第五章 2.1 实际问题中的函数刻画-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　§２　实际问题中的函数模型 　　　２．１　实际问题中的函数刻画 １．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于 时间t变化的图象如图所示,那么图象所 对应的函数模型是 (　　) A．一次函数　　　　B．二次函数 C．分段函数 D．无法确定 ２．一等腰三角形的周长为２０,底边y是关 于腰长x 的函数,则它的解析式为 (　　) A．y＝２０－２x(x≤１０) B．y＝２０－２x(x＜１０) C．y＝２０－２x(５≤x≤１０) D．y＝２０－２x(５＜x＜１０) ３．某汽车销售公司在A,B 两地销售同一 品牌的汽车,在A 地的销售利润(单位: 万元)y１＝４．１x－０．１x２,在B 地的销售 利润(单位:万元)y２＝２x,其中x 为销 售量(单位:辆),若该公司在两地共销 售１６辆该品牌的汽车,则能获得的最 大利润是 (　　) A．１０．５万元 B．１１万元 C．４３万元 D．４３．０２５万元 ４．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量 x(双)之间的关系为y＝５x＋４００００．而 手套出厂价格为每双１０元,要使该厂 不亏本至少日产手套 (　　) A．２０００双 B．４０００双 C．６０００双 D．８０００双 ５．(多选)如图①是反映某条公交线路收 支差额(即营运所得票价收入与付出成 本的差)y与乘客量x 之间关系的图象． 由于目前该条公交线路亏损,公司有关 人员提出了两种调整的建议,如图②③ 所示． 则下列说法中,正确的是 (　　) A．图②的建议:提高成本,并提高票价 B．图②的建议:降低成本,并保持票价 不变 C．图③的建议:提高票价,并保持成本 不变 D．图③的建议:提高票价,并降低成本 ６．(多选)某厂有许 多形 状 为 直 角 梯 形的铁皮边角料, 为了降低消耗,现 要从 这 些 边 角 料 上截 取 矩 形 铁 片 (如图所示)．当截取的矩形面积最大 时,矩形两边的长x,y应为 (　　) A．x＝１５ B．x＝１２ C．y＝１２ D．y＝１４ ７．如 图 所 示,在 矩 形 ABCD 中,已知AB ＝１３,BC ＝３,在 AB,AD,CD,CB 上 分 别 截 取 AE, AH,CG,CF,且 AE＝AH＝CG＝CF ＝x,则x＝　　　　时,四边形EFGH 的面积最大,最大面积为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４４３􀅰 必修第一册 ８．某服装公司生产的衬衫每件销售价８０ 元,在某城市年销售８万件．现服装公 司将每件衬衫的销售价降低到 ８０ １＋r％ 元,但 降 价 后 每 年 的 销 售 量 会 增 加 ０．６２r万件,则降价后,公司在该城市的 销售额(销售额＝销售价×销售量)等 于　　　　 　(单位:万元)． ９．某产品的总成本C 与年产量Q 之间的 关系为C＝aQ２＋３０００,其中a为常数, 且当年产量为２００时,总成本为１５０００． 记 该 产 品 的 平 均 成 本 为 f(Q) 平均成本＝ 总成本 年产量 æ è ç ö ø ÷, 则 当 Q ＝ 　　　　 ,f(Q)取得最小值,这个最小值 为　　　　． １０．大气中的温度随着高度的上升而降 低,根据实测的结果上升到１２km 为 止,温度的降低大体上与升高的距离 成正比,在１２km以上温度一定,保持 在－５５℃． (１)当地球表面大气的温度是a ℃时, 在xkm 的上空为y ℃,求０≤x≤１２ 时,a,x,y间的函数关系式; (２)当地球表面大气的温度是２９ ℃ 时,３km上空的温度是多少? １１．１０辆货车从A 站匀速驶往相距２０００ 千米的B 站,其时速都是v千米/时, 为安全起见,要求:每辆货车时速不得 超过１００千米/时,每辆货车间隔kv２ 千米(k为常数,货车长度忽略不计)． 将第一辆货车由A 站出发到最后一辆 货车到达B 站所需时间t表示为v 的 函数f(v)． (１)求函数t＝f(v),并写出v的取值 范围; (２)若k＝５８１ ,请问当v取何值时,t有 最小值? 并求出最小值． １２．食品安全问题越来越引起人们的重 视,农药、化肥的滥用对人类的健康造 成了一定的危害,为了给消费者提供 放心的蔬菜,某农村合作社将每年投 入２００万元,搭建甲、乙两个无公害蔬 菜大棚,每个大棚至少要投入２０万 元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄 瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红 柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q 与 投入a(单位:万元)分别满足P＝８０＋ ４ ２a,Q＝１４a＋１２０ ,设甲大棚的投入 为x(单位:万元),每年两个大棚的总收 益为f(x)(单位:万元)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５４３􀅰 第五章　函数应用 (１)求f(５０)的值; (２)试问如何安排甲、乙两个大棚的投 入,才能使总收益f(x)最大? １３．A、B 两城相距１００km,拟在两城之间 距A 城xkm 处建一发电站给A,B 两 城供电,为保证城市安全,发电站距城 市的距离不得小于１０km．已知供电费 用等于供电距离(单位:km)的平方与 供电量(单位:亿度)之积的０．２５倍, 若每月向A 城供电２０亿度,每月向B 城供电１０亿度． (１)求x的取值范围; (２)把月供电总费用y 表示成关于x 的函数; (３)发电站建在距A 城多远处,能使供 电总费用y最少? １４．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能 源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造 隔热层．某幢建筑物要建造可使用２０ 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造 成本为６万元．该建筑物每年的能源 消耗费用为C(单位:万元)与隔热层厚 度x(单 位:cm)满 足 关 系:C(x)＝ k ３x＋５ (０≤x≤１０)．若不建隔热层,每 年能源消耗费用为８万元．设f(x)为 隔热层建造费用与２０年的能源消耗 费用之和． (１)求k的值及f(x)的表达式; (２)隔热层修建多厚时,总费用f(x) 达到最小? 并求最小值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６４３􀅰 必修第一册 因为|０．２７３４３７５－０．２８１２５|＝０．００７８１２５＜０．０１,所 以方程的根的近似值为０．２７３４３７５,即f(x)＝０的正 根约为０．２７３４３７５． １３．解:(１)证明:f(x)＝lnx＋２x－６在(０,＋∞)上是增 函数, ∴f(x)至多有一个零点． 由于f(２)＝ln２－２＜０,f(３)＝ln３＞０, ∴f(２)􀅰f(３)＜０． ∴f(x)在(２,３)内有一个零点． ∴f(x)在(０,＋∞)上只有一个零点． (２)∵f(２)＜０,f(３)＞０,取x１＝ ２＋３ ２ ＝ ５ ２ , f ５２( )＝ln ５ ２＋５－６＝ln ５ ２－１＜０ , ∴f(３)􀅰f ５２( ) ＜０． ∴f(x)零点x０∈ ５ ２ ,３( )．取x２＝ ５ ２＋３ ２ ＝ １１ ４ , 则f １１４( )＝ln １１ ４＋２× １１ ４－６＝ln １１ ４－ １ ２＞０． ∴f １１４( ) 􀅰f ５ ２( ) ＜０．∴x０∈ ５ ２ ,１１ ４( )． ∵ １１４－ ５ ２ ＝ １ ４≤ １ ４ , ∴满足题意的区间为 ５２ ,１１ ４( )． １４．解:∵f(１)＞０,∴f(１)＝３a＋２b＋c＞０, 即３(a＋b＋c)－b－２c＞０． ∵a＋b＋c＝０,∴a＝－b－c,－b－２c＞０, ∴－b－c＞c,即a＞c． ∵f(０)＞０,∴f(０)＝c＞０,∴a＞０． 取区间[０,１]的中点１２ , 则f １２( )＝ ３ ４a＋b＋c＝ ３ ４a＋ (－a)＝－１４a＜０． ∵f(０)＞０,f(１)＞０, ∴函数 f(x)在 区 间 ０,１２( ) 和 １ ２ ,１( ) 上 各 有 一 个 零点． 又f(x)为二次函数,最多有两个零点． ∴f(x)＝０在区间[０,１]内有两个实根． §２　实际问题中的函数模型 ２．１　实际问题中的函数刻画 １．C　２．D　３．C ４．D　[由已知１０x－(５x＋４００００)≥０．解得x≥８０００．] ５．BC　[根据题意和图②知,两直线平行即票价不变,直线 向上平移说明当乘客量为０时,收入是０,但是支出变少 了,即说明此建议是降低成本而保持票价不变,故 B正 确;由图③可以看出,当乘客量为０时,支出不变,但是直 线的倾斜角变大,即相同的乘客量时收入变大,即票价 提高了,即说明此建议是提高票价而保持成本不变,故 C 正确．] ６．AC　[结合题图,可得x２０＝ ２４－y １６ ,得y＝２４－４x５ ,矩形 铁片的面积S＝xy＝x ２４－４x５( ) ＝－ ４x２ ５ ＋２４x ,所以当 x＝－ ２４ ２× －４５( ) ＝１５时,S最大,此时y＝２４－４５×１５ ＝１２．] ７．解析:设 四 边 形 EFGH 的 面 积 为S,则 S＝１３×３－ ２ １２x ２＋１２ (１３－x)(３－x)[ ] ＝－２x２＋１６x＝－２(x－４)２＋３２,x∈(０,３]． 因为S＝－２(x－４)２＋３２在(０,３]上是增函数,所以当x ＝３时,S有最大值,为３０． 答案:３　３０ ８．解析:由题意可知,服装公司将每件衬衫的销售价降低 到 ８０ １＋r％ 元,则销售量为(８＋０．６２r)万件,因此,服装公 司在该城市的销售额为 ８０ １＋r％ (８＋０．６２r)万元． 答案: ８０ １＋r％ (８＋０．６２r) ９．解析:某产品的总成本C与年产量Q 之间的关系为C＝ aQ２＋３０００,其中a为常数,且当年产量为２００时,总成 本为１５０００．可得１５０００＝４００００a＋３０００,解得a＝３１０ , 所以C＝ ３１０Q ２＋３０００,该 产 品 的 平 均 成 本 为f(Q)＝ ３Q １０＋ ３０００ Q ≥２ ３Q １０× ３０００ Q ＝６０． 当且仅当３Q １０＝ ３０００ Q , 解得Q＝１００,即 Q＝１００时,f(Q)取得最小值,最小值 为６０． 答案:１００　６０ １０．解:(１)由题意知y－a＝kx(０≤x≤１２,k＜０), 即y＝a＋kx． ∵当x＝１２时,y＝－５５,∴－５５＝a＋１２k, 解得k＝－５５＋a１２ , ∴当０≤x≤１２时,y＝a－５５＋a１２ x , ∴所求的函数关系式为y＝a－５５＋a１２ x (０≤x≤１２)． (２)当a＝２９,x＝３时,y＝２９－５５＋２９１２ ×３＝８ (℃), 即当地球表面大气的温度是２９℃时,３km 上空的温度 是８℃． １１．解:(１)由题意,可得t＝f(v)＝２０００＋９kv ２ v , ０＜v≤１００． (２)由k＝５８１ ,可得t＝２０００v ＋ ５v ９ ＝５９ v＋ ３６００ v( )． 又０＜v≤１００,所以由均值不等式得t≥ ５９×２ ３６００ ＝２００３ ,当且仅当v＝３６００v ,即v＝６０时等号成立． 故tmin＝f(６０)＝ ２００ ３ ． 所以当v＝６０千米/时,t取得最 小值,最小值为２００ ３ 小时． １２．解:(１)因为甲大棚投入５０万元,则乙大棚投入１５０万 元,所以f(５０)＝８０＋４ ２×５０＋１４×１５０＋１２０ ＝２７７．５． (２)f(x)＝８０＋４ ２x＋１４ (２００－x)＋１２０ ＝－１４x＋４ ２x＋２５０ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９０４􀅰 参考答案 依题意得 x≥２０, ２００－x≥２０{ ⇒２０≤x≤１８０, 故f(x)＝－１４x＋４ ２x＋２５０ (２０≤x≤１８０)． 令t＝ x∈[２ ５,６ ５],则f(x)＝－１４t ２＋４ ２t＋２５０ ＝－１４ (t－８ ２)２＋２８２, 当t＝８ ２时,即x＝１２８时,f(x)max＝２８２, 所以甲大棚投入１２８万元,乙大棚投入７２万元时,总收 益最大,为２８２万元． １３．解:(１)x的取值范围为{x|１０≤x≤９０}． (２)y＝０．２５×x２×２０＋０．２５×(１００－x)２×１０ ＝１５２x ２－５００x＋２５０００(１０≤x≤９０)． (３)y＝１５２x ２－５００x＋２５０００ ＝１５２ x－ １００ ３( ) ２ ＋５００００３ , 当x＝１００３ 时,y取得最小值, ymin＝ ５００００ ３ ． 故发电 站 建 在 距 A 城１００３ km 处,能 使 供 电 总 费 用y 最少． １４．解:(１)由题意知C(０)＝８,代入C(x)的关系式,得k＝ ４０,因此C(x)＝ ４０３x＋５ (０≤x≤１０),而每厘米厚的隔热 层建造成本为６万元,所以隔热层建造费用与２０年的 能源消耗费用之和为f(x)＝２０C(x)＋６x＝ ８００３x＋５＋６x (０≤x≤１０)． (２)法一:令t＝３x＋５(０≤x≤１０),则５≤t≤３５,将f(x) 变形得函数h(t)＝８００t ＋２t－１０ (５≤t≤３５)．令５≤t１＜ t２≤３５,则h(t１)－h(t２)＝(t１－t２)２－ ８００ t１t２( ) ,则当５≤ t１＜t２≤２０时,h(t１)－h(t２)＝(t１－t２)２－ ８００ t１t２( ) ＞０; 当 ２０≤t１ ＜t２ ≤３５ 时,h(t１)－h(t２)＝ (t１ －t２) ２－８００t１t２( ) ＜０．所以h(t)＝ ８００ t ＋２t－１０ (５≤t≤３５)在区 间[５,２０]上单调递减,在区间[２０,３５]上单调递增,所以 当t＝２０时,h(t)min＝７０,即当t＝３x＋５＝２０,x＝５时, f(x)min＝７０．所以当隔热层修建５cm厚时,总费用达到 最小,为７０万元． 法二:f(x)＝ ８００３x＋５＋６x＝ １６００ ６x＋１０＋６x＋１０－１０≥ ２ １６００－１０＝２×４０－１０＝７０,当且仅当６x＋１０＝ ４０,即x＝５时取等号．故当隔热层修建５cm 厚时,总费 用达到最小,为７０万元． ２．２　用函数模型解决实际问题 １．C ２．C　[当x＝１时,由３０００＝alog３(１＋２),得a＝３０００,所 以到２０２４年冬,即当x＝７时,有３０００×log３(７＋２)＝ ６０００(只)．] ３．BC ４．C　[经过x天后,“进步”与“落后”的比１．２ x ０．８x ≥１００００,所 以 ３ ２( ) x ≥１００００,两边取以１０为底的对数得x􀅰lg３２ ≥４,又lg２≈０．３０１,lg３≈０．４７７,所以x􀅰(lg３－lg２) ＝x(０．４７７－０．３０１)＝０．１７６x≥４,解 得 x≥ ４０．１７６≈ ２２．７３,所 以 大 约 经 过 ２３ 天 后,“进 步 ”是 “落 后 ” 的１００００倍．] ５．ABD ６．ABD　[图象过(１,２)点,∴２＝a１,即a＝２, ∴y＝２t, ∵２ t＋１－２t ２t ＝２ t(２－１) ２t ＝１, ∴每月的增长率为１,A正确． 当t＝５时,y＝２５＝３２＞３０,∴B正确． ∵第二个月比第一个月增加y２－y１＝２２－２＝２(m２),第 三个月比第二个月增加y３－y２＝２３－２２＝４(m２)≠y２－ y１,∴C不正确． ∵２＝２t１,３＝２t２,６＝２t３, ∴t１＝log２２,t２＝log２３,t３＝log２６, ∴t１＋t２＝log２２＋log２３＝log２６＝t３,D正确．] ７．２００ ８．９ ９．解析:(１)由题意知,该种药物在血液中以每小时２０％的 比例衰减,给某病人注射了该药物２５００mg,经过x 个 小时 后,药 物 在 病 人 血 液 中 的 量 为y＝２５００× (１－ ２０％)x＝２５００×０．８x (mg),即 y 与x 的 关 系 式 为 y＝２５００×０．８x． (２)当该药物在病人血液中的量保持在１５００mg以上 时,才 有 疗 效;而 低 于 ５００ mg 时,病 人 就 有 危 险, ∴令２５００×０．８x ≥５００,即０．８x ≥０．２．∵０．８７．２≈０．２, y＝０．８x是单调递减函数,∴x≤７．２,∴要使病人没有危 险,再次注射该药物的时间不能超过７．２小时． 答案:(１)y＝２５００×０．８x　(２)７．２ １０．解析:①设函数s(t)表 示 此 人 第 一 天 距 离 A 地的路程,则是一个不 减的函数,设函数l(t) 表示 此 人 第 二 天 距 离 A 地的路程,则是一个 不增的函数,其中t表 示时间,s(t)、l(t)的定 义域都是[０,６],值域相同．同一坐标系画出s(t)、l(t) 的图象,必有一个交点,即两天中在此刻经过此点(如 图１),故①正确; ②画出两天的速度(自变量为时间t)函数图象并求与x 轴围成的面积,就是路程,不可能一个总在另一个下方． 在交点处时刻,他们的速度相等(如图２),故②正确; ③在某个路程函数s(t)中,过s(t)上一点作平行于t,s 轴的矩形,如果四个顶点都在曲线上,则意味着速度的 绝对值相等,(对角线就是割线,斜率就是平均速度), 但不是每种函数曲线都能成功,图３ 显示可以,函数模 型就是两个一次函数,图４显示不成功,可以构造函数 模型为(这里假定时间t∈(０,６),AB 之间距离为４), s(t)＝ １ ２t ,t∈(０,２) ３ ４t－ １ ２ ,t∈[２,６) ì î í ïï ï , l(t)＝ －３t＋４,t∈(０,１) －１５ (t－６),t∈[１,６){ ．在 这 个 图 象 上 经 计 算, 找不到这样的矩形,故③错误． ∴正确的说法是①②． 答案:①② 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１４􀅰 必修第一册