2.2.2基本不等式的应用课时练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 该同步练习按A级基础（8题）、B级拔高（5题）分层，基础题聚焦基本不等式直接应用，拔高题强化综合转化与建模，梯度衔接合理，助力知识从单一应用到综合创新的巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|基本不等式直接应用（和定积最大、条件最值、恒成立）、简单实际应用|选择题为主，注重概念理解与运算能力，如第1题用“1”的代换，第8题行车费用建模，培养数据意识| |B级|综合条件转化（消元、换元）、几何应用、证明推理、含参问题|解答与证明题为主，强调逻辑推理与创新意识，如第10题折叠几何求最值，第13题仓库建造参数讨论，发展模型观念|

2.2.2基本不等式的应用 A级 基础练习 1.(2026山东济南月考)已知正实数a,b满足a+b=4,则的最小值为(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 2.已知实数x>1,则2-x-的(　　) A.最小值为1 B.最大值为1 C.最小值为-1 D.最大值为-1 3.(2026江苏苏州月考)若x<,则3x+1+有(　　) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-3 4.若对任意x>0,a≥恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≥-1} B.{a|a≥3} C. D.{a|a≤1} 5.(2026陕西咸阳期中)已知a>1,b>-2,a+b=3,则的最小值是(　　) A.1 B. C.2 D.3 6.如果两个正方形的边长之和为1,那么它们的面积之和的最小值是(　　) A. B. C.1 D.2 7.一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要　　　　　h.  8.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100.假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y关于x的函数解析式. (2)当x为何值时,这次行车的总费用最低?求出最低费用的值. B级 拔高提升 9.(2026山东滕州月考)已知a,b>0,且ab=a+b+3,则a+4b的最小值是(　　) A.9 B.13 C.7+4 D.15 10.矩形ABCD(AB>AD)的周长为16 cm,把△ABC沿AC向△ADC折叠,AB折过去后交DC于点P,则△ADP的最大面积为(　　) A.48-16 B.48-32 C.108-72 D.192-128 11.若-1<a<2,则的最小值是　　　　.  12.(1)已知a,b,c>0,求证:≥a+b+c; (2)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:≥8. 13.开通中欧班列是推进我国与“一带一路”沿线国家道路连通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6). (1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低? (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围. 参考答案 1.A　(a+b)()=(2+)≥(2+2)=1,当且仅当,即a=b=2时,等号成立.故选A. 2.D　因为2-x-=1+1-x-=1-[(x-1)+]≤1-2=1-2=-1,当且仅当=x-1,即x=2时,等号成立.故最大值为-1,故选D. 3.C　因为x<,故3x-2<0,原式=3x+1+=3x-2++3=-[-(3x-2)+]+3≤-2+3=-3,当且仅当-(3x-2)=,即x=-时,等号成立.故选C. 4.C　因为x>0,所以,当且仅当x=,即x=1时等号成立,因为a≥恒成立,所以a≥,故选C. 5.A　由a>1,b>-2,得a-1>0,b+2>0,由a+b=3,得(a-1)+(b+2)=4,因此[(a-1)+(b+2)]()=(2+)≥(2+2)=1,当且仅当,即a=3,b=0时,等号成立,所以的最小值是1.故选A. 6.B　设两个正方形的边长分别为x,y,则x>0,y>0,且x+y=1,由基本不等式可得x2+y2≥2xy,所以2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=1,所以x2+y2≥,当且仅当x=y=时,等号成立,因此,两个正方形的面积之和x2+y2的最小值为.故选B. 7.10　当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶 h,最后一辆车驶完全程共需要 h,所以一共需要h,由基本不等式,得≥2=10,故最少需要10 h. 8.解(1)设所用时间为t=小时,则y=×6×(2+)+14×,50≤x≤100.所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=x,50≤x≤100. (2)y=x≥,当且仅当x,即x=2时,等号成立. 又2<50,所以当x=50时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为y=×50=(元). 9.B　由ab=a+b+3可得a=+1, 因为a,b>0,所以b-1>0,即b>1,所以a+4b=+1+4b=+4(b-1)+5≥2+5=13,当且仅当=4(b-1),即b=2时,等号成立, 所以a+4b的最小值是13.故选B. 10.B　如图,折叠完成后点B到达点E的位置.设AB=x,AD=8-x,CP=a,其中0<x<8,则DP=x-a,AP=a,在Rt△ADP中,由勾股定理,得(8-x)2+(x-a)2=a2, 解得a=, 所以DP=x-a=, 所以S△ADP=(8-x)·DP=48-4x-≤48-2=48-32, 当且仅当4x=,即x=4时,等号成立.故选B. 11.3　(方法一), 设t=a+2,t∈(1,4),则a=t-2. 所以=-=-≥-=3, 当且仅当t=,即t=2时,等号成立,此时a=0. 所以的最小值是3. (方法二)因为-1<a<2, 所以a+1>0,2-a>0,且(1+a)+(2-a)=3, 所以)(1+a+2-a) =[5+]≥[5+2]=3, 当且仅当,即a=0时,等号成立, 所以的最小值是3. 12.证明 (1)∵a,b,c,均大于0,∴+b≥2=2a,当且仅当=b,即a=b时等号成立; +c≥2=2b,当且仅当=c,即b=c时等号成立; +a≥2=2c,当且仅当=a,即a=c时等号成立. 以上三式相加得+b++c++a≥2a+2b+2c,当且仅当a=b=c时等号成立. ∴≥a+b+c. (2)=2. ∵a+b=1,a>0,b>0, ∴=2+≥2+2=4, ∴≥8当且仅当a=b=时等号成立. 13.解(1)设甲工程队的总造价为y元, 则y=3(150×2x+400×)+7 200=900(x+)+7 200(2≤x≤6),900(x+)+7 200≥900×2×+7 200=14 400. 当且仅当x=,即x=4时,等号成立.即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14 400元. (2)由题意可得,当2≤x≤6时,900+7 200>恒成立,即, ∴a<=(x+1)++6, 又x+1++6≥2+6=12, 当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立. ∴a的取值范围为{a|0<a<12}. 学科网（北京）股份有限公司 $