第二单元 混合运算与数量关系(三)(培优讲义)-2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列（苏教版 ·新教材）

本讲义聚焦分数与小数的四则混合运算及简便计算这一核心知识点，在整数四则混合运算、分数与小数乘除法基础上延伸，构建从运算规则、互化方法到实际应用的完整学习支架。 资料通过系统梳理互化原则、运算技巧及典型题型，结合高频易错点分析，培养学生运算能力与推理意识，典型应用题助力模型意识形成。课中辅助教师精准教学，课后帮助学生查漏补缺，提升综合运用能力。

第二单元 混合运算与数量关系（三） 单元培优讲义 目录 知识梳理 2 一、单元核心概述 2 二、混合运算基础规则 2 1. 运算顺序规则 2 2. 运算的基本形式 2 三、分数与小数的互化方法 2 1. 小数化分数 2 2. 分数化小数 3 3. 高频速记互化（凑整常用组合） 3 4. 互化形式的选择原则 3 四、分数、小数混合运算计算方法 3 1. 加减混合运算 3 2. 乘除混合运算 4 3. 四则综合运算 4 五、简便运算（运算律与性质推广） 4 1. 加法运算律 4 2. 乘法运算律（简便计算核心考点） 4 3. 减法的运算性质 5 4. 除法的运算性质 5 5. 同级运算技巧：带符号搬家 5 六、常见数量关系与实际应用 6 1. 基础数量关系回顾 6 2. 典型应用题型 6 七、高频易错点汇总 7 考点讲练 7 考点一：分数四则混合运算及简算 7 考点二：小数四则混合运算及简算 8 考点三：利用小数四则混合运算解决问题 8 考点四：利用分数四则混合运算解决问题 9 综合训练 10 知识梳理 一、单元核心概述 本单元是在整数四则混合运算、分数乘除法、小数乘除法基础上的拓展延伸，核心学习分数与小数的四则混合运算、运算律推广与简便计算，以及运用混合运算解决常见的实际数量关系问题。单元贯穿 “统一形式、凑整简化” 的运算思路，重点培养运算的准确性、灵活性，提升用四则运算解决复合应用题的能力。 二、混合运算基础规则 1. 运算顺序规则 分数、小数混合运算的运算顺序与整数四则混合运算完全一致： 同级运算（只有加减法或只有乘除法）：从左到右依次计算 两级运算（既有加减法又有乘除法）：先算乘除，后算加减 有括号的运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的 2. 运算的基本形式 本单元混合运算包含四类基础组合： 分数与小数的加减混合运算 分数与小数的乘除混合运算 分数、小数、整数的四则综合运算 含括号的分数小数复合运算 三、分数与小数的互化方法 分数与小数互化是混合运算的核心基础，计算时通常先统一数的形式，再进行运算。 1. 小数化分数 方法：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…… 写成分母是 10、100、1000…… 的分数后，约分成最简分数。 例：；； 2. 分数化小数 方法：用分数的分子除以分母，除不尽时根据题目要求保留相应的小数位数。 例：；；（保留三位小数） 3. 高频速记互化（凑整常用组合） 分数 对应小数 分数 对应小数 0.5 0.25 0.75 0.2 0.4 0.6 0.8 0.125 0.375 0.625 0.875 0.1 4. 互化形式的选择原则 优先化小数：当分数能化成有限小数时，化小数计算更简便，无需通分 必须化分数：当分数不能化成有限小数时，统一化成分数计算，保证结果准确 直接约分优先：乘除运算中，若小数与分数的分母能直接约分，无需互化，直接约分计算更高效 例：，2.4 与 6 直接约分，得 四、分数、小数混合运算计算方法 1. 加减混合运算 核心要求：统一数的形式后再计算 情况 1：所有分数都能化成有限小数 → 统一成小数计算，无需通分 例： 情况 2：存在不能化成有限小数的分数 → 统一成最简分数计算，通分后加减 例： 2. 乘除混合运算 核心要求：优先约分，灵活选择形式 方法一：小数化分数计算 把所有小数化成最简分数，按照分数乘除法法则计算，先约分再相乘 例： 方法二：分数化小数计算 仅适用于分数能化成有限小数的情况，按小数乘除法法则计算 例： 方法三：直接约分计算（最优方法） 小数与分数的分母直接约去公因数，再计算结果，无需互化 例： 3. 四则综合运算 严格遵循运算顺序，先观察算式特征，能简算的优先简算，不能简算的按顺序逐步计算，每一步先统一形式再运算。 五、简便运算（运算律与性质推广） 整数的加法、乘法运算律，以及减法、除法的运算性质，对分数、小数混合运算完全适用，是简便计算的核心依据。 1. 加法运算律 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变 公式： 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 公式： 适用场景：凑整计算，比如同分母分数相加、小数凑成整数 例： 2. 乘法运算律（简便计算核心考点） 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变 公式： 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变 公式： 常用凑整组合：、，对应分数、 例： 乘法分配律：两个数的和（差）乘一个数，可以分别乘这个数，再相加（减） 公式：； 正用：拆分凑整，把接近整数的数拆成整数加减小数 / 分数 例： 逆用：提取公因数，合并相同因数 例： 3. 减法的运算性质 性质 1：一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和 公式： 例： 性质 2：一个数减去两个数的差，等于减去差里的被减数，再加减数 公式： 4. 除法的运算性质 性质 1：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积 公式： 性质 2：两个数的和（差）除以一个数，可以分别除以这个数，再相加（减） 公式：； 例： 5. 同级运算技巧：带符号搬家 只有同级运算（全是加减、或全是乘除）且没有括号时，可以带着数字前面的运算符号交换位置，结果不变，用于凑整简算。 加减同级： 乘除同级： 例： 六、常见数量关系与实际应用 运用分数、小数混合运算解决实际问题，核心是先分析数量关系，确定运算顺序，再列式计算。 1. 基础数量关系回顾 数量关系类型 核心公式 购物问题 单价 × 数量 = 总价；总价 ÷ 单价 = 数量；总价 ÷ 数量 = 单价 行程问题 速度 × 时间 = 路程；路程 ÷ 速度 = 时间；路程 ÷ 时间 = 速度 工程问题 工作效率 × 工作时间 = 工作总量；工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 产量问题 单产量 × 数量 = 总产量 2. 典型应用题型 （1）一般复合应用题 两步及以上运算的日常应用题，涵盖购物、行程、工作量等场景，需分步梳理数量关系，列综合算式解答。 例：一支钢笔 8.5 元，一本笔记本的价格是钢笔的，买 3 支钢笔和 2 本笔记本一共需要多少钱？ （2）相遇问题（行程类） 核心公式：速度和 × 相遇时间 = 总路程 例：两车从两地同时出发相向而行，甲车每小时行 60.5 千米，乙车每小时行全程的，4 小时后相遇，求两地总路程。 （3）合作工程问题 通常把工作总量看作单位 “1”，用分数表示工作效率，求合作完成时间。 核心公式：工作总量 ÷ 工作效率和 = 合作时间 例：一项工程，甲队单独做需要 8 天完成，乙队单独做每天完成 0.1，两队合作需要多少天完成？ 七、高频易错点汇总 运算顺序错误：两级运算中先算加减后算乘除，或有括号时未先计算括号内的内容 互化失误：分数化小数时除不尽仍强行用小数计算，导致结果偏差；小数化分数后未约分成最简分数 乘法分配律误用：使用分配律时漏乘括号内的部分项，如只计算，漏算 去括号变号错误：括号前是减号或除号时，去括号后未改变括号内的运算符号 约分计算错误：小数与分母约分时，小数点位置处理错误，导致结果扩大或缩小 简便运算滥用：盲目凑整乱用运算律，不符合运算律规则强行简算，导致结果错误 结果未化简：分数结果未约分成最简分数，小数末尾多余的 0 未化简 考点讲练 考点一：分数四则混合运算及简算 【例题】用你喜欢的方法计算。 （1）      （2） （3）    （4） 【例题】脱式计算，用你喜欢的方法计算。 （1）                        （2） （3）                        （4） 考点二：小数四则混合运算及简算 【例题】计算下面各题，能简算的要简算。 3.2×1.25    1.36×9.9＋0.136    3.6×2÷0.9÷0.8 6.2×3.8＋62×0.62    24.5－7.49－1.51    0.8＋1.2÷0.8 【例题】脱式计算。（能简算的要简算） 2.15×2.4＋5.7    5.6×7.2＋4.4×7.2    6.2＋3.8×4 0.8×9.5×1.25    25.78－（14.78＋3.2）    12.5×（8＋0.8） 考点三：利用小数四则混合运算解决问题 【例题】一本笔记本3.6元，一支钢笔价钱是它的2.5倍，买一本笔记本和一支钢笔，付出20元，应找回多少元？ 【例题】一桶油连桶重12千克，卖出油的一半后，连桶重6.75千克。如果每千克油的价格是8元，这桶油一共能卖多少元？ 考点四：利用分数四则混合运算解决问题 【例题】六（1）班有45人，其中参加了书法兴趣小组，参加了绘画兴趣小组，没有人既不参加书法兴趣小组也不参加绘画兴趣小组。既参加书法兴趣小组又参加绘画兴趣小组的有多少人？ 【例题】去年在北京举办的第24届冬奥会上，中国体育代表团共获得15枚奖牌，比上一届多了，以9枚金牌位列奖牌榜第三，铜牌数是银牌数的。中国体育代表团在本届冬奥会获得银牌多少枚？ 综合训练 1．王老师要买192本练习本，每本3.75元，他带了800元钱，够吗？解决这个问题最合理的计算方法是（    ）。 A．估算，往大了估 B．估算，往小了估 C．精确算 D．口算 2．一条15千米长的公路，甲队单独修要10天完成，乙队单独修要8天完成。如果两队同时合修，几天能修完？下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 3．在计算600×（1.5＋2.4）时，李平忘记写括号了，他计算的结果比正确结果少计算的部分是（    ）。 A． B． C． D． 4．如果要判断剩下的钱够不够买一个28元的篮球，妙想把21.3看成21，把9.4看成9.她算出剩下的钱是28元。为什么她说“不一定够”或者“不够”？（    ） A．因为她算错了 B．因为把价格往小估了，实际花的钱更多，剩下的钱会比28元少 C．因为把价格往大估了，实际花的钱更少，剩下的钱会比28元多 D．因为28元正好等于篮球的价格，不能有多余的钱 5．小明在算0.6×（□＋3）时忘记了有小括号，他的计算结果与正确结果相比，（    ）。 A．多了1.8 B．小了1.8 C．多了1.2 D．多了3 6．一根绳子原长1m，小东截去这根绳子的，小明又把它接上m，现在这根绳子长（    ）。 A．m B．m C．m D．m 7．比20厘米多厘米是( )厘米；比20吨少是( )吨。 8．为改善社区环境，计划修建一条长300米的健身步道。甲队单独修需要6天完成，乙队单独修需要5天完成。如果两队合修，_________天可以修完。 9．有两个同样的仓库和，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时，甲和丙在仓库，乙在仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运，最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙共______小时。 10．一项工程，甲、乙合作12.6小时可以完成，若第一小时甲做，第二小时乙做，这样交替轮流做，恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样交替做，比上次轮流做要多用小时。这项工程由甲单独做需______小时完成。 11．育英小学五年级（一班）有男生14人，女生人数比男生多，这个班有学生( )人。 12．从4000减去它的，再减去剩下的，再减去剩下的……最后减去剩下的，最后剩( )。 13．修一段路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成，两队合修需要( )天完成。 14．一堆沙土，第一次运走总数的，第二次运走剩下的，还剩总数的( )。 15．两个工程队合开一条隧道，分别从隧道的一端同时向中间开凿。第一队每天开凿12米，第二队每天开凿15米，经过8天正好凿通。这条隧道长( )米。 16．第一次买3条毛巾和6把牙刷需要12.3元，第二次买同样的3条毛巾和9把牙刷需要14.7元。每条毛巾( )元，每把牙刷( )元。 17．脱式计算，能简算的要简算。               18．计算下面各题，能简便的要简便计算。                 3.9＋6.1×0.5                36.78－（6.78＋5.96）             125×3.2×0.25             19．脱式计算，能简算的要简算。         12.5×42×0.8         35.1×101－35.1 20．计算下面各题，能简算的要简算。                                       21．一项工程，甲单独做需要8天，乙单独做需要12天，现在甲、乙合作，多少天能完成这项工程的？ 22．某地要修一条路，若由甲施工队单独完成，则需要4个月，若由乙施工队单独完成，需要的时间比甲施工队少，若甲、乙两个施工队合作，多少个月可以完成？ 23．阅读一本好书，就像是受良师教诲。为了满足同学们读书的需求，学校图书室购买了许多新书，其中科技书和故事书各165本，每本科技书45.6元，每本故事书54.4元。购买科技书和故事书一共花了多少元？ 24．甲、乙、丙三个数的和是1690，已知甲数的等于乙数的，乙数的等于丙数的甲、乙、丙三个数分别是多少？ 25．甲、乙、丙三人按约定分配劳务酬金。第一次：甲先取其中的，乙取剩下的，丙取乙取后剩下的。接着，按原次序和比率再分配两次。第四次，只有甲、乙还按原次序和原比率分配，而丙分得剩下的135元。则甲4次共分得多少元？ 26．北京颐和园是世界上保存最完整的古代皇家园林之一。据颐和园工作人员统计，某天游览时租用讲解器的人数比游览总人数的少200人，未租用讲解器的人数比游览总人数的多40人，租用讲解器和未租用讲解器的人数分别是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 混合运算与数量关系（三） 单元培优讲义 目录 知识梳理 2 一、单元核心概述 2 二、混合运算基础规则 2 1. 运算顺序规则 2 2. 运算的基本形式 2 三、分数与小数的互化方法 2 1. 小数化分数 2 2. 分数化小数 3 3. 高频速记互化（凑整常用组合） 3 4. 互化形式的选择原则 3 四、分数、小数混合运算计算方法 3 1. 加减混合运算 3 2. 乘除混合运算 4 3. 四则综合运算 4 五、简便运算（运算律与性质推广） 4 1. 加法运算律 4 2. 乘法运算律（简便计算核心考点） 4 3. 减法的运算性质 5 4. 除法的运算性质 5 5. 同级运算技巧：带符号搬家 5 六、常见数量关系与实际应用 6 1. 基础数量关系回顾 6 2. 典型应用题型 6 七、高频易错点汇总 7 考点讲练 7 考点一：分数四则混合运算及简算 7 考点二：小数四则混合运算及简算 11 考点三：利用小数四则混合运算解决问题 14 考点四：利用分数四则混合运算解决问题 15 综合训练 16 知识梳理 一、单元核心概述 本单元是在整数四则混合运算、分数乘除法、小数乘除法基础上的拓展延伸，核心学习分数与小数的四则混合运算、运算律推广与简便计算，以及运用混合运算解决常见的实际数量关系问题。单元贯穿 “统一形式、凑整简化” 的运算思路，重点培养运算的准确性、灵活性，提升用四则运算解决复合应用题的能力。 二、混合运算基础规则 1. 运算顺序规则 分数、小数混合运算的运算顺序与整数四则混合运算完全一致： 同级运算（只有加减法或只有乘除法）：从左到右依次计算 两级运算（既有加减法又有乘除法）：先算乘除，后算加减 有括号的运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的 2. 运算的基本形式 本单元混合运算包含四类基础组合： 分数与小数的加减混合运算 分数与小数的乘除混合运算 分数、小数、整数的四则综合运算 含括号的分数小数复合运算 三、分数与小数的互化方法 分数与小数互化是混合运算的核心基础，计算时通常先统一数的形式，再进行运算。 1. 小数化分数 方法：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…… 写成分母是 10、100、1000…… 的分数后，约分成最简分数。 例：；； 2. 分数化小数 方法：用分数的分子除以分母，除不尽时根据题目要求保留相应的小数位数。 例：；；（保留三位小数） 3. 高频速记互化（凑整常用组合） 分数 对应小数 分数 对应小数 0.5 0.25 0.75 0.2 0.4 0.6 0.8 0.125 0.375 0.625 0.875 0.1 4. 互化形式的选择原则 优先化小数：当分数能化成有限小数时，化小数计算更简便，无需通分 必须化分数：当分数不能化成有限小数时，统一化成分数计算，保证结果准确 直接约分优先：乘除运算中，若小数与分数的分母能直接约分，无需互化，直接约分计算更高效 例：，2.4 与 6 直接约分，得 四、分数、小数混合运算计算方法 1. 加减混合运算 核心要求：统一数的形式后再计算 情况 1：所有分数都能化成有限小数 → 统一成小数计算，无需通分 例： 情况 2：存在不能化成有限小数的分数 → 统一成最简分数计算，通分后加减 例： 2. 乘除混合运算 核心要求：优先约分，灵活选择形式 方法一：小数化分数计算 把所有小数化成最简分数，按照分数乘除法法则计算，先约分再相乘 例： 方法二：分数化小数计算 仅适用于分数能化成有限小数的情况，按小数乘除法法则计算 例： 方法三：直接约分计算（最优方法） 小数与分数的分母直接约去公因数，再计算结果，无需互化 例： 3. 四则综合运算 严格遵循运算顺序，先观察算式特征，能简算的优先简算，不能简算的按顺序逐步计算，每一步先统一形式再运算。 五、简便运算（运算律与性质推广） 整数的加法、乘法运算律，以及减法、除法的运算性质，对分数、小数混合运算完全适用，是简便计算的核心依据。 1. 加法运算律 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变 公式： 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 公式： 适用场景：凑整计算，比如同分母分数相加、小数凑成整数 例： 2. 乘法运算律（简便计算核心考点） 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变 公式： 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变 公式： 常用凑整组合：、，对应分数、 例： 乘法分配律：两个数的和（差）乘一个数，可以分别乘这个数，再相加（减） 公式：； 正用：拆分凑整，把接近整数的数拆成整数加减小数 / 分数 例： 逆用：提取公因数，合并相同因数 例： 3. 减法的运算性质 性质 1：一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和 公式： 例： 性质 2：一个数减去两个数的差，等于减去差里的被减数，再加减数 公式： 4. 除法的运算性质 性质 1：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积 公式： 性质 2：两个数的和（差）除以一个数，可以分别除以这个数，再相加（减） 公式：； 例： 5. 同级运算技巧：带符号搬家 只有同级运算（全是加减、或全是乘除）且没有括号时，可以带着数字前面的运算符号交换位置，结果不变，用于凑整简算。 加减同级： 乘除同级： 例： 六、常见数量关系与实际应用 运用分数、小数混合运算解决实际问题，核心是先分析数量关系，确定运算顺序，再列式计算。 1. 基础数量关系回顾 数量关系类型 核心公式 购物问题 单价 × 数量 = 总价；总价 ÷ 单价 = 数量；总价 ÷ 数量 = 单价 行程问题 速度 × 时间 = 路程；路程 ÷ 速度 = 时间；路程 ÷ 时间 = 速度 工程问题 工作效率 × 工作时间 = 工作总量；工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 产量问题 单产量 × 数量 = 总产量 2. 典型应用题型 （1）一般复合应用题 两步及以上运算的日常应用题，涵盖购物、行程、工作量等场景，需分步梳理数量关系，列综合算式解答。 例：一支钢笔 8.5 元，一本笔记本的价格是钢笔的，买 3 支钢笔和 2 本笔记本一共需要多少钱？ （2）相遇问题（行程类） 核心公式：速度和 × 相遇时间 = 总路程 例：两车从两地同时出发相向而行，甲车每小时行 60.5 千米，乙车每小时行全程的，4 小时后相遇，求两地总路程。 （3）合作工程问题 通常把工作总量看作单位 “1”，用分数表示工作效率，求合作完成时间。 核心公式：工作总量 ÷ 工作效率和 = 合作时间 例：一项工程，甲队单独做需要 8 天完成，乙队单独做每天完成 0.1，两队合作需要多少天完成？ 七、高频易错点汇总 运算顺序错误：两级运算中先算加减后算乘除，或有括号时未先计算括号内的内容 互化失误：分数化小数时除不尽仍强行用小数计算，导致结果偏差；小数化分数后未约分成最简分数 乘法分配律误用：使用分配律时漏乘括号内的部分项，如只计算，漏算 去括号变号错误：括号前是减号或除号时，去括号后未改变括号内的运算符号 约分计算错误：小数与分母约分时，小数点位置处理错误，导致结果扩大或缩小 简便运算滥用：盲目凑整乱用运算律，不符合运算律规则强行简算，导致结果错误 结果未化简：分数结果未约分成最简分数，小数末尾多余的 0 未化简 考点讲练 考点一：分数四则混合运算及简算 【例题】用你喜欢的方法计算。 （1）      （2） （3）    （4） 【答案】（1）；（2）6；（3）3.75；（4） 【分析】（1）将除以变成乘，然后分数乘法约分计算； （2）应用乘法分配律将展开，再运用加法结合律，同分母分数相结合； （3）交换0.375和2.5的位置，先计算4×2.5，然后百分数去掉百分号小数点向左移动两位化成小数后计算； （4）将0.6化成分数后，按运算顺序先算减法再算乘法最后算除法。 【详解】（1） ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝5＋1 ＝6 （3）4×37.5%×2.5 ＝4×0.375×2.5 ＝4×2.5×0.375 ＝10×0.375 ＝3.75 （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【例题】脱式计算，用你喜欢的方法计算。 （1）                        （2） （3）                        （4） 【答案】12；29； 25； 【分析】（1）利用乘法交换律和乘法结合律进行简便计算。 （2）把分数除法改写成分数乘法，再利用乘法分配律进行简便计算。 （3）把0.25改写成，再利用乘法分配律的逆运算进行简便计算。 （4）先算加法，再算乘法，最后算除法。 【详解】（1）       ＝      ＝ ＝12          （2） ＝ ＝ ＝ ＝29 （3）    ＝    ＝ ＝     ＝25            （4） ＝ ＝ ＝ ＝ 考点二：小数四则混合运算及简算 【例题】计算下面各题，能简算的要简算。 3.2×1.25    1.36×9.9＋0.136    3.6×2÷0.9÷0.8 6.2×3.8＋62×0.62    24.5－7.49－1.51    0.8＋1.2÷0.8 【答案】4；13.6；10； 62；15.5；2.3 【分析】（1）将3.2拆分为0.4×8，再利用乘法结合律先算8×1.25，简化计算。 （2）利用积不变规律统一因数，再用乘法分配律提取相同因数，简化计算。 （3）先算乘法，再按照除法的性质即可简便运算。 （4）利用积不变规律统一因数，再用乘法分配律提取相同因数，简化计算。 （5）利用减法的性质，将连续减法转化为减去两个数的和，简化计算。 （6）先算除法，再算加法。 【详解】（1）3.2×1.25 ＝0.4×8×1.25 ＝0.4×（8×1.25） ＝0.4×10 ＝4 （2）1.36×9.9＋0.136 ＝1.36×9.9＋1.36×0.1 ＝1.36×（9.9＋0.1） ＝1.36×10 ＝13.6 （3）3.6×2÷0.9÷0.8 ＝7.2÷0.9÷0.8 ＝7.2÷（0.9×0.8） ＝7.2÷0.72 ＝10 （4）6.2×3.8＋62×0.62 ＝6.2×3.8＋6.2×6.2 ＝6.2×（3.8＋6.2） ＝6.2×10 ＝62 （5）24.5－7.49－1.51 ＝24.5－（7.49＋1.51） ＝24.5－9 ＝15.5 （6）0.8＋1.2÷0.8 ＝0.8＋1.5 ＝2.3 【例题】脱式计算。（能简算的要简算） 2.15×2.4＋5.7    5.6×7.2＋4.4×7.2    6.2＋3.8×4 0.8×9.5×1.25    25.78－（14.78＋3.2）    12.5×（8＋0.8） 【答案】10.86；72；21.4； 9.5；7.8；110 【分析】（1）先算乘法，再算加法。 （2）运用乘法分配律的逆运算，进行简算即可。 （3）先算乘法，再算加法。 （4）运用乘法交换律，进行简算即可。 （5）运用减法的性质，进行简算即可。 （6）运用乘法分配律，进行简算即可。 【详解】 考点三：利用小数四则混合运算解决问题 【例题】一本笔记本3.6元，一支钢笔价钱是它的2.5倍，买一本笔记本和一支钢笔，付出20元，应找回多少元？ 【答案】7.4元 【分析】根据“一支钢笔价钱是它的2.5倍”，用笔记本的价格乘2.5求出钢笔的价钱；然后将笔记本的价钱与钢笔的价钱相加，求出购买这两样物品的总价钱；最后用付出的钱数减去总价钱，即可求出应找回的钱数。 【详解】 （元） 答：应找回元。 【例题】一桶油连桶重12千克，卖出油的一半后，连桶重6.75千克。如果每千克油的价格是8元，这桶油一共能卖多少元？ 【答案】84元 【分析】用这桶油连桶的重量－卖出油的一半后剩下的连桶重的重量，求出卖出一半油的重量，再乘2，求出这桶油净含油的重量，再根据总价＝单价×数量，用每千克油的单价×这桶油净含油的重量，据此解答。 【详解】（12－6.75）×2×8 ＝5.25×2×8 ＝10.5×8 ＝84（元） 答：这桶油一共能卖84元。 考点四：利用分数四则混合运算解决问题 【例题】六（1）班有45人，其中参加了书法兴趣小组，参加了绘画兴趣小组，没有人既不参加书法兴趣小组也不参加绘画兴趣小组。既参加书法兴趣小组又参加绘画兴趣小组的有多少人？ 【答案】10人 【分析】由题意可知，把六（1）班的总人数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可分别求出参加书法兴趣小组和参加绘画兴趣小组的人数。再把参加这两种兴趣小组的人数加起来再减全班人数即可得解。 【详解】 ＝10（人） 答：既参加书法兴趣小组又参加绘画兴趣小组的有10人。 【例题】去年在北京举办的第24届冬奥会上，中国体育代表团共获得15枚奖牌，比上一届多了，以9枚金牌位列奖牌榜第三，铜牌数是银牌数的。中国体育代表团在本届冬奥会获得银牌多少枚？ 【答案】4枚 【分析】从“15枚奖牌，9枚金牌”可知，用15－9就求出银牌和铜牌的数量和。又从“铜牌数是银牌数的”可知，以银牌的数量为单位“1”，银牌和铜牌的数量和相当于银牌的数量的（1＋）。根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。用银牌和铜牌的数量和÷（1＋），即可求出银牌的数量。据此解答。 【详解】（15－9）÷（1） ＝6 ＝6× ＝4（枚） 答：中国体育代表团在本届冬奥会获得银牌4枚。 综合训练 1．王老师要买192本练习本，每本3.75元，他带了800元钱，够吗？解决这个问题最合理的计算方法是（    ）。 A．估算，往大了估 B．估算，往小了估 C．精确算 D．口算 【答案】A 【分析】若要证明钱“够”，需要将商品的数量和单价往大了估，如果估算的总价仍然不超过带的钱数，则实际钱数一定够；若要证明钱“不够”，则需要往小了估。本题中需要判断800元是否够买192本练习本，应采用往大了估的方法。 【详解】A．采用估算，往大了估。将192看作200，将3.75看作4。（元），因为，，所以实际总价小于800元，带800元够。这种方法既能得出结论又计算简便，符合“最合理”的要求，此选项正确。 B．采用估算，往小了估。若将192看作190，3.75看作3。（元），，但实际总价可能大于800元，无法确定钱是否够，此选项错误。 C．采用精确算。虽然能计算出准确结果（元），，可以得出结论，但计算过程相对复杂，对于判断“够不够”的问题，估算方法更为合理便捷，此选项错误。 D．采用口算。数据较大且含有小数，口算容易出错，不适合此题，此选项错误。 2．一条15千米长的公路，甲队单独修要10天完成，乙队单独修要8天完成。如果两队同时合修，几天能修完？下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解决此类问题通常把工作总量看作单位“1”。根据题意，甲队单独修要10天完成，乙队单独修要8天完成，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是。两队合修的时间等于工作总量除以两队工作效率之和。虽然题干给出了公路的具体长度15千米，但在使用分数表示工作效率时，应将工作总量视为单位“1”，具体长度不影响合修天数的计算公式。 【详解】甲队的工作效率为： 乙队的工作效率为： 两队合修的工作效率之和为： 根据数量关系：工作时间＝工作总量÷工作效率之和 列式为：或 3．在计算600×（1.5＋2.4）时，李平忘记写括号了，他计算的结果比正确结果少计算的部分是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘法分配律a×（b＋c）＝a×b＋a×c，可得：600×（1.5＋2.4）＝600×1.5＋600×2.4，李平忘记写括号，那么他计算的式子就是600×1.5＋2.4。用正确结果减去错误结果，可得少计算的部分为：（600×1.5＋600×2.4）－（600×1.5＋2.4），据此解答。 【详解】（600×1.5＋600×2.4）－（600×1.5＋2.4） ＝600×1.5＋600×2.4－600×1.5－2.4 ＝（600×1.5－600×1.5）＋（600×2.4－2.4） ＝600×2.4－2.4 ＝（600－1）×2.4 ＝599×2.4 所以他计算的结果比正确结果少计算的部分是599×2.4。 4．如果要判断剩下的钱够不够买一个28元的篮球，妙想把21.3看成21，把9.4看成9.她算出剩下的钱是28元。为什么她说“不一定够”或者“不够”？（    ） A．因为她算错了 B．因为把价格往小估了，实际花的钱更多，剩下的钱会比28元少 C．因为把价格往大估了，实际花的钱更少，剩下的钱会比28元多 D．因为28元正好等于篮球的价格，不能有多余的钱 【答案】B 【分析】判断剩余的钱够不够买商品时，如果把已花费商品的价格往小估算，得到的剩余钱数会比实际剩余的钱数多；如果把已花费商品的价格往大估算，得到的剩余钱数会比实际剩余的钱数少。 【详解】把21.3看成21，把9.4看成9，是把价格往小估了，由分析可知，往小估意味着算出的花费比实际少，也就是实际花的钱更多。那么算出的剩余金额（28元）就比实际剩余的要多。实际剩余的钱小于28元，所以可能不够买28元的篮球。 5．小明在算0.6×（□＋3）时忘记了有小括号，他的计算结果与正确结果相比，（    ）。 A．多了1.8 B．小了1.8 C．多了1.2 D．多了3 【答案】C 【分析】用0.6×□＋3减0.6×（□＋3），据此即可解答。 【详解】0.6×□＋3－0.6×（□＋3） ＝0.6×□＋3－0.6×□－0.6×3 ＝3－1.8 ＝1.2 故答案为：C 【点睛】本题主要考查了整数运算定律及法则在小数中的运用。 6．一根绳子原长1m，小东截去这根绳子的，小明又把它接上m，现在这根绳子长（    ）。 A．m B．m C．m D．m 【答案】D 【分析】将绳子原长看成单位“1”，截去，截去的长度是1×＝米，再接上米，用原长减去用去的长度加上接上的长度求出现在绳子长度即可。 【详解】1－1×＋ ＝1－＋ ＝1（米） 现在绳子的长度还是1米。 故答案为：D 【点睛】解题时要明确分数带单位表示集体的量，分数不带单位表示整体的几分之几。 7．比20厘米多厘米是( )厘米；比20吨少是( )吨。 【答案】 16 【分析】求比一个数多几，用加法计算； 求比一个数少几分之几的数是多少，用乘法计算，即这个数×（1几分之几）。 【详解】20＋＝20（厘米） 20（1－） ＝20 ＝16（吨） 比20厘米多厘米是（ 20）厘米；比20吨少是（ 16 ）吨。 8．为改善社区环境，计划修建一条长300米的健身步道。甲队单独修需要6天完成，乙队单独修需要5天完成。如果两队合修，_________天可以修完。 【答案】/ 【分析】把这条健身步道的总长度看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，分别求出甲、乙两队的工作效率，然后根据工作总量÷工作效率之和＝工作时间，据此解答即可。 【详解】1÷（） ＝1÷（） ＝1÷ ＝（天） 9．有两个同样的仓库和，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时，甲和丙在仓库，乙在仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运，最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙共______小时。 【答案】 8 【分析】把1个仓库的工作量看作单位“1”，两个仓库总工作量就是；先算三人的工作效率（每小时完成的工作量）和三人效率和；三人从开始到搬完全程都在工作，总用时＝总工作量÷总效率和：丙全程都在帮忙，所以帮助甲、乙的总时间就是总用时。 【详解】总工作量： 1＋1＝2 三人的工作效率： 甲：，乙：，丙：， 三人效率和为 ： 丙帮助甲、乙的总时间： 10．一项工程，甲、乙合作12.6小时可以完成，若第一小时甲做，第二小时乙做，这样交替轮流做，恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样交替做，比上次轮流做要多用小时。这项工程由甲单独做需______小时完成。 【答案】21 【分析】先判断第一种交替轮流的收尾者：如果最后是乙收尾，两种轮流方式用时会完全一致，和题目“多小时”矛盾，因此第一种轮流最后1小时是甲单独做。对比两种轮流的收尾阶段，可得甲小时工作量乙小时工作量甲小时工作量，化简后得到乙的效率是甲的。甲乙合作的总效率：已知合作小时完成，总效率为。甲的工作效率：把乙的效率替换成甲的，代入合作效率公式，算出甲每小时完成。甲单独完成的时间：总工作量1除以甲的效率，得到单独做需要21小时。 【详解】因为甲小时工作量＝乙小时工作量＋甲小时工作量， 所以甲小时工作量＝乙小时工作量， 所以甲乙的工作效率比是， （小时） 所以这项工程由甲单独做需小时完成。 11．育英小学五年级（一班）有男生14人，女生人数比男生多，这个班有学生( )人。 【答案】30 【分析】求比一个数多几分之几的数是多少，用乘法计算，将男生人数看作单位“1”， 男生人数×（1＋）＝女生人数，再将男生女生人数相加即可。 【详解】14×（1＋） ＝14× ＝16（人） 一共：16＋14＝30（人） 12．从4000减去它的，再减去剩下的，再减去剩下的……最后减去剩下的，最后剩( )。 【答案】40 【分析】由题意可知，4000减去它的，把4000看作单位“1”，剩下的是它的（1－），计算一个数的几分之几用乘法，则剩下的为4000×（1－），把剩下的结果看作单位“1”再减去它的，剩下对应单位“1”的（），即4000×（1－）×（1－），依此类推，把前面求得的积看作单位“1”，依据分数乘法意义即可解答． 【详解】4000×（1－）×（1－）×（1－）××（1－） ＝4000× ＝4000× ＝40 13．修一段路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成，两队合修需要( )天完成。 【答案】6 【分析】把一段路总长看作单位“1”，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出甲队、乙队单独修的工作效率，两队合修。则两队合修的效率就是甲队、乙队单独修的工作效率之和，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求出两队合修需要多少天完成，据此解答。 【详解】 （天） 即两队合修需要6天完成。 14．一堆沙土，第一次运走总数的，第二次运走剩下的，还剩总数的( )。 【答案】 【分析】把这堆沙土看作单位“1”，第一次运走总数的，则还剩下总数的（1－）； 已知第二次运走剩下的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出第二次运走总数的几分之几； 再根据减法的意义，用“1”分别减去第一次、第二次运走总数的分率，即是还剩总数的几分之几。 【详解】第二次运走总数的： （1－）× ＝× ＝ 还剩总数的： 1－－ ＝－ ＝ 还剩总数的。 15．两个工程队合开一条隧道，分别从隧道的一端同时向中间开凿。第一队每天开凿12米，第二队每天开凿15米，经过8天正好凿通。这条隧道长( )米。 【答案】216 【分析】第一队每天开凿隧道长度加上第二队每天开凿隧道长度，可以算出两队每天共凿（12＋15）米。两队每天开凿隧道的总长度乘隧道凿通天数，即可算出这条隧道长多少米。 【详解】（12＋15）×8 ＝27×8 ＝216（米） 两个工程队合开一条隧道，分别从隧道的一端同时向中间开凿。第一队每天开凿12米，第二队每天开凿15米，经过8天正好凿通。这条隧道长216米。 16．第一次买3条毛巾和6把牙刷需要12.3元，第二次买同样的3条毛巾和9把牙刷需要14.7元。每条毛巾( )元，每把牙刷( )元。 【答案】 2.5 0.8 【分析】用第二次购买的钱数减去第一次购买的钱数，求出（9－6＝3）把牙刷的价钱，用3把牙刷的价钱除以3求出1把牙刷的价钱，进而求出6把牙刷的价钱；用第一次购买的钱数减去6把牙刷的价钱求出3条毛巾的价钱，再用3条毛巾的价钱除以3，即可求出一条毛巾的价钱。 【详解】（14.7－12.3）÷（9－6） ＝2.4÷3 ＝0.8（元） （12.3－0.8×6）÷3 ＝（12.3－4.8）÷3 ＝7.5÷3 ＝2.5（元） 每条毛巾2.5元，每把牙刷0.8元。 17．脱式计算，能简算的要简算。               【答案】 5； 10.2；17 【分析】使用乘法分配律逆运算简便计算。 先算小括号内的减法，再算中括号内的除法，最后算括号外的除法。 先算小括号内的乘法，再算中括号内的除法，最后算括号外的乘法。 使用乘法分配律简化计算。 【详解】 18．计算下面各题，能简便的要简便计算。                 3.9＋6.1×0.5                36.78－（6.78＋5.96）             125×3.2×0.25             【答案】；6.95；24.04； 18；100； 【分析】分数除法先转化为乘法（除以一个数等于乘它的倒数），将小数转化成分数，再从左到右依次计算； 遵循四则运算优先级，先算乘法部分，再算加法； 利用减法的性质：一个数减去两个数的和，等于分别减去这两个数，先算得到整数，再用结果减去，简化计算； 运用乘法分配律，把分别和括号里的两个分数相乘，再把两个乘积相加，避免通分的复杂计算； 拆分凑整：把拆成，再用乘法结合律，分别让和相乘、和相乘，最后把两个乘积相乘得到结果。 按运算顺序从内到外计算：先算小括号里的减法，再算中括号里的除法（转化为乘法计算），最后算乘法。 【详解】 19．脱式计算，能简算的要简算。         12.5×42×0.8         35.1×101－35.1 【答案】18；420； 20；3510 【分析】（1）利用乘法分配律去括号进行简便计算； （2）利用乘法交换律简便计算； （3）先算小括号内，再算中括号内，最后算括号外； （4）利用乘法分配律逆运算简便计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ 12.5×42×0.8 ＝12.5×0.8×42 ＝10×42 ＝420 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 35.1×101－35.1 ＝35.1×（101－1） ＝35.1×100 ＝3510 20．计算下面各题，能简算的要简算。                                       【答案】；； 19；50.4 【分析】（1）（3）都直接利用乘法分配律进行简便计算； （2）先将除以5转化成乘，20%化成分数，再利用乘法分配律进行简便计算； （4）先将除以转化成乘4，再利用乘法分配律进行简便计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4＋15 ＝19 ＝ ＝13×4－×4 ＝52－1.6 ＝50.4 21．一项工程，甲单独做需要8天，乙单独做需要12天，现在甲、乙合作，多少天能完成这项工程的？ 【答案】 天 【分析】把这项工程的工作总量看作单位，先分别求出甲、乙的工作效率，相加得到合作工效，再用需要完成的工作量除以合作工效，即可求出所需时间。 【详解】 （天） 答：现在甲、乙合作天能完成这项工程的。 22．某地要修一条路，若由甲施工队单独完成，则需要4个月，若由乙施工队单独完成，需要的时间比甲施工队少，若甲、乙两个施工队合作，多少个月可以完成？ 【答案】个月 【分析】把这条路的总量看作单位“1”。根据甲队单独完成需要4个月，可知甲队的工作效率是。乙队单独完成需要的时间比甲队少，即乙队时间是甲队时间的，据此求出乙队单独完成需要的时间，进而求出乙队的工作效率。最后根据“工作时间工作总量工作效率和”求出合作完成需要的时间。 【详解】（个月） ＝ ＝ （个月） 答：个月可以完成。 23．阅读一本好书，就像是受良师教诲。为了满足同学们读书的需求，学校图书室购买了许多新书，其中科技书和故事书各165本，每本科技书45.6元，每本故事书54.4元。购买科技书和故事书一共花了多少元？ 【答案】16500元 【分析】求购买科技书和故事书一共花的钱数，用科技书的数量乘单价＋故事书的数量乘单价。 【详解】165×45.6＋165×54.4 ＝165×（45.6＋54.4） ＝165×100 ＝16500（元） 答：购买科技书和故事书一共花了16500元。 24．甲、乙、丙三个数的和是1690，已知甲数的等于乙数的，乙数的等于丙数的甲、乙、丙三个数分别是多少？ 【答案】540；450；700 【分析】已知甲数的等于乙数的，根据比的基本性质：两内项之积等于两外项之积，可得甲数∶乙数，又已知乙数的等于丙数的,同理可求出乙数∶丙数，为了统一乙数在两个比中的份数，需要求出5和9的最小公倍数，即可求出甲、乙、丙三个数之比，因为甲、乙、丙三个数的和是1690，再按比分配，即可求出甲、乙、丙三个数分别是多少。 【详解】甲数∶乙数＝ 乙数∶丙数＝ 因为5和9互质，5和9的最小公倍数： ， 甲数∶乙数＝6∶5＝54∶45 ， 乙数∶丙数＝9∶14＝45∶70 所以甲数∶乙数∶丙数＝54∶45∶70 总份数： 甲数占54份，甲数： 乙数占45份，乙数： 丙数占70份，丙数： 答：甲、乙、丙三个数分别是540、450、700。 25．甲、乙、丙三人按约定分配劳务酬金。第一次：甲先取其中的，乙取剩下的，丙取乙取后剩下的。接着，按原次序和比率再分配两次。第四次，只有甲、乙还按原次序和原比率分配，而丙分得剩下的135元。则甲4次共分得多少元？ 【答案】843.75元 【分析】把总金额看成“1”，三个人第一次取后剩余：1×（1－）×（1－）×（1－）＝，也就是三人共取了，按原次序和比率再分配两次，那么就是，第四次，只有甲、乙还按原次序和原比率分配，那就用前三次剩下的再乘再乘即可得到丙分得的金额对应的分率，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，可得总数，由题意可知，第一次甲取；第一次剩余，第二次甲取；第二次剩余，第三次甲取；第三次剩余，第四次甲取。把四次取的相加，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算即可得解。 【详解】三个人第一次取后剩余： 1×（1－）×（1－）×（1－） ＝ ＝ 每次分配率不变，则丙最后分得 ＝ ＝ 故总金额为135÷＝135×＝1800（元） 第一次甲取；第一次剩余，第二次甲取；第二次剩余，第三次甲取；第三次剩余，第四次甲取 所以甲四次共取了 ＝ ＝ ＝843.75（元） 答：甲4次共取了843.75元。 【点睛】要先找出已知数135对应的分率，即可得总数，再根据求一个数的几分之几是多少的方法解答。 26．北京颐和园是世界上保存最完整的古代皇家园林之一。据颐和园工作人员统计，某天游览时租用讲解器的人数比游览总人数的少200人，未租用讲解器的人数比游览总人数的多40人，租用讲解器和未租用讲解器的人数分别是多少？ 【答案】租用讲解器的有200人，未租用讲解器的有1000人。 【分析】根据题目信息：租用讲解器的人数比总人数的少200人，可知未租用讲解器的人数是总人数的多200人，又知未租用讲解器的人数比游览总人数的多40人，则总人数的比多人，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，可求出总人数，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算求出总人数的再减200可得租用讲解器的人数，再用总人数减租用讲解器的人数可得未租用讲解器的人数。 【详解】（200－40）÷[－（1－）] ＝160÷[－] ＝160÷[－] ＝160÷ ＝ ＝1200（人） 1200×200 ＝ ＝200（人） 1200－200＝1000（人） 答：租用讲解器的有200人，未租用讲解器的有1000人。 【点睛】要先找出一个具体数量占总人数的几分之几，据此求出总人数，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算对应分率的人数即可。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $