1.4.2 用空间向量研究夹角问题专项训练【7大考点】-2026年暑假预习高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量工具，系统覆盖7类夹角问题，构建“求角-逆求参数”双向训练体系，强化空间观念与运算推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |异面直线夹角|6题|正四棱锥、直三棱柱等模型求余弦值|向量数量积基础应用，从共面到异面递进| |已知线线角求量|6题|阳马、四棱锥中求棱长、体积|逆向运用夹角公式，渗透方程思想| |线面角|6题|直三棱柱、正方体中求正弦/余弦值|法向量与线向量夹角互化，强化空间垂直| |已知线面角求量|6题|六面体、四棱锥中求线段长、参数|角与向量模长关系，培养几何代数转化| |面面角|6题|三棱锥、斜三棱柱中求大小/余弦值|双法向量夹角计算，关联二面角定义| |已知面面角求量|6题|圆台、四棱锥中求高、棱长|法向量夹角与二面角关系，深化模型应用| |共面直线夹角|4题|折叠问题中求角度|平面向量向空间向量过渡，巩固基础|

1.4.2 用空间向量研究夹角问题 7大考点汇总 考点01 异面直线夹角的向量求法 考点02 已知线线角求其他量 考点03 线面角的向量求法 考点04 已知线面角求其他量 考点05 面面角的向量求法 考点06 已知面面角求其他量 考点07 共面直线夹角的向量求法 题型专练 考点01 异面直线夹角的向量求法 1．（25-26高一下·河北石家庄·期末）在所有棱长均为1的正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 2．（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏徐州·期末）在如图所示的正八面体中，棱与所在直线的夹角为________． 4．（25-26高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在长方体中，，为与的交点． (1)用向量表示； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 6．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 考点02 已知线线角求其他量 7．（25-26高二下·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． (1)求证：E为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 8．（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 9．（25-26高二上·浙江丽水·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． (1)若，证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求的值． 10．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，在棱长都为的正三棱柱中，为侧面的中心，为的中点，点为棱上一动点（不包含端点）. (1)证明：平面； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，求. 11．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为__________. 12．（25-26高二上·全国·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，． (1)求与平面所成角的余弦值； (2)是线段上的动点，若线段上存在点（不包含端点），使得异面直线与成30°角，求线段长的取值范围． 考点03 线面角的向量求法 13．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 14．（25-26高二下·河南新乡·期末）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，． (1)证明：平面平面ABC； (2)若平面ABC，且，连接PD，AD，求直线BP与平面PAD所成角的正弦值． 15．（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·广西河池·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，与交于点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的余弦值． 17．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线EC与平面PCD所成角的正弦值． 18．（25-26高一下·重庆·期末）在正三棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 考点04 已知线面角求其他量 19．（2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 20．（2026·云南·三模）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 21．（2026·安徽滁州·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形，且平面平面，为的中点． (1)证明:; (2)点在棱上（含端点），且直线与平面所成角的正弦值为，求出所有满足条件的点，指出其位置． 22．（2026·河南周口·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为等腰梯形，，，，为的中点. (1)若，证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求的长度. 23．（2026·福建福州·三模）在四棱锥中，平面，. (1)证明：平面平面； (2)若为棱上一点（不含端点），直线与平面所成角的正弦值为，求. 24．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）如图，三棱台中，上、下底面均为正三角形，，，侧棱底面，且. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求. 考点05 面面角的向量求法 25．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面平面； (2)若，是的中点，求平面与平面夹角的大小． 26．（25-26高二下·河南洛阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，D是的中点，于E. (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 27．（25-26高二下·湖南长沙·期末）如图，在底面为等边三角形的斜三棱柱中，，四边形为矩形，过作与直线平行的平面交于点D． (1)证明：； (2)若与底面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 28．（25-26高二下·河南信阳·期末）在正三棱柱中，底面边长，侧棱，点在侧棱上，且满足． (1)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (2)当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 29．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面平面． (1)证明：； (2)设直线与平面所成角为．若点为棱上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值． 30．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，设平面平面，且． (1)证明：； (2)若，， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）点是四边形（不含边界）内的动点，且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 考点06 已知面面角求其他量 31．（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 32．（25-26高二下·广东·期末）如图，已知圆台，其中均为母线，四边形为圆台的轴截面，且． (1)求证：； (2)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 33．（25-26高二下·广东韶关·期末）如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，侧面底面，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求的长. 34．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面，且，，. (1)证明：平面平面. (2)若二面角的余弦值为，求棱AB的长. 35．（25-26高二下·江苏常州·期中）四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，且三棱锥的体积为，点在线段上，若平面与平面所成的二面角的正弦值为，求的长. 36．（25-26高一下·浙江温州·期末）已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 考点07 共面直线夹角的向量求法 37．（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，折纸后的大小为（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）如图，是正方形的中心，把正方形沿对角线折成二面角，，分别为，的中点，    (1)当折成直二面角时（图1），求直线与所成角的大小； (2)当折成二面角的平面角为（图2），求直线与平面所成角的正弦值． 39．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，四边形是矩形，四边形是等腰梯形，，，.将梯形沿AD折起，使平面平面，连接BF，CF，CE，得到空间几何体，如图2所示.    (1)求的大小； (2)求直线AB到平面的距离； (3)求直线BF与平面所成角的正弦值. 40．（25-26高二上·江苏·阶段检测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若， (1)用表示； (2)求； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究夹角问题 7大考点汇总 考点01 异面直线夹角的向量求法 考点02 已知线线角求其他量 考点03 线面角的向量求法 考点04 已知线面角求其他量 考点05 面面角的向量求法 考点06 已知面面角求其他量 考点07 共面直线夹角的向量求法 题型专练 考点01 异面直线夹角的向量求法 1．（25-26高一下·河北石家庄·期末）在所有棱长均为1的正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【详解】连接，，交点为，连接，， ，或其补角为异面直线与所成的角， 结合题中条件，正四棱锥中，，则四边形为边长为1的正方形，每个侧面为边长为1的正三角形，则，， 在正三角形中，为的中点，则，， 则，所以， 则，故异面直线与所成角的余弦值为. 2．（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理逆定理证明，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则 . 所以直线与直线所成角的余弦值为. 3．（25-26高二下·江苏徐州·期末）在如图所示的正八面体中，棱与所在直线的夹角为________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求出和的坐标，结合向量夹角公式计算夹角的余弦值，进而确定角度大小. 【详解】如图所示，以正八面体中心为原点，设各顶点坐标为：，，，，可得：， 根据异面直线夹角公式可得： 因为异面直线夹角范围是， 所以，即与的夹角为. 4．（25-26高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算可知,，通过数量积求出，进而求出. 【详解】利用空间向量的线性运算可知， 所以， 即, 由于, 所以，， 所以，故 ，即， 故平行四边形为矩形， 5．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在长方体中，，为与的交点． (1)用向量表示； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量加法的几何意义直接可得； （2）建立空间直角坐标系，用向量的方法异面直线所成的角可得. 【详解】（1）因为为与的交点，且为的中点， 所以，又因为， 所以 （2）因为在长方体中，故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图： 根据题意可得． ，． 可得． ，， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为． 6．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立坐标系，写出向量坐标，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则, 设和所成角为，，即和所成角的余弦值为. 考点02 已知线线角求其他量 7．（25-26高二下·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． (1)求证：E为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明：如图在中，过点作交于点，连接. 因为，所以.所以，，，四点共面. 因为平面，平面，平面平面， 所以. 所以四边形是平行四边形. 所以. 所以为的中点. (2) 【分析】（1）在中，过点作交于点，利用平面证明即可. （2）取中点，以为原点建立空间直角坐标系，设点的坐标，利用直线与平面所成的角为即可求解点的坐标，从而可计算四棱锥的体积． 【详解】（1）略 （2）取中点，连接. 因为，所以. 因为，，所以四边形为正方形. 所以，. 因为，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面.因为平面，所以. 如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ，，，， 设，. ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 直线与平面所成角为， 所以. 解得. 所以. 所以四棱锥的体积为. 8．（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 【答案】4 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线向量公式列方程求解即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图，    设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 9．（25-26高二上·浙江丽水·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． (1)若，证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1) 如图连接交于点，连接 因为且， 所以， 因为，所以， 所以，所以 ， 又因为平面，平面, 所以平面 (2) 【分析】（1）根据平行线等分线段定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系，则,， 则,， 因为，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 则 ，即，令，得， 所以，解得或（舍） 所以的值为. 10．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，在棱长都为的正三棱柱中，为侧面的中心，为的中点，点为棱上一动点（不包含端点）. (1)证明：平面； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，则为的中点，利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理即得证； （2）取线段的中点，连如图建系，设，其中，运用空间向量法求出的值，再结合模的公式计算即得. 【详解】（1）连接，则为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）取线段的中点，连接， 因为为等边三角形，所以，又因为平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系如图， 设点，其中，易知、、, 则，，， 所以， 因为，解得， 此时的长为. 11．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为__________. 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线夹角的向量公式即可求解. 【详解】如图，在三棱锥中，，，， 平面，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，    可知，，， ，， ，则，设，且，则， 可知，， ，，异面直线与所成的角的余弦值为，，解得或（舍去），. 故答案为： 12．（25-26高二上·全国·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，． (1)求与平面所成角的余弦值； (2)是线段上的动点，若线段上存在点（不包含端点），使得异面直线与成30°角，求线段长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，故，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式和同角三角函数关系进行求解； （2）设，．设，其中，则，根据与成30°角得到方程，求出，其中，即，结合求出答案. 【详解】（1）因为，所以⊥， 又平面平面，交线为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥，⊥， 以为原点、为轴、为轴、平面上过点的的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图， 与均为等腰直角三角形，，则，，， 平面的法向量为， 设与平面所成的角为，， ， 故； （2），设，．设，其中， 但当时，两点重合，此时与不是异面直线，故，所以， 则． 由，得， 其中，即，解得， 又，所以 故． 考点03 线面角的向量求法 13．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)解法1：连接，， 因为在直三棱柱中，四边形为平行四边形， 所以M为中点，又N为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面．    解法2：证明：取中点P，连结，，由M，N分别是与的中点， 所以, 又因为平面，平面， 所以平面． 同理，平面． 又，平面， 所以面面． 而平面，所以平面． (2)． 【分析】（1）方法1，通过线面平行判定定理证明，方法2，通过面面平行证明线面平行； （2）利用空间向量法求解线面角的正弦值. 【详解】（1）略. （2）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，    设，则． 则，，，，，， 所以，，． 设平面MNC的一个法向量为， 则，． 即 ，令，则． 所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为，又， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 14．（25-26高二下·河南新乡·期末）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，． (1)证明：平面平面ABC； (2)若平面ABC，且，连接PD，AD，求直线BP与平面PAD所成角的正弦值． 【答案】(1)如图，取AB的中点，连接PO，CO． 因为是边长为2的等边三角形，为AB的中点， 所以，且．     又因为为AB的中点， 所以，且．     因为，所以，所以．     又平面ABC，所以平面ABC，     又因为平面PAB，所以平面平面ABC. (2) 【分析】（1）取AB的中点，连接PO，CO，证明，，进而可证明平面ABC，可证明平面平面ABC； （2）法一：以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面PAD的一个法向量和直线的方向向量，利用向量法可求得直线BP与平面PAD所成角的正弦值．法二：取PA的中点，连接BM，则，可证明平面PAD，从而可得即直线BP与平面PAD所成的角．计算求解即可. 【详解】（1）略. （2）方法一：由（1）得OB，OC，OP两两互相垂直，故以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以．     设平面PAD的法向量为， 则即 令，得， 故平面PAD的一个法向量为．     设直线BP与平面PAD所成的角为， 则， 所以直线BP与平面PAD所成角的正弦值为．     方法二：如图，取PA的中点，连接BM，则．     由（1）知，平面平面ABC，且， 因为平面ABC，且，所以且， 所以四边形POCD是平行四边形，，所以平面PAB，     因为平面PAB，所以， 又，所以平面PAD， 所以即直线BP与平面PAD所成的角．     因为是等边三角形，所以， 即直线BP与平面PAD所成角的正弦值为． 15．（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过建立空间直角坐标系，利用线面角的向量计算公式，将的最小值问题转化为求的最大值问题，结合二次函数的最值性质求解. 【详解】 如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，、、,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标: ，因点在线段上，设，其中， ，设平面的法向量为，则 ，令，解得，即， 又，， 则， 由同角三角函数关系得，要使最小，需使最大， 当时，，此时取得最大值， 代入得：. 16．（25-26高二下·广西河池·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，与交于点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)因为底面是菱形，，， 所以为等边三角形，，，， 又，为中点，故， ， 已知，则， 则，故，即， 因为，，平面， 所以平面． (2)． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，两两垂直，以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系． 如图所示，则，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，得， 设直线与平面的夹角为， 则， 所以，， 直线与平面的夹角的余弦值为． 17．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线EC与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：由，得， 又，在中， 由余弦定理得， 所以，则，即， 又因为在平面ABCD中，，得， 又因为平面，平面，所以平面； (2)证明：由（1）知，翻折后， 连接，由，则， 在中，因，得，则，                又平面，所以平面 (3) 【分析】（1）先由余弦定理求，证明，得，再由线面平行的判定定理得证； （2）易得，由勾股定理证明，再由线面垂直的判定定理即得证； （3）由条件建系，求出相关点与向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）得平面，又平面，所以，则两两垂直， 建立如图空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以， 所以， 设直线EC平面PCD所成角为，则， 即直线EC与平面PCD所成角的正弦值为.　 18．（25-26高一下·重庆·期末）在正三棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用线面角的向量计算公式求解. 【详解】取中点，连接，因为为正三角形，故， 正三棱柱中，平面，平面，故， 又，平面，因此平面， 以为原点，、过且平行于的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 已知底面边长，故，高，得各点坐标：，，， 直线的方向向量， 平面上所有点的坐标为，故其一个法向量为，， 设直线与平面所成角为，根据线面角的向量关系： ， 计算得，，代入得：，故B正确. 考点04 已知线面角求其他量 19．（2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)取的中点，连接，. 因为分别为的中点， 所以，且. 又，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面平面，所以平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，结合中点性质和线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）连接， 因为底面是菱形，，所以和均为等边三角形. 因为是的中点， 所以，即, 又平面， 则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则由题意知，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则令， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得，所以. 20．（2026·云南·三模）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面平面， 所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面. (2)存在 【分析】（1）通过面面垂直可以证明平面，从而得到，再使用勾股定理证明，最后证明平面； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面法向量，使用空间向量表示出直线BP的方向向量，求出是否存在直线与平面所成角的正弦值为. 【详解】（1）略 （2）如图，过点作， 因为平面平面，所以， 所以，又，所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立 空间直角坐标系， ，， ， 设，因此的坐标为， 所以. 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即，解得（舍去）， 因此存在，使得直线与平面所成角的正弦值为. 21．（2026·安徽滁州·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形，且平面平面，为的中点． (1)证明:; (2)点在棱上（含端点），且直线与平面所成角的正弦值为，求出所有满足条件的点，指出其位置． 【答案】(1)如下图，连接，因为为等边三角形，为的中点， 所以．连接，， 因为四边形是菱形，所以，又， 所以为等边三角形，则．             因为，所以平面． 又因为平面，所以． (2)满足条件的点Q只有一个，即与点P重合 【分析】（1）要证明线线垂直，则需要通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明  平面 ; （2）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标和的坐标，根据线面角的正弦值计算结果即可. 【详解】（1）略 （2）因为，平面平面，平面平面，所以平面． 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 由已知可得，，，，，，．             设平面的法向量为， 由，得，取．     ，，设，， 则．        （10分） 设直线与平面所成的角为， 则， 由题意得，整理得 ，因为，所以， 即满足条件的点Q只有一个，即与点P重合. 22．（2026·河南周口·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为等腰梯形，，，，为的中点. (1)若，证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求的长度. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）作辅助线，可证，平面，建系并标点，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）可得，平面的法向量为，根据线面夹角列式求解即可. 【详解】（1）取，的中点分别为，， 因为为等边三角形，四边形为等腰梯形，则，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，且，则，， 则，，，，，， 若，即，则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为，则， 且平面，所以平面. （2）由（1）可知：，平面的法向量为， 若直线与平面所成的角为， 则， 整理可得，解得， 所以. 23．（2026·福建福州·三模）在四棱锥中，平面，. (1)证明：平面平面； (2)若为棱上一点（不含端点），直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)见小问1详解 (2) 【详解】（1）在底面梯形 中，，，，. 过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， 则 ，，如图所示： 在 中，，，由勾股定理得： 在 中，，， 由勾股定理得： 在 中，，，， 因为，所以 ，即 . 因为 平面 ，平面 ，所以 ， 又 ，，所以 平面 . 因为 平面 ，所以平面 平面 ，证毕. （2）以 为原点， 所在直线为 轴，过 且垂直于 的直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系. 则 ，，， 点 在棱 上，设 （）， 则：， 因为 ， 向量： 设平面 的法向量 ， 则，令，则 所以：又因为 所以直线 与平面 所成角的正弦值为， 解得 ，所以 24．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）如图，三棱台中，上、下底面均为正三角形，，，侧棱底面，且. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值； （2）设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合可得出的值，即可得出线段的长. 【详解】（1）由侧棱底面ABC，且上、下底面均为正三角形， 则以为原点，以过点垂直于平面的直线为轴， ，所在直线分别为，轴建立如下图所示的空间直角坐标系. 由，，，则，，，， 则， 则， 故异面直线与所成角的余弦值为. （2）由，得，， 设，则， . 由（1）知，， 设平面的法向量为， 则 令，得，， 故平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则 ，解得. 此时，故. 故的长度为 考点05 面面角的向量求法 25．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面平面； (2)若，是的中点，求平面与平面夹角的大小． 【答案】(1)∵ 平面，平面，∴ . 又∵ ，，平面，∴ 平面. ∵ 平面，∴ 平面平面. (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质推出，结合已知，可证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可完成证明. （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，得到各点坐标，分别求解平面和平面的法向量，通过法向量的夹角即可求得两个平面的夹角大小. 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴正方向，过作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，. ∵ 是的中点，∴ ， ∴ ，，. 设平面的法向量为， 则，即， 将代入得，令，得，∴ . 设平面的法向量为， 则，即， 将代入得，令，得，∴ . 设平面与平面的夹角为，， 则， ∴ ，即平面与平面的夹角为. 26．（25-26高二下·河南洛阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，D是的中点，于E. (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)平面，平面， ，又，，平面， 平面，平面，从而， 又，D是的中点，则， 由，平面，则平面， 由平面，则， 又，，平面， 平面； (2) 【分析】（1）根据已知条件，由线面垂直的性质、判定定理证明结论即可； （2）构建合适空间直角坐标系，标出相关点坐标，进而求出两个平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由平面，平面，则， 由平面，平面，则， 在中，即， 所以，，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意，得，，，，， 即，，设平面的法向量， 由，得，令，得， 由（1）知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 27．（25-26高二下·湖南长沙·期末）如图，在底面为等边三角形的斜三棱柱中，，四边形为矩形，过作与直线平行的平面交于点D． (1)证明：； (2)若与底面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点E，连接． 因为平面平面，平面平面，所以． 又因为四边形为平行四边形，所以E为的中点， 所以为的中位线，所以D为的中点． 又因为为等边三角形，所以． (2)． 【分析】（1）利用线面平行性质得到中位线，锁定为中点，借等边三角形三线合一证垂直； （2）由线面角确定高与底面投影，建系求两平面法向量，用向量夹角公式算出二面角余弦值. 【详解】（1）略 （2）过A作平面垂足为O，连接， 设，因为与底面所成角为，所以． 在中，因为，所以． 因为平面平面，所以． 又因为四边形为矩形，所以， 因为，所以． 因为平面平面，所以平面． 因为平面，所以．又因为，所以O为的中点． 以O为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图． 则． 因为，所以， 因为，则得， 所以． 设平面的法向量为， 由，得，故可取． 设平面的法向量为， 由得故可取． 因， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 28．（25-26高二下·河南信阳·期末）在正三棱柱中，底面边长，侧棱，点在侧棱上，且满足． (1)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (2)当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】(1)存在，，取的中点，连接，则， 以为原点，为轴正方向，为轴正方向，过点作平行的直线为轴，建立空间直角坐标系， 由题意，，则，，，， ，，设， 由，，，得，即， 所以，， 若，则，得，满足，符合， 所以，存在，使得； (2) 【分析】（1）取的中点，连接，则，构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，设，根据已知得，再写出的坐标，根据垂直关系列方程求参数，即可得结论； （2）由题意，求出相关平面的法向量，应用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）若，则，设平面的一个法向量为， 由，，得，取，得， 设平面的一个法向量为， 由，，得，取，则得， 设平面与平面所成的锐二面角为，则， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 29．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面平面． (1)证明：； (2)设直线与平面所成角为．若点为棱上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值． 【答案】(1)证明：连接交于点，连接， 因为底面为菱形，所以为的中点，可得,， 又因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，又，由为公共边， 所以，所以. (2) 【分析】（1）连接交于点，证得平面，得到，结合，证得，即可证得； （2）以,所在直线分别为轴和轴，建立空间直角坐标系，设，求得，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 所以为直线于平面所成的角，即， 因为平面，平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以为的垂心， 因为底面是边长为的菱形，且，所以为等边三角形， 所以点为的重心，可得， 则，且, 又因为，所以， 以为轴，以为轴，过点作平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 设，可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设二面角的平面角为 ， 则， 令 ，则， 所以， 由于， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为，所以的最小值为. 30．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，设平面平面，且． (1)证明：； (2)若，， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）点是四边形（不含边界）内的动点，且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明：因为为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 因为，所以； (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）由线面平行的性质得线线平行，从而证明出； （2）（i）法一：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到线面角的正弦值； 法二：补体成长方体，得到为直线与平面所成角，求出各边长，求出正弦值； （ii）令，，则，求出平面和平面的法向量，利用面面角的余弦公式和换元得到，根据函数的单调性，得到平面与平面所成角的余弦值的取值范围. 【详解】（1）略； （2）（i）（法一：向量法）因为平面，且，所以，，两两互相垂直， 以为原点，、、分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 由可得取，则，， 所以， 设直线与平面所成角为， 则； （法二：几何法）补体成长方体， 过点作垂直于点，连接，，则平面， 所以为直线与平面所成角， 在中，，所以， 在中，，， 所以． （ii）因为平面，平面，所以， 因为，所以， 又是四边形（不含边界）内的动点，则点在以为圆心，2为半径的圆上， 令，，则， 又，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则取， 设平面的法向量为， 则取， 故， 令，则， 因为函数在上单调递减，则， 则， 设平面与平面所成角为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围为． 考点06 已知面面角求其他量 31．（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：记中点为，连接，， 则四边形为正方形，且根据勾股定理得， 所以，则，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以， 易知，所以， 又因为，，平面， 所以平面. (2)存在，． 【分析】（1）利用勾股定理以及线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质定理可得，即可证明平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面与平面的法向量，根据夹角余弦值确定点的位置，再由空间中点到直线距离的向量求法计算可得结果． 【详解】（1）略． （2）由（1）知平面，且，所以，，两两相互垂直． 以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面的法向量为． 则，令 ， 得. 设平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，， 则，解得． 所以． 32．（25-26高二下·广东·期末）如图，已知圆台，其中均为母线，四边形为圆台的轴截面，且． (1)求证：； (2)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 【答案】(1)连接，因为直线为圆台的轴，为圆台的母线， 则为直角梯形，其中， 又因为， 所以为等腰直角三角形，所以， 又因为四边形为圆台的轴截面，则，又， 所以， 法一：又因为平面， 所以平面， 又平面， 所以； 法二：所以直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，， 所以， 则，所以， 所以； (2)2. 【分析】（1）可以通过构造直角梯形证明 平面 ，从而 ；也可建立坐标系直接验证 ； （2）建立坐标系，分别求出平面 与 的法向量，利用二面角余弦的绝对值等于法向量夹角余弦的绝对值，解方程求高． 【详解】（1）略． （2）由（1）得，，， 设平面与平面的法向量分别为， 则，即，取，得，， 故平面的一个法向量为， 又，即，取，得， 故平面的一个法向量为， 由二面角的余弦值为， 得，解得， 所以圆台的高的长为2. 33．（25-26高二下·广东韶关·期末）如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，侧面底面，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)因为底面为直角梯形，，，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. (2)因为，平面，平面，所以平面， 设平面平面，又平面，所以， 即， 由平面，即平面，平面， 所以，故或其补角为平面与平面所成角. 因为平面平面，所以，即. (3)或 【分析】（1）由已知得，再由面面垂直的性质定理证明结论； （2）由线面平行的判定定理得平面，再由线面平行的性质定理得，根据二面角的定义及已知即可证； （3）构建合适的空间直角坐标系，取为中点，设并标注出相关点坐标，应用向量法求二面角列方程求参数值，最后由向量模长的坐标运算求长度. 【详解】（1）略 （2）略 （3）以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示直角坐标系，则，，，. 取为中点，由可得，设， 设，所以，，， 设平面的法向量为，则，可取， 由题可取平面的一个法向量为. 设平面与平面夹角为，则， 化简得，解得或， 所以， 所以或. 34．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面，且，，. (1)证明：平面平面. (2)若二面角的余弦值为，求棱AB的长. 【答案】(1)证明：∵平面，平面，∴； ∵，，，∴，∴； ∵平面，，∴平面， ∵，∴ 平面， ∵平面，∴平面平面. (2)1 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再利用勾股定理可得，从而得到平面，最后结合面面垂直的判定定理得证； （2）以A为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，再利用二面角的向量求法可构造方程求得的值. 【详解】（1）略； （2）由（1）知：平面，，则AB，AD，AP两两互相垂直， 以A为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， ∴，，， 设平面的法向量， 则，故可取； 设平面的法向量， 则，故可取； ∴，解得：（舍）或， ∴棱AB的长为1. 35．（25-26高二下·江苏常州·期中）四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，且三棱锥的体积为，点在线段上，若平面与平面所成的二面角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)由题意知为等边三角形，则，所以， 又四边形为梯形，，则， 在中，，， 由， 得，解得， 所以，即， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. (2) 【分析】（1）先由梯形边长与角度判定为等边三角形，用余弦定理算出，借助勾股逆定理证，再结合面面垂直性质定理推出平面，最终得线线垂直； （2）取中点，利用等腰与面面垂直条件以为原点建空间直角坐标系，由棱锥体积求出高；设表示坐标，分别求出两平面法向量，结合二面角正弦值算出余弦绝对值，列方程解出，最后乘长度得到． 【详解】（1）略 （2）取的中点为， 因为，且为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面， 连接，则，且平面，故， 综上，，，两两垂直， 以为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系. 所以，，，， 由 ， 即，解得， 则， 设 ，所以 所以 ，，，， 若是平面的一个法向量， 则， 取，则，则 . 若是平面的一个法向量， 则， 取，则，，则， 所以， 因为，解得，故， 所以． 36．（25-26高一下·浙江温州·期末）已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)等边的边长为3，，. ，. 由余弦定理得，解得； ，，； 为直角三角形，即. . 平面平面，平面平面，平面 平面； 平面，. (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理求出，根据三角形三边满足勾股定理，证得，由面面垂直得到线面垂直，再由线面垂直证得线线垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，从而确定线面的夹角，根据直角三角形的边的关系，求得线面夹角的正弦值； （3）以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，根据异面夹角的计算公式即可求得. 【详解】（1）略 （2）由（1），得. 由折叠得，. 平面平面，平面平面，平面 平面. 为直线与平面所成的角. ，，，，，. 在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为 （3）线段上存在一点，使得二面角的大小为，且线段的长度为，理由如下： 平面，平面，平面，，. 平面，平面，. 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则，，，. . 点在线段上，设，得. ，. 平面，平面的法向量可取. 设平面的法向量为，则，即； 令，则，. 平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ，解得或. ，. ，则. 即线段的长度为. 考点07 共面直线夹角的向量求法 37．（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，折纸后的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系，借助直线方向向量的夹角公式即可求解； 【详解】折起后的图形如下所示， 连接，，则，； 又平面平面，平面平面；平面； ，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立空间直角坐标系 设正方形的对角线长为2，则可确定以下点坐标： ，，，，，，，， ；，. 故选：B 38．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）如图，是正方形的中心，把正方形沿对角线折成二面角，，分别为，的中点，    (1)当折成直二面角时（图1），求直线与所成角的大小； (2)当折成二面角的平面角为（图2），求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系利用向量夹角的坐标表示即可求得其大小； （2）建立新的空间直角坐标系利用线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】（1）根据题意可知，所以即为二面角的平面角， 当折成直二面角时，可得， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：    设正方形的边长为2， 则， 又，分别为，的中点，所以； 可得， 因此，所以； 可得直线与所成角的大小为； （2）由（1）可知，当折成二面角的平面角为，即； 在平面内，过点作垂直于的直线作为轴，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：    则， 又，分别为，的中点，所以； 可得， 设平面的一个法向量为， 则，取，则； 所以； 设直线与平面所成的角为， 可得； 所以直线与平面所成角的正弦值为. 39．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，四边形是矩形，四边形是等腰梯形，，，.将梯形沿AD折起，使平面平面，连接BF，CF，CE，得到空间几何体，如图2所示.    (1)求的大小； (2)求直线AB到平面的距离； (3)求直线BF与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用空间向量的数量积证线线垂直. （2）利用线面平行，把问题转化成点到平面的距离，再用空间向量求点到平面的距离. （3）用空间向量求直线与平面所成角的三角函数. 【详解】（1）以为坐标原点，，的方向分别为轴轴的正方向， 以过点垂直于平面且向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，，， 因为，所以，即. （2）因为，平面，平面，所以平面， 所以直线AB到平面的距离即为点到平面的距离， 设平面的法向量为，则 令，得， 所以点到平面的距离为. （3）设直线BF与平面所成的角为，则， 所以直线BF与平面所成角的正弦值为. 40．（25-26高二上·江苏·阶段检测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若， (1)用表示； (2)求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量基本定理求解可得答案； （2）用向量法计算，再由利用空间向量的夹角公式求解可得答案. 【详解】（1） ； （2）因为，所以 ， 因为，所以 ， 所以 ， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $