河北省承德市双滦区实验中学2026年暑假高一数学专项测试卷（14）---立体几何综合

**基本信息** 本专项以立体几何综合为核心，通过选择、填空、解答题梯度设计，系统整合空间几何体计算、位置关系判定及空间角距离等知识，突出空间想象与逻辑推理能力考查。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何体计算|单选1,3,7/填空13|圆柱、球、棱台等表面积体积计算|从几何体定义到公式应用，体现量的计算逻辑| |空间位置关系|单选2,9/多选10|线面、面面平行垂直判定，命题真假判断|基于判定定理，构建位置关系推理链条| |空间角与距离|单选5,8/解答15(2),16(2)|二面角、点面距计算，线面角正弦值|结合坐标系或几何法，实现空间量转化| |综合应用|单选6,14/解答17,19|翻折、轨迹、存在性问题，多面体体积|融合空间想象与运算，体现知识综合迁移|

河北省承德市双滦区实验中学 2025- -2026学年暑假高一数学专项测试卷（14） 范围：立体几何综合 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．在正四棱台中，，高为，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是三角形，若，，则原三角形的面积为（     ）   A．1 B．2 C．4 D．8 5．四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，为直线上一动点，则下列说法正确的是（     ） A．平面 B．直线与直线一定是异面直线 C．若，则点的轨迹长度为 D．三棱锥的体积是定值 7．已知圆台的下底面半径是上底面半径的倍，侧面积为，母线长为，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 8．已知在正四面体中，D，E，F分别在棱，，上，若，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知为空间中一点，，，为互不相同的直线，，，为互不相同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．，或 B．若，，则 C．， D．， 10．如图所示，在棱长为的正方体中，是线段上动点，则下列说法正确的是（    ） A．平面平面 B．若是线段的中点，则与平面所成角的正弦值 C．若直线与所成角的余弦值为，则 D．取最小值时，三棱锥外接球的体积为 11．如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列说法正确的是（   ）   A．存在点，使得四边形为菱形 B．对于任意点，都有直线平面 C．对于任意点，都有平面平面 D．三棱锥的体积为定值 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为__________ 13．圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的表面积为______． 14．如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的体积是___________，三棱锥的内切球的体积是___________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 16．(本小题15分）如图，在直三棱柱中，四边形是边长为2的正方形，平面，，E，F，G分别是线段，，的中点． (1)若P是线段的中点，证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点Q，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 17．(本小题15分）如图，等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)当PD=2时，求证：平面⊥平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当三棱锥表面积最大时，求二面角的余弦值. 18．(本小题17分）如图，正四棱柱内接于圆柱，，圆柱的侧面积为．点E是棱上的点，点F是棱上的点，且． (1)若直线与平面的交点为G，求的值，并证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 19．(本小题17分）如图，在直三棱柱中，，为的中点．   (1)求证：平面平面； (2)已知． （i）若点为的中点，求证：平面； （ii）求点到平面的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B B D B D ABC ABD 题号 11 答案 ACD 1．D 【详解】设圆柱的底面的半径和球的半径均为，则圆柱的高为， 则，，故. 2．B 【详解】对于A，当，时，可能相交，平行，异面，故A错误； 对于B，因，，则在内存在直线，使得，又，则，故B正确； 对于C，当，时，可能在内，故C错误； 对于D，当，时，可能在内，故D错误. 3．B 【详解】下底面边长，面积，上底面边长，面积. 所以. 4．B 【详解】因为斜二测画法中，横不变，纵减半，所以三角形为直角三角形, 且为直角,,,故其面积为. 5．B 【详解】在四棱柱中，由，平面，得平面， 又平面，则，由底面是菱形，得， 令，连接，由，是的中点，得， 又平面，则平面， 又平面，因此，为二面角的平面角， 由，，，点为的中点， 得，，， 由余弦定理得， 所以二面角的余弦值为. 6．D 【【详解】对于A，若平面，又平面，所以， 又因为、分别为棱，的中点，所以，所以， 因为是等边三角形，所以，与矛盾， 所以不垂直于平面，故A错误； 对于B，连接，因为、分别为棱，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 由正方体的性质可得，又，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，平面， 故直线与直线是异面直线或，故B错误； 对于C，由知点轨迹为以为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图所示， 由正方体棱长为得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为，故C错误. 对于D，因为平面，又，所以点到平面的距离为定值，又为定值，所以为定值，故D正确. 7．B 【详解】如图， 设圆台的上底面半径为，高为，母线长为，由题可知，下底面半径，， 又由圆台的侧面积公式：，解得. 又由勾股定理得， 在圆台中，， 所以圆台的体积. 因此圆台的体积为. 8．D 【详解】如图，由题意可得，，所以为等边三角形， 即，在中，根据余弦定理可得：， ，所以， 同理在中，，即， 取的中点，过点作的垂线交的延长线于点， 可知点到平面的距离为的长，因为， 所以在中，，在中，， 又因为，所以为等腰三角形， 为中点，所以在中，， 在中，为中点，所以为等边的高， 在中，， 所以， 即，整理可得：， 两边平方可得：， 整理可得：，即， 两边平方可得：，化简可得：，所以. 9．ABC 【详解】对于A，由，，若，则；若，也满足条件，故或，A正确.对于B，由，，可得，B正确. 对于C，由，，结合面面平行的传递性，且互不相同，故，C正确. 对于D，由，，可知为两平面的公共点，故是过的直线，而非点，D错误. 10．ABD 【详解】对于A，由于平面，平面，故平面平面，A正确，对于B, 由于平面，故为与平面所成的角， ，B正确， 对于C，在棱上取一点，使得，则， 故直线与所成角为与所成的角， 则，解得，故C错误, 对于D， ， 当且仅当时取到等号，此时重合， 三棱锥为三棱锥，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 正方体的外接球的半径为，因此球的体积为，D正确. 11．ACD 【详解】对于选项A，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以. 同理，所以四边形为平行四边形，设正方体棱长为1，设， 则，， 令，即，解得， 即当为中点时，四边形为菱形，故A正确； 对于选项B，连接，则平面平面， 若平面，且平面，则， 又，，故四边形为平行四边形， 故相交，矛盾，故B错误； 对于选项C，连接，，，， 由平面，平面，得， 由为正方形，易知，因为，平面，平面，平面，，同理可证， ，平面，平面，又平面， 平面平面，故C正确； 对于选项D，设正方体棱长为，.所以三棱锥的体积为定值，故D正确. 12． 【详解】在棱长为4的正方体中，分别取的中点，连接，连接， 由，，得，又，得四边形是平行四边形， 则，平面，平面，因此平面； 又，，得，平面，平面， 因此平面，又平面，平面，， 则平面平面，而侧面，平面， 于是平面，则点在侧面与平面的交线上， 即点的轨迹为线段，又，所以点在侧面上的轨迹长度为. 13． 【详解】由题意，，设圆锥母线的长度为，则，解得，即，所以圆锥的高， 因为点是的中点，由三角形相似易得挖去圆柱的底面半径为，且圆柱的高， 则剩下几何体的表面积由圆锥原来的侧面积、圆锥原来的下底面圆面积和挖去圆柱后新增的圆柱侧面积组成，即. 14． . . 【详解】由题意可得，折叠前，在中，， 在中，，在中，， 折叠后，，，在中，， 则、，两两互相垂直，将三棱锥放入长方体中，如图所示，. 设三棱锥内切球的半径为，球心为，则球心到三棱锥的四个面的距离均为，，， ， 在中，由余弦定理得，， 所以，， 由得，，，解得，则内切球的体积为. 15．【详解】（1）因为，，故，故. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面，故. （2）由（1）可得平面，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，因为， 故，所以，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取， 故到平面的距离为. 16．【详解】(1)如图，因为，分别为，的中点， 所以为的中位线，则，因为平面，平面，所以平面， 同理，则平面． 又，，平面，所以平面平面． （2）如图，连接， 因为平面，、平面， 所以，，则，， 所以，则，设到平面的距离为， 由，得， 所以，解得，又， 故与平面所成角的正弦值为； （3）存在点，使得二面角的大小为， 取棱的中点，连接，，，， 则，，因为是线段的中点，， 所以，，，所以二面角的平面角为， 在中，，，，所以，所以， 所以在棱上存在一点，使得二面角的大小为，且. 17．【详解】（1）(1)设为中点，连接，因为为等边三角形，所以， 因为，，，所以， 因为，所以，因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. . （2），，,平面， 平面，由平面，，， 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 在等腰三角形中，， 所以， 则， 所以， 设直线与平面所成角为，故. （3）设，则， 即①令② ①②2得，取最大值时,即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 过作，连接，且，过作，交于，如图， 则二面角的平面角为，因为， ，， 所以． 18．【详解】(1)因为，设，，， 因为为正方形，则圆柱的底面半径， 则圆柱的侧面积为，解得，即，，连接， 因为，且，可知为平行四边形，则， 又因为平面平面，平面平面，平面平面， 可得，则，可得；连接， 因为，且为矩形，则，， 且，，则，，可知为平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面. （2）由题意可知：，，， 设的中点为，连接，，则，，且，， 又因为，平面，可得平面， 在中，由余弦定理可得， 则为锐角，且， 可得的面积， 所以三棱锥的体积. 19．【详解】(1)证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2)（i）取的中点，连接， 因为是的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面． 因为为中点，为的中点，所以， 因为平面平面，所以平面， 又平面平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． （ii）因为平面，平面，所以， 因为平面平面，所以平面平面， 因为平面平面， 所以平面，即到平面的距离为． 因为，所以． 因为平面，所以， 在中，， 所以．设点到平面的距离为， 则，所以，即点到平面的距离为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $