专题07 拓展：破解不等式问题的四大秒杀技：基本不等式链、万能K法、轮换对称法、换元法（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦不等式问题四大核心方法，构建“方法-题型-变式”三级训练体系，强化数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本不等式链|2典例+3变式|平均数间放缩转化|从概念到多选/最值应用| |万能K法|1典例+3变式|代数式设K后方程判别式法|二次式与目标式转化逻辑| |轮换对称法|2典例+3变式|对称元素等值取等+变量差距分析|对称结构的最值判定原理| |换元法|4典例+7变式|裂项/齐次比值/双元/均值换元技巧|复杂分式与多元问题降维策略|

专题07 拓展：破解不等式问题的四大秒杀技：基本不等式链、万能K法、轮换对称法、换元法 （题型突破·举一反三） 题型01 基本不等式链的应用 1 题型02 万能K法 4 题型03 轮换对称法的应用 5 题型04 裂项换元法的应用 7 题型05 齐次比值换元法的应用 8 题型06 双换元法的应用 10 题型07 均值换元法的应用 11 ▌题型01 基本不等式链的应用 基本不等式链：对于任意的，都有, 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 【典例1-1】(多选)（25-26高三上·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：由不等式链得， 所以,当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：由不等式链得，当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 【典例1-2】设,则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由不等式链得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”）， 从而有（当且仅当,即时，“=”成立） 【变式1-1】已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　) A. B.＋ C. D. 【答案】B 【详解】因为a，b为互不相等的正实数，所以＋＞，＜＝＜，＜ ＝＜，所以最大的是＋.故选B. 【变式1-2】 (多选)(2025·广西北海模拟)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A.有最大值 B.＋有最小值3 C.a2＋b2有最小值 D.＋有最大值 【答案】ACD 【详解】对于A，由均值不等式可得＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；对于B，由＝＝，得＋，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时等号成立，故B错误；对于C，由 ＝，得a2＋b2，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，由≤ ＝，得＋，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确.故选ACD. 【变式1-3】（多选）（24-25高二下·辽宁·阶段练习） 已知且，则下列选项正确的是（　　） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】ABD 【详解】对于A项，因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A项正确； 对于B项，因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B项正确； 对于C项，因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C项错误； 对于D项，令所以 所以， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D项正确． 故选：ABD． ▌题型02 万能K法 对给定关于的一个二次式,要求另一个代数式的值或取值范围,可以直接令此代数式等于, 然后用表示或表示,代入原式，得到一个关于的一元二次方程,然后利用判别式大于等于零,得到一个不等式,解出的范围即可,此方法称之为万能法. 【典例2】若实数满足,则的最大值是（ ） A.1 B. C. D.2 【答案】B 【详解】方法1(万能法): 令, 则 , 代入得：, 整理可得：,即 . ,得：, 故. 方法2: , . , .解得：. 故可知的最大值是.故答案为. 【变式2-1】若存在正实数,使得,则实数的最大值为（ ） A. B. C.1 D.2 【答案】A 【详解】, , , , ， 解得：① ， ② 由①②可得： 综上：的最大值是.故答案为. 【变式2-2】已知实数满足,,则的最大值是 . 【答案】. 【详解】方法 1:令时,. 为实数, ,即,解得：. 方法2:，因为, 所以 , 解得：, 所以的最大值为, 故答案为：. 【变式2-3】已知实数满足,则的最大值是 . 【答案】 【详解】令,则,代入原式化简得, 因为存在实数,则,即, 化简得：,解得：, 故的最大值是,故选：C. ▌题型03 轮换对称法的应用 1.轮换对称原理 如果多个元素地位、作用一致，改变位置也不影响逻辑烦序和结果，则称其为轮换对称．当其数值相等时，达到最值状态． 轮换对称法求最值的三个步骤如下： (1)确认对称：“平方和式”与“和式”的系数必须成比例，不管乘积项. (2)取等解方程． (3)确认最值. 另外，当 3 个元素甚至多个元素一起出现时，把主元素当研究对象，而其他元素用同构降级研究. 2.轮换对称法确定最值类型 即使能用轮换对称，很多时侯也只能得到一个最值，可能是最大值也可能是最小值，那么另一个最值在什么时候取得呢？其实如果仔细总结经典的双元不等式的题目就会发现，很多时侯两个元差距最大时会得到另一个最值.例如两非负数a+b=4，那么当 a=4, b=0时也许会取得另一个想要的最值.总之，用轮换对称的思想来解题是一种可行的方法. 3．轮换对称法的两种类型 (1)直接轮换：若所给等式字母前系数相等，所求式子中字母前的系数也相等，则直接令这几个字母相等，即可求得所求式子的一个最值. (2)换元轮换：若所给等式或所求式子中字母前的系数不对应相等，但换元后可转化为系数对应相等的形式，则可先换元，再用直接轮换法求解. 【典例3-1】 (直接轮换）（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知，，，则的最小值是________. 【答案】4 【详解】因为，，，所以， 当且仅当时取等号. 秒解（轮换对称法）：通过观察不难发现，所给等式及目标函数中的是轮换对称的，当时理应取得想要的结果，此时的最小值是2+2=4. 【典例3-2】(换元轮换)（2026·河北沧州·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 秒解：令，问题转化为的最小值，显然a和t轮换对称，故令，所以，即最小值为. 【变式3-1】（25-26高一下·贵州毕节·期中）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用乘“1”法和基本不等式可得最小值，即可得与有关不等式，解出即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故，即，解得， 即实数的取值范围是. 秒解：由，可设，则，， 符合x与t对称轮换的特征，显然当时， 故，即，解得， 即实数的取值范围是. 【变式3-2】已知实数 满足 ，则 的最小值为 【答案】27 【详解】三元完全轮换对称结构，最值在 时取得. 令 ，得 ，即 . 代入得：. 故原式最小值为 . 【变式3-3】已知正实数 满足 ，则 的最大值为 【答案】24 【详解】化简目标式：. 式子为轮换对称结构， 最大值在 时取得. 令 ，得 . 原式最大值为 . ▌题型04 裂项换元法的应用 裂项换元法主要适用于分式型代数式最值问题，核心思想是将复杂分式通过拆项、裂项变形，分离出常数和可利用均值不等式的结构，再通过换元简化变量结构，消除分母复杂多项式，转化为“积定和最小、和定积最大”的基础最值模型.该方法重点解决分子、分母均为一次或二次多项式的分式最值问题. 【典例4】若，则y=的最小值为（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】裂项得. 令，则，当即取等号. 【变式4-1】已知，则的最小值为________. 【答案】. 【详解】裂项化简：，令.由均值不等式，最小值为. 【变式4-2】已知，则函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】令，则有，故所求最小值为 ，仅当 时取等号． ▌题型05 齐次比值换元法的应用 1．齐次比值换元法 针对齐次式整体设元，将多变量问题转化为单变量问题，多用于齐次不等式、圆锥曲线斜率类问题. 2.诠释齐次比值换元法 优势：专门破解齐次式最值难点，完美消去双变量，降维为一元函数，适配高考高频的分式齐次最值题型，思路通用、无复杂变形. 局限性：非齐次式无法直接使用，需先构造齐次结构；变量含0时需单独验证，避免分母为0. 适用场景：二次齐次分式最值、条件和定、积定的齐次式求值问题. 【典例5】已知正实数满足，则的最大值为． 【答案】 【详解】因为 令，则有 从而有，则有 解不等式得或． 根据的形态知，该函数有上界，则有， 也即所求最大值为． 【变式5-1】已知为正实数，则的最大值为. 【答案】 【详解】令，则有 ，当且仅当，即时取等，所求最大值为． 【变式5-2】已知正实数满足，则的最小值为_______. 【答案】 【详解】原式非齐次，利用进行二次齐次构造： ，令，代入化简： 由均值不等式. 当且仅当时取等，最小值为. ▌题型06 双换元法的应用 双换元法就是换两次元，从而将复杂的式子简单化.求解步骤如下： 1．观察结构：找出式子中两个难以化简的核心复杂单元； 2. 双元设换：令两个复杂单元分别为，确定取值范围； 3. 转化约束：将题干条件、目标式转化为关于的关系式； 4. 化简求解：结合不等式、函数性质、几何意义求解最值. 【典例6】（24-25高一上·广西桂林·期中）已知正实数满足且，则的最小值为 【答案】 【详解】设，则， 当且仅当且，即，时等号成立. 【变式6-1】（多选）（25-26高三上·河北邢台·月考）记为，两数中较大的数，已知，，当，变化时，的值可能为（    ） A．12 B．16 C．20 D．26 【答案】BCD 【详解】因为，所以，，所以. 令得， 由，，得，，则. 因为，，当且仅当，时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 又，，同时成立，所以，则, 且，时，. 故选：BCD. 【变式6-2】已知，求的最大值为________. 【答案】 【详解】双换元，令（），则，。 由，得，最大值为. 【变式6-3】已知，则的最大值为________。 【答案】 【详解】双换元，令，得， 由，得，最大值为. ▌题型07 均值换元法的应用 1.二元均值换元：若两个实数满足（和为定值），可设： 其中为增量参数，由变量取值范围确定的定义域.此换元可实现固化为定值，转化为关于的二次式，完美适配乘积型最值求解. 2.三元均值换元：若三个实数满足，可设： 针对轮换对称式，该换元方式可大幅简化高次、轮换型代数式的展开运算. 【典例7】已知，则的最小值为 . 【答案】18 【详解】由，均值为4，设（）. 代入化简： 因为，故当时，最小值为. 取等条件：. 【变式7-1】已知实数满足，则的最小值为 【答案】3 【详解】由三元和定均值为2，设（） 代入化简： 因为平方项恒非负，当且仅当时，式子取得最小值 取等条件：. 【变式7-2】已知x，且，则的最小值为 【答案】. 【详解】由，设. 由得 代入目标式： , 该二次函数对称轴为，开口向上. 当时，最小值为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 拓展：破解不等式问题的四大秒杀技：基本不等式链、万能K法、轮换对称法、换元法 （题型突破·举一反三） 题型01 基本不等式链的应用 1 题型02 万能K法 3 题型03 轮换对称法的应用 3 题型04 裂项换元法的应用 5 题型05 齐次比值换元法的应用 6 题型06 双换元法的应用 7 题型07 均值换元法的应用 7 ▌题型01 基本不等式链的应用 基本不等式链：对于任意的，都有, 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 【典例1-1】(多选)（25-26高三上·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：由不等式链得， 所以,当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：由不等式链得，当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 【典例1-2】设,则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由不等式链得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”）， 从而有（当且仅当,即时，“=”成立） 【变式1-1】已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　) A. B.＋ C. D. 【变式1-2】 (多选)(2025·广西北海模拟)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A.有最大值 B.＋有最小值3 C.a2＋b2有最小值 D.＋有最大值 【变式1-3】（多选）（24-25高二下·辽宁·阶段练习） 已知且，则下列选项正确的是（　　） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 ▌题型02 万能K法 对给定关于的一个二次式,要求另一个代数式的值或取值范围,可以直接令此代数式等于, 然后用表示或表示,代入原式，得到一个关于的一元二次方程,然后利用判别式大于等于零,得到一个不等式,解出的范围即可,此方法称之为万能法. 【典例2】若实数满足,则的最大值是（ ） A.1 B. C. D.2 【答案】B 【详解】方法1(万能法): 令, 则 , 代入得：, 整理可得：,即 . ,得：, 故. 方法2: , . , .解得：. 故可知的最大值是.故答案为. 【变式2-1】若存在正实数,使得,则实数的最大值为（ ） A. B. C.1 D.2 【变式2-2】已知实数满足,,则的最大值是 . 【变式2-3】已知实数满足,则的最大值是 . ▌题型03 轮换对称法的应用 1.轮换对称原理 如果多个元素地位、作用一致，改变位置也不影响逻辑烦序和结果，则称其为轮换对称．当其数值相等时，达到最值状态． 轮换对称法求最值的三个步骤如下： (1)确认对称：“平方和式”与“和式”的系数必须成比例，不管乘积项. (2)取等解方程． (3)确认最值. 另外，当 3 个元素甚至多个元素一起出现时，把主元素当研究对象，而其他元素用同构降级研究. 2.轮换对称法确定最值类型 即使能用轮换对称，很多时侯也只能得到一个最值，可能是最大值也可能是最小值，那么另一个最值在什么时候取得呢？其实如果仔细总结经典的双元不等式的题目就会发现，很多时侯两个元差距最大时会得到另一个最值.例如两非负数a+b=4，那么当 a=4, b=0时也许会取得另一个想要的最值.总之，用轮换对称的思想来解题是一种可行的方法. 3．轮换对称法的两种类型 (1)直接轮换：若所给等式字母前系数相等，所求式子中字母前的系数也相等，则直接令这几个字母相等，即可求得所求式子的一个最值. (2)换元轮换：若所给等式或所求式子中字母前的系数不对应相等，但换元后可转化为系数对应相等的形式，则可先换元，再用直接轮换法求解. 【典例3-1】 (直接轮换）（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知，，，则的最小值是________. 【答案】4 【详解】因为，，，所以， 当且仅当时取等号. 秒解（轮换对称法）：通过观察不难发现，所给等式及目标函数中的是轮换对称的，当时理应取得想要的结果，此时的最小值是2+2=4. 【典例3-2】(换元轮换)（2026·河北沧州·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 秒解：令，问题转化为的最小值，显然a和t轮换对称，故令，所以，即最小值为. 【变式3-1】（25-26高一下·贵州毕节·期中）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知实数 满足 ，则 的最小值为 【变式3-3】已知正实数 满足 ，则 的最大值为 ▌题型04 裂项换元法的应用 裂项换元法主要适用于分式型代数式最值问题，核心思想是将复杂分式通过拆项、裂项变形，分离出常数和可利用均值不等式的结构，再通过换元简化变量结构，消除分母复杂多项式，转化为“积定和最小、和定积最大”的基础最值模型.该方法重点解决分子、分母均为一次或二次多项式的分式最值问题. 【典例4】若，则y=的最小值为（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】裂项得. 令，则，当即取等号. 【变式4-1】已知，则的最小值为________. 【变式4-2】已知，则函数的最小值为 ． ▌题型05 齐次比值换元法的应用 1．齐次比值换元法 针对齐次式整体设元，将多变量问题转化为单变量问题，多用于齐次不等式、圆锥曲线斜率类问题. 2.诠释齐次比值换元法 优势：专门破解齐次式最值难点，完美消去双变量，降维为一元函数，适配高考高频的分式齐次最值题型，思路通用、无复杂变形. 局限性：非齐次式无法直接使用，需先构造齐次结构；变量含0时需单独验证，避免分母为0. 适用场景：二次齐次分式最值、条件和定、积定的齐次式求值问题. 【典例5】已知正实数满足，则的最大值为． 【答案】 【详解】因为 令，则有 从而有，则有 解不等式得或． 根据的形态知，该函数有上界，则有， 也即所求最大值为． 【变式5-1】已知为正实数，则的最大值为. ． 【变式5-2】已知正实数满足，则的最小值为_______. ▌题型06 双换元法的应用 双换元法就是换两次元，从而将复杂的式子简单化.求解步骤如下： 1．观察结构：找出式子中两个难以化简的核心复杂单元； 2. 双元设换：令两个复杂单元分别为，确定取值范围； 3. 转化约束：将题干条件、目标式转化为关于的关系式； 4. 化简求解：结合不等式、函数性质、几何意义求解最值. 【典例6】（24-25高一上·广西桂林·期中）已知正实数满足且，则的最小值为 【答案】 【详解】设，则， 当且仅当且，即，时等号成立. 【变式6-1】（多选）（25-26高三上·河北邢台·月考）记为，两数中较大的数，已知，，当，变化时，的值可能为（    ） A．12 B．16 C．20 D．26 【变式6-2】已知，求的最大值为________. 【变式6-3】已知，则的最大值为________。 ▌题型07 均值换元法的应用 1.二元均值换元：若两个实数满足（和为定值），可设： 其中为增量参数，由变量取值范围确定的定义域.此换元可实现固化为定值，转化为关于的二次式，完美适配乘积型最值求解. 2.三元均值换元：若三个实数满足，可设： 针对轮换对称式，该换元方式可大幅简化高次、轮换型代数式的展开运算. 【典例7】已知，则的最小值为 . 【答案】18 【详解】由，均值为4，设（）. 代入化简： 因为，故当时，最小值为. 取等条件：. 【变式7-1】已知实数满足，则的最小值为 【变式7-2】已知x，且，则的最小值为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 拓展：破解不等式问题的四大秒杀技：基本不等式链、万能K法、轮换对称法、换元法 （题型突破·举一反三） ▌题型01 基本不等式链的应用 【典例1-1】ACD 【详解】选项A：由不等式链得， 所以,当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：由不等式链得，当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 【典例1-2】 【详解】由不等式链得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”）， 从而有（当且仅当,即时，“=”成立） 【变式1-1】B 【详解】因为a，b为互不相等的正实数，所以＋＞，＜＝＜，＜ ＝＜，所以最大的是＋.故选B. 【变式1-2】 ACD 【详解】对于A，由均值不等式可得＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；对于B，由＝＝，得＋，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时等号成立，故B错误；对于C，由 ＝，得a2＋b2，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，由≤ ＝，得＋，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确.故选ACD. 【变式1-3】（多选）（24-25高二下·辽宁·阶段练习） 已知且，则下列选项正确的是（　　） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】ABD 【详解】对于A项，因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A项正确； 对于B项，因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B项正确； 对于C项，因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C项错误； 对于D项，令所以 所以， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D项正确． 故选：ABD． ▌题型02 万能K法 【典例2】B 【详解】方法1(万能法): 令, 则 , 代入得：, 整理可得：,即 . ,得：, 故. 方法2: , . , .解得：. 故可知的最大值是.故答案为. 【变式2-1】A 【详解】, , , , ， 解得：① ， ② 由①②可得： 综上：的最大值是.故答案为. 【变式2-2】. 【详解】方法 1:令时,. 为实数, ,即,解得：. 方法2:，因为, 所以 , 解得：, 所以的最大值为, 故答案为：. 【变式2-3】 【详解】令,则,代入原式化简得, 因为存在实数,则,即, 化简得：,解得：, 故的最大值是,故选：C. ▌题型03 轮换对称法的应用 【典例3-1】4 【详解】因为，，，所以， 当且仅当时取等号. 秒解（轮换对称法）：通过观察不难发现，所给等式及目标函数中的是轮换对称的，当时理应取得想要的结果，此时的最小值是2+2=4. 【典例3-2】B 【详解】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 秒解：令，问题转化为的最小值，显然a和t轮换对称，故令，所以，即最小值为. 【变式3-1】B 【分析】利用乘“1”法和基本不等式可得最小值，即可得与有关不等式，解出即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故，即，解得， 即实数的取值范围是. 秒解：由，可设，则，， 符合x与t对称轮换的特征，显然当时， 故，即，解得， 即实数的取值范围是. 【变式3-2】27 【详解】三元完全轮换对称结构，最值在 时取得. 令 ，得 ，即 . 代入得：. 故原式最小值为 . 【变式3-3】24 【详解】化简目标式：. 式子为轮换对称结构， 最大值在 时取得. 令 ，得 . 原式最大值为 . ▌题型04 裂项换元法的应用 裂项换元法主要适用于分式型代数式最值问题，核心思想是将复杂分式通过拆项、裂项变形，分离出常数和可利用均值不等式的结构，再通过换元简化变量结构，消除分母复杂多项式，转化为“积定和最小、和定积最大”的基础最值模型.该方法重点解决分子、分母均为一次或二次多项式的分式最值问题. 【典例4】B 【详解】裂项得. 令，则，当即取等号. 【变式4-1】已知，则的最小值为________. 【答案】. 【详解】裂项化简：，令.由均值不等式，最小值为. 【变式4-2】 【详解】令，则有，故所求最小值为 ，仅当 时取等号． ▌题型05 齐次比值换元法的应用 【典例5】 【详解】因为 令，则有 从而有，则有 解不等式得或． 根据的形态知，该函数有上界，则有， 也即所求最大值为． 【变式5-1】 【详解】令，则有 ，当且仅当，即时取等，所求最大值为． 【变式5-2】 【详解】原式非齐次，利用进行二次齐次构造： ，令，代入化简： 由均值不等式. 当且仅当时取等，最小值为. ▌题型06 双换元法的应用 【典例6】 【详解】设，则， 当且仅当且，即，时等号成立. 【变式6-1】BCD 【详解】因为，所以，，所以. 令得， 由，，得，，则. 因为，，当且仅当，时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 又，，同时成立，所以，则, 且，时，. 故选：BCD. 【变式6-2】 【详解】双换元，令（），则，。 由，得，最大值为. 【变式6-3】 【详解】双换元，令，得， 由，得，最大值为. ▌题型07 均值换元法的应用 【典例7】18 【详解】由，均值为4，设（）. 代入化简： 因为，故当时，最小值为. 取等条件：. 【变式7-1】3 【详解】由三元和定均值为2，设（） 代入化简： 因为平方项恒非负，当且仅当时，式子取得最小值 取等条件：. 【变式7-2】. 【详解】由，设. 由得 代入目标式： , 该二次函数对称轴为，开口向上. 当时，最小值为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $