河北省承德市双滦区实验中学2025--2026学年第二学期暑假高二数学专项测试卷（13）---函数性质及导数

**基本信息** 高二暑假函数性质及导数专项测试，覆盖单调性、极值等核心知识点，解答题融合企业利润建模（第14题）与极值点证明（第19题），体现数学思维与现实应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数计算、切线方程、函数奇偶性|基础巩固，聚焦概念理解| |多选题|3/18|函数奇偶性与周期性综合|能力提升，考查逻辑辨析| |填空题|3/15|单调性应用、对称性、利润最值|情境化设计，如企业帮扶利润问题| |解答题|5/77|单调性、极值、零点、证明|综合应用，如极值点证明（第19题）考查推理能力|

河北省承德市双滦区实验中学 2025- -2026学年第二学期暑假高二数学专项测试卷（13） 范围：函数性质及导数 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知为函数的导函数，若，则（     ） A． B． C． D． 2．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 4．已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 5．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 6．设函数在区间上有最大值23，最小值3，则（    ） A． B．17 C． D．18 7．若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若直线与曲线（为自然对数的底数）相切于点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知函数的定义域为（不恒为0），且是奇函数，是偶函数，则（   ） A． B．的一个周期为4 C．图象的一个对称中心为 D． 10．函数是定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有（     ） A．当时， B．方程有个不等实根 C．函数有最大值 D．，， 11．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．可能为偶函数 B．曲线不可能有对称轴 C．当时，函数有极值 D．当时，若为函数的极大值点，则在单调递增 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 13．若函数的图象关于直线对称，则______． 14．某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)已知函数在区间上的最小值为，求在该区间上的最大值. 16．(本小题15分）已知函数，且． (1)求k的值； (2)试求实数p，使函数在区间上为单调函数； (3)试判断函数的奇偶性． 17．(本小题15分）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数的极值． 18．(本小题17分）已知函数． (1)若函数有一个极值点为，求a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)在（2）的条件下，设函数，若对，总有，求a的取值范围． 19．(本小题17分）已知函数. (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A D C D B D ACD AD 题号 11 答案 BD 1．A 【详解】因为，所以， 可得，解得，故. 2．B 【详解】对函数求导得，故所求切线的斜率为， 故所求切线的方程为，即. 3．A 【详解】已知奇函数在上单调递减， 对于A，，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，，，，D错误． 4．D 【分析】由题意，,求出,再利用奇函数性质代值计算即可. 【详解】因是定义在上的奇函数，则, 即,解得,则当时，，故. 5．C 【分析】由分段函数时，利用二项式定理或同余算出除以余数为，通过周期性转化为，代入解析式求得结果． 【详解】， 所以除以余数为，即存在，使得， 时，，所以． 6．D 【详解】， 令，解得，令，解得或， 因此函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因此函数的最大值为， 函数的最小值为， 因为，则，即，所以， 则，解得，因此. 7．B 【分析】求定义域，求导，得到函数极值点情况，得到不等式，求出答案 【详解】定义域为，， 令，解得，令，解得， 因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此是函数唯一的一个极值点，因此， 又由于，则，解得.因此实数a的取值范围是. 8．D 【详解】，则切线斜率为,切点坐标为，故， 而曲线在处的切线方程为，即，故，，所以． 9．ACD 【分析】利用函数的奇偶性恒等式可证明函数的对称中心和周期，再通过赋值可求得特殊函数值，从而可判断各选项. 【详解】由是奇函数，可得， 令得，，故A正确；用代入可得：， 由是偶函数，可得，上面两式相减得：， 用代入可得：， 若4是函数的一个周期，则， 只有为常数函数时，4才是函数的一个周期， 但只要不是常数0函数 ，那么4一定不是函数的一个周期，故B错误； 再用代入可得：， 即可得，故的一个周期为， 再由与相结合可得：， 再用代入可得：， 从而可得函数图象的一个对称中心为，令可得，则， 再结合周期为，可知是图象的一个对称中心，故C正确； 由函数图象的一个对称中心为， 可知， 因为周期为，所以即 所以， 即根据，所以，故D正确； 故选：ACD 10．AD 【分析】运用奇函数的定义可得时的解析式，可判断A；令，求出所对应的方程的解，即可判断；利用导数判断函数的单调性求出函数的极值，即可判断；由的值域可判断． 【详解】对于A，函数为定义在上的奇函数， 当时，，，故A正确； 对于B，当时，，解得，时，，解得， 又，所以有和0三个零点，故B错误； 对于C，当时，，， 当时，，递减；时，，递增， ∴时，有极小值， 当时，；当时，. 函数在上的值域为 由是奇函数，函数在上的值域为 又，所以的值域是，故C错误； 对于D，由C的讨论知，因此对任意的实数有，， ∴，即，故D正确. 11．BD 【分析】对于A，利用奇偶性的定义即可判断；对于B分、两种情况，根据和的函数值即可判断；对于C，求导，进而可得，易知时，函数无极值；对于D，根据极值的定义结合三次函数的性质即可得到单调性． 【详解】若为偶函数，则， ，而，故A错误； 当时，若，则；若，则， 故当时，曲线无对称轴； 当时，若，则；若，则， 故当时，曲线无对称轴，故B正确； ，， 当时，无变号零点，所以此时函数无极值，故C错误； 易得当时，若存在极大值点， 则曲线先单调递增，后单调递减，再单调递增，又时，， 则在单调递增，故D正确． 12． 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 13． 【分析】由已知可得对恒成立，进而得，计算可求. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以对恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立，恒成立， 所以恒成立，所以恒成立，所以. 故答案为：. 14．1000 【分析】依题意求得利润，借助导数和基本不等式可求得最大值. 【详解】由题意得，销售收入为万元， 当产量不足50万件时，利润； 当产量不小于50万件时，利润. 所以利润因为当时，， 当时，单调递增；当时，单调递减； 所以在上单调递增，在上单调递减，则； 当时，，当且仅当时取等号. 又，故当时，所获利润最大，最大值为1000万元. 15．【详解】（1）函数的定义域为R， 求导得，由，得或 . 所以函数的单调递减区间是和. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在上的最小值为，解得， 而，，， 所以函数在上的最大值为. 16．【详解】（1），，解得，，或1． （2），， ①当时，为单调函数，符合题意； ②当时，二次函数的对称轴为， 要使二次函数为区间上的单调函数，只需或，解得或．综上所得，p的范围为． （3）当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数. 由题意知：，由于，故不可能为奇函数； ①当时，，对任意的x，满足，为偶函数； ②当时，，，，故不是偶函数； 综上可得，当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数． 17．【详解】（1）函数的定义域为． （2）． 当时，，在 上单调递增；当 时，令 得 ． 时 ， 单调递增； 时 ，， 单调递减． 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上 单调递增；在上单调递减 （3）时，由（2）可知在上单调递增，在上单调递减， 所以当 时，函数取得极大值 ，无极小值． 18．【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 此时，当时，；当时，， 则是函数的极大值点，符合题意，所以. （2）函数的定义域为， 求导得，而， 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，由，得或；由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，，函数在上单调递减； 当时，，由，得或；由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）不等式， 令，依题意，，恒成立， 则，解得，求导得， 当且仅当时取等号，于是函数在上单调递增，， 所以a的取值范围是. 19．【详解】（1）， 该方程有两个不等实根，由， 所以直线与函数的图象有两个不同交点， 由， 当时，单调递减， 当时，单调递增，因此， 当时，，当，， 如下图所示： 所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为； （2）因为是函数的两个极值点， 所以，由（1）可知：，不妨设， 要证明，只需证明，显然， 当时，单调递增，所以只需证明， 而，所以证明即可， 即证明函数在时恒成立， 由， 显然当时，，因此函数单调递减， 所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $