，线段、的中点E、F之间距离是，求，的长． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、线段的中点的定义、线段的和差，设，则，，，根据线段的中点的定义可得，再根据，，得出方程，解方程即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，则，，， 点、点分别为的中点， ， ， ， ， 解得：， ． 10.如图，、、、四点在同一直线上． (1)如图1，若，，且，求的长； (2)如图2，若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，线段之间的数量关系， （1）利用线段的和差计算即可； （2）利用线段之间的比例关系，以及线段中点的定义，即可求出线段的长； 解题的关键是掌握线段的加减，线段中点的定义． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 即的长为； （2）设，则，， ∴， ∵点是的中点，点是的中点，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 即的长为． 温故知新 1.已知点C在线段上，，则 ． 答案：． 【思路点拨】 本题主要考查了线段的和差计算，根据线段的和差关系列式求解即可． 【解题过程】 解；∵点C在线段上，， ∴， 故答案为：． 2.已知点C在直线上，，，则线段AC的长为 ． 答案：2或7． 【思路点拨】 本题考查线段的和差关系，分点C在点A的左侧、右侧两种情况，根据线段的和差关系分别求解即可． 【解题过程】 解：当点C在点A的左侧时，如图， ，， ， ； 当点C在点A的右侧时，如图， ， ， ， 综上可知，线段AC的长为2或7， 故答案为：2或7． 3.如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为 ． 答案：． 【思路点拨】 本题主要考查了线段中点的定义，线段间的数量关系，先根据题意得出，，再根据，求出的长度即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为 ． 答案：或 【思路点拨】 本题考查线段的和差关系，根据题意，点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧；在不同情况下，作出图形，数形结合，表示出线段之间的和差关系，代值求解即可得到答案，读懂题意，准确分类，作出图形，数形结合是解决问题的关键． 【解题过程】 解：点在直线上， 点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧； 当点在点左侧，如图所示： ； 当点在点左侧，如图所示： 为的中点，， ， ， ， 点在点右侧，则， ； 综上所述，的长为或， 5.（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知线段，延长线段到点C，使，M为线段的中点．点P在线段上，且到M点的距离为，现有下列判断：①P为线段或线段的中点；②；③或；④；⑤P为线段的四等分点．则正确判断的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查线段的和差倍分关系，线段中点的性质，解题的关键是熟知中点的性质． 首先求出，，然后由中点性质得到，然后根据线段的和差分两情况讨论求解即可． 【详解】∵， ∴ ∴ ∵M为线段的中点 ∴ ∴，故②正确； ∵点P在线段上，且到M点的距离为 ∴如图所示，当点P在点M右边时， ∴ ∴ ∴，故④错误； ∴P为线段中点； ∴ ∴，即P为线段的四等分点； 如图所示，当点P在点M左边时， ∴ ∴，故③正确； ∴P为线段中点，故①正确； ∴，即P为线段的四等分点，故⑤正确． 综上所述，正确判断的个数是4． 故选：B． 6.如图，点C、D、E在线段AB上，若点C是线段AB的中点，DE＝5BE，CD：AB＝3：8，CE＝17，求线段AB的长度． 【解答】解：设BE＝x， 则DE＝5BE＝5x， ∴BD＝6x， ∴CD＝BD﹣BC＝6x﹣17﹣x＝5x﹣17， ∵CD：AB＝3：8， ∴， ∵点C是线段AB的中点， ∴，即：， 解得：x＝7， ∴， 故答案为：48． 7.（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）根据线段中点的定义求出，进而根据比即可求解； （）分点在点左侧和右侧两种情况，根据线段的和差关系解答即可求解； 本题考查了线段的中点，线段的和差，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点在点左侧时，如图， ∵，， ∴； 当点在点右侧时，如图， ∵，， ∴； 综上，线段的长为或． 8.如图，已知点为线段上一点，，，分别是的中点．求： (1)求的长度； (2)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，数形结合，注意分类讨论，是解题的关键． （1）根据线段中点定义得出，，求出即可； （2）分两种情况当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵分别是中点， ∴，， ∴． （2）解：由（1）可知，， ①当点在线段上时， ∵， ∴， ②当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴的长为或． 9.如图，已知线段长，点B、C、D、E顺次在上，且，E是的中点，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和与差，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据线段的和差，线段中点的性质进行求解即可． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 10.如图，，求线段的长度． 【答案】5 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，熟练掌握线段间的数量关系，是解题的关键．设，则，，根据线段间的数量关系得出，根据，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 11．（25-26七年级上·全国·期末）如图，B、C两点把线段分成的三部分，M为的中点，，求和的长． 【答案】，． 【分析】本题考查了线段的中点，以及线段之间的数量关系，由已知B、C两点把线段分成的三部分，所以设，，，根据已知分别用x表示出，从而得出，继而求出x，则求出和的长． 【详解】解：设，， 所以 因为M是的中点 所以 所以 因为， 所以， 所以 所以，． 12.线段AB＝18cm，点C在直线AB上，且，点M为BC的中点，求线段AM的长． 【解答】解：分两种情况讨论： ①如图1所示：点C在线段BA的延长线上， ∵AB＝18，， ∴AB＝BC﹣AC ， ， BC＝27， ∵点M为BC的中点， ∴， ∴； ②如图2，点C在线段AB上， ∵AB＝18，， ∴AC+BC＝AB＝18， ， ， ， ∴， ∵M为BC中点， ∴， ∴AM＝AC+CM， 综上可知：AM的长为：或， 故答案为：或． 13.如图，C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧．设线段的长为a，若F是直线上一点，且，求线段的长． 【答案】的长为a或 【分析】本题考查了线段中点，线段的和差，注意分类讨论； 分点F位于点A的左侧或点B的右侧两种情况考虑，利用中点与在等分点的意义，结合线段的和差关系即可求解． 【详解】解：根据题意得：点F位于点A的左侧或点B的右侧， 当点F位于点A的左侧时，如图， ∵， ∴，即， ∴， ∵，D是线段的三等分点且在点C的左侧． ∴， ∴； 当点F位于点B的右侧时，如图， ∵， ∴，即， ∴， ∵，D是线段的三等分点且在点C的左侧． ∴， ∴； 综上所述，的长为a或． 14.如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． （1）如果，，，则的长为___________； （2）如果，，则的长为___________； （3）如果，，求的长，并说明理由． 【思路点拨】 （1）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （2）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （3）根据（2）的解题过程，即可解答； 此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 15.如图，线段AB＝18cm，AC：BD＝7：13，AD﹣DC＝3cm，点M、N分别是线段DC和线段BC的中点，求线段MN的长． 【解答】解：设DC＝y， ∵AC：BD＝7：13， ∴设AC＝7x，BD＝13x， ∴AD＝AC﹣DC＝7x﹣y， ∵AB＝AD+BD＝18cm， ∴7x﹣y+13x＝18， ∴y＝20x﹣18， ∵AD﹣DC＝3cm， ∴7x﹣y﹣y＝3， 即7x﹣2y＝3， 将y＝20x﹣18代入7x﹣2y＝3，得：7x﹣2（20x﹣18）＝3， 解得：x＝1， ∴y＝20x﹣18＝2， ∴AC＝7cm，BD＝13cm，DC＝2cm， ∴BC＝BD﹣DC＝13﹣2＝11（cm）， ∵点M、N分别是线段DC和线段BC的中点， ∴MCDC＝1（cm），CNBC＝5.5（cm）， ∴MN＝MC+CN＝6.5（cm）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 线段的和差 知识点1．线段的性质：两点之间线段最短 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 知识点2．两点间的距离 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 知识点3．比较线段的长短 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，AC＝AB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DB＝CB＝AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 知识点4．n等分点的概念 ◆1、线段的中点： 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. ◆2、等分线段 （1）把一条线段分成三条相等的线段的点，叫做线段的三等分点. 如图点M、N是线段AB三等分点,则 AM ＝MN ＝BN ＝ AB . （2）类似的，把一条线段分成四条相等的线段的点，叫做线段的四等分点. 如图点M、N、P是线段AB四等分点，则AM＝ MN ＝NP＝PB＝ AB . 【模型一】线段单中点 如图一，点P为线段AB中点，则有如下结论： （1） ：PA=PB; （2） ：AB=2AP=2PB； （3） 图一 【模型二】线段双中点 （1）线段上的双中点 图二 （2）线段延长线上的双中点模型 图三 题型1：线段的和差计算 1.（25-26七年级上·北京·期中）已知A，B，C为直线l上的三点，如果线段，那么A，C两点间的距离为 ． 2.（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知在直线上有两点C，D（点A在点B的左侧），若，，且D是中点，则的长等于 ． 3.（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义：若点为直线上的一点，且满足，则称点是线段的“巧分点”．现已知，点是线段的“巧分点”，则 ． 4.（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知C、D是线段上不重合的两点． (1)若，求证：； (2)若，，且，求的长度． 题型2：中点模型 1.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，且，点为线段的中点． (1)若，求的长； (2)在直线上有一点，满足，若，请直接写出的长（用含的式子表示）． 2.（2026七年级上·全国·专题练习）线段，点C在直线上，且，点M为的中点，求线段的长． 3．（2026七年级上·河北·专题练习）如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，； (1)若，求的长； (2)若F为的中点，求长． 4．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图，点B，D在线段上． 发现：____________； 求值：若D是线段的中点，，求线段的长． 5.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点是线段上的一点，且，和分别是和的中点，已知，，则线段的长度为 ． 6．（25-26七年级上·河北唐山·期中）线段，点在线段上，是线段的中点，是线段的中点．    (1)求线段的长度； (2)老师说：其它条件不变，无论长度怎么改变，线段和始终满足一个不变的数量关系，请求出数量关系． 7．（2026七年级上·全国·专题练习）如图，点、、、在同一直线上，已知，且点、分别是、的中点，若，求线段的长度． 8．（2026七年级上·全国·专题练习）如图，A、B、C、D四点在同一直线上，M是的中点，N是的中点． (1)若，，，则 ． (2)若，，用a、b表示线段． 题型3：n等分点 1.如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ． 2.已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 3.（25-26七年级上·河南新乡·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． （1）根据题意，小明求得______． （2）小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 4.已知线段上有一点，其中，，若是的中点，是的三等分点（靠近点），求的长． 题型4：线段的数量关系 1.（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点、是线段上两点，、分别是线段、的中点，给出下列结论：①若，则；②；则；③；其中正确的有 （请填写序号） 2.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，C点是线段的中点，，，下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，则下列结论：① ；②；③ ；④ ，其中正确结论的有 （     ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4.已知C、 D是线段上两点，且 ， ，若点M、N分别是线段、的中点，，则线段的长是 ． 5.如图，点A、B、C、D在同一直线上，已知，且点E、F分别是AC、BD的中点，若EF＝8，求线段AF的长度． 6．如图，，求线段BE的长度． 7.如图，已知点，是线段上两点，，是线段的中点，点是线段的三等分点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 8.如图，线段，，，点、分别是线段和线段的中点，求线段的长． 9.（25-26七年级上·甘肃武威·期末）如图，已知线段和的公共部分，线段、的中点E、F之间距离是，求，的长． 10.如图，、、、四点在同一直线上． (1)如图1，若，，且，求的长； (2)如图2，若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 温故知新 1.已知点C在线段上，，则 ． 2.已知点C在直线上，，，则线段AC的长为 ． 3.如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为 ． 4．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为 ． 5.（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知线段，延长线段到点C，使，M为线段的中点．点P在线段上，且到M点的距离为，现有下列判断：①P为线段或线段的中点；②；③或；④；⑤P为线段的四等分点．则正确判断的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 6.如图，点C、D、E在线段AB上，若点C是线段AB的中点，DE＝5BE，CD：AB＝3：8，CE＝17，求线段AB的长度． 7.（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 8.如图，已知点为线段上一点，，，分别是的中点．求： (1)求的长度； (2)若在直线上，且，求的长度． 9.如图，已知线段长，点B、C、D、E顺次在上，且，E是的中点，，求的长． 10.如图，，求线段的长度． 11．（25-26七年级上·全国·期末）如图，B、C两点把线段分成的三部分，M为的中点，，求和的长． 12.线段AB＝18cm，点C在直线AB上，且，点M为BC的中点，求线段AM的长． 13.如图，C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧．设线段的长为a，若F是直线上一点，且，求线段的长． 14.如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． （1）如果，，，则的长为___________； （2）如果，，则的长为___________； （3）如果，，求的长，并说明理由． 15.如图，线段AB＝18cm，AC：BD＝7：13，AD﹣DC＝3cm，点M、N分别是线段DC和线段BC的中点，求线段MN的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $