第五单元 圆 单元培优讲义(培优讲义)-2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列（苏教版 ·新教材）

本讲义聚焦小学数学“圆”单元核心知识，系统梳理圆的认识（定义、半径直径关系）、周长（圆周率、公式及半圆周长）、面积（推导思想、公式及圆环面积）、扇形及组合图形应用，构建从直线图形到曲线图形的学习支架，为后续立体几何奠定基础。 资料以“化曲为直”“化圆为方”转化思想为核心，通过滚动法测量周长、拼长方形推导面积培养几何直观，高频易错点汇总（如半圆周长漏直径）强化推理意识，结合圆形花坛等实际场景提升应用意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，巩固知识。

第五单元 圆 单元培优讲义 目录 知识梳理 2 一、单元核心概述 2 二、圆的认识 3 1. 圆的定义与基本特征 3 2. 圆的各部分名称 3 3. 半径与直径的关系 3 4. 圆的画法（圆规画圆） 3 5. 圆的对称性 3 6. 拓展性质 3 三、圆的周长 4 1. 周长的定义 4 2. 圆周率的意义 4 3. 周长计算公式与变形 4 4. 半圆的周长（高频易错考点） 4 5. 周长的变化规律 4 6. 测量方法（化曲为直思想） 4 四、圆的面积 5 1. 面积的定义 5 2. 面积推导（化圆为方思想） 5 3. 面积计算公式与变形 5 4. 半圆的面积 5 5. 圆环的面积 5 6. 面积的变化规律 5 五、扇形的初步认识 6 1. 扇形的定义 6 2. 扇形各部分名称 6 3. 扇形大小的决定因素 6 4. 扇形的性质 6 六、组合图形与实际应用 6 1. 经典组合图形：外方内圆与外圆内方 6 2. 阴影面积常用计算方法 7 3. 常见实际应用场景 7 七、常用计算速记与解题技巧 7 1. 常用 π 的倍数（计算提速必备） 7 2. 通用解题步骤 7 八、高频易错点汇总 7 考点讲练 8 考点一：认识圆和扇形 8 考点二：圆的周长 9 考点三：半圆的周长 10 考点四：圆的周长的应用 12 考点五：圆的面积 13 考点六：圆的面积的应用 14 考点七：圆环的面积 16 考点八：求最大面积 18 考点九：含圆的组合图形的周长 19 考点十：含圆的组合图形的面积 20 考点十一：方中圆和圆中方的面积问题 22 考点十二：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 23 考点十三：扇形的周长和面积 25 综合训练 27 知识梳理 一、单元核心概述 本单元是小学阶段平面几何从直线图形向曲线图形的重要过渡，核心内容包括圆的基本认识、圆的周长、圆的面积、扇形初步认识与组合图形计算。单元贯穿 “化曲为直、化圆为方” 的转化数学思想，是在长方形、正方形周长与面积基础上的拓展延伸，也是后续学习圆柱、圆锥等立体几何的必备基础，是六年级上册的核心计算与几何考点单元。 二、圆的认识 1. 圆的定义与基本特征 圆是平面内由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 与直线图形的区别：长方形、正方形等由线段围成，圆由曲线围成，没有顶点和直边。 核心本质：一中同长—— 一个固定的圆心，所有点到圆心的长度都相等。 2. 圆的各部分名称 圆心：圆中心的一点，用字母表示，决定圆的位置。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母表示，决定圆的大小。 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段，用字母表示，是圆内最长的线段。 3. 半径与直径的关系 前提：在同一个圆（或大小相等的等圆）中 圆有无数条半径，所有半径的长度都相等；有无数条直径，所有直径的长度都相等。 直径长度是半径的 2 倍，半径是直径的 公式： ； 4. 圆的画法（圆规画圆） 画圆的核心是确定圆心和半径，步骤为： 定半径：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径长度） 定圆心：把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心） 画圆周：把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆 5. 圆的对称性 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。 圆有无数条对称轴，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 易错提醒：对称轴是直线，不是直径本身（直径是线段）。 6. 拓展性质 圆心确定圆的位置，半径（或直径）确定圆的大小。 圆内最长的线段是直径；两端都在圆上的线段，直径最长。 三、圆的周长 1. 周长的定义 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母表示。 2. 圆周率的意义 定义：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，叫做圆周率，用希腊字母（pài）表示。 性质：圆周率是一个无限不循环小数，，实际计算中通常取近似值。 易错提醒：圆周率是固定不变的常数，和圆的大小无关，所有圆的圆周率都相等；，3.14 只是近似值。 3. 周长计算公式与变形 根据圆周率的定义推导：，因此 已知直径求周长： 已知半径求周长： 公式反向变形： 已知周长求直径： 已知周长求半径： 4. 半圆的周长（高频易错考点） 半圆的周长不是圆周长的一半，而是圆周长的一半 + 1 条直径（或 2 条半径）。 公式： 例：半径为 4cm 的半圆，周长 =cm 5. 周长的变化规律 在同一个圆中： 半径扩大到原来的倍，直径、周长也同时扩大到原来的倍。 半径缩小到原来的，直径、周长也同时缩小到原来的。 例：半径扩大 3 倍，直径扩大 3 倍，周长扩大 3 倍。 6. 测量方法（化曲为直思想） 圆的周长无法用直尺直接测量，常用两种方法转化测量： 滚动法：让圆沿直线滚动一周，测量滚动的长度 绕绳法：用绳子绕圆一周，测量绳子的长度 四、圆的面积 1. 面积的定义 圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母表示。 2. 面积推导（化圆为方思想） 把圆平均分成若干偶数等份，剪开后可以拼成一个近似的长方形；分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 拼成的长方形的长 = 圆周长的一半 = 拼成的长方形的宽 = 圆的半径 = 长方形面积 = 长 × 宽，因此圆的面积 = 3. 面积计算公式与变形 已知半径求面积：（核心公式） 已知直径求面积：先算半径，再代入公式 已知周长求面积：先算半径，再代入公式 4. 半圆的面积 半圆的面积就是对应圆面积的一半，公式： 5. 圆环的面积 两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环（环形），外圆半径用表示，内圆半径用表示。 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积 公式： 易错提醒：是半径的平方差，不是半径差的平方，即 6. 面积的变化规律 在同一个圆中： 半径扩大到原来的倍，面积扩大到原来的倍。 半径缩小到原来的，面积缩小到原来的。 例：半径扩大 3 倍，面积扩大倍。 五、扇形的初步认识 1. 扇形的定义 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，扇形是圆的一部分。 2. 扇形各部分名称 弧：圆上两点之间的部分叫做弧，读作 “弧 AB”。 圆心角：顶点在圆心，两条边是半径的角叫做圆心角。 3. 扇形大小的决定因素 在同一个圆（或等圆）中，扇形的大小由圆心角的大小决定：圆心角越大，扇形越大；圆心角越小，扇形越小。 圆心角不同、半径不同的扇形，大小由圆心角和半径共同决定。 4. 扇形的性质 扇形是轴对称图形，只有 1 条对称轴（经过圆心和弧中点的直线）。 特殊扇形： 圆心角为 180° 的扇形 = 半圆 圆心角为 90° 的扇形 = 四分之一圆 易错提醒：圆心角的顶点必须在圆心，顶点在圆上的角不是圆心角。 六、组合图形与实际应用 1. 经典组合图形：外方内圆与外圆内方 （1）外方内圆（正方形内画最大的圆） 正方形的边长 = 圆的直径 = 正方形面积 - 圆的面积 = 阴影部分面积 公式： （2）外圆内方（圆内画最大的正方形） 圆的直径 = 正方形的对角线 = 正方形面积 = 对角线 × 对角线 ÷2 = 圆的面积 - 正方形面积 = 阴影部分面积 公式： 2. 阴影面积常用计算方法 整体减空白法：用整体图形的面积减去空白部分的面积，得到阴影面积 割补平移法：将不规则的阴影部分切割、平移，拼成规则图形（如半圆、长方形）再计算 相加法：将阴影部分拆分为多个规则图形，分别计算面积后相加 3. 常见实际应用场景 圆形花坛、圆形水池的围栏（周长）与占地面积（面积）、环形跑道、圆形井盖、钟表指针扫过的面积与针尖走过的路程等。 七、常用计算速记与解题技巧 1. 常用 π 的倍数（计算提速必备） 算式 结果 算式 结果 3.14 18.84 6.28 21.98 9.42 25.12 12.56 28.26 15.7 31.4 50.24 78.5 113.04 200.96 2. 通用解题步骤 无论是求周长还是面积，优先找到圆的半径，半径是解决圆相关问题的核心量。 求周长类问题，先判断是整圆、半圆还是组合曲线，不要漏加直线段。 求面积类问题，先判断是整圆、圆环还是组合图形，优先转化为规则图形计算。 计算前统一单位，结果注意区分长度单位（cm、dm、m）和面积单位（cm²、dm²、m²）。 八、高频易错点汇总 概念前提遗漏：判断题中忽略 “同一个圆 / 等圆” 的前提，直接说 “直径是半径的 2 倍”，表述错误。 圆周率认知错误：误认为 “大圆的圆周率大，小圆的圆周率小”，或认为，实际圆周率是固定常数，3.14 只是近似值。 半圆周长漏直径：计算半圆周长时只算圆周长的一半，忘记加上直径，是最高频易错点。 圆环面积公式误用：错误使用，正确公式为。 对称轴概念混淆：误认为 “圆的对称轴是直径”，正确表述为 “圆的对称轴是直径所在的直线”。 变化规律混淆：混淆周长和面积的变化规律，半径扩大 n 倍，周长扩大 n 倍，面积扩大 n² 倍。 单位概念混淆：周长和面积单位不同，无法比较大小，如 “半径 2cm 的圆，周长和面积相等” 是错误表述。 圆心角判断错误：顶点不在圆心的角误认为是圆心角，导致扇形大小判断错误。 考点讲练 考点一：认识圆和扇形 【例题】用两个大小不同的圆组成的所有图形中，对称轴最少有( )条，最多有( )条。 【答案】 1/一 无数 【分析】大小不同的圆可以组成很多种不同的图形，对称轴的条数也不一样，其中最少的一种是圆心的位置不同时，这时对称轴是经过两个圆的圆心的直线，最多的一种是两个圆的圆心相同时，这时对称轴就是经过圆心的直径，有无数条。 【详解】用两个大小不同的圆组成的所有图形中，两个大小不同的圆的圆心的位置不同时； 两个圆的圆心相同时，这时对称轴就是经过圆心的直径，有无数条，即最多有无数条。 【例题】把一张圆形纸片连续对折3次，得到的扇形圆心角是( )°，这个扇形面积是整个圆的( )%。 【答案】 45 12.5 【分析】对折一次，平均分成2份；那么把一张圆形纸片连续对折3次，平均分成2×2×2＝8份； 整个圆的圆心角是360°，平均分成8份，用360°除以8，求出每份扇形圆心角的度数； 求这个扇形面积是整个圆的百分之几，用1除以8即可。 【详解】2×2×2＝8 360°÷8＝45° 1÷8×100% ＝0.125×100% ＝12.5% 把一张圆形纸片连续对折3次，得到的扇形圆心角是45°，这个扇形面积是整个圆的12.5%。 考点二：圆的周长 【例题】将一个长8分米、宽2分米的长方形纸片卷成一个圆柱形纸筒，这个圆柱形纸筒的侧面积是( )平方分米。如果用较长一边做底面周长，则计算底面直径的算式是( )。 【答案】 16 8÷3.14 【分析】长方形纸片卷成一个圆柱形纸筒，长方形纸片面积即为纸筒侧面积，按“长方形面积＝长×宽”作答即可。圆的周长：C＝πd，所以d＝C÷π，据此作答即可。 【详解】圆柱形纸筒的侧面积：8×2＝16（平方分米） 底面直径：8÷3.14 【例题】我们下午放学时间是5：30，用24时计时法记作( )，此时钟面上时针和分针的夹角是( )角；6：00到家，此刻分针和时针所成角的度数是( )度；如果这个挂钟的分针长10厘米，在放学到回家这段时间内，分针尖端走了( )厘米。 【答案】 /17时30分 锐 【分析】下午的时刻，那么在原时刻小时数基础上加12，分钟数保持不变。 5:30时针指着5和6的中间，分针指着6，分针和时针的夹角是一个大格的一半，钟面上有12个大格，用周角360°除以12得到每个大格的度数再除以2就能计算出5:30时针与分针的夹角度数。 6点整时针指向6、分针指向12，二者间隔6个大格，每个大格对应30°，所以用间隔大格数乘30°即可得到夹角度数。 先用6:00进去5:30算出放学至到家的时长30分钟，因为分针尖端走的路程是30分钟内分针转过的圆弧长度，也就是圆周长的一半，先根据圆的周长公式计算出圆的周长，再除以2就能计算出分针指尖走过的路程。 【详解】 （厘米） 5:30用24时计时法记作17:30，此时钟面上时针和分针的夹角是30角；6:00到家，此刻分针和时针所成角的度数是15度；如果这个挂钟的分针长10厘米，在放学到回家这段时间内，分针尖端走了31.4厘米。 考点三：半圆的周长 【例题】运用数学中转化的思想方法，把下图中的半圆分成若干等份，剪开后拼成一个近似的长方形，这两个图形的周长( )，面积( )。（填“相等”或“不相等”） 【答案】 相等 相等 【分析】把一个半圆分成若干等份，剪开后拼成一个近似的长方形，这个长方形的宽等于圆的半径，长等于圆周长的； 设半圆的半径是2cm，半圆的周长＝圆周长的一半＋直径＝2πr÷2＋2r，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，分别求出半圆的周长和面积； 根据长方形的周长公式C＝2（a＋b），长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算，分别求出长方形的周长和面积； 将这两个图形的周长、面积分别进行比较，得出结论。 【详解】设半圆的半径是2cm； 半圆的周长： 2×3.14×2÷2＋2×2 ＝6.28＋4 ＝10.28（cm） 半圆的面积： 3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（cm2） 长方形的长：2×3.14×2×＝3.14（cm） 长方形的周长： （3.14＋2）×2 ＝5.14×2 ＝10.28（cm） 长方形的面积： 3.14×2＝6.28（cm2） 周长比较：10.28＝10.28 面积比较：6.28＝6.28 所以，这两个图形的周长相等，面积相等。 【例题】如下图，量角器从位置①沿着刻度尺向右滚动一周到位置②，量角器的半径是( )厘米，这个量角器的一个面的面积是( )平方厘米。 【答案】 5 39.25 【分析】量角器从位置①沿着刻度尺向右滚动一周到位置②，就是这样量角器的周长；先用37.7－12，求出这个量角器的周长；因为量角器是半圆，所以根据半圆的周长公式：周长＝（π＋2）×半径，则半径＝周长÷（π＋2），代入数据，求出量角器的半径；求量角器的一个面的面积，就是求圆的面积一半，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2÷2，代入数据，即可解答。 【详解】（37.7－12）÷（3.14＋2） ＝25.7÷5.14 ＝5（厘米） 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 量角器的半径是5厘米，这个量角器的一个面的面积是39.25平方厘米。 考点四：圆的周长的应用 【例题】赵阿姨响应“低碳生活、绿色出行”的号召，她每天骑自行车上班。自行车轮胎的外直径是70cm，平均每分钟转100周。赵阿姨骑自行车通过一座长659.4m的桥，需要多少分钟？ 【答案】3分钟 【分析】利用“”算出车轮转一周走过的距离，然后乘100得1分钟前进的距离，最后用桥长除以每分钟前进的距离可算得需要的时间。 【详解】70cm＝0.7m （分钟） 答：需要3分钟。 【例题】本月某小学开展了“聚力强军梦，喜迎二十大”，欢庆“六一”军事体验主题爱国主义教育活动，其中有一项射击项目如图，教官用9.42米长的彩绳靠墙角围了一个最大的靶场（如图所示），便于同学们射击，这个靶场的面积是多少平方米？ 【答案】28.26平方米 【分析】通过观察图形，该圆周长的是9.42米，据此可以求出该圆的周长，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，据此可以求出该圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出这个圆面积的即可。 【详解】9.42×4÷3.14÷2 ＝37.68÷3.14÷2 ＝12÷2 ＝6（米） 3.14×62÷4 ＝3.14×36÷4 ＝113.04÷4 ＝28.26（平方米） 答：这个靶场的面积是28.26平方米。 考点五：圆的面积 【例题】在一张长是13厘米、宽是5厘米的长方形硬纸片上剪一个最大的半圆。这个半圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 25.7 39.25 【分析】在长方形中剪一个最大的半圆，需要使半圆的直径尽可能大，但半圆的高度（即半径）不能超过长方形的宽。 长方形的长是13厘米，宽是5厘米。如果以宽为直径（5厘米），则半圆较小；因此以宽边为半径，半径为5厘米，直径为10厘米，这样半圆恰好包含在长方形内。 【详解】最大的半圆是以长方形的宽边为半径，半径为5厘米，直径为10厘米。 10＋3.14×5 ＝10＋15.7 ＝25.7（厘米） ×3.14×52 ＝1.57×25 ＝39.25（平方厘米） 这个半圆的周长是25.7厘米，面积是39.25平方厘米。 【例题】用圆规画一个直径为6厘米的圆，圆规两脚间的距离应取( )厘米，这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。（取3.14） 【答案】 3 18.84 28.26 【分析】根据圆的认识，用圆规画圆时，圆规两脚间的距离等于圆的半径。已知圆的直径，根据半径与直径的关系求出半径，根据圆的周长＝，圆的面积＝，代入数据解答即可。 【详解】6÷2＝3（厘米） 圆规两脚间的距离应取3厘米。 3.14×6＝18.84（厘米） 3.14×＝3.14×9＝28.26（平方厘米） 考点六：圆的面积的应用 【例题】学校开展庆“六一”游园活动需制作一些宣传标志，用一块长3米、宽0.8米的长方形纸板，做一种直径为4分米的圆形标志。 (1)最多能从长方形纸板中裁剪出多少个圆形标志？ (2)剩下的纸板还有多少平方分米？ 【答案】(1)14个 (2)64.16平方分米 【分析】首先需统一长度单位，将米换算成分米，以便与圆形直径单位一致； （1）计算圆形标志的数量时，不能直接用长方形面积除以圆的面积，因为圆形之间会有空隙，需要分别计算长方形的长和宽各能容纳多少个圆的直径，取整数部分相乘； （2）计算剩余面积时，用长方形纸板的总面积减去所有圆形标志的面积之和即可求解。 【详解】（1）3米＝30分米 0.8米＝8分米 30÷4＝7（个）……2（分米） 8÷4＝2（个） 7×2＝14（个） 答：最多能从长方形纸板中裁剪出14个圆形标志。 （2）30×8＝240（平方分米） 4÷2＝2（分米） ＝ ＝ ＝（平方分米） （平方分米） 答：剩下的纸板还有64.16平方分米。 【例题】一个圆锥形小麦堆的底面周长为12.56米，高3米，这个小麦堆的占地面积是多少平方米？如果每立方米小麦的质量为700千克，这堆小麦重多少千克？ 【答案】平方米；千克 【分析】先根据，算出半径，再根据，再根据，代入数据算出体积，再用体积乘算出小麦的质量即可。 【详解】 （米） （平方米） （立方米） （千克） 答：这个小麦堆的占地面积是平方米，这堆小麦重千克。 考点七：圆环的面积 【例题】公园里有一个圆形花池，它的半径是3米，花池的周围有一条1米宽的石子路（如下图）。这条石子路的面积是多少？ 【答案】21.98平方米 【分析】根据题意可知，求石子路的面积就是求圆环的面积；已知圆形花池是内圆，半径r是3米；花池的周围有一条1米宽的石子路，即外圆的半径是（3＋1）米；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算即可。 【详解】3＋1＝4（米） 3.14×（42－32） ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（平方米） 答：这条石子路的面积是21.98平方米。 【点睛】本题考查圆环面积的计算，分析出内圆和外圆的半径是解题的关键。 【例题】街心公园运来了一批用于装饰的中空石柱，石柱的半径是0.5m，内壁厚度是0.2m。一根石柱的横截面的面积是多少平方米？ 【答案】0.5024平方米 【分析】求石柱的横截面的面积就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式 S＝π（R－r）2，进行解答。 【详解】[0.52－（0.5－0.2）2] ×3.14 ＝[0.25－0.32] ×3.14 ＝[0.25－0.09] ×3.14 ＝0.16×3.14 ＝0.5024（平方米） 答：一根石柱的横截面的面积是0.5024平方米。 【点睛】掌握圆环的面积公式是解答此题的关键。 考点八：求最大面积 【例题】公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 【答案】7850平方米 【分析】根据圆的半径＝周长÷π÷2，圆的面积＝πr2，列式解答即可。 【详解】314÷3.14÷2＝50（米） （平方米） 答：这个摄像头的监控范围有7850平方米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。 【例题】用一根长的铁丝围成一个长方形，要求长方形的长和宽都是整厘米数，而且都是质数。围成的长方形的长和宽可能是多少？（写出符合要求的所有情况）这个长方形的面积最大是多少？ 【答案】围成的长方形的长和宽可能是和，和，和。面积最大： 【分析】是长方形的周长，所以长＋宽。接下来寻找两个质数的和等于24的情况。。据此分别进行计算可以知道，当长方形的长和宽分别为和时面积最大。 【详解】围成的长方形的长和宽可能是和，和，和。          答：这个长方形的面积最大是。 【点睛】本题需要我们理解质数的含义，并能够逐一地把长方形周长的一半24厘米拆成两个质数的和，最后可依据长和宽越接近，面积越大来解答。 考点九：含圆的组合图形的周长 【例题】计算阴影部分的周长。 （单位：厘米） 【答案】71.4厘米 【分析】阴影部分的周长由长方形两条长和一个完整圆的周长组合而成，长方形宽10厘米就是圆的直径，根据圆的周长公式C＝πd，π取3.14，分别求出线段总长与圆周长后相加即可求出阴影周长。 【详解】两条长的长度：20×2＝40（厘米） 圆的周长（直径10）：3.14×10＝31.4（厘米） 总周长：40＋31.4＝71.4（厘米） 【例题】下面图形的周长。 【答案】91.4cm 【分析】由图可知，正方形边长是20cm，直径是20cm，图形周长＝半圆弧长＋正方形3条边长，圆的周长，半圆弧长＝圆的周长÷2，据此解答。 【详解】3.14×20÷2＋20×3 ＝62.8÷2＋60 ＝31.4＋60 ＝91.4（cm） 图形的周长是91.4cm。 考点十：含圆的组合图形的面积 【例题】计算阴影部分的面积。 【答案】12.56cm2 【分析】阴影部分的面积大半圆的面积－小圆的面积。圆的面积公式是：，大半圆的直径为厘米，先求出大半圆的半径、小半圆的半径，代入数据，求出大半圆和小圆的面积，然后求差计算。 【详解】半圆的半径为：（厘米） 小圆的半径为：（厘米） （cm2） 所以阴影部分的面积是12.56cm2。 【例题】求阴影部分的面积。 【答案】18平方厘米 【分析】观察图形，把由此阴影部分移到左侧，阴影部分等于边长为6厘米的正方形的一半，根据“正方形的面积＝边长×边长”求出正方形的面积，再除以2即可解答。 【详解】6×6÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 考点十一：方中圆和圆中方的面积问题 【例题】求阴影部分的面积（单位：cm）。 【答案】 【分析】观察图形可知，圆的直径等于正方形的边长（10cm），阴影部分是正方形减去圆后剩余的部分。根据正方形面积＝边长×边长，求出正方形的面积；先由圆的直径÷2求出圆的半径，再根据圆的面积＝πr2（π取3.14）求出圆的面积；最后用正方形面积减去圆的面积，求出阴影部分面积。 【详解】正方形面积：10×10＝100（cm2） 圆的面积：3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 阴影部分的面积：100－78.5＝21.5（cm2） 所以阴影部分的面积是21.5 cm2。 【例题】求阴影部分面积。 【答案】7.74m2 【分析】由图可知：阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，正方形的边长等于圆的直径。将数据代入正方形的面积公式：S＝a2及圆的面积公式S＝πr2计算即可。 【详解】3×2＝6（m） 6×6－3.14×32 ＝36－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74（m2） 阴影部分的面积为7.74m2。 考点十二：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【例题】下图中的大圆直径是16厘米，你会计算涂色部分的面积吗？ 【答案】100.48平方厘米 【分析】根据平移的知识可知，把上面靠左的小半圆向下平移，与下面靠右的小半圆拼成一个以大圆的半径为直径的圆，把下面左面的小半圆向右平移与上面靠右的小半圆组成一个以大圆的半径为直径的圆，同圆或等圆中，直径是半径的2倍，据此用16除以2求出小圆的直径，再除以2求出小圆的半径，根据圆的面积＝×半径的平方解答。 【详解】16÷2÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 3.14××2 ＝3.14×16×2 ＝50.24×2 ＝100.48（平方厘米） 【例题】计算阴影部分的面积（单位：cm）。 【答案】72cm2 【分析】 如图所示，把左上方和右上方的阴影部分转化到下面的小扇形中，则阴影部分的面积等于内部的红色小正方形的面积，则阴影部分的面积等于这个大正方形的面积的一半，据此计算即可解答问题。 【详解】（6＋6）×（6＋6）÷2 ＝12×12÷2 ＝144÷2 ＝72（cm2） 阴影部分的面积是72cm2。 考点十三：扇形的周长和面积 【例题】计算下面阴影部分的面积（单位：cm）。 【答案】20.52 【分析】把正方形沿对角线切开，将整个阴影部分平均分成两份；根据圆的面积（取3.14，为半径，即正方形边长）求得圆的面积；再根据扇形面积圆的面积，三角形面积底高2，每一份阴影面积扇形面积减去直角边都为6的直角三角形面积，每一份阴影面积乘2即可求出整个阴影部分的面积。 【详解】根据题干信息及分析可知：正方形边长为6； 圆的面积： （） 扇形面积为：（）； 三角形面积为： （）； 每一份阴影面积为：（）； 所以整个阴影面积为：（） 【例题】求出下图中涂色部分的面积。（值取3.14） 【答案】50.24cm2 【分析】将右下角的涂色三角形补到正方形的右上角可以拼成完整的的圆形，半径＝正方形边长，据此计算的圆形面积即可。 【详解】涂色部分面积＝πr2 ＝×3.14×82 ＝0.785×64 ＝50.24（cm2） 涂色部分的面积为50.24cm2。 综合训练 1．圆的半径由4cm减少到3cm，圆的面积减少了（    ）cm2。 A．21.98 B．3.14 C．31.4 D．6.28 【答案】A 【分析】减少的面积是半径为4cm的圆面积减去半径为3cm的圆面积，根据圆环面积公式S＝π（R2－r2），π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】3.14×（42－32） ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（cm2） 圆的面积减少了21.98cm2。 2．用两根都是16厘米的铁丝分别围成一个圆和一个正方形，这两个图形的面积相比（    ）。 A．圆的面积大 B．正方形的面积大 C．一样大 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据题意，用两根长16厘米的铁丝分别围成一个圆和一个正方形，那么铁丝的长度等于圆的周长和正方形的周长。 根据正方形的边长＝周长÷4，正方形的面积＝边长×边长，求出正方形的面积； 根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆的半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； 最后比较正方形和圆的面积，得出结论。 【详解】正方形的边长：16÷4＝4（cm） 正方形的面积：4×4＝16（cm2） 圆的半径：16÷3.14÷2≈2.5（cm） 圆的面积： 3.14×2.52 ＝3.14×6.25 ＝19.625（cm2） 因为19.625＞16，所以圆的面积大。 3．大圆半径是小圆直径，大圆面积与小圆面积的比是（    ）。 A．4∶1 B．1∶4 C．2∶1 D．1∶2 【答案】A 【分析】已知大圆半径等于小圆直径，即大圆半径是小圆半径的2倍。根据圆的面积公式 ，圆的面积比等于半径平方比，据此计算出大圆面积与小圆面积的比，再与选项对照即可。 【详解】大圆半径是小圆直径。 大圆和小圆的半径比：2∶1 大圆和小圆的面积比：22∶12＝4∶1 大圆面积与小圆面积的比是4∶1。 4．在一个长8厘米、宽6厘米的长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的半径是（    ）。 A．3厘米 B．4厘米 C．6厘米 D．8厘米 【答案】B 【分析】在一个长8厘米、宽6厘米的长方形中画一个最大的半圆，半圆的直径以长方形的长边画图；半径是直径的一半，据此解答。 【详解】（厘米） 因此，在一个长8厘米、宽6厘米的长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的半径是4厘米。 故选：B。 5．如图，乐乐家有一个用篱笆围成的半圆形养鸡场，一面靠墙。如果这个半圆的半径为6m，那么篱笆长（    ）m。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】篱笆的长度相当于圆周长的一半。根据圆的周长公式C＝2πr，算出圆的周长，再除以2即可。 【详解】2×6×π÷2＝6π（m） 所以，篱笆长6πm。 故答案为：A 6．软木画又称“木画”，是国家非物质文化遗产之一。一幅软木画，其框架如图，已知圆的面积是，则下列说法正确的是（    ）。 A．正方形的边长是圆的直径 B．正方形的面积和圆的面积的比是 C．正方形的面积是 D．圆与正方形的面积差为 【答案】C 【分析】已知圆的面积是25πdm2，根据圆的面积公式为S＝πr2，可求出r2＝25，进而得到半径r＝ 5dm，直径d＝10dm。观察框架图中正方形与圆的位置关系，正方形的对角线等于圆的直径，即可判断A选项；正方形的对角线等于圆的直径，根据“正方形面积＝对角线×对角线÷2”，计算出正方形面积，即可判断C选项；用正方形的面积∶圆的面积即可判断B选项；用圆的面积减去正方形的面积求差，即可判断D选项。据此解答。 【详解】A．观察框架图中正方形与圆的位置关系，正方形的对角线等于圆的直径，而非边长等于直径，A选项错误。 B．50∶25π ＝（50÷25）∶（25π÷25） ＝2∶π B选项错误。 C．10×10÷2 ＝100÷2 ＝50（dm2） C选项正确。 D．25π－50＝25（π－2） 25（π－2）≠（25π－2） D选项错误。 故答案为：C 7．下面甲、乙两图中的两个圆的直径都是10cm，两图中涂色部分的面积相比，( )图的面积较大，大( )cm2。（π取3.14） 【答案】 乙 7 【分析】由图可知，甲图的涂色面积＝正方形面积－圆的面积，乙图的涂色面积＝圆的面积－正方形的面积；甲图是外方内圆，圆的直径等于正方形边长；乙图是外圆内方，圆的直径等于正方形对角线，乙图中正方形的面积可以看成两个底为10cm，高为（10÷2）cm的三角形面积之和。根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，三角形面积＝底×高÷2，据此分别计算甲乙的涂色部分面积，再比较大小解答。 【详解】甲图涂色部分的面积是：102－3.14×（10÷2）2 ＝100－3.14×52 ＝100－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 乙图涂色部分的面积是：3.14×（10÷2）2－10×（10÷2）÷2×2 ＝3.14×52－10×5÷2×2 ＝3.14×25－50÷2×2 ＝78.5－25×2 ＝78.5－50 ＝28.5（cm2） 21.5＜28.5 28.5－21.5＝7（cm2） 所以乙图的面积较大，大7cm2。 8．江海区郊外修建半径为125m圆形生态防护林带，圆形防护林带的总长是( )米，沿边缘每隔5米栽一棵松树，一共能栽( )棵。（π取3.14） 【答案】 785 157 【分析】已知圆的半径，根据公式C＝2πr可求出周长（即防护林带总长）。在封闭路线上植树，棵数等于间隔数，用总长除以间隔长度即可求出棵数。 【详解】防护林带的总长： 2×3.14×125 ＝6.28×125 ＝785（米） 一共能栽松树的棵数： 785÷5＝157（棵） 9．用一块长18.84分米、宽6分米的长方形铁皮做一个圆柱形水桶的侧面，要使这个水桶的底面最大，那么底面积应是( )平方分米。 【答案】28.26 【分析】圆柱侧面由长方形铁皮围成，要让水桶底面积最大，需要让底面圆的周长尽可能大，圆的周长越大，对应的半径就越大，底面积也就越大；圆的周长＝（取3.14，r是半径），圆的面积＝（取3.14，r是半径）。 【详解】选择长方形更长的边18.84分米作为圆柱底面的周长，这样得到的底面圆尺寸更大。 18.84÷3.14＝6（分米），6÷2＝3（分米） 3.14× ＝3.14×9 ＝28.26（平方分米） 10．如果大圆的半径是小圆半径的3倍，那么大圆与小圆的周长比是( )，面积之比是( )。 【答案】 3∶1 9∶1 【分析】圆的周长公式是C＝2πr，周长与半径成正比；圆的面积公式是S＝πr2，面积与半径的平方成正比。已知大圆半径是小圆的3倍，直接利用这个比例关系求周长比和面积比。 【详解】大圆半径是小圆的3倍，大圆与小圆的周长比是3∶1。 面积之比：32∶1＝9∶1 11．在自行车早期发展过程中出现过一种高轮自行车（如图）。前轮和后轮的直径比是( )。骑行时，同一时间内前轮和后轮行驶的路程相等。若前轮转动了40圈，那么后轮转动( )圈。 【答案】 19∶8 95 【分析】先统一单位，将0.76m化成cm，求出前后轮的直径比，根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，化简比。 根据圆的周长公式，路程＝轮子一圈的周长×转动圈数，求出前轮转动40圈所行驶的路程，因为同一时间内前轮和后轮行驶的路程相等，用前轮转动40圈所行驶的路程除以后轮的周长即可求出后轮转动的圈数。 【详解】1m＝100cm 0.76×100＝76（cm） 76∶32＝（76÷4）∶（32÷4）＝19∶8 前轮和后轮的直径比是19∶8。 前轮转40圈行驶的路程：＝（cm） ＝95（圈） 若前轮转动了40圈，那么后轮转动95圈。 12．如图，把一个底面半径是2厘米、高是6厘米的圆柱切拼成一个近似的长方体，拼成的长方体的长是( )厘米，它的表面积比圆柱增加了( )平方厘米。 【答案】 6.28 24 【分析】把圆柱切拼成近似长方体，长方体的长等于圆柱底面周长的一半，根据圆的周长公式C＝2πr计算底面周长的一半。切拼后表面积增加了两个以圆柱的高为长、底面半径为宽的长方形的面积，根据长方形面积公式S＝ab计算两个长方形的面积和。 【详解】计算长方体的长： 2×3.14×2÷2 ＝6.28×2÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（厘米） 计算表面积增加的部分： 2×6×2 ＝12×2 ＝24（平方厘米） 13．一个圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高扩大到原来的2倍，则底面周长扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 3 18 【分析】圆的周长与半径成正比例关系，半径扩大的倍数与周长扩大的倍数相同；圆锥的体积与底面半径的平方成正比，与高成正比，体积扩大的倍数等于半径扩大倍数的平方乘高扩大的倍数。 【详解】计算底面周长扩大的倍数： 原来的底面周长：2πr 现在的底面周长：2π×3r＝6πr 6πr÷2πr＝3 计算体积扩大的倍数： 原来的体积：πr²h 现在的体积：π×（3r）2×（2h） ＝π×9r2×2h ＝6πr2h 6πr2h÷πr2h＝18 底面周长扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的18倍。 14．一根长3分米的圆柱形木料，横截面直径是10厘米，把它锯成3个小圆柱，增加了( )个面，增加部分的面积是( )平方厘米。 【答案】 4 314 【分析】锯一次会增加2个截面，锯成3个小圆柱需要锯3－1＝2次，共增加2×2＝4个截面。每个截面都是一个直径为10厘米的圆，圆的面积＝。用每个截面的面积×增加的面的个数。 【详解】（3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） ＝ ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 78.5×4＝314（平方厘米） 15．有一根底面直径是6dm、长是10dm的圆柱形木料。若将其截成2段（如图①），则表面积会增加( )；若沿底面直径和高将其截成两部分（如图②），则表面积会增加( )。 【答案】 56.52 120 【分析】如图①截成2段，表面积会增加2个底面的面积之和。圆的面积S＝πr2； 如图②截成两部分，表面积会增加2个长方形的面积之和。长方形的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的直径。长方形的面积＝长×宽。 【详解】6÷2＝3（dm） 如图①表面积会增加：3.14×32×2＝3.14×9×2＝56.52（dm2） 如图②表面积会增加：10×6×2＝120（dm2） 16．如下图，有一种酒瓶的直径是5cm，大小相同的酒瓶捆扎在一起（接头处不计），第n组至少需要( )cm长的绳子。（结果保留） 【答案】（5π＋20n）/（20n＋5π） 【分析】第①组需要的绳子长度＝1个圆的周长＋1个圆的直径×（1×4）；第②组需要的绳子长度＝1个圆的周长＋1个圆的直径×（2×4）；第③组需要的绳子长度＝1个圆的周长＋1个圆的直径×（3×4）……由此可知，绳子长度＝1个圆的周长＋1个圆的直径×（第几组就用几×4）。圆的周长＝圆周率×直径。 【详解】π×5＋5×（n×4）＝（5π＋20n）cm 17．计算如图形的阴影部分面积。 【答案】1.14 【分析】观察图可知，阴影部分的面积＝圆的面积的－三角形的面积，根据圆面积公式：S＝πr2，三角形的面积公式：三角形的面积＝底×高÷2，用3.14×22×－2×2÷2即可求出阴影部分的面积。 【详解】3.14×22×－2×2÷2 ＝3.14×4×－2×2÷2 ＝3.14－2 ＝1.14 阴影部分的面积是1.14。 18．计算下图阴影部分的面积（单位：厘米）。 【答案】15.7平方厘米；20.52平方厘米 【分析】由图可知，阴影部分是一个环形，先表示出大圆的半径，再利用“”求出阴影部分的面积；空白部分是一个等腰直角三角形，利用“三角形的面积＝底×高÷2”表示出空白部分的面积，阴影部分的面积＝半圆的面积－空白部分的面积，据此解答。 【详解】3.14×[（6÷2）2－22] ＝3.14×[32－22] ＝3.14×5 ＝15.7（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是15.7平方厘米。 3.14×（12÷2）2÷2－12×（12÷2）÷2 ＝3.14×62÷2－12×6÷2 ＝113.04÷2－72÷2 ＝56.52－36 ＝20.52（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是20.52平方厘米。 19．一堆沙子，测得高30分米，底面周长12.56米。如果每立方米沙子重1500千克，这堆沙子共重多少吨？ 【答案】 18.84 吨 【分析】将“一堆沙子”视为圆锥体。解题关键在于统一单位，将高由分米换算为米。接着利用圆的周长公式求出底面半径，再根据圆锥体积公式求出体积。最后根据“总重量＝体积×每立方米重量”计算总重，并将结果换算为吨。 【详解】30分米＝3米 底面半径： （米） 沙子体积： （立方米） 沙子总重量： （千克） 18840千克＝18.84吨 答：这堆沙子共重18.84吨。 20．一个圆锥形粮囤，底面周长是12.56米，高是3米。如果每立方米粮食重0.75吨，这个粮囤能装粮食多少吨？ 【答案】9.42吨 【分析】根据题意，粮囤形状为圆锥，要求能装粮食多少吨，需先求出粮囤的容积（即圆锥的体积）。已知底面周长，可先根据公式求出底面半径，再利用圆锥体积公式求出体积，最后用体积乘每立方米粮食的质量即可得到总质量。 【详解】底面半径： （米） 粮囤体积： （立方米） 粮食总质量：（吨） 答：这个粮囤能装粮食9.42吨。 21．画圆的方法有很多种，除了用圆规画圆外，还可以用其他材料画圆，请你列举两种画圆的方法，并说明这两种画圆的方法和圆规画圆有什么共同的地方？ 【答案】①用一根线和一支笔，把线的一端固定住，另一端系在笔上，然后拉直，用笔绕着固定的一端画一圈，就画成圆了。 ②用圆形物体，如瓶盖，按住瓶盖在纸上描一圈，就画出圆了。 所有画圆的方法都围绕“固定圆心”和“半径不变”这两点展开，也就是圆的定义的体现。 【分析】根据圆的特征：圆心到圆上任意一点的距离相等；据此列举两种画圆方法：①用一根线和一支笔画圆；②用圆形物体画圆（答案不唯一）。 根据两种圆的画法以及圆规画圆法，找出共同点。 【详解】略 22．某公园正在规划绿化区域和便民休息场所的用地，设计了两种方案（如图），东东说：方案B的绿化面积更大。你同意吗？请写出你的思考过程。 【答案】不同意；思考过程见详解 【分析】方案A的绿化面积用半径为（8＋2＋2）÷2＝6m的大半圆面积减去半径为8÷2＝4m的小半圆面积；方案B的绿化面积用半径为12m的半圆面积减去两个半径为2m的圆的面积，然后用A方案的面积与B方案的面积对比即可。 【详解】A方案： 8＋2＋2＝12（） [－]×3.14÷2 ＝[－]×3.14÷2 ＝[36－16]×3.14÷2 ＝20×3.14÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（） B方案： ×3.14÷2－×3.14×2 ＝×3.14÷2－×3.14×2 ＝36×3.14÷2－8×3.14 ＝3.14×（36÷2－8） ＝3.14×（18－8） ＝3.14×10 ＝31.4（） 31.4＝31.4 答：不同意，两种方案面积一样大。 23．一个木桶，从里面量，桶口直径是50厘米，桶壁厚5厘米（如图）。要制作一个桶盖，使它正好盖住桶口的外沿，这个桶盖的面积是多少平方厘米？ 【答案】2826平方厘米 【分析】已知桶口内直径是50厘米，桶壁厚度是5厘米，桶盖要盖住桶口外沿，外沿的直径需要包含两侧的桶壁厚度，即外沿直径＝内直径＋2×桶壁厚，代入数值，求出桶口外沿的直径。再根据半径＝直径÷2，求出桶口外沿的半径。最后根据圆的面积公式：S＝πr2（π取3.14），代入半径数值，即可求出这个桶盖的面积。据此解答。 【详解】50＋5×2 ＝50＋10 ＝60（厘米） 60÷2＝30（厘米） 3.14×302 ＝3.14×900 ＝2826（平方厘米） 答：这个桶盖的面积是2826平方厘米。 24．阳光小区准备在周长是25.12米的花坛（如图）外围铺一条宽2米的环形小路（阴影部分），如果每平方米需要水泥16千克，铺好这条小路一共需要多少千克水泥？ 【答案】1004.8千克 【分析】根据圆的周长，则（π取3.14），所以用25.12÷3.14÷2即可算出内圆（花坛）的半径是4米；再根据环形小路宽2米，则图中外圆的半径为4＋2＝6米；圆的面积，代入数据计算，用外圆的面积－内圆的面积，即为小路的面积。最后用小路的面积×16即可解题。 【详解】花坛的半径：25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 4＋2＝6（米） 3.14×－3.14× ＝3.14×6×6－3.14×4×4 ＝3.14×36－3.14×16 ＝113.04－50.24 ＝62.8（平方米） 62.8×16＝1004.8（千克） 答：铺好这条小路一共需要1004.8千克水泥。 25．折扇又名“撒扇”、“纸扇”等，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子。如图是一把由“竹木和绫绢”组成的折扇，做这样一把折扇面至少需要绫绢面料多少平方厘米？ 【答案】282.6平方厘米 【分析】从图中可知，大半圆的直径是10＋8＋10＝28厘米，则半径是28÷2＝14厘米；小半圆的直径是8厘米，则半径是8÷2＝4厘米； 求折扇面至少需要绫绢面料的面积，就是求半圆环的面积，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），求出圆环的面积，再除以2即可求解。 【详解】（10＋8＋10）÷2 ＝28÷2 ＝14（厘米） 8÷2＝4（厘米） 3.14×（142－42）÷2 ＝3.14×（196－16）÷2 ＝3.14×180÷2 ＝282.6（平方厘米） 答：做这样一把折扇面至少需要绫绢面料282.6平方厘米。 26．如图，学校运动场由一个正方形和两个半圆组成。（π取3.14） （1）小明绕运动场周边跑了5圈，一共跑了多少米？ （2）运动场的面积是多少平方米？ 【答案】（1）1028米 （2）2856平方米 【分析】（1）观察可知，圆的直径＝正方形的边长，两个半圆可以拼成一个完整的圆，运动场的周长＝圆的周长＋正方形的边长×2，圆的周长＝圆周率×直径，据此求出运动场的周长，乘5即可。 （2）运动场的面积＝圆的面积＋正方形面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方，正方形面积＝边长×边长，据此列式解答。 【详解】（1）3.14×40＋40×2 ＝125.6＋80 ＝205.6（米） 205.6×5＝1028（米） 答：一共跑了1028米。 （2）3.14×（40÷2）2＋40×40 ＝3.14×202＋1600 ＝3.14×400＋1600 ＝1256＋1600 ＝2856（平方米） 答：运动场的面积是2856平方米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 圆 单元培优讲义 目录 知识梳理 2 一、单元核心概述 2 二、圆的认识 3 1. 圆的定义与基本特征 3 2. 圆的各部分名称 3 3. 半径与直径的关系 3 4. 圆的画法（圆规画圆） 3 5. 圆的对称性 3 6. 拓展性质 3 三、圆的周长 4 1. 周长的定义 4 2. 圆周率的意义 4 3. 周长计算公式与变形 4 4. 半圆的周长（高频易错考点） 4 5. 周长的变化规律 4 6. 测量方法（化曲为直思想） 4 四、圆的面积 5 1. 面积的定义 5 2. 面积推导（化圆为方思想） 5 3. 面积计算公式与变形 5 4. 半圆的面积 5 5. 圆环的面积 5 6. 面积的变化规律 5 五、扇形的初步认识 6 1. 扇形的定义 6 2. 扇形各部分名称 6 3. 扇形大小的决定因素 6 4. 扇形的性质 6 六、组合图形与实际应用 6 1. 经典组合图形：外方内圆与外圆内方 6 2. 阴影面积常用计算方法 7 3. 常见实际应用场景 7 七、常用计算速记与解题技巧 7 1. 常用 π 的倍数（计算提速必备） 7 2. 通用解题步骤 7 八、高频易错点汇总 7 考点讲练 8 考点一：认识圆和扇形 8 考点二：圆的周长 8 考点三：半圆的周长 8 考点四：圆的周长的应用 9 考点五：圆的面积 9 考点六：圆的面积的应用 10 考点七：圆环的面积 10 考点八：求最大面积 11 考点九：含圆的组合图形的周长 12 考点十：含圆的组合图形的面积 13 考点十一：方中圆和圆中方的面积问题 13 考点十二：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 14 考点十三：扇形的周长和面积 15 综合训练 15 知识梳理 一、单元核心概述 本单元是小学阶段平面几何从直线图形向曲线图形的重要过渡，核心内容包括圆的基本认识、圆的周长、圆的面积、扇形初步认识与组合图形计算。单元贯穿 “化曲为直、化圆为方” 的转化数学思想，是在长方形、正方形周长与面积基础上的拓展延伸，也是后续学习圆柱、圆锥等立体几何的必备基础，是六年级上册的核心计算与几何考点单元。 二、圆的认识 1. 圆的定义与基本特征 圆是平面内由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 与直线图形的区别：长方形、正方形等由线段围成，圆由曲线围成，没有顶点和直边。 核心本质：一中同长—— 一个固定的圆心，所有点到圆心的长度都相等。 2. 圆的各部分名称 圆心：圆中心的一点，用字母表示，决定圆的位置。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母表示，决定圆的大小。 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段，用字母表示，是圆内最长的线段。 3. 半径与直径的关系 前提：在同一个圆（或大小相等的等圆）中 圆有无数条半径，所有半径的长度都相等；有无数条直径，所有直径的长度都相等。 直径长度是半径的 2 倍，半径是直径的 公式： ； 4. 圆的画法（圆规画圆） 画圆的核心是确定圆心和半径，步骤为： 定半径：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径长度） 定圆心：把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心） 画圆周：把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆 5. 圆的对称性 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。 圆有无数条对称轴，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 易错提醒：对称轴是直线，不是直径本身（直径是线段）。 6. 拓展性质 圆心确定圆的位置，半径（或直径）确定圆的大小。 圆内最长的线段是直径；两端都在圆上的线段，直径最长。 三、圆的周长 1. 周长的定义 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母表示。 2. 圆周率的意义 定义：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，叫做圆周率，用希腊字母（pài）表示。 性质：圆周率是一个无限不循环小数，，实际计算中通常取近似值。 易错提醒：圆周率是固定不变的常数，和圆的大小无关，所有圆的圆周率都相等；，3.14 只是近似值。 3. 周长计算公式与变形 根据圆周率的定义推导：，因此 已知直径求周长： 已知半径求周长： 公式反向变形： 已知周长求直径： 已知周长求半径： 4. 半圆的周长（高频易错考点） 半圆的周长不是圆周长的一半，而是圆周长的一半 + 1 条直径（或 2 条半径）。 公式： 例：半径为 4cm 的半圆，周长 =cm 5. 周长的变化规律 在同一个圆中： 半径扩大到原来的倍，直径、周长也同时扩大到原来的倍。 半径缩小到原来的，直径、周长也同时缩小到原来的。 例：半径扩大 3 倍，直径扩大 3 倍，周长扩大 3 倍。 6. 测量方法（化曲为直思想） 圆的周长无法用直尺直接测量，常用两种方法转化测量： 滚动法：让圆沿直线滚动一周，测量滚动的长度 绕绳法：用绳子绕圆一周，测量绳子的长度 四、圆的面积 1. 面积的定义 圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母表示。 2. 面积推导（化圆为方思想） 把圆平均分成若干偶数等份，剪开后可以拼成一个近似的长方形；分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 拼成的长方形的长 = 圆周长的一半 = 拼成的长方形的宽 = 圆的半径 = 长方形面积 = 长 × 宽，因此圆的面积 = 3. 面积计算公式与变形 已知半径求面积：（核心公式） 已知直径求面积：先算半径，再代入公式 已知周长求面积：先算半径，再代入公式 4. 半圆的面积 半圆的面积就是对应圆面积的一半，公式： 5. 圆环的面积 两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环（环形），外圆半径用表示，内圆半径用表示。 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积 公式： 易错提醒：是半径的平方差，不是半径差的平方，即 6. 面积的变化规律 在同一个圆中： 半径扩大到原来的倍，面积扩大到原来的倍。 半径缩小到原来的，面积缩小到原来的。 例：半径扩大 3 倍，面积扩大倍。 五、扇形的初步认识 1. 扇形的定义 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，扇形是圆的一部分。 2. 扇形各部分名称 弧：圆上两点之间的部分叫做弧，读作 “弧 AB”。 圆心角：顶点在圆心，两条边是半径的角叫做圆心角。 3. 扇形大小的决定因素 在同一个圆（或等圆）中，扇形的大小由圆心角的大小决定：圆心角越大，扇形越大；圆心角越小，扇形越小。 圆心角不同、半径不同的扇形，大小由圆心角和半径共同决定。 4. 扇形的性质 扇形是轴对称图形，只有 1 条对称轴（经过圆心和弧中点的直线）。 特殊扇形： 圆心角为 180° 的扇形 = 半圆 圆心角为 90° 的扇形 = 四分之一圆 易错提醒：圆心角的顶点必须在圆心，顶点在圆上的角不是圆心角。 六、组合图形与实际应用 1. 经典组合图形：外方内圆与外圆内方 （1）外方内圆（正方形内画最大的圆） 正方形的边长 = 圆的直径 = 正方形面积 - 圆的面积 = 阴影部分面积 公式： （2）外圆内方（圆内画最大的正方形） 圆的直径 = 正方形的对角线 = 正方形面积 = 对角线 × 对角线 ÷2 = 圆的面积 - 正方形面积 = 阴影部分面积 公式： 2. 阴影面积常用计算方法 整体减空白法：用整体图形的面积减去空白部分的面积，得到阴影面积 割补平移法：将不规则的阴影部分切割、平移，拼成规则图形（如半圆、长方形）再计算 相加法：将阴影部分拆分为多个规则图形，分别计算面积后相加 3. 常见实际应用场景 圆形花坛、圆形水池的围栏（周长）与占地面积（面积）、环形跑道、圆形井盖、钟表指针扫过的面积与针尖走过的路程等。 七、常用计算速记与解题技巧 1. 常用 π 的倍数（计算提速必备） 算式 结果 算式 结果 3.14 18.84 6.28 21.98 9.42 25.12 12.56 28.26 15.7 31.4 50.24 78.5 113.04 200.96 2. 通用解题步骤 无论是求周长还是面积，优先找到圆的半径，半径是解决圆相关问题的核心量。 求周长类问题，先判断是整圆、半圆还是组合曲线，不要漏加直线段。 求面积类问题，先判断是整圆、圆环还是组合图形，优先转化为规则图形计算。 计算前统一单位，结果注意区分长度单位（cm、dm、m）和面积单位（cm²、dm²、m²）。 八、高频易错点汇总 概念前提遗漏：判断题中忽略 “同一个圆 / 等圆” 的前提，直接说 “直径是半径的 2 倍”，表述错误。 圆周率认知错误：误认为 “大圆的圆周率大，小圆的圆周率小”，或认为，实际圆周率是固定常数，3.14 只是近似值。 半圆周长漏直径：计算半圆周长时只算圆周长的一半，忘记加上直径，是最高频易错点。 圆环面积公式误用：错误使用，正确公式为。 对称轴概念混淆：误认为 “圆的对称轴是直径”，正确表述为 “圆的对称轴是直径所在的直线”。 变化规律混淆：混淆周长和面积的变化规律，半径扩大 n 倍，周长扩大 n 倍，面积扩大 n² 倍。 单位概念混淆：周长和面积单位不同，无法比较大小，如 “半径 2cm 的圆，周长和面积相等” 是错误表述。 圆心角判断错误：顶点不在圆心的角误认为是圆心角，导致扇形大小判断错误。 考点讲练 考点一：认识圆和扇形 【例题】用两个大小不同的圆组成的所有图形中，对称轴最少有( )条，最多有( )条。 【例题】把一张圆形纸片连续对折3次，得到的扇形圆心角是( )°，这个扇形面积是整个圆的( )%。 考点二：圆的周长 【例题】将一个长8分米、宽2分米的长方形纸片卷成一个圆柱形纸筒，这个圆柱形纸筒的侧面积是( )平方分米。如果用较长一边做底面周长，则计算底面直径的算式是( )。 【例题】我们下午放学时间是5：30，用24时计时法记作( )，此时钟面上时针和分针的夹角是( )角；6：00到家，此刻分针和时针所成角的度数是( )度；如果这个挂钟的分针长10厘米，在放学到回家这段时间内，分针尖端走了( )厘米。 考点三：半圆的周长 【例题】运用数学中转化的思想方法，把下图中的半圆分成若干等份，剪开后拼成一个近似的长方形，这两个图形的周长( )，面积( )。（填“相等”或“不相等”） 【例题】如下图，量角器从位置①沿着刻度尺向右滚动一周到位置②，量角器的半径是( )厘米，这个量角器的一个面的面积是( )平方厘米。 考点四：圆的周长的应用 【例题】赵阿姨响应“低碳生活、绿色出行”的号召，她每天骑自行车上班。自行车轮胎的外直径是70cm，平均每分钟转100周。赵阿姨骑自行车通过一座长659.4m的桥，需要多少分钟？ 【例题】本月某小学开展了“聚力强军梦，喜迎二十大”，欢庆“六一”军事体验主题爱国主义教育活动，其中有一项射击项目如图，教官用9.42米长的彩绳靠墙角围了一个最大的靶场（如图所示），便于同学们射击，这个靶场的面积是多少平方米？ 考点五：圆的面积 【例题】在一张长是13厘米、宽是5厘米的长方形硬纸片上剪一个最大的半圆。这个半圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【例题】用圆规画一个直径为6厘米的圆，圆规两脚间的距离应取( )厘米，这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。（取3.14） 考点六：圆的面积的应用 【例题】学校开展庆“六一”游园活动需制作一些宣传标志，用一块长3米、宽0.8米的长方形纸板，做一种直径为4分米的圆形标志。 (1)最多能从长方形纸板中裁剪出多少个圆形标志？ (2)剩下的纸板还有多少平方分米？ 【例题】一个圆锥形小麦堆的底面周长为12.56米，高3米，这个小麦堆的占地面积是多少平方米？如果每立方米小麦的质量为700千克，这堆小麦重多少千克？ 考点七：圆环的面积 【例题】公园里有一个圆形花池，它的半径是3米，花池的周围有一条1米宽的石子路（如下图）。这条石子路的面积是多少？ 【例题】街心公园运来了一批用于装饰的中空石柱，石柱的半径是0.5m，内壁厚度是0.2m。一根石柱的横截面的面积是多少平方米？ 考点八：求最大面积 【例题】公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 【例题】用一根长的铁丝围成一个长方形，要求长方形的长和宽都是整厘米数，而且都是质数。围成的长方形的长和宽可能是多少？（写出符合要求的所有情况）这个长方形的面积最大是多少？ 考点九：含圆的组合图形的周长 【例题】计算阴影部分的周长。 （单位：厘米） 【例题】下面图形的周长。 考点十：含圆的组合图形的面积 【例题】计算阴影部分的面积。 【例题】求阴影部分的面积。 考点十一：方中圆和圆中方的面积问题 【例题】求阴影部分的面积（单位：cm）。 【例题】求阴影部分面积。 考点十二：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【例题】下图中的大圆直径是16厘米，你会计算涂色部分的面积吗？ 【例题】计算阴影部分的面积（单位：cm）。 考点十三：扇形的周长和面积 【例题】计算下面阴影部分的面积（单位：cm）。 【例题】求出下图中涂色部分的面积。（值取3.14） 综合训练 1．圆的半径由4cm减少到3cm，圆的面积减少了（    ）cm2。 A．21.98 B．3.14 C．31.4 D．6.28 2．用两根都是16厘米的铁丝分别围成一个圆和一个正方形，这两个图形的面积相比（    ）。 A．圆的面积大 B．正方形的面积大 C．一样大 D．无法判断 3．大圆半径是小圆直径，大圆面积与小圆面积的比是（    ）。 A．4∶1 B．1∶4 C．2∶1 D．1∶2 4．在一个长8厘米、宽6厘米的长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的半径是（    ）。 A．3厘米 B．4厘米 C．6厘米 D．8厘米 5．如图，乐乐家有一个用篱笆围成的半圆形养鸡场，一面靠墙。如果这个半圆的半径为6m，那么篱笆长（    ）m。 A． B． C． D． 6．软木画又称“木画”，是国家非物质文化遗产之一。一幅软木画，其框架如图，已知圆的面积是，则下列说法正确的是（    ）。 A．正方形的边长是圆的直径 B．正方形的面积和圆的面积的比是 C．正方形的面积是 D．圆与正方形的面积差为 7．下面甲、乙两图中的两个圆的直径都是10cm，两图中涂色部分的面积相比，( )图的面积较大，大( )cm2。（π取3.14） 8．江海区郊外修建半径为125m圆形生态防护林带，圆形防护林带的总长是( )米，沿边缘每隔5米栽一棵松树，一共能栽( )棵。（π取3.14） 9．用一块长18.84分米、宽6分米的长方形铁皮做一个圆柱形水桶的侧面，要使这个水桶的底面最大，那么底面积应是( )平方分米。 10．如果大圆的半径是小圆半径的3倍，那么大圆与小圆的周长比是( )，面积之比是( )。 11．在自行车早期发展过程中出现过一种高轮自行车（如图）。前轮和后轮的直径比是( )。骑行时，同一时间内前轮和后轮行驶的路程相等。若前轮转动了40圈，那么后轮转动( )圈。 12．如图，把一个底面半径是2厘米、高是6厘米的圆柱切拼成一个近似的长方体，拼成的长方体的长是( )厘米，它的表面积比圆柱增加了( )平方厘米。 13．一个圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高扩大到原来的2倍，则底面周长扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 14．一根长3分米的圆柱形木料，横截面直径是10厘米，把它锯成3个小圆柱，增加了( )个面，增加部分的面积是( )平方厘米。 15．有一根底面直径是6dm、长是10dm的圆柱形木料。若将其截成2段（如图①），则表面积会增加( )；若沿底面直径和高将其截成两部分（如图②），则表面积会增加( )。 16．如下图，有一种酒瓶的直径是5cm，大小相同的酒瓶捆扎在一起（接头处不计），第n组至少需要( )cm长的绳子。（结果保留） 17．计算如图形的阴影部分面积。 18．计算下图阴影部分的面积（单位：厘米）。 19．一堆沙子，测得高30分米，底面周长12.56米。如果每立方米沙子重1500千克，这堆沙子共重多少吨？ 20．一个圆锥形粮囤，底面周长是12.56米，高是3米。如果每立方米粮食重0.75吨，这个粮囤能装粮食多少吨？ 21．画圆的方法有很多种，除了用圆规画圆外，还可以用其他材料画圆，请你列举两种画圆的方法，并说明这两种画圆的方法和圆规画圆有什么共同的地方？ 22．某公园正在规划绿化区域和便民休息场所的用地，设计了两种方案（如图），东东说：方案B的绿化面积更大。你同意吗？请写出你的思考过程。 23．一个木桶，从里面量，桶口直径是50厘米，桶壁厚5厘米（如图）。要制作一个桶盖，使它正好盖住桶口的外沿，这个桶盖的面积是多少平方厘米？ 24．阳光小区准备在周长是25.12米的花坛（如图）外围铺一条宽2米的环形小路（阴影部分），如果每平方米需要水泥16千克，铺好这条小路一共需要多少千克水泥？ 25．折扇又名“撒扇”、“纸扇”等，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子。如图是一把由“竹木和绫绢”组成的折扇，做这样一把折扇面至少需要绫绢面料多少平方厘米？ 26．如图，学校运动场由一个正方形和两个半圆组成。（π取3.14） （1）小明绕运动场周边跑了5圈，一共跑了多少米？ （2）运动场的面积是多少平方米？ 第 1 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