第2章 一元二次方程单元测试卷 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元测试卷，覆盖定义、解法、根的判别式及实际应用，梯度合理，适配单元复习，注重数学思维与模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|定义、配方、根的判别式|基础巩固，考查抽象能力| |填空题|8/24|根与系数关系、方程构造|能力提升，体现推理意识| |解答题|8/76|利润问题、几何应用、根的性质证明|创新应用，强化模型意识与运算能力|

答案和解析 1.【答案】D 2.【答案】A 解：x2-6x+1=0, x2-6x=-1 x2-6x+9=-1+91 (x-32=8 故选：A. 3.【答案】A 【解析】解：4=12-4×2×(-1)=1+8=9>0' :.一元二次方程2X+X-1=0 两个不相等的实数根， 故选：A. 4.【答案】C 【解析】解：.关于x的一元二次方程x+mx-2=0的一个根是1， .1+m-2=0 解得：m=1, 故选：C. 5.【答案】A 第1页，共1页 解：，关于x的方程x2-2x+c=0的一个根是1-V3, ∴.(1-V3}2-2(1-V3)+c=0 解得，c=-2 故选A. 6.【答案】B 【解析】解：：关于x的一元二次方程的根为x=1±-14x3×-5, 2×3 :X=-b±vb-4ac=1±-1P-4x3x-5, 2a 2×3 ∴.-b=1'2a=6 解得b=-1,a=3, .b2-4ac=(-12-4×3×(-5) .c=-5 :.原方程为3X-X-5=0 故选：B 7:【答案】C 【解析】解：，某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，且全班有X名同学， :每名同学需送出(X-1)张照片， 依题意得：x(x-1)=2970. 故选：C 8.【答案】B 第2页，共1页 【解析】解：根据题意得k≠0且△=(-22-4k(-1)>0' 解得k>-1且k≠0. 故选B. 9.【答案】B 【解折】解：根据根与系数的关系得X+X=-2尖=-2，X是 k :1+1=2 X1 X2 .X1+X2=2X1X2 1-2=-2货 解得k=-1, 方程化为-x-2X+1=0, .4=（-22-4×(-1)×1=8>0' ·方程有两个不相等的实数解， K的值为-1 故选：B 10.【答案】D 【解析】解：由题知， 因为a,b是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两个实数根， 所以a+b=2t,ab=t-2t+4, 所以(a+4)(b+4)=ab+4(a+b)+16=-2t+4+8t+16=t+6t+20=(t+3P+11 又因为4=(-2t2-4t2-2t+4)=8t-16≥0 第3页，共1页 所以t≥2， 则当t=2时，（a+4)(b+4)有最小值为：52+11=36. 故选：D 11.【答案】x1=0,X2=-1 【解析】解：方程x(x+1)=0, 可得x=0或x+1=0, 解得：X1=0,X2=-1」 故答案为：X1=0,X2=-1。 12.【答案】x2-X-6=0 【解析】根据根与系数的关系再造方程即可」 本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键。 【详解】解：根据题意可得方程为：x+2x-3=0, 整理得x2-X-6=0, 故答案为：x2-x-6=0. 13.【答案】4 【解析】解：，关于x的方程2xm-2-mx+1=0是一元二次方程， .m-2=2 解得：m=4, 故答案为：4. 14.【答案】1 【解析】解：.关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根， ∴.△=(-22-4×1×m=0' 解得：m=1, :实数nm的取值为1 m 故答案为：1. 15.【答案】1 第4页，共1页 解：把x=1代入方程mx+x-1=0得m+n-1=0, 解得m+n=1. 故答案为：1. 16.【答案】2 解：根据题意得：△=4-4a(2-c)=0, 整理得：4ac-8a=-4, 4a(c-2)=-4' :方程aX2+2x+2-C=0是一元二次方程， .a≠0 等式两边同时除以4a得：c-2=-1 则二+c=2, 故答案为2， 17.【答案】(x-42+(x-22=X 解：如图，由题设可知对角线AB的长为x尺，则门的宽度AC长为(x-4)尺，门的高度BC长为x-2)尺 2尺 根据勾股定理得(x-4)2+(x-22=x2. 第5页，共1页 18.【答案】4 【解析】解：，x2-2心+k2-k=0的两个实数根分别是x1、x2, .X1+x2=2k'X1X2=k2-k :x+x3=4 (x1+x22-2x1x2=4 (2k2-2(k2-k)=41 2k2+2k-4=0 k2+k-2=0 k=-2或1： :△=(-2k)2-4×1×(k2-k)≥0 k≥01 .k=1' ∴.X1X2=k2-k=0 .x7-x1x2+x3=4-0=4 故答案为：4. 19.【答案】【小题1】 (2x-12-9=01 第6页，共1页 (2x-12=9 ∴.2x-1=±3 .X1=2,X2=-1: 【小题2】 x2-4x-1=0: x2-4x=1, X-4x+4=5即(x-2P=5 ∴.x-2=±V5, ∴.x1=2+V5’x,=2-V5 【小题3】 x2+X-6=0, （x+3)(x-2)=0 ∴.X+3=0或X-2=0, X1=-3,X2=2: 【小题4】 (2x-1)(x+3)=4 2x+5x-7=0, (2x+7)(x-1)=0: ∴.2x+7=0或x-1=0, 7 x=2X=1 20.【答案】×；×X1=1,x2=3 【解析】解：（1)我认为两人的解法都不正确，小明×，小强×， 故答案为：×；×： 第7页，共1页 (2)2(x-1)=(x-12 2(x-1)-（x-12=0 (x-1)[2-（x-1)]=0 (x-1)(3-x)=0 X-1=0或3-x=0 X1=1’x2=3 21.【答案】【小题1】 解：：x+m-3x+2-m=0' ∴.△=m-32-42-m=m2-2m+1=m-12≥0' .该方程总有两个实数根： 【小题2】 解：：X+m-3x+2-m=0 ∴.x-1x+m-2=0 解得，x1=1,X2=2-m, 该方程的实数根均为非负数， ∴.2-m20, 解得，m≤2， .∴.m的取值范围为m≤2. 22.【答案】解：(1)设二、三月份销售量的月平均增长率为x, 根据题意得：500(1+x}=720' 第8页，共1页 解得：X1=0.2=20%,X2=-2.2 答：二、三月份销售量的月平均增长率为20%： (2设每件商品降价y元，则每件的销售利润为(40-y-20)元，四月份的销售量为(720+6y件， 根据题意得：(40-y-20)(720+6y)=11250, 整理得：y+100y-525=0, 解得：y1=5,y2=-105(不符合题意，舍去)： 答：当每件商品降价5元时，商场当月获利11250元. 23.【答案】ms5 m=0 【解析】解：（1)由题知， 因为关于×的一元二次方程X+(2m-1)x+m㎡2-1=0有实数根. 所以4=(2m-12-4(m2-120 部m5是 (2因为方程的两实数根分别为X·X, 所以x+x=-2m+1,x1x,=m2-1 因为x1+1x2+1)=1. 则X1X2+X1+X2=0, 所以m2-1-2m+1=0, 解得m=0或2 风%ms号 所以m=0, 24.【答案】(51-3x)米： 第9页，共1页 10米 不可能，理由见解析。 【解析】(1)由题意知，3BC+DC=51, BC=x' .DC=(51-3x)米， 答：DC的长为51-3x)米： (2由题意知DC≤25即51-3x≤25： 解附公空 .3x≤51' 解得，x≤17， 号ss7 由题意知，BC×DC=210,即x:(51-3x)=210, 整理得，x2-17x+70=0, (x-7)(x-10)=0' 解得，x1=7不合题意，舍去)，X2=10 :.长方形围栏ABCD面积为210平方米，AD的长为10米： (3)不可能，理由如下： 令X·(51-3x)=240,整理得x2-17x+80=0, .△=b2-4ac=172-4×1×80=-31<0 第10页，共1页 :该方程没有实数根， :.长方形围栏ABCD面积不可能达到240平方米. 25.【答案】解：(1)60-40)×[100-(60-50)×2]=1600（元）： 答：每天的销售利润为1600元. (2)设每件工艺品售价为x元(x≤65)，则每天的销售量是[100-2(x-50)]件， 依题意得：(x-40)[100-2(x-50)]=1350, 解得X1=55,X2=85(不符合题意，舍去). 答：每件工艺品的售价应为55元. 26.【答案】k≤0存在，k=-V3 【解析】解：(1)：△=b2-4ac=4-4(k+1)≥0 ∴.4-4k-4≥0 .k≤0 (2)由条件可得x,+X,=2:XX=k+1 :1+1-+x=2,=k-1 X1 X2 X1'X2 k+1 ∴.(k+1)k-1)=2 ∴.k2=3 解得k=V3或k=-√3， 由(1)知k≤0，k=V3不满足k≤0，舍去：k=-V3满足所有条件， 第11页，共1页 故存在实数k=-√3. 第12页，共1页第2章 一元二次方程单元测试卷 (满分：120分考试时间：120分钟) 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1.下列方程中是一元二次方程是() A支+x=2 B.2x+6=7 C.x2+y2=5D.3x2-5x+2=0 2.将方程x2-6x+1=0配方后，原方程变形为() A.(x-3)2=8 B.x-3)2=-8C.(x-3)2=9D.(x-3)2=-9 3.一元二次方程2x2+x-1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.若关于x的一元二次方程x2+mx-2=0的一个根是1，则m的值为() A.-1 B.0 C.1 D.±1 5.若1一√3是方程x2-2x+c=0的一个根，则c的值为() A.-2 B.4v3-2 C.3-√3 D.1+V3 6若关于x的一元二次方程的根为x=1±D2-x3x(-可 则这个方程是() 2×3 A.3x2+x-5=0 B.3x2-x-5=0C.x2-3x-5=0D.x2+3x-5=0 7.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2970张照片，如果设全班 有x名同学，根据题意，列出方程为() A.x(x+1)=2970 B.x(x-1)=2×2970 C.x(x-1)=2970 D.2x(x+1)=2970 8.若关于x的一元二次方程kx2一2x一1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是() A.k>-1 B.k>-1且k≠0C.k<-1 D.k<-1或k=0 9已知，实数x,xc1x)是关丁x的方程公2+2x+1=0Ck≠0的两个根若号+号=2，则k的值为(） A.1 B.-1 c D-号 10.已知a,b是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两个实数根，则(a+4)(b+④的最小值 是() A.11 B.20 C.28 D.36 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 第1页，共4页 11.一元二次方程x(x+1)=0的两根分别为一 12.写一个二次项系数为1，两根分别为-2和3的一元二次方程： 13.若关于x的方程2xm-2-mx+1=0是一元二次方程，则m的值为一· 14.若关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的取值为_ 15.若关于x的一元二次方程mx2+nx-1=0(m≠0)的一个解是x=1,则m+n的值是 16.己知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根，则片+c的值等于 17.仇九章算术》中记载这样一个问题：今有户不知高、广，竿不知长短。横之不出四尺，从之不出二尺， 邪之适出.问户高、广、邪各几何？译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4 尺：竖放，竿比门高出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等问门高、宽和对角线的长各是多少？设门的对角线 长为x尺，根据题意可列方程为一· 18.关于x的一元二次方程x2一2kx+k2-k=0的两个实数根分别是x1、x2,且x+x号=4，则x好-x1x2+ x的值是 三、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题12分) 计算 (1)(2x-1)2-9=0: (2)x2-4x-1=0: (3)x2+x-6=0: (4)(2x-1)(x+3)=4. 20.(本小题8分) 小明与小强两位同学解方程2(x-1)=(x-1)2的过程如下： 小强： 小明： 解：移项，得2(x-1)-(x-1)2=0, 解：两边同除以(x一1)， 提取公因式，得x-1)2-x-1)=0, 得2=x-1, 则x-1=0或2-x-1=0, 则x=3. 解得x1=x2=1. (1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”： 小明一一一，小强一一； (②)写出你的解答过程. 第2页，共4页 21.(本小题8分) 关于x的一元二次方程x2+(m-3)x+2-m=0. (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)若该方程的实数根均为非负数，求m的取值范围. 22.(本小题8分) 某超市于今年年初以20元/件的进价购进一批商品，当商品售价为40元/件时，一月份销售了500件.二、 三月份该商品十分畅销，销售量持续走高在售价不变的基础上，三月份的销售量达到了720件. (1)求二、三月份销售量的月平均增长率. (②)四月份，超市决定在三月份销售量的基础上采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每 降价1元，销售量增加6件.当每件商品降价多少元时，商场当月获利11250元？ 23.(本小题8分) 己知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2-1=0有实数根. (1)求实数m的取值范围： (2)若方程的两实数根分别为x1,x2,且满足(x1+1)x2+1)=1,求实数m的值. 第3页，共4页 24.(本小题12分) 如图，小明打算用总长度为51m的栅栏围成两个大小相同的矩形花园，花园的一面靠墙，墙长MN=25m, 设AD的长为xm. (1)DC的长为多少米？（用含x的代数式表示） (2)若矩形花园ABCD的面积为210m2,求AD的长， (3)矩形花园ABCD的面积是否有可能达到240m2？若可能，求出x的值；若不可能，请说明理由. A 25.(本小题10分) 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单 价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价 不得超过65元 (1)若销售单价为每件60元，求每天的销售利润： (2)要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 26.(本小题10分) 已知一元二次方程x2-2x+k+1=0有两个实数根为x1,2· (1)求k的取值范围： (2)是否存在实数，使得等式+二=k一1成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由. X1 x2 第4页，共4页 第2章 一元二次方程单元测试卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1.下列方程中是一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 2.将方程配方后，原方程变形为(    ) A. B. C. D. 3.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.若是方程的一个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是(    ) A. B. C. D. 7.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片，如果设全班有名同学，根据题意，列出方程为(    ) A. B. C. D. 8.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 或 9.已知，实数，是关于的方程的两个根若，则的值为(    ) A. B. C. D. 10.已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.一元二次方程的两根分别为          ． 12.写一个二次项系数为，两根分别为和的一元二次方程：          ． 13.若关于的方程是一元二次方程，则的值为          ． 14.若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为      ． 15.若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是          ． 16.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于           17.九章算术中记载这样一个问题：今有户不知高、广，竿不知长短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出问户高、广、邪各几何译文：今有门，不知其高宽有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出尺竖放，竿比门高出尺斜放，竿与门对角线恰好相等问门高、宽和对角线的长各是多少设门的对角线长为尺，根据题意可列方程为          ． 18.关于的一元二次方程的两个实数根分别是、，且，则的值是______． 三、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 计算 ； ； ； ． 20.本小题分 小明与小强两位同学解方程的过程如下： 小明： 解：两边同除以， 得， 则． 小强： 解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． 你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“”，若错误请在横线上打“”： 小明______，小强______； 写出你的解答过程． 21.本小题分 关于的一元二次方程． 求证：该方程总有两个实数根； 若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围． 22.本小题分 某超市于今年年初以元件的进价购进一批商品，当商品售价为元件时，一月份销售了件二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高在售价不变的基础上，三月份的销售量达到了件． 求二、三月份销售量的月平均增长率． 四月份，超市决定在三月份销售量的基础上采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价元，销售量增加件当每件商品降价多少元时，商场当月获利元？ 23.本小题分 已知关于的一元二次方程有实数根． 求实数的取值范围； 若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 24.本小题分 如图，小明打算用总长度为的栅栏围成两个大小相同的矩形花园，花园的一面靠墙，墙长，设的长为． 的长为多少米？用含的代数式表示 若矩形花园的面积为，求的长． 矩形花园的面积是否有可能达到？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 25.本小题分 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每提高元，每天就减少售出件，但要求销售单价不得超过元． 若销售单价为每件元，求每天的销售利润； 要使每天销售这种工艺品盈利元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 26.本小题分 已知一元二次方程有两个实数根为，． 求的取值范围； 是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $