5.2.1 实际问题的函数刻画课堂限时训练-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 练习为高一数学函数应用新授课同步训练，以现实问题为载体，分层设计基础巩固、能力提升、综合应用三阶训练，实现从函数模型识别到优化决策的知识进阶，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一函数模型识别与简单计算|单选题（如“每天进步一点点”指数模型）、填空题（如分段返现问题），聚焦概念理解| |能力提升|函数图像分析与多模型比较|多选题（如工资方案比较、包装性价比分析），培养批判性思维| |综合应用|复杂情境下函数建模与优化决策|解答题（如展馆造价最小化、利润决策），突出数学建模与现实问题解决

2026-2027学年第一学期高一数学（北师大版）第五章 函数的应用 5.2.1 实际问题的函数刻画 课堂限时训练 考试时长：30分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.“每天进步一点点”可以用数学来诠释：假如你今天的数学水平是，以后每天比前一天增加千分之五，经过天之后，你的数学水平与之间的函数关系式为  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了函数解析式的求解，属于基础题． 根据题意直接求即可． 【解答】 解：根据题意 故选D． 2.某地西红柿从月日起开始上市通过市场调查，得到西红柿种植成本单位：元与上市时间单位：天的数据如下表： 时间 种植成本 根据上表数据，函数，，，能够描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据题中表格数据，西红柿种植成本与上市时间的变化关系不是常函数，也不是单调函数， 而，，，在时，均为单调函数，这与所提供的数据不符， 故能够描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系的是， 故选B． 3.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量升 加油时的累计里程千米 月日 月日 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每千米平均耗油量为(    ) A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 【答案】B  【解析】由题表知：汽车行驶路程为千米，耗油量为升， 每千米耗油量升 4.已知超市内某商品的日销量单位：件与当日销售单价单位：元满足关系式，其中，为常数．当该商品的销售单价为元时，日销量为件．若该商品的进价为每件元，则超市内该商品的日利润最大为(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查二次函数的实际应用，二次函数最值的求法，属于基础题． 根据题意列出日利润的表达式，利用二次函数求最值即可． 【解答】 解：根据条件将，，代入，得， 所以超市内该商品的日利润为 ，， 所以当时，超市内该商品的日利润取得最大值为元． 故选A． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了，两种计件工资核算方案，员工的计件工资单位：千元与其生产的产品件数单位：百件的函数关系如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. 当某员工生产的产品件数为时，该员工采用，方案核算的计件工资相同 B. 当某员工生产的产品件数为时，该员工采用方案核算的计件工资更多 C. 当某员工生产的产品件数为时，该员工采用方案核算的计件工资更多 D. 当某员工生产的产品件数为时，该员工的计件工资最多为元 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查了函数模型的应用，是中档题． 结合图形里的函数关系分析各选项可求得答案． 【解答】 解：从图中可得，A正确，B错误； 若某员工生产的产品件数为， 则该员工采用方案核算的计件工资为元， 采用方案核算的计件工资为 元， 因为， 所以该员工采用方案核算的计件工资更多，C正确； 从图中易得当时， 员工采用方案核算的计件工资单位：千元与生产的产品件数单位：百件的函数关系式为， 则当时，， 即当某员工生产的产品件数为时， 该员工的计件工资最多为元，D正确． 故选：． 6.已知某食品厂生产克饼干的总费用为元，现该食品厂对饼干采用两种包装，其包装费及售价如下表所示： 型号 小包装 大包装 质量 克 克 包装费 元 元 售价 元 元 下列说法中正确的是(    ) A. 买小包装实惠 B. 买大包装实惠 C. 卖包小包装比卖包大包装盈利多 D. 卖包大包装比卖包小包装盈利多 【答案】BD  【解析】包小包装每元可买饼干克，包大包装每元可买饼干克， 因此，买大包装实惠． 卖包小包装可盈利元，卖包大包装可盈利元， 因此，卖包小包装比卖包大包装盈利少故选BD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知某个店铺销售的某商品价格为元件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过元的部分按照返现，超过元的部分按照返现若促销活动期间在该店铺购买件商品，所需费用支付款减去返现为元，则时，          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了求具体函数的解析式，属于基础题． 根据已知条件，结合所需费用支付款返现列式即可． 【解答】 解：当时，． 故答案为． 8.某口罩批发商在疫情期间销售口罩，口罩规格为每包只，每包成本价元．经过一段时间，批发商发现当以每包元出售，每天销量包，若每包口罩的批发价每涨元，销售量就减少包．当定价每包          元时，批发商可获得利润最大． 【答案】  【解析】【分析】 设每包口罩的批发价涨元，批发商获得的利润为元，由题意写出关于的函数值，再由二次函数求最值． 本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用二次函数求最值，是基础题． 【解答】 解：设每包口罩的批发价涨元，批发商获得的利润为元， 则． 当时，取得最大值． 即当定价每包元时，批发商可获得利润最大． 故答案为． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形图中阴影部分上铺花岗岩地坪，造价为元；再在四个空角图中四个三角形铺草坪，造价为元． 设总造价为单位：元，长为单位：，求出关于的函数关系式； 当长取何值时，总造价最小，并求这个最小值． 【答案】解：设，， 则，， 则 ，； 因为 ，， 当且仅当，即时上式等号成立． 故当的长为米时，总造价有最小值元．  【解析】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式求最值，属于基础题． 设，，根据长方形、正方形面积公式，把用含有的代数式表示，再由相应单价乘以面积得出总造价关于的函数关系式 把中的函数解析式利用基本不等式求出最小值即可． 10.本小题分 随着生活水平的提高，单人写真、旅行跟拍、家庭摄影等逐渐成为了平价且普遍的消费某大型摄影工作室现计划投入万元升级拍摄设备，同时由于需要更新道具、租用场地、招收员工、提升技术等，每年额外还有一笔持续的支出结合经验，该工作室预测未来五年内的收支情况为：除升级设备的花费外，前年总共的额外持续支出约为万元，且平均每年的营业额约万元． 求工作室未来五年内的前年的总利润单位：万元； 在未来五年内，对于部分摄影设备，该工作室有两种决策方案． 方案一：当总利润达到最大值时，将这些摄影设备以万元的价格售出； 方案二：当平均年利润达到最大值时，将这些摄影设备以万元的价格售出． 假设设备均能按预期价格顺利售出，该工作室应采取哪种方案？具体如何决策？说明理由． 【答案】解：由题意可知，，且； 方案一，总利润，对称轴为， 又因为，且， 所以当或时，取得最大值万元， 此时售出设备后总收益为万元， 方案二，平均年利润为， 当且仅当，即时，等号成立， 此时售出设备后总收益为万元， 两种方案的总收益相同，但是方案二所需时间较短， 所以该工作室应采取方案二．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（北师大版）第五章 函数的应用 5.2.1 实际问题的函数刻画 课堂限时训练 考试时长：30分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.“每天进步一点点”可以用数学来诠释：假如你今天的数学水平是，以后每天比前一天增加千分之五，经过天之后，你的数学水平与之间的函数关系式为  (    ) A. B. C. D. 2.某地西红柿从月日起开始上市通过市场调查，得到西红柿种植成本单位：元与上市时间单位：天的数据如下表： 时间 种植成本 根据上表数据，函数，，，能够描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系的是(    ) A. B. C. D. 3.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量升 加油时的累计里程千米 月日 月日 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每千米平均耗油量为(    ) A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 4.已知超市内某商品的日销量单位：件与当日销售单价单位：元满足关系式，其中，为常数．当该商品的销售单价为元时，日销量为件．若该商品的进价为每件元，则超市内该商品的日利润最大为(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了，两种计件工资核算方案，员工的计件工资单位：千元与其生产的产品件数单位：百件的函数关系如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. 当某员工生产的产品件数为时，该员工采用，方案核算的计件工资相同 B. 当某员工生产的产品件数为时，该员工采用方案核算的计件工资更多 C. 当某员工生产的产品件数为时，该员工采用方案核算的计件工资更多 D. 当某员工生产的产品件数为时，该员工的计件工资最多为元 6.已知某食品厂生产克饼干的总费用为元，现该食品厂对饼干采用两种包装，其包装费及售价如下表所示： 型号 小包装 大包装 质量 克 克 包装费 元 元 售价 元 元 下列说法中正确的是(    ) A. 买小包装实惠 B. 买大包装实惠 C. 卖包小包装比卖包大包装盈利多 D. 卖包大包装比卖包小包装盈利多 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知某个店铺销售的某商品价格为元件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过元的部分按照返现，超过元的部分按照返现若促销活动期间在该店铺购买件商品，所需费用支付款减去返现为元，则时，          ． 8.某口罩批发商在疫情期间销售口罩，口罩规格为每包只，每包成本价元．经过一段时间，批发商发现当以每包元出售，每天销量包，若每包口罩的批发价每涨元，销售量就减少包．当定价每包          元时，批发商可获得利润最大． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形图中阴影部分上铺花岗岩地坪，造价为元；再在四个空角图中四个三角形铺草坪，造价为元． 设总造价为单位：元，长为单位：，求出关于的函数关系式； 当长取何值时，总造价最小，并求这个最小值． 10.本小题分 随着生活水平的提高，单人写真、旅行跟拍、家庭摄影等逐渐成为了平价且普遍的消费某大型摄影工作室现计划投入万元升级拍摄设备，同时由于需要更新道具、租用场地、招收员工、提升技术等，每年额外还有一笔持续的支出结合经验，该工作室预测未来五年内的收支情况为：除升级设备的花费外，前年总共的额外持续支出约为万元，且平均每年的营业额约万元． 求工作室未来五年内的前年的总利润单位：万元； 在未来五年内，对于部分摄影设备，该工作室有两种决策方案． 方案一：当总利润达到最大值时，将这些摄影设备以万元的价格售出； 方案二：当平均年利润达到最大值时，将这些摄影设备以万元的价格售出． 假设设备均能按预期价格顺利售出，该工作室应采取哪种方案？具体如何决策？说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $