5.2.2 用函数模型解决实际问题 课堂限时训练-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数模型实际应用，通过基础巩固、情境综合、建模提升三层设计，实现从单一模型到综合应用的知识进阶，适配新授课后知识内化与能力初步培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一函数模型直接应用（分段函数、复利）|单选/填空，考查基本运算（如个税计算）| |情境综合|复杂情境下函数模型辨析（含图像、分段计费）|多选，需多情境辨析（如停车费规则）| |建模提升|综合问题函数建模与优化（利润最值）|解答题，完整建模过程（如农产品利润函数构建）|

2026-2027学年第一学期高一数学（北师大版）第五章 函数的应用 5.2.2 用函数模型解决实际问题 课堂限时训练 考试时长：30分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过元的部分不必纳税，超过元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过元的部分 超过元至元的部分 超过元至元的部分 有一职工月份缴纳个税为元，该职工月份的税后收入为  A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2.某“激进型理财产品”是按复利的方式计算利息，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息假设最开始本金为元，年利率为，约经过   年后，本息和能够“增倍”即为原来的倍．附参考公式：，当接近于时，参考数据：，， A. B. C. D. 3.北京时间年月日时分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭除燃料外的质量的函数关系的表达式为若火箭的最大速度达到，则的值是(    ) A. B. C. D. 4.为预防病毒感染，学校每天定时对教室进行喷洒消毒已知教室内每立方米空气中的含药量单位：随时间单位：的变化如图所示，在药物释放过程中，与成正比药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数，则(    ) A. 当时， B. 当时， C. 小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到以下 D. 小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到以下 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.某停车场的收费标准如下：临时停车半小时内含半小时免费，临时停车小时收费元，此后每停车小时收费元，不足小时按小时计算，小时内最高收费元．现有甲、乙两车临时停放在该停车场，下列判断正确的是(    ) A. 若甲车与乙车的停车时长之和为小时，则停车费用之和可能为元 B. 若甲车与乙车的停车时长之和为小时，则停车费用之和可能为元 C. 若甲车与乙车的停车时长之和为小时，则停车费用之和可能为元 D. 若甲车与乙车的停车时长之和为小时，则停车费用之和可能为元 6.如图，某池塘中的浮萍蔓延后的面积与时间月的关系：，且，以下叙述中正确的是(    ) A. 这个指数函数的底数是 B. 第个月时，浮萍的面积就会超过 C. 浮萍从蔓延到需要经过个月 D. 浮萍每个月增加的面积都相等 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.某工厂在年排放废水万吨，年增长率约为如果不采取措施，未来排放废水量还将以此增长率增长，从          年开始，该工厂排放废水量超过万吨参考数据：， 8.某通信公司推出的话费套餐收费标准如下：每月月租费为元，当月通话时间不超过分钟时，只收取月租费元当月通话时间超过分钟时，除收取月租费外，超出分钟的部分按元分钟收费已知该通信公司某用户选择了该话费套餐，若该用户某月通话时间为分钟，则该用户应缴的话费为          元 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某镇发展绿色经济，因地制宜将该乡镇打造成“特色农产品小镇”，根据研究发现：生产某农产品，固定投入万元，最大产量万斤，每生产万斤，需其他投入万元，根据市场调查，该农产品售价每万斤万元，且所有产量都能全部售出．利润收入成本 写出年利润万元与产量万斤的函数解析式； 求年产量为多少万斤时，该镇所获利润最大？求出利润最大值． 10.本小题分 甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品百台，其总成本为万元，其中固定成本为万元，并且每生产百台的生产成本为万元总成本固定成本生产成本，销售收入万元满足，，假定该产品产销平衡即生产的产品都能卖掉，根据上述统计规律，完成下列问题： 写出利润函数的解析式利润销售收入总成本； 甲厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（北师大版）第五章 函数的应用 5.2.2 用函数模型解决实际问题 课堂限时训练 考试时长：30分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过元的部分不必纳税，超过元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过元的部分 超过元至元的部分 超过元至元的部分 有一职工月份缴纳个税为元，该职工月份的税后收入为  A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C  【解析】解：设全月应纳税所得额为元，纳税额为， 当时，，此段最多纳税元； 当时，， 此段最多额外纳税元， 两段累计最多纳税元； 当时，． 因为纳税额为元， 则，解得． 工资总额为元，税后收入为元 2.某“激进型理财产品”是按复利的方式计算利息，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息假设最开始本金为元，年利率为，约经过   年后，本息和能够“增倍”即为原来的倍．附参考公式：，当接近于时，参考数据：，， A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查指数函数的实际应用，属于基础题． 求出年后本息和，再解不等式求解即可． 【解答】 解：设经过年后本息和能够“增倍” 依题意可得，， 即， 故的最小整数值为． 故选：． 3.北京时间年月日时分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭除燃料外的质量的函数关系的表达式为若火箭的最大速度达到，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数模型的应用，考查对数的运算，属于基础题． 由，结合对数的运算求解即可． 【解答】 解：由题意将，代入， 可得， 则，即， 解得． 故选：． 4.为预防病毒感染，学校每天定时对教室进行喷洒消毒已知教室内每立方米空气中的含药量单位：随时间单位：的变化如图所示，在药物释放过程中，与成正比药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数，则(    ) A. 当时， B. 当时， C. 小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到以下 D. 小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到以下 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数图象的意义，函数解析式及不等式解法，属于基础题． 利用待定系数法求出函数解析式，并根据函数解析式计算药含量变化情况． 【解答】 解：当时，设，则，故，故A不正确； 当时，把代入可得：，，故B错误； 令，即， ，解得，故C错误，D正确． 故本题选D． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.某停车场的收费标准如下：临时停车半小时内含半小时免费，临时停车小时收费元，此后每停车小时收费元，不足小时按小时计算，小时内最高收费元．现有甲、乙两车临时停放在该停车场，下列判断正确的是(    ) A. 若甲车与乙车的停车时长之和为小时，则停车费用之和可能为元 B. 若甲车与乙车的停车时长之和为小时，则停车费用之和可能为元 C. 若甲车与乙车的停车时长之和为小时，则停车费用之和可能为元 D. 若甲车与乙车的停车时长之和为小时，则停车费用之和可能为元 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查分段函数模型的应用． 根据题设中数据，即可计算出各选项的正误． 【解答】 解：若甲车停车小时，乙车停车小时，则停车费用之和为元，A正确； 若甲车与乙车的停车时长之和为小时，则停车费用之和可能为元或元或元，B错误； 若甲车与乙车都停车小时，则停车费用之和为元，C正确； 若甲车停车小时，乙车停车小时，则停车费用之和为元，D正确． 故选ACD． 6.如图，某池塘中的浮萍蔓延后的面积与时间月的关系：，且，以下叙述中正确的是(    ) A. 这个指数函数的底数是 B. 第个月时，浮萍的面积就会超过 C. 浮萍从蔓延到需要经过个月 D. 浮萍每个月增加的面积都相等 【答案】AC  【解析】【分析】 本题主要考查了指数函数模型的应用，属于基础题． 根据函数图象求得函数的解析式，进而结合表达式逐一解答即可． 【解答】 解：由指数函数且经过点，所以，可得，即，故，故A正确； 到第个月时浮萍面积为，故B错误； 浮萍面积为时，经过了个月；面积为经过了个月，所以浮萍从蔓延到需要经过个月，C正确． 因为浮萍面积的增长呈指数型增长，每月增加的面积不相等，故D错误； 故选AC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.某工厂在年排放废水万吨，年增长率约为如果不采取措施，未来排放废水量还将以此增长率增长，从          年开始，该工厂排放废水量超过万吨参考数据：， 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用指数函数模型解决实际问题，属于基础题． 利用题中的条件，列出等量关系，再根据对数运算，即可解出． 【解答】 解：设该工厂排放废水量为万吨，表示从年开始增加的年份的数量， 由题意可得， 由， 两边取以为底的对数并化简可得 ，所以因为， 故，所以． 8.某通信公司推出的话费套餐收费标准如下：每月月租费为元，当月通话时间不超过分钟时，只收取月租费元当月通话时间超过分钟时，除收取月租费外，超出分钟的部分按元分钟收费已知该通信公司某用户选择了该话费套餐，若该用户某月通话时间为分钟，则该用户应缴的话费为          元 【答案】  【解析】解：因为，所以该用户应缴的话费为元． 故答案为． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某镇发展绿色经济，因地制宜将该乡镇打造成“特色农产品小镇”，根据研究发现：生产某农产品，固定投入万元，最大产量万斤，每生产万斤，需其他投入万元，根据市场调查，该农产品售价每万斤万元，且所有产量都能全部售出．利润收入成本 写出年利润万元与产量万斤的函数解析式； 求年产量为多少万斤时，该镇所获利润最大？求出利润最大值． 【答案】解：由题意可知． ， 当时，， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，， 当且仅当即时，等号成立， 当时，取得最大值， 综上所述，年产量为万斤时，该镇所获利润最大，利润最大值为万元．  【解析】本题主要考查了分段函数的性质，考查了二次函数的性质，以及基本不等式的应用，属于中档题． 根据利润收入成本即可求出年利润万元与产量万斤的函数解析式． 利用二次函数的性质和基本不等式分段求出的最大值，再比较大小取较大者即为利润最大值． 10.本小题分 甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品百台，其总成本为万元，其中固定成本为万元，并且每生产百台的生产成本为万元总成本固定成本生产成本，销售收入万元满足，，假定该产品产销平衡即生产的产品都能卖掉，根据上述统计规律，完成下列问题： 写出利润函数的解析式利润销售收入总成本； 甲厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 【答案】解：由题意得， 当时，函数单调递减， ， 当时，函数，                     当时，有最大值为， 又，  所以当时，有最大值为． 答：甲厂生产百台产品时，可使盈利最多为万元．  【解析】本题考查的是函数模型的应用，分段函数，属于基础题． 由题意得， 当时，，当时，由二次函数求最大值，即可得出答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $