河北省承德市双滦区实验中学2026年暑假高一数学专项测试卷（15）---三角函数与平面向量

**基本信息** 暑假高一数学专项测试卷，聚焦三角函数与平面向量，通过向量垂直判断、解三角形、函数图像分析等题，分层考查抽象能力与推理能力，适配学段核心知识巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量垂直（第1题）、投影向量（第2题）|基础概念辨析，如用数量积判断向量垂直| |多选题|3/18|向量等价条件（第9题）、三角形确定条件（第10题）|多角度辨析，如第9题从模、数量积等判断向量关系| |填空题|3/15|向量模最值（第13题）、三角形中线向量（第14题）|空间转化，如第13题用坐标法求向量模最大值| |解答题|5/77|向量坐标运算与最值（第15题）、解三角形与面积最值（第16题）|综合应用，如第17题结合正弦定理与函数求面积比最小值|

河北省承德市双滦区实验中学 2025- -2026学年第二学期暑假高一数学专项测试卷（15） 范围：三角函数与平面向量 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知非零向量，满足，则（    ） A．，共线 B．，垂直 C．，模相等 D．或为单位向量 2．已知，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（     ） A． B． C． D． 3．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，且，则角（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 4．先将函数的图象向右平移，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 6．若非零向量与满足，且，则为（   ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 7．函数的部分图像如图所示，是等边三角形，其中，两点为图像与轴的交点，为图像的最高点，且，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，则函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D．1 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知，为非零向量，且，，则下列命题中与等价的选项为（   ） A． B． C． D． 10．已知的三个角，，所对的边分别为，，，下列条件能构成且形状唯一确定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．已知函数的部分图象如图所示，则（     ） A．函数的最小正周期是 B．函数的解析式为 C．函数的单调递减区间是 D．函数在区间上的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．__________． 13．已知平面向量，，满足且，向量满足，则的最大值是______． 14．在中，，，若是的中点，则__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知点，，，. (1)若，求实数m，n的值； (2)若，，求t的值； (3)求的最小值. 16．(本小题15分）在中，角所对的边分别为，角为钝角，且． (1)若，求角； (2)设的平分线交于点，若面积为，求的最大值． 17．(本小题15分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若． （ⅰ）证明：为等边三角形； （ⅱ）如图，以A为顶点，作，交边于D，E两点，记和的面积分别为，，求的最小值． 18．(本小题17分）设． (1)求函数在区间上的最小值； (2)在中，若且，求的面积． 19．(本小题17分）已知中，，，所对的边为，，，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若边，且为锐角三角形，求周长的取值范围； (3)若为中点，，且面积为，求边． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A A C D A ABCD ABC 题号 11 答案 ABC 1．B 【详解】两边平方得：，根据向量模长的平方公式，将等式两边展开：，化简得，已知，都是非零向量，且它们的数量积，根据向量垂直的判定条件，这说明向量 与 互相垂直，B正确. 2．C 【详解】向量在上的投影向量为 ，其中为与的夹角， 代入已知条件，，，， 得. 3．B 【详解】,所以，所以. 所以. 4．A 【详解】将函数的图象向右平移，可得到函数 的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 故. 5．A 【详解】取的中点为，则， 即为的边的中垂线，即为等腰三角形； 可化简为，即，则， 则为等边三角形. 6．C 【详解】设的中点为，连接， 因为，即， 则，可得， 又因为，即， 且，则，所以为底边和腰不相等的等腰三角形． 7．D 【详解】函数的振幅为​，即最高点的纵坐标为. 因为是等边三角形，高为​，由等边三角形高，得. 又因为是半个周期，即，得，因此​. 设，由，得，，则，得. 所以，因为 中点为最高点的横坐标，得C的横坐标. 因为点是最高点，故，代入得：，​ 即，且，得，因此函数为：. 所以，， ，， 所以 ，. . 因此. 8．A 【详解】 所以，，由，得，故 所以，函数在上的最小值为. 9．ABCD 【详解】对于A：若，则；若，则，故A正确； 对于B：若，则； 若，则，故，故B正确； 对于C：，， 若，则， 即，即，故； 若，则，即有，故C正确； 对于D：若，则，故； 若，则，则，故D正确. 10．ABC 【详解】选项A，已知两角，可得第三个角，结合边， 由正弦定理可唯一确定的值，三角形存在且形状唯一，故A正确； 选项B，已知两边及夹角， 由余弦定理，可得边长唯一， 剩余两角也可由余弦定理唯一确定，三角形存在且形状唯一，故B正确； 选项C，已知，由正弦定理， 又，故唯一确定，剩余角，边也唯一， 三角形存在且形状唯一，故C正确； 选项D，对等式， 由正弦定理得，代入余弦定理得，故， 又，，不满足三角形内角和要求，不存在这样的三角形，故D错误. 11．ABC 【详解】对于A：由图象知，，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，由图象可知，， 又因为图象过点，所以，所以， 因为，所以令，得， 所以函数的解析式为，故B正确； 对于C：令，得， 所以函数的单调递减区间是，故C正确； 对于D：当时，， 所以当，即时，函数取到最小值为，故D错误. 12． 【详解】． 13． 【详解】已知平面向量，，满足且，设，，， ，代入坐标得： ， 可知点在圆心，半径为的圆上， 则的最大值等于原点到圆心的距离加上圆的半径， 即. 14．0 【详解】因为表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量， 所以可化为，即，因为， 取边的中点为，则，所以， 即，所以，所以为等边三角形， 若是的中点，则，所以.    15．【详解】（1）由已知得， 由得， 则，解得； （2），所以， 因为，所以，解得； （3）， 则； 函数是一个开口向上的二次函数，其对称轴为， 所以当时函数取到最小值，所以的最小值为. 16．【详解】（1）由正弦定理有：，从而， 在中，由， 所以， 即，也即， 因为，， 所以，又，所以， 由正弦定理以及得：， 所以，所以. （2）由（1）知，且得：， 因为为的平分线，所以， 又，即，解得：， 由，当且仅当即时等号成立， 所以的最大值为. 17．【详解】（1）由题意得，因为， 由正弦定理得， 所以， 又，所以，所以，又，所以． （2）（ⅰ）因为，所以， 所以， 即，即， 所以，即， 由（1）知，故，所以，则，所以为等边三角形． （ⅱ）因为，在中，， 在中，， 所以 不妨令，则， 所以 ， 当，即时，取到最大值， 此时最小，最小值为． 18．【详解】（1）由题意得 ，令，，． 对于，开口向下，对称轴． 由二次函数性质得在对称轴处取最大值；最小值在端点处： 当（即）时：； 当（即）时：． 故最小值为4（当时取得）． （2）由，设，则，得到， 而在内无解．或． 若（此时超出三角形内角和，舍去）． ， 由知为等腰三角形，，． ． 19．【详解】（1）由向量，，因为，可得，又由正弦定理得，整理得， 由余弦定理，可得，又因为，所以． （2）由于为锐角三角形，，所以， 即，由正弦定理得， 则 , 因为，则，所以， 所以周长. （3）因为，可得，即，所以， 又因为，可得， 即，可得， 所以，所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $