第二章一元二次函数、方程和不等式单元检测卷2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷聚焦一元二次函数、方程和不等式核心内容，通过梯度化题型设计，覆盖性质应用、最值求解、充要条件等关键知识，融合运算能力、推理意识与逻辑思维，适配单元复习巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|不等式性质、基本不等式、充要条件|结合函数单调性考查比较大小，如第1题；以“x+y>0”为背景判断“x>0”与“x²>y²”关系，第7题发展逻辑推理| |多选题|3|一元二次不等式、不等式性质|第9题考查充分不必要条件，第11题辨析不等式命题真伪，培养批判性思维| |填空题|3|解集与方程关系、代数式取值范围|第14题结合“a+b=1”求最值，体现数学建模意识| |解答题|5|二次函数最值、含参不等式、充要条件证明|第15题分情况讨论含参不等式解集，第19题证明充要条件，发展理性精神与表达能力|

人教A版必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式单元检测卷 一、单选题 1．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知a>0，b>0，a+b=1，则下列等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 6．若，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 7．若实数x，y满足x+y＞0，则“x＞0”是“x2＞y2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．不等式成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 10．已知且，．则下列关系一定成立的有（    ） A． B． C． D． 11．下列命题中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．若不等式的解集为或，则的值为________． 13．已知，，若，则的取值范围是_______. 14．a，b是正实数，且，则的最小值是_____． 四、解答题 15．（1）设0＜x＜，求函数y＝x（3﹣2x）的最大值； （2）解关于x的不等式x2-（a+1）x+a＜0． 16．（1）若实数x，y满足-1≤x+y≤1，1≤2y≤3，求x+3y的取值范围； （2）已知-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，求3x-y的取值范围. 17．设，，且. （1）求的最小值； （2）证明：与不可能同时成立. 18．已知集合、集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 19．根据要求完成下列问题： (1)若、、． ①求证：； ②求证：； ③在②中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由． (2)设x、，求证：成立的充要条件是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式单元检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A D D C B A AC AD 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】根据函数单调性依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于A，在上单调递增，，A正确； 对于B，在上单调递减，，B错误； 对于C，在上单调递增，，C错误； 对于D，在上单调递增，，D错误. 故选：A. 2．A 【分析】由基本不等式直接求解即可得到结果. 【详解】由基本不等式知；（当且仅当时取等号）， 的最大值为. 故选：A. 3．A 【分析】首先求解不等式，再根据必要不充分条件，转化为子集问题，即可求解. 【详解】， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：A 4．D 【分析】根据不等式性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 若，则，当时不成立；     B. 若，则，举反例，不满足； C. 若，则，根据不等式性质知，错误； D. 若，故，平方得到，正确. 故选：. 【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 5．D 【解析】根据已知条件由可求出，又由完全平方公式可得，即可判断A、B；由已知条件可知，则，因此，可判断C；由平方差公式可得，与联立可求出满足条件的a、b，故D可能成立. 【详解】 ， 当且仅当时等号成立， 又，， ，则不可能成立； ，当且仅当时等号成立，故不可能成立； ，，， （由A可知），则不可能成立； ，联立，解得，满足条件，D成立. 故选：D 6．C 【分析】根据二次函数的性质，分，，，讨论求解. 【详解】当时，不等式化为，不恒成立，不合题意； 当时，由二次函数图象和性质知不合题意； 当时，要使，对恒成立，则 ，解得， 综上可得实数的取值范围是. 故选：C. 7．B 【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，实数x，y满足x+y＞0，若x＞0，则未必有x2＞y2， 例如x＝1，y＝2时，有x2＜y2； 反之，若x2＞y2，则x2﹣y2＞0，即（x+y）（x﹣y）＞0； 由于x+y＞0，故x﹣y＞0，∴x＞y且x＞﹣y，∴x＞0成立； 所以当x+y＞0时，“x＞0”推不出“x2＞y2”，“x2＞y2”⇒“x＞0”； ∴“x＞0”是“x2＞y2”的必要不充分条件． 答案：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 8．A 【分析】解法一：由已知等式得出，结合基本不等式可得出的最小值； 解法二：由已知等式得出，可得出，结合基本不等式可得出的最小值. 【详解】解法一：由得， ，，，. ，当且仅当， 即，时等号成立. 的最小值为； 解法二：由得，得， ，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 故的最小值为. 故选：A. 9．AC 【分析】根据一元二次不等式的解法求出原不等式为，结合充分条件、必要条件的定义直接得出结果. 【详解】由题意知，， 所以是的充分不必要条件. 故选：AC. 10．AD 【分析】根据不等式的性质即可判断A选项，利用特殊值法可排除BC，利用作差比较法可判断D选项. 【详解】由题意可知，， 对于A，由，， 根据同向可加性得，故A正确； 对于B，取，验证B错误； 对于C，若，等式不成立，故C错误； 对于D，两式做差得， 因为， 所以， 所以，故D正确. 故选：AD. 11．BCD 【分析】对于A，可举例判断；对于B，由不等式性质可证得；对于C，由基本不等式可判断；对于D，利用作差比较即可． 【详解】对于A，易知当时，符合，但，故A错误； 对于B，，，，故B正确； 对于C，时，，则成立，故C正确； 对于D，时，， ，则 ，故D正确． 故选：BCD． 12．－3 【分析】将问题转化为，且和是方程的两个实根，再结合根与系数的关系求解即可. 【详解】原不等式可化为， 由已知，可得，且和是方程的两个实根， 即和是方程的两个实根， 所以，解得. 故答案为：. 13． 【分析】根据不等式的基本性质即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以的取值范围是， 故答案为：. 14．1 【解析】将化为， 即，由，展开利用基本不等式即可求解. 【详解】a，b是正实数，且，则， 即， 所以 ， 当且仅当时取等号. 故答案为：1 【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，考查了基本运算求解能力，属于中档题. 15．（1）（2）见解析 【分析】（1）由题意利用二次函数的性质，求得函数的最大值． （2）不等式即（x﹣1）（x﹣a）＜0，分类讨论求得它的解集． 【详解】（1）设0＜x，∵函数y＝x（3﹣2x）2，故当x时，函数取得最大值为． （2）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0，即（x﹣1）（x﹣a）＜0． 当a＝1时，不等式即 （x﹣1）2＜0，不等式无解； 当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}； 当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}． 综上可得，当a＝1时，不等式的解集为∅，当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，求二次函数的最值，一元二次不等式的解集，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题． 16．（1）（2） 【分析】根据不等式同向不等式相加不等号方向不变的性质求解即可. 【详解】（1）-1≤x+y≤1，1≤2y≤3， ， 即 （2）-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3， ， 17．（1）2；（2）证明见解析. 【解析】（1）将通分，即可求得，再由基本不等式的性质可得的最小值； （2）运用反证法，结合不等式不等式的性质，即可得证． 【详解】解：由，且，，得. （1）由基本不等式及，知，当且仅当时取等号，故的最小值为. （2）证明：由（1）知，且，因此，① 假设与同时成立，则，② ①②两式矛盾，故与不可能同时成立. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，及反证法的运用，属于中档题. 18．(1) (2) 【分析】（1）先解二次不等式化简集合，再利用集合交集的结论，分类讨论与两种情况，得到关于的不等式，解之即可得解； （2）利用充分不必要条件得到集合是集合的真子集，分类讨论与两种情况，得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】（1）因为， 又，， 当时，，解得， 当时，，则或，解得， 综上所述，实数的取值范围为； （2）因为命题是命题的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不同时成立），解得， 综上，，即实数的取值范围为. 19．(1)①证明见解析；②证明见解析；③能找到， (2)证明见解析 【分析】（1）①根据的符号去绝对值即可证不等式成立； ②根据同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性质可证明不等式成立； ③在的两边同时乘以得，在的两边同时乘以得，即可证明. （2）证明充分性：如果，则有和两种情况，分别证明即可；证明必要性：若且，则，化简即可. 【详解】（1）①∵，且、， ∴，∴； ②∵，∴， 又，∴， ∴， ∴， ∵、， ∴，由①知， ∴， ∴； ③∵，， ∴或（只要写出其中一个即可）； （2）①充分性：如果，则有和两种情况， 当时，当时，则、，等式成立， 当时，则、，等式成立， 当时，等式成立， 当时，即、或、， 当、时，、，等式成立， 当、时，、，等式成立， ∴当时，等式成立， ∴当时，成立， ②必要性：若且，则， 即，则，故， 综上所述，是等式成立的充要条件. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $