1.4.1充分条件与必要条件（第一课时）·课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，分层设计为A组基础巩固（8题）和B组能力提升（3题），知识路径从概念识别到综合应用，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|命题概念、充分必要条件定义及简单判断|以选择、填空、判断题为主，直接对应基础考点，如命题个数判断、充分条件实例选择| |B组|集合与充分必要条件综合应用、参数范围求解|以含参数的集合关系题为主，如已知必要条件求参数范围，深化逻辑推理能力|

1.4.1 充分条件与必要条件·课时作业 班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿　　建议用时：25分钟　　第一课时 说明：A组全体必做；B组优生班必做、普通班选做。解答题要求写出完整过程。 A组　基础巩固 1．下列语句中，命题的个数是（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立；③－1的绝对值为1；④你是高一的学生吗？ A．0　　B．1　　C．2　　D．3 2．两个三角形全等的充分条件是（　　） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 3．一般地，"若p，则q"为真命题，就说p是q的＿＿＿＿条件，q是p的＿＿＿＿条件，记作＿＿＿＿。 4．判断下列说法是否正确（正确打√，错误打×）： (1)"a∈N"是"a∈Z"的充分条件。（　　） (2)a＝0是a²＝0的充分条件又是必要条件。（　　） (3)a＝0是a²－3a＝0的必要条件。（　　） 5．判断下列说法是否正确（正确打√，错误打×）： (1)"a∈N"是"a∈Z"的充分条件。（　　） (2)"ab＝0"是"a²＋b²＝0"的充分条件。（　　） (3)"两个三角形全等"是"两个三角形相似"的充分条件。（　　） 6．下列各题中，p是q的充分条件的是＿＿＿＿（填序号）。 ①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ②p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； ③p：m＜－2，q：方程x²－x－m＝0无实根。 7．q是p的必要条件时，p是q的＿＿＿＿条件。 8．设p：x＞5，q：x＞2，则p是q的＿＿＿＿条件，q是p的＿＿＿＿条件。 B组　能力提升（★） 9．若"x＜a"是"x≤3"的必要条件，则实数a的取值范围为（　　） A．a≥3　　B．a＞3　　C．a≤3　　D．a＜3 10．设条件p：|x|≤m（m＞0），q：－1≤x≤4。若p是q的充分条件，则m的最大值为＿＿＿；若p是q的必要条件，则m的最小值为＿＿＿。 11．已知集合A＝{x|4＜x≤8}，B＝{x|5－m²≤x≤5＋m²，m＞0}。 (1)若m＝2，求A∪B； (2)若p：x∈A，q：x∈B，且p是q的必要条件，求m的取值范围。 参考答案与详解 1．C。①是陈述句且可判断真假（它是假命题——空集是任何非空集合的真子集），是命题；②是祈使句，无所谓真假；③可判断真假且为真，是命题；④是疑问句。故命题有①③，共2个。（假命题也是命题，别把①排除。） 2．D。A项两角对应相等只能判定相似；B项两边成比例且夹角相等判定相似；C项三边成比例判定相似；D项两边对应相等且夹角相等是全等的判定定理（SAS），能推出全等。判定定理给出充分条件，故选D。（本题的坑在于把"成比例"与"相等"混同：成比例只能判相似，相等才能判全等。） 3．充分；必要；p⇒q。 4．(1)√。自然数都是整数，a∈N⇒a∈Z，前者是后者的充分条件。 (2)√。a＝0⇒a²＝0，充分性成立；a²＝0⇒a＝0，必要性也成立，故既充分又必要。 (3)×。判断"a＝0是不是必要条件"，要看a²－3a＝0能否推出a＝0。由a(a－3)＝0得a＝0或a＝3，取a＝3即为反例，推不出。所以a＝0不是必要条件（它是充分条件，方向别反）。 5．(1)√。同第4(1)题。 (2)×。a²＋b²＝0意味着a＝b＝0；而ab＝0只需其中一个为0，取a＝0、b＝1，满足ab＝0但a²＋b²＝1≠0。故"ab＝0"推不出"a²＋b²＝0"，不是充分条件（它是必要条件）。 (3)√。全等三角形的相似比为1，一定相似，能推出，是充分条件。 6．③。①由(x－2)(x－3)＝0得x＝2或x＝3，取x＝3满足p不满足q，p⇏q；②相似不一定全等（相似比不为1时），p⇏q；③方程x²－x－m＝0无实根即Δ＝1＋4m＜0，得m＜－1/4，而m＜－2⇒m＜－1/4，p⇒q，成立。故只有③。（③的关键是先把"无实根"翻译成关于m的不等式，不化简无从判断。） 7．充分。q是p的必要条件与p是q的充分条件是同一个推出关系p⇒q的两种说法。 8．充分；必要。A＝{x|x＞5}⊊B＝{x|x＞2}，由"小充分，大必要"直接读出。 9．B。"x＜a是x≤3的必要条件"即x≤3⇒x＜a，翻译成集合关系为{x|x≤3}⊆{x|x＜a}。要让整段x≤3落进x＜a，需a＞3——端点必须验：a＝3时右边是{x|x＜3}，不含3，而3在左边的集合里，包含关系不成立，故不能取等。选B。（选A的同学都是漏了这一步端点验证。） 10．1；4。p对应集合A＝{x|－m≤x≤m}，q对应B＝{x|－1≤x≤4}。 若p是q的充分条件，即p⇒q，则A⊆B，需－m≥－1且m≤4，即m≤1且m≤4；又m＞0，得0＜m≤1，m的最大值为1。 若p是q的必要条件，即q⇒p，则B⊆A，需－m≤－1且m≥4，即m≥1且m≥4，得m≥4，m的最小值为4。 （两问对照着看方向就清楚了：充分那一问要求p的范围小、被q包住，所以m受上界限制；必要那一问要求p的范围大、把q包住，所以m受下界限制。） 11．解：(1)当m＝2时，5－m²＝5－4＝1，5＋m²＝5＋4＝9，所以B＝{x|1≤x≤9}。又A＝{x|4＜x≤8}，在数轴上A整段落在B内，所以A∪B＝{x|1≤x≤9}。 (2)p是q的必要条件，即q⇒p，翻译成集合关系是B⊆A。 因为m＞0，所以5－m²＜5＋m²，B恒为非空集合，不必讨论空集。 B⊆A要求B的两端都落在A内：左端需5－m²＞4（A的左端点4取不到，故用严格大于），得m²＜1；右端需5＋m²≤8，得m²≤3。 两者取公共部分得m²＜1，即－1＜m＜1；又m＞0，所以0＜m＜1。 （本题三个采分点：翻译方向是B⊆A而不是A⊆B；左端点用严格大于（A的左端开、B的左端闭）；参数自身的限制m＞0不能丢。任一处出错，答案都不对。） 学科网（北京）股份有限公司 $