第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次函数、方程和不等式单元核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合实际情境与逻辑推理，适配高中数学单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|基本不等式、二次不等式解集、大小比较|题1以正实数关系考最值，题5结合天平称重情境体现数学眼光| |填空题|3题15分|大小比较、二次函数应用|13题营运利润问题考年平均利润最值，培养数据意识| |解答题|5题77分|不等式解法、函数恒成立、实际应用|18题服装厂促销建模，19题多问考基本不等式，发展数学思维与应用意识|

第二章 一元二次函数、方程和不等式 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2026云南昆明期中)若两个正实数x,y满足=1,则实数xy的最小值是(　　) A.4 B.8 C.16 D.24 2.已知a=-x2-2x,b=-2x2-2,c=-1,则(　　) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<b<a 3.(2026安徽合肥期末)已知关于x的不等式ax2+bx-2>0的解集为{x|1<x<2},则不等式<0的解集是(　　) A.{x|-1<x<} B.{x|<x<1} C.{x|-3<x<1} D.{x|-1<x<3} 4.不等式<2的解集为(　　) A.{x|x≠-2} B.R C.⌀ D.{x|x<-2或x>2} 5.(2026浙江杭州期中)现使用一架两臂不等长的天平称20 g药品,操作方法如下:先将10 g的砝码放在天平左盘中,取出一些药品放在天平右盘中,使得天平平衡;再将10 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些药品放在天平左盘中,使得天平平衡.你认为两次实际称得的药品总重量(　　) A.等于20 g B.大于20 g C.小于20 g D.以上都有可能 6.已知函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图象都在x轴的上方,则实数k的取值范围为(　　) A.{k|1<k<19} B.{k|1≤k≤19} C.{k|1<k≤19} D.{k|1≤k<19} 7.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式≥m恒成立,则m的最大值等于(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 8.已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则9x-y的取值范围是(　　) A.{9x-y|-7≤9x-y≤26} B.{9x-y|-1≤9x-y≤20} C.{9x-y|4≤9x-y≤15} D.{9x-y|1≤9x-y≤15} 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.若<0,则下列不等式正确的是(　　) A.|a|>|b| B. C.a+b>ab D.a2-a<b2-b 10.已知a>0,b>0,若a+2b=1,则下列选项正确的有(　　) A.b的取值范围是{b|0<b<} B.ab的最大值为 C.a-的最大值为1-2 D.的最小值为8 11.已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-1或x≥2},则下列说法正确的是(　　) A.a>0 B.ax+c>0的解集为{x|x<2} C.cx2+bx+a<0的解集为{x|-1<x<} D.a+b+c<0 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.设a,b为实数,比较两式的值的大小:a2+b2　　　　　2a-2b-2(用符号“>”“≥”“<”“≤”或“=”填空).  13.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆车营运的总利润y(单位:十万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示),则每辆客车营运　　　　　年时,年平均利润最大.  14.若关于x的不等式x2-mx+m+2>0,对-2≤x≤4恒成立,则m的取值范围是　　　　　. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(2026陕西西安期中)求下列不等式的解集: (1)2x2-x-6>0; (2)≥2; (3)|4x+2|<3. 16.(15分)(2026福建福州期中)已知关于x的不等式ax2-x+1-a≤0. (1)当3≤x≤4时,不等式ax2-x+1-a≤0恒成立,求实数a的取值范围; (2)当a>0时,解关于x的不等式. 17.(15分)已知函数y=(m+1)x2-mx+m-1(m∈R). (1)当m=0时,求不等式y>0的解集; (2)若不等式y>0的解集为⌀,求实数m的取值范围; (3)对任意的x∈[-],不等式y≥-x恒成立,求实数m的取值范围. 18.(17分)某服装厂拟在今年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)m(单位:万件)与年促销费用x(0≤x≤10)(单位:万元)满足m=3-.已知今年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用). (1)将今年该产品的利润y万 元表示为年促销费用x万元的函数; (2)该服装厂今年的促销费用投入多少万元时,利润最大? 19.(17分)已知x,y都是正数. (1)若2x+3y=3,求xy的最大值; (2)若2x+y=1,求的最小值; (3)若=2,且x>y,求x+y的最小值. 答案： 1.C　∵x>0,y>0,∴1=≥2, ∴≥4,∴xy≥16,当且仅当时,等号成立,∴xy的最小值是16.故选C. 2.A　a-b=-x2-2x-(-2x2-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,故a>b,c-a=-1-(-x2-2x)=x2+2x+-1=(x+1)2+-2>0,故c>a, 综上,b<a<c.故选A. 3.D　由题意a<0,且1+2=-,1×2=,∴a=-1,b=3,不等式<0,即<0,∴-1<x<3.故选D. 4.A　因为x2+x+1=>0, 所以原不等式等价于x2-2x-2<2x2+2x+2, 即x2+4x+4>0,即(x+2)2>0,所以x≠-2.故选A. 5.B　设天平左臂长为m,右臂长为n,m,n>0且m≠n,左盘放的药品为x1 g,右盘放的药品为x2 g, 则解得x1=,x2=,x=x1+x2=≥2=20,当且仅当m=n时,等号成立,而m≠n,所以x>20.故选B. 6.D　因为y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图象都在x轴上方, ①当k2+4k-5=0时,解得k=-5或k=1, 当k=-5时,函数y=24x+3为一次函数,不满足条件; 当k=1时,函数y=3满足条件;故k=1. ②当k2+4k-5≠0时,函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3为二次函数, 则解得1<k<19. 综上,实数k的取值范围为{k|1≤k<19}.故选D. 7.B　由已知得=4++1=5+2()≥5+2×2=9, 当且仅当a=b=时,等号成立. 又≥m恒成立, ∴m≤9,即m的最大值等于9.故选B. 8.B　令m=x-y,n=4x-y,则 则z=9x-y=n-m, ∵-4≤m≤-1,∴≤-m≤, 又-1≤n≤5,∴-n≤, ∴-1≤z=9x-y=n-m≤20.故选B. 9.BD　∵<0,∴b<a<0,∴-b>-a>0,∴|b|>|a|,,故A错误,B正确; ∵a+b<0,ab>0,∴a+b<ab,故C错误; ∵a2-a-b2+b=(a+b)(a-b)-(a-b)=(a-b)(a+b-1),又a-b>0,a+b-1<0,∴a2-a-b2+b<0, 即a2-a<b2-b,故D正确.故选BD. 10.ABD　由题设a=1-2b>0,则b<.又b>0,故b的取值范围是{b|0<b<},故A正确; 由ab=b(1-2b)=-2,且0<b<,故ab的最大值为,故B正确; 由a-=1-(2b+)≤1-2=1-2,当且仅当b=时,等号成立, 而0<b<,所以a-取不到1-2,故C错误; 由=()(a+2b)=4+≥4+2=8, 当且仅当a=,b=时,等号成立,故的最小值为8,故D正确.故选ABD. 11.BC　因为不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-1或x≥2}, 所以a<0,可得 则ax+c>0,即ax-2a>0,得x-2<0,x<2. 又cx2+bx+a<0化为-2ax2-ax+a<0, 可得2x2+x-1<0,解得-1<x<. 因为a+b+c=a-a-2a=-2a>0, 故A错误,B正确,C正确,D错误.故选BC. 12.≥　因为a2+b2-(2a-2b-2)=(a-1)2+(b+1)2≥0,a=1,b=-1时,等号成立, 所以a2+b2≥2a-2b-2. 13.5　二次函数图象的顶点为(6,11). 设y与x的关系式为y=a(x-6)2+11(a≠0), 代入点(4,7),解得a=-1.所以y=-x2+12x-25,年平均利润为=-(x+)+12≤-2+12=2, 当且仅当x=,即x=5时,等号成立. 14.{m|2-2<m<2+2}　设y=x2-mx+m+2=(x-)2-+m+2. ①当≤-2,即m≤-4时,此时y在x=-2处取最小值,最小值为4+2m+m+2=3m+6>0,解得m>-2. 又m≤-4,∴无解; ②当-2<<4,即-4<m<8时,此时y在x=处取最小值,最小值为-+m+2>0, 解得2-2<m<2+2. 又-4<m<8,∴2-2<m<2+2; ③当≥4,即m≥8时,此时y在x=4处取最小值,最小值为16-4m+m+2=18-3m>0, ∴m<6. 又m≥8,∴无解. 综上,m的取值范围为{m|2-2<m<2+2}. 15.解 (1)∵2x2-x-6>0,∴(2x+3)(x-2)>0, ∴x<-或x>2, ∴原不等式的解集为{x|x<-或x>2}. (2)∵≥2,∴-2≥0,∴≥0,∴≤0, ∴∴2<x≤, ∴原不等式的解集为{x|2<x≤}. (3)∵|4x+2|<3,∴-3<4x+2<3,∴-<x<, ∴原不等式的解集为{x|-<x<}. 16.解 (1)不等式ax2-x+1-a≤0可化为a(x2-1)≤x-1,当3≤x≤4时,8≤x2-1≤15,2≤x-1≤3, 所以不等式化为a≤,又4≤x+1≤5, 所以,所以实数a的取值范围是{a|a≤}. (2)不等式ax2-x+1-a≤0可化为(x-1)(ax-1+a)≤0, 因为a>0,所以方程(x-1)(ax-1+a)=0的根为1和-1,当-1=1时,a=,所以当a=时,不等式为(x-1)2≤0,解得x=1;当0<a<时,-1>1,解不等式得1<x<-1;当a>时,-1<1,解不等式得-1<x<1. 综上,当a=时,原不等式的解集为{1}; 当0<a<时,原不等式的解集为{x|1<x<-1}; 当a>时,原不等式的解集为{x|-1<x<1}. 17.解 (1)当m=0时,y=x2-1, 由y>0得x2-1>0,解集为{x|x<-1或x>1}. (2)当m=-1时,由y>0,得到x-2>0,所以x>2,不合题意, 当m≠-1时,不等式y>0的解集为⌀, 得解得m≤-, 所以实数m的取值范围为{m|m≤-}. (3)由不等式y≥-x,得m(x2-x+1)≥-x2-x+1, 因为x2-x+1=>0恒成立, 所以m≥=-1+. 设1-x=t,x∈[-],则t∈[],x=1-t, 所以. 因为t+≥2=2,当且仅当t=1,即x=0时,等号成立,所以当x=0时,=1, 所以m≥1.故实数m的取值范围为{m|m≥1}. 18.解 (1)由题意知每件产品的销售价格为2×, ∴y=m·2×-(8+16m+x)=8+16m-x=56--x,即y=56--x(0≤x≤10). (2)由y=56--x=57-[+(x+1)]≤57-2=49, 当且仅当=x+1,即x=3时取等号. 故该服装厂今年的促销费用投入3万元时,利润最大为49万元. 19.解 (1)因为x,y都是正数, 则2x+3y≥2=2,即2≤3, 解得xy≤,当且仅当2x=3y,即x=,y=时,等号成立,所以xy的最大值为. (2)因为x>0,y>0,且2x+y=1,所以=1+=1+=1+()(2x+y)=13+≥13+2=25, 当且仅当y=2x,即y=,x=时,等号成立, 因此,的最小值是25. (3)由x,y都是正数,且x>y,由=2可得x+y=x-y+2y=(x-y+2y)()=(2+)≥×(2+2)=2, 当且仅当,即x=,y=时,等号成立, 所以x+y的最小值为2. 10 学科网（北京）股份有限公司 $