专题05 二次函数图象与线段（举一反三专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“知识点-题型-变式”三级架构系统整合二次函数与线段关系，提炼6类线段问题的转化方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |横竖线段|1例3变式|平行坐标轴线段坐标差法|从基础坐标运算到复杂线段转化| |斜线段|1例3变式|勾股定理/特殊角转化|坐标法向几何转化过渡| |等线段|1例3变式|等腰性质/勾股方程|线段等量关系的代数表达| |倍线段|1例3变式|辅助线构造比例线段|线段倍数关系的几何转化| |平行|1例3变式|斜率相等判定法|函数与几何平行性质结合| |垂直|1例3变式|三垂直全等构造法|垂直关系的几何代数综合|

专题05 二次函数图象与线段（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 二次函数与横竖线段】 1 【题型2 二次函数与与斜线段】 8 【题型3 二次函数与等线段】 20 【题型4 二次函数与倍线段】 28 【题型5 二次函数与平行】 39 【题型6 二次函数与垂直】 52 知识点1 横竖线段 类型 横线段 竖线段 图示 解题思路 AB∥x轴 AB∥y轴 【题型1 二次函数与横竖线段】 【例1】如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，经过点的直线与该函数图象交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式及点的坐标； (2)点是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．当时，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为2，3或 【分析】（1）先求得点A坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式，进而可求解点C坐标； （2）由题意，点，的坐标分别为，，且， ，分当点在直线上方时和当点在直线下方时两种情况，结合坐标与图形列方程求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 解得，. 点在轴正半轴上， ∴点的坐标为. 设直线的函数表达式为. 将，两点的坐标，分别代入， 得， 解得， 直线的函数表达式为； 将代入，得， ∴点的坐标为； （2）解：由题意可知：点，的坐标分别为，，且， ∵点的坐标为， ∴，则， 如图，当点在直线上方时，， ∵， ∴解得 ∵ ∴ 如图，当点在直线下方时，， ∵， ∴解得， 综上，的值为2，3或． 【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点问题、待定系数法求函数表达式、坐标与图形、解一元二次方程等知识，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 【变式1-1】已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线l的解析式为，P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点Q，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数与二次函数综合，求函数解析式，一般利用待定系数法求解；二次函数与线段长之间的关系，一般用点的坐标表示出线段的长, （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点P的坐标为，则，根据得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把点和点代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵， ∴，即， ∴或， 解得或或或， ∴点P的坐标为或或或． 【变式1-2】如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、M．设，点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），请直接写出符合条件的m的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）先利用一次函数解析式求出B、C的坐标，再把B、C坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解析式即可； （2）分别求出，再分当点M是的中点时，当点P是中点时，当点D是的中点时，利用两点中点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，；当时，； ∴， 把代入到抛物线解析式中得， ∴ ∴抛物线解析式为； （2）解：∵直线与x轴垂直，， ∴， 当点M是的中点时， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当点P是中点时， ∴ ， ∴， 解得或（舍去）； 当点D是的中点时， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，m的值为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式1-3】如图，抛物线与x轴交于点    与y轴交于点C，点A的坐标为． (1)求b的值和点B，C的坐标； (2)若点D为的中点，点P为第一象限内抛物线上的一点，过点P作轴，垂足为H，与分别交于点，且，求点P的坐标； (3)若直线与抛物线交于两点，且有一个交点在第一象限，其中，若结合函数图象，探究n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式求出b，可得结论； （2）求出直线的解析式，设点P的坐标是，根据构建方程求解即可； （3）利用函数的性质，构建不等式，解决问题即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点 ∴抛物线的解析式为 令，可得， 解得或3， 令得到， ∴； （2）∵D是OC的中点，， ∴点D的坐标是， 由两点坐标可以求出直线BC的解析式为：． ∴由两点坐标可以求出直线BD的解析式为：． 设点P的坐标是则点，． ∴， ． 解得：（舍去）或， 当时， ∴点P的坐标为：； （3）当时，，即y随x的增大而增大， ∴， 当时，， ∴直线经过点，即点M与点A重合， 如解图所示，点N在第一象限，当，即 当时，，此时， 由解图可知，当时，， ∴n的取值范围为． ∴n的取值范围为：． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型． 知识点2 斜线段 类型 勾股转化 特殊角转化 图示 解题思路 【题型2 二次函数与斜线段】 【例2】（2025·湖北武汉·三模）已知，如图1，为平面直角坐标系的原点，过定点的直线与抛物线交于点（点在点左侧）． (1)若，则求直线的解析式； (2)若，试探究在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明原因； (3)如图2，分别过点作与抛物线均有唯一公共点的直线，直线的交点为，若，求的值． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3)4或5 【分析】（1）将代入，求出k即可； （2）先求出定点，联立抛物线和直线，得到，则，由得到，则，那么直线，，，，则，再按照对角线分三种情况，结合平行四边形的性质求解； （3）设，联立直线与抛物线得到一元二次方程，则，设直线，与抛物线联立得到，由点作与抛物线均有唯一公共点，则，，那么直线，同理可得直线，联立两直线求得，则，由，结合两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）解：存在，理由如下： 由题意得将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：由得， ∵直线过定点， ∴， 解得：， ∴， 联立得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴直线， ∴，，， ∴， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ①为对角线时， ， ∴， ∴； ②为对角线时， 则， ∴，直线 ∴，， ∴； ③为对角线时， 则， ∴， ∴，， ∴， 综上所述：存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或； （3）解：设， 联立得：， ∴， ∴， 设直线， 联立， 整理得：， ∵点作与抛物线均有唯一公共点， ∴，， ∴直线， 同理可得直线， ∴联立得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与直线的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，两点间距离公式等知识点，难度大，计算复杂． 【变式2-1】如图，抛物线过原点且交x轴于点A，顶点B的坐标为，抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线上的任意一点到定点F的距离与其到直线l：的距离总相等，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，MP，NQ分别垂直直线l于点P，Q，连接FP，FQ．若，则△FPQ的面积为__________． 【答案】5 【分析】过点F作FC⊥x轴交直线l于点C，先求出抛物线的解析式，再由抛物线上的任意一点到定点F的距离与其到直线l：的距离总相等，可得点F（2，0），进而得到CQ=1，点N，再求出直线MN的解析式，与抛物线解析式联立，可得点M（6，3），从而得到PQ=5，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作FC⊥x轴交直线l于点C， ∵顶点B的坐标为， ∴可设抛物线解析式为：， ∵抛物线过原点且交x轴于点A， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线上的任意一点到定点F的距离与其到直线l：的距离总相等， ∴OF=2，BF=1， ∴点F（2，0）， ∴FC=2FB=2， ∵， ∴， ∵NQ垂直直线l， ∴点N的横坐标为1， ∴点N， 设直线MN的解析式为， 把点N，F（2，0）代入得： ，解得：， ∴直线MN的解析式为， 联立得：， 解得：或（舍去）， ∴点M（6，3）， ∴PC=4， ∴PQ=5， ∴． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线与直线的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【变式2-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点为第四象限抛物线上一点，过点作轴平行线交直线于点，交轴于点．若，求的长； (3)将抛物线平移到顶点为坐标原点的抛物线，直线与抛物线交于，两点（点始终在点左侧），分别过点，与抛物线均只存在唯一公共点的直线，与轴分别交于，．若，求直线，的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）确定直线的解析式为，设，则，得到，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质得到，根据勾股定理得，再根据列出方程求解即可； （3）确定抛物线的解析式为，设，，且，设直线的解析式为，根据过点的直线与抛物线只存在唯一公共点，可得方程组有两个相同的解，即有两个相等的实数根，可确定直线的解析式为，继而可得直线的解析式为，通过联立方程组，得，再确定，，得到，然后由点、在直线上，可推出，最后由，可得出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点，交轴于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵抛物线的解析式为， 当时，得：， 解得：或， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴的长为； （3）∵将抛物线：平移到顶点为坐标原点的抛物线， ∴抛物线的解析式为， 设，，且， 设直线的解析式为， ∴，得：①， ∵过点的直线与抛物线只存在唯一公共点， ∴有两个相同的解，即有两个相等的实数根， ∴②， 将①代入②得：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 用同样的方法可得：直线的解析式为， 联立方程组，解得：， ∴， ∵直线：与轴交于点， 当时，得：， ∴， ∵直线：与轴交于点， 当时，得：， ∴， ∵， ∴，即， ∵点、在直线上， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，则， 当时，，则， ∴直线，的交点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合应用，本题考查二次函数的图像与性质及图像的平移，一次函数图像与性质，一元二次方程与二次函数之间的关系，待定系数法确定函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识点，解题的关键是理解直线与抛物线有唯一交点的含义． 【变式2-3】（2025·湖南益阳·模拟预测）如图1，已知抛物线，将抛物线向下平移个单位长度后得到抛物线，记抛物线的顶点为，坐标原点关于点的对称点为，过点且平行于轴的直线记为，抛物线上有一动点（位于轴的左边），连接并延长交抛物线于点，过点作平行轴交的延长线于点． (1)证明：点在直线上； (2)过点作垂直，垂足为，证明：是等腰三角形； (3)如图2，已知线段的端点、均在抛物线上，且，线段的中点为，当线段的长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明C点在直线l上：通过设A点坐标，求出直线与抛物线F的另一个交点B的坐标，再结合直线的解析式及平行y轴的条件，得出C点纵坐标为，从而证明其在直线l上； （2）证明是等腰三角形：根据A点坐标和的条件确定D点坐标，通过计算和，发现二者相等，即，进而证明为等腰三角形； （3）根据，以及中点坐标公式求得点点的轨迹满足,得出的纵坐标大于等于1，进而根据时，最短，从而求得点的横坐标，代入，进而求出此时A点的坐标． 【详解】（1）证明：已知抛物线E：向下平移1个单位长度后得到抛物线F， 抛物线F的解析式为， 顶点P的坐标为， 坐标原点关于点的对称点为Q， 点坐标为，那么直线l为， 设A点坐标为，，直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 得， 已知A点横坐标为m，设B点横坐标为n， 由根与系数的关系可得：，则， 把代入抛物线F， 可得， 点坐标为， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得：， 直线的解析式为， 轴， 点、点横坐标为， 把代入直线的解析式得，， 点纵坐标为， 即C点在直线l上； （2）证明：已知，D点在直线l：上且， 点坐标为， ， ， 对进行变形：， ， 则是等腰三角形； （3）解：如下图所示，过点作于， 设，，， 是中点， ，， 即，， 由勾股定理得， ∵， ∴ ∵， ∴ 代入得 整理得， ∴ 令， ∴（当且仅当，即取等号） ∴点的纵坐标的最小值为，此时横坐标为， 是中点，、在抛物线上，轴，轴， 当时，最短， ∴的横坐标为 由（1）可得的横坐标为 ∴ 解得： 把代入， 得． 知识点3 等线段 类型 等线段勾股定理 等线段等腰三角形 图示 解题思路 【题型3 二次函数与等线段】 【例3】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点（左右），交轴于点，直线分别交抛物线于、，连接，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第二象限抛物线上一点，过点作轴的平行线交直线于．设点的横坐标为，线段的长力；求与的函数关系式；（不要求写出自变量取值范围）． (3)在（2）的条件下，过点作，垂足为，过点作，垂足为，若．求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）首先确定D、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）设，则，设交轴于，得，，从而求出； （3）延长交于F，作轴交于M，轴交于L，交于K．由是等腰三角形，易知，直线的解析式为，首先证明，易知，，推出，解方程即可解决问题． 【详解】（1）解：在上，， 过点作点，则， ∴， 解得，, ∴， ∵， ∴， 把、坐标代入抛物线，得： 解得，， 抛物线解析式为； （2）设，则， 设交轴于， ，， ； （3）解：延长交于，作轴交于，交于， 作轴交于， 设直线解析式为， 把，代入解析式得， ， 解得，， 所以，直线解析式为：， 在上，， ∴是等腰直角三角形， 又， ∴， ， ， ， ， ， 为中点， ， 为的中位线，， 的横坐标为2，且在直线上， ∴， 又， ， ， ，， ， ， 解得， ∵在第二象限， ， ， 【变式3-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，以A为顶点的抛物线交y轴于点B，已知A，B两点的坐标分别为，连接． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)若将y轴向右平移6个单位长度，请直接写出此时抛物线对应的函数解析式． (3)抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在．点P的坐标为或 【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可设抛物线解析式为， 然后把点B代入进行求值即可； （2）根据题意求得平移后抛物线的顶点坐标，然后写出平移后抛物线的解析式； （3）设利用两点间的距离公式得到关于y的方程，通过解方程求得y的值， 进而由抛物线上点的坐标特征得到点P的横坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，. 把点B的坐标代入，得，解得． 所以该抛物线的解析式为：； （2）解：将y轴向右平移6个单位长度后该抛物线的顶点坐标为， 则平移后抛物线的解析式为：. （3）解：存在，理由如下： 设，，、. ，即. ， . ，即， 解得或（舍去）. 则， 解得或． 综上所述，点P的坐标是或． 【点睛】本题考查了二次函数图象的几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，两点间距离公式，以及待定系数法求二次函数解析式. 【变式3-2】已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)求点A，点B的坐标； (2)如图，过点A的直线l：与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接，，设点P的纵坐标为m，当时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)令y＝0解方程即可得到结果． (2)设P(1，m)，根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）当y＝0时，， ∴， ∴． （2）∵抛物线对称轴为：， ∴设P(1，m)， 由得， (舍去)，， 当x＝4时，y＝－4－1＝－5， ∴C（4，－5）， ∵， ∴ ∴， ∴m＝－3， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与轴的交点与一元二次方程的关系，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式3-3】抛物线y＝（x+m）2+m，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，D是抛物线的顶点． （1）如图1，若m＝﹣2时，求C，D的坐标； （2）如图2，直线OD交抛物线于E，P是对称轴上一点，若PB＝PD＝DE，求m的值． （3）如图3，当m＝﹣1时，Q是抛物线对称轴上的定点，若Q到抛物线上的任意一点的距离的最小值为1，求Q的坐标． 【答案】（1）；（2）或1；（3） 【分析】（1）当m＝﹣2时，y＝（x﹣2）2﹣2，分别可求C与D点坐标； （2）求出顶点D（﹣m，m），B（﹣m，0），在求出OD的直线解析式为y＝﹣x，进而求出E（﹣m﹣1，m+1），再分别求出PB＝，PD＝|m﹣n|，DE＝，结合已知即可求m的值； （3）当m＝﹣1时，y＝（x﹣1）2﹣1，有两个Q点满足条件：Q点为（1，﹣2）时，Q点到抛物线上任意一点的距离都大于等于1；求出抛物线上与顶点D距离为1的点的纵坐标为y＝，在求出D点关于直线y＝对称的点为Q（1，﹣2），这个Q点到抛物线上任意一点的距离都大于等于1． 【详解】解：（1）当m＝﹣2时，y＝（x﹣2）2﹣2， 令x＝0时，y＝2， ∴C（0，2）， ∴D（2，﹣2）； （2）y＝（x+m）2+m的顶点D（﹣m，m）， 令y＝0，则0＝（x+m）2+m， 解得x＝﹣﹣m或x＝﹣m， ∵点A在点B的左边， ∴B（﹣m，0）， 设OD的直线解析式为y＝kx， 则有﹣km＝m， ∴k＝﹣1， ∴y＝﹣x， 联立﹣x＝（x+m）2+m， 解得x＝﹣m或x＝﹣（m+1）， ∵E点在D点的左侧， ∴E（﹣m﹣1，m+1）， ∵函数的对称轴为x＝﹣m， 设P（﹣m，n）， ∴PB＝，PD＝|m﹣n|，DE＝， ∵PB＝PD＝DE， ∴＝|m﹣n|＝， 解得m＝0或m＝1+3或m＝1， 当m＝0时，D与O重合，不符合题意； ∴m＝1+3或m＝1； （3）当m＝﹣1时，y＝（x﹣1）2﹣1， 对称轴为x＝1，顶点D（1，﹣1）， 当Q点为（1，﹣2）时，QD＝1， 此时Q点到抛物线上任意一点的距离都大于等于1； 设抛物线上任意一点M（x，y）， 当DM＝1时，1＝（x﹣1）2+（y+1）2， ∴y2+3y+1＝0， 解得y＝或y＝（舍去）， 则D点关于直线y＝对称的点为Q（1，﹣2）， 此时Q点到抛物线上任意一点的距离都大于等于1； 综上所述：Q点坐标为（1，﹣2）或（1，﹣2）． 【点睛】本题考查二次函数的综合；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求图象上任意两点之间的距离是解题的关键． 知识点4 倍线段 类型 倍线段 图示 条件 结论 ，即 解题思路 作如图辅助线，则，即 【题型4 二次函数与倍线段】 【例4】如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点 （1）直接写出点A、B、C的坐标； （2）点为线段AB上一点（点M不与点AB重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的的面积； （3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若，求点F的坐标． 【答案】（1），，；（2），；（3）或 【分析】（1）直接令，求出，令，即， 解得或，即可得到答案； （2）由，则，再由且P、Q都在抛物线上，P、Q关于直线对称，则，从而得到矩形PMNQ的周长，利用二次函数的性质求出矩形的周长最大时，，即可得到AM的长，然后求出直线AC的解析式进而得到E点坐标，由此求解即可； （3）由，抛物线的对称轴为，则N应与原点重合，点Q与点C重合，可以得到则，设，则，由点G在点F的上方且，则，解方程即可． 【详解】解：（1）令，， ∴， 令，即， 解得或， ∴，； （2）由抛物线可知，对称轴为直线． ∵， ∴ ∴， ∵且P、Q都在抛物线上， ∴P、Q关于直线对称， ∴， ∴矩形PMNQ的周长 ∵，且a=-2＜0， ∴矩形的周长最大时，． ∵，， 设直线AC的解析式， ∴ ∴， ∴直线AC的解析式， 令，则， ∴， ∴，， ∴； （3）∵，抛物线的对称轴为直线， ∴N应与原点重合，点Q与点C重合， ∴， 把代入，解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 设，则， ∵点G在点F的上方且， ∴． 解得或， ∴或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，两点距离公式，一次函数与几何综合，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关性质． 【变式4-1】如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求与的值． (2)观察图象，直接写出不等式的解集是______． (3)如图2，点在抛物线上，且点在第四象限，轴，交轴于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数和一次函数的综合，以及一元二次方程的应用． （1）根据对称轴即可求出b的值，再把代入抛物线即可求出c的值． （2）设一次函数，可知一次函数经过B，C点，根据二次函数和一次函数的图像即可求解． （3）设，，则，然后根据题意列出关系a的一元二次方程，解方程即可求a 的值，进一步即可求出点的坐标 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴对称轴， 又∵对称轴， ∴， ∴， 把代入得：， ∵ ∴． （2）由（1）可知抛物线为：． 设一次函数，当时，，正好过C点 当时，则，正好过B点， 如下图： 根据函数图像可知，当时，则， 即当时，， 故答案为：． （3）设，， ∵点在抛物线上，且轴 ∴， ∵ ∴， 即， 解得，（舍去） 当时，， ∴ 【变式4-2】综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，交直线于点Q．    (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； (2)在点P运动的过程中，若，求点P的坐标； (3)在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、、， (2) (3)（，）或 【分析】（1）分别令，可求得A，B，C三点的坐标，再运用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）过点P作轴交直线于D，过点A作轴交直线于E，则，设，且，则，得 ，由，可得，进而得出，可得关于m的方程，解方程即可求得答案； （3）可设，利用勾股定理表示出，分三种情况讨论：当时，当时，当时，然后分别解方程求出n即可得到对应的Q点坐标． 【详解】（1）解：令，得， 解得：， ∴， 令，得：， ∴， 设直线的解析式为，则 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：如图，过点P作轴交直线于D，过点A作轴交直线于E， ∵，直线的函数表达式为， ∴， 设，且，则， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形， 设， ∵，， ∴，，， 当时，， 解得（舍去）， ∴Q点坐标为（，）； 当时，， 解得（舍去）， ∴Q点坐标为； 当时，， 解得（舍去）， 综上所述，存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，Q点坐标为（，）或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质等知识点，运用分类讨论思想和方程思想是解题的关键． 【变式4-3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知拋物线． (1)如图1，直线交抛物线L于M、N两点（M在N的左边）． ①求M，N两点的坐标； ②若点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴的平行线交线段于点G，过点P作轴的平行线交抛物线L于点H，满足，求点P的横坐标； (2)如图2，直线交抛物线L于A、B两点（点A在B的右边），直线交抛物线L于C、D两点（点C在D的左边），分别交轴于E、F两点，试问的值是否为定值，说明你的理由． 【答案】(1)①，；②点P的横坐标为或 (2)的值为定值，理由见解析 【分析】（1）①联立拋物线和直线进行求解即可；②根据点P为直线下方抛物线上的点，点G在直线上，且轴，点H在抛物线L上，且轴表达出点P、G、H的坐标进而进行求解即可； （2）设点，点，点，点，直线的解析式为，直线的解析式为，解出两个直线的解析式，再表达出的值，结合题意解出的值，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵直线交抛物线L于M、N两点， ∴联立解析式得， 解得和， ∵M在N的左边， ∴，； ②∵点P为直线下方抛物线上的点， ∴设点的坐标为，其中， ∵点G在直线上，且轴， ∴点为， ∵点H在抛物线L上，且轴， ∴点H的坐标为，且， 解得或（舍去）， ∴点H为， ∴ ， ， ∵， ∴ ， 当时，，方程化为： 解得， ∵， ∴， 当时，，方程化为： 解得， ∵， ∴， 综上所述，点P的横坐标为或； （2）解：的值为定值，理由如下， 根据题意得设点，点，点，点， ∵四点都在抛物线上， ∴联立得和， ∴和是方程的根，且，和是方程的根，且， ∴，， ∵直线过点和，与y轴交于点E，直线过点和，与y轴交于点F， ∴设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， ∵点E、F在y轴上，且点E在上，点F在上， ∴分别将对两个解析式进行代入得，， ∵，， ∴，， ∴点E为，点F为， ∴， ∴ ， ∵点A在抛物线和直线上，点D在抛物线和直线上，且抛物线为， ∴， ∴ ， 则代回得， ， ∴为定值． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数与二次函数的交点问题，熟知二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 知识点5 线平行 类型 线平行k相等 图示 条件 ， 结论 ①若AB∥CD，则 ②若，则AB∥CD 【题型5 二次函数与平行】 【例5】如图1，抛物线经过点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，点为轴下方抛物线上一动点，过点作的平行线交直线于点，当时，求出点的坐标； (3)如图2，若经过点的直线与抛物线交于、两点，点在点右边，经过点的两直线、与抛物线均有唯一公共点，且、与轴不平行，试说明点在某条定直线上运动，并求出这条定直线． 【答案】(1) (2) (3)点在定直线：上运动 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先判断出，进而判断出点是中点，再求出解析式，判断出，即可得出解析式，和抛物线解析式联立解方程组即可得出结论； （3）分别设出点和点的横坐标，表示过点和点的直线，根据两个函数有一个交点，求出直线和直线所在的直线解析式，联立求出点的坐标，最后根据根与系数的关系可消去参数，得出结论． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，取的中点， ， ，， ， ∵， 点到的距离等于点到的距离， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ∴， 抛物线的解析式为①， 令， ， 或， ， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， 直线解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， 直线的解析式为②， 联立①②，得， 解得：（舍或， ； （3）解：设经过点的直线解析式为， 则， ， ， 分别设和点的横坐标为，， ，． 令， 整理得， ，． 设过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 设过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 令，整理得， 由题意可知，， 整理得． 同理可得． 过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 令，解得， ，即， 点的纵坐标为． 即点在定直线：上运动． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系，平行四边形的判定和性质，等高的两三角形面积的比等于底的比，（2）判断出是解本题的关键，（3）得出点的坐标是解题关键． 【变式5-1】（第二十二章二次函数突破20二次函数与线段（三）平行线）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，E，F为线段上两点，分别交抛物线于另一点M，N．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】设，由可得，则，利用待定系数法求出直线、的解析式，联立可得M、N的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法可求出，同理可得直线的解析式为，即可得出结论． 【详解】证明：设， ， ， 令，则， 解得：，， ，， 设直线解析式为， 把，，代入，得 ，解得：， ∴直线， 同理可求得直线， 联立 则，得（舍去）或， ， 由， 得（舍去）或， ， 设直线， 解得， 即． ， 同理可求得直线， ， ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查二次函数性质、一次函数的性质、待定系数法求解析式，两直线相交或平行问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题． 【变式5-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，抛物线与x轴分别交于点A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求c的值； (2)若点D与C关于原点O对称，作射线交抛物线于点E，若． ①如图1，在直线下方的抛物线上有一点 P，若平分，求P点的横坐标； ②如图2，直线交抛物线于另一点 F，直线交抛物线于另一点H，且M，N分别为线段，的中点，若，求证：直线与经过原点的一条定直线平行． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，化简后可得c的值； （2）先计算出点和点的坐标，设点B坐标为，根据中点公式，计算出点E坐标．由于点B和点E都在抛物线上，解方程得出和的值． ①作轴，垂足为J，延长交于点K，作，垂足为，设，由角平分线容易证出，则，．在直角中，使用勾股定理计算出的值．使用待定系数法算出直线的解析式，联立抛物线和直线，求出点P的坐标； ②分别将直线和直线和抛物线联立，算出点和点的坐标，使用待定系数法算出直线的斜率，是一个定值．由于M，N分别为线段，的中点，结合中位线的性质可得，直线的斜率也是，因此直线与过原点的直线平行，命题得证． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， ，即， ∴； （2）解：， 令，则， ∴点C坐标为， ∵点D与C关于原点O对称， ∴点D坐标为， 设点B坐标为， ∵， ∴点D是的中点， 由中点公式可得， 解得，， ∴点E坐标为， 将，代入抛物线，得， ， 将得，，即， 将代入①得，， 解得，， ∴， ∴方程组的解为， ∴抛物线解析式为，点B坐标为，点E坐标为， ①如图，作轴，垂足为J，延长交于点K，作，垂足为，设， ∵点E坐标为，轴， ∴点J坐标为，， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在直角中，，，， 由勾股定理得，， ∴， 解得，， ∴点K坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得，， ∴直线的函数解析式为， 联立方程， 解得，或， ∴点P的横坐标为； ②证明：如图，连接， 将点E坐标为代入，得， ∴，即， 同理，，， 联立方程， 将③代入④得，， 化简，得， 因式分解，得， 解得，或， ∴方程组的解为或， ∴点F坐标为， 同理，点H坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 将得，， ∵，且， ∴，即， ∵M，N分别为线段，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴与过原点的定直线平行． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的解析式与图象，二次函数与一元二次方程，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握方程与函数之间的关系并运用数形结合思想是解题关键． 【变式5-3】（2026·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线是平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹． (1)求曲线的方程； (2)设直线与交于点为轴上一动点，将点绕点旋转后刚好落在曲线上，请直接写出所有满足条件的点的坐标； (3)已知轴上一定点，设曲线与轴交于点，(点在点的左侧)，过点作直线与交于点(不与点重合)．设直线与直线交于点，求证：点在一条定直线上运动． 【答案】(1)； (2)，，，； (3) 证明：令，则，解得，， ∵点在点的左侧， ∴，， 设点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点代入得， ∴， 即直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点代入得， ∴， 即直线的解析式为， 联立直线与的解析式，得， 解得，， 设直线的解析式为， ∵直线过点， 联立直线与曲线的方程，得， 消去得， ∵、是方程的两个根， ∴由韦达定理得，， 消去得， ∴， 即点的坐标满足， ∴点在定直线上运动． 【分析】（1）设曲线上任意动点坐标，利用两点间距离公式和点到直线的距离公式列出等式，对等式两边平方后展开、移项、合并同类项，化简后即可得到曲线的二次函数方程． （2）先将代入曲线方程求出点的坐标，设轴上动点的坐标，分点绕顺时针、逆时针旋转两种情况，构造直角三角形并证明全等，利用全等三角形的对应边相等转化坐标关系，得到旋转后点的坐标，再将代入曲线方程得到关于参数的一元二次方程，解方程即可求出的坐标． （3）先令曲线方程的，解一元二次方程求出与轴交点、的坐标，设、的坐标，分别求出直线、的解析式，联立解析式得到交点的横、纵坐标表达式，再设过定点的直线的解析式，与曲线方程联立，利用韦达定理得到、横坐标的和与积的关系，消去参数后将所得等式代入的坐标表达式，通过恒等变形推导出的横纵坐标满足的一次函数关系，从而证明点在定直线上． 【详解】（1）解：设曲线上任意一点，根据题意，点到定点的距离等于到定直线的距离， 即， 两边平方得：， 展开并化简得：， 即； 故曲线的方程为． （2）解：将代入，得，即， 设点的坐标为，点绕点旋转后得到的点为， 当点绕点顺时针旋转时，过点作与轴平行的直线，过点作于，过点作于，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， ∴， 展开整理得， 解得，， 即此时点的坐标为、， 当点绕点逆时针旋转时，同理可证， 可得，，此时点的坐标为， ∵点在曲线上， ∴， 展开整理得， 解得，， 即此时点的坐标为、， 综上，满足条件的点的坐标为、、、； （3）略 【点睛】本题以抛物线轨迹为背景，综合考查了轨迹方程的求法、平面直角坐标系内点的旋转性质、全等三角形的判定与性质、一次函数和二次函数的联立求解、韦达定理的应用以及代数式的恒等变形，同时侧重考查数形结合思想和代数运算能力，关键是将几何问题转化为代数坐标与方程问题，通过公式应用、方程联立和代数变形完成求解与证明 知识点6 垂直 类型 垂直构三垂直全等（或勾股） 图示 条件 解题思路 截取等线段构三垂直全等点Q坐标直线CP联立求点P 【题型6 二次函数与垂直】 【例6】在平面直角坐标系中，有一抛物线．    (1)抛物线分别交x轴于，交y轴于C，，连． ①直接写出抛物线和直线的解析式； ②如图1，D为第四象限抛物线上的一动点，连交于E，若，求D点坐标． (2)如图2，抛物线顶点为O点，A，B，C分别为抛物线上一点，C在第三象限，A，B两点关于y轴对称，连并延长交y轴于D，连交y轴于E，设D点的纵坐标为m，E点的纵坐标为n，，当与垂直时，求的长． 【答案】(1)①抛物线的解析式为，直线BC的解析式为；②； (2)． 【分析】（1）①设抛物线的解析式为，求得，代入求解即可； ②设，求得直线的解析式为，联立，求得，根据，列得，解方程即可求解； （2）设抛物线的解析式为，，则，直线的解析式为，直线的解析式为，联立求得，，根据根与系数的关系得到①，②，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过， ∴设抛物线的解析式为， ∵， ∴， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为，即； ∵，， ∴设直线BC的解析式为， ∴，解得， ∴直线BC的解析式为； ②设， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； （2）解：设抛物线的解析式为，    ∵A，B两点关于y轴对称， ∴设，则，，， 设直线的解析式为， ∴，整理得， ∵的横坐标是该方程的解， ∴①， 设直线的解析式为， ∴，整理得， ∵的横坐标是该方程的解， ∴②， ①②得， ∵， ∴，， ∴， ∵与垂直， ∴，又点O是线段的中点， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，直角三角形的性质，利用待定系数法求解析式，根与系数的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题． 【变式6-1】如图，对称轴为直线的抛物线图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为，点C的坐标为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，若点P为抛物线在第二象限内线段上方的一个动点，过P作垂直x轴于M交线段于点N．若．求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点P的坐标为 【分析】（1）根据对称轴为直线可得抛物线解析式为，然后代入，，求出a，k即可； （2）求出直线的解析式，设，则，然后根据列方程求出x即可． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴抛物线解析式为：， 把点，代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：； （2）如图，    ∵对称轴为直线，点B的坐标为， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 由（1）知该抛物线的解析式为：， 设，则， ∵， ∴， 解得：，（舍）， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握待定系数法，求出函数的解析式是解题的关键． 【变式6-2】如图，抛物线经过点，两点，对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)若过点C的直线l的表达式为，当直线l与抛物线有两个不同交点时，求k的取值范围； (3)在（2）条件下，当直线l与BC垂直时，与对称轴交于点E．此时抛物线上是否存在点P，使得，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）设抛物线的表达式为，根据抛物线经过点，两点，对称轴为，列方程组并解方程组即可； （2）直线l与抛物线有两个不同的交点得到，有两个不相等的实数根，即可求得k的取值范围； （3）设直线l与x轴交点为F，先求出点B的坐标，得到OB的长，由求得OF，得到点F的坐标，进而求得直线的表达式，得到点E的坐标，设点P的坐标为， 由可知：与同底为AB，则有点P与点E的纵坐标的绝对值相等，列方程求解m的值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，由题意得 解得 ∴抛物线的表达式为 （2）解：∵直线l与抛物线有两个不同的交点 ∴ 即 ∴ ∴ ∴k的取值范围为的任何实数． （3）解：设直线l与x轴交点为F， 当y＝0时， 解得， ∴点B的坐标是（6，0） ∴OB＝6， ∵点C的坐标是（0，3） ∴OC＝3 ∵FC⊥BC ∴∠FCB＝90°， ∴∠FCO＋∠COB＝90°， ∵∠OBC＋∠COB＝90° ∴∠FCO＝∠OBC ∵∠COB＝∠FOC ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 把点F代入得 解得k＝2 ∴ 直线的表达式是， ∵抛物线的对称轴为 ∴点E的横坐标是 当x＝时， ∴点E的坐标是（，8） 设点， 由可知：与同底为AB，则有点P与点E的纵坐标的绝对值相等， ∴， 又由点E的坐标是（，8） ∴或者， ①当时，无解； ②当时，解得：， 此时点P的坐标为或， 综上所述：当时，点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定和性质、一元二次方程、一次函数等知识，熟练掌握函数的性质是基础，根据题意列方程是关键． 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过，，三点，点的坐标是，点的坐标是，动点在抛物线上． (1) ， ，点的坐标为 ；(直接填写结果) (2)是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若动点在直线下方的抛物线上运动，求的边上的高的最大值． 参考知识：①设，则； ②若直线与直线垂直，则． 【答案】(1)，，； (2)存在，的坐标是或； (3) 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分是直角或为直角两种情况，分别求解即可； （3）根据三角形的面积公式结合二次函数的性质，即可得到结论． 【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为：， 令，则或，故点； 故答案为：，，； （2）存在， 理由：①当是直角时，过点作轴交轴于， 轴， 由点、的坐标知，，即， 为直角三角形， ， ， ， 设，， ， 或舍去， 点； ②当为直角时，过点作轴交轴于， 同理可得：点的坐标为：； 综上所述，的坐标是或； （3）设直线的解析式为， 把，代入得， ， 直线的解析式为为； 动点在直线下方的抛物线上运动， 设， 过作轴于，交于， ， ， ，， ， ， ， 当，的边上的高的最大值为． 【点睛】本题考查了三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，直角三角形的性质，正确地求出函数解析式是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数图象与线段（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 二次函数与横竖线段】 1 【题型2 二次函数与与斜线段】 3 【题型3 二次函数与等线段】 5 【题型4 二次函数与倍线段】 7 【题型5 二次函数与平行】 9 【题型6 二次函数与垂直】 11 知识点1 横竖线段 类型 横线段 竖线段 图示 解题思路 AB∥x轴 AB∥y轴 【题型1 二次函数与横竖线段】 【例1】如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，经过点的直线与该函数图象交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式及点的坐标； (2)点是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．当时，求的值． 【变式1-1】已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线l的解析式为，P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点Q，当时，求点P的坐标． 【变式1-2】如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、M．设，点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），请直接写出符合条件的m的值． 【变式1-3】如图，抛物线与x轴交于点    与y轴交于点C，点A的坐标为． (1)求b的值和点B，C的坐标； (2)若点D为的中点，点P为第一象限内抛物线上的一点，过点P作轴，垂足为H，与分别交于点，且，求点P的坐标； (3)若直线与抛物线交于两点，且有一个交点在第一象限，其中，若结合函数图象，探究n的取值范围． 知识点2 斜线段 类型 勾股转化 特殊角转化 图示 解题思路 【题型2 二次函数与斜线段】 【例2】（2025·湖北武汉·三模）已知，如图1，为平面直角坐标系的原点，过定点的直线与抛物线交于点（点在点左侧）． (1)若，则求直线的解析式； (2)若，试探究在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明原因； (3)如图2，分别过点作与抛物线均有唯一公共点的直线，直线的交点为，若，求的值． 【变式2-1】如图，抛物线过原点且交x轴于点A，顶点B的坐标为，抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线上的任意一点到定点F的距离与其到直线l：的距离总相等，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，MP，NQ分别垂直直线l于点P，Q，连接FP，FQ．若，则△FPQ的面积为__________． 【变式2-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点为第四象限抛物线上一点，过点作轴平行线交直线于点，交轴于点．若，求的长； (3)将抛物线平移到顶点为坐标原点的抛物线，直线与抛物线交于，两点（点始终在点左侧），分别过点，与抛物线均只存在唯一公共点的直线，与轴分别交于，．若，求直线，的交点坐标． 【变式2-3】（2025·湖南益阳·模拟预测）如图1，已知抛物线，将抛物线向下平移个单位长度后得到抛物线，记抛物线的顶点为，坐标原点关于点的对称点为，过点且平行于轴的直线记为，抛物线上有一动点（位于轴的左边），连接并延长交抛物线于点，过点作平行轴交的延长线于点． (1)证明：点在直线上； (2)过点作垂直，垂足为，证明：是等腰三角形； (3)如图2，已知线段的端点、均在抛物线上，且，线段的中点为，当线段的长最小时，求点的坐标． 知识点3 等线段 类型 等线段勾股定理 等线段等腰三角形 图示 解题思路 【题型3 二次函数与等线段】 【例3】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点（左右），交轴于点，直线分别交抛物线于、，连接，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第二象限抛物线上一点，过点作轴的平行线交直线于．设点的横坐标为，线段的长力；求与的函数关系式；（不要求写出自变量取值范围）． (3)在（2）的条件下，过点作，垂足为，过点作，垂足为，若．求点的坐标． 【变式3-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，以A为顶点的抛物线交y轴于点B，已知A，B两点的坐标分别为，连接． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)若将y轴向右平移6个单位长度，请直接写出此时抛物线对应的函数解析式． (3)抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)求点A，点B的坐标； (2)如图，过点A的直线l：与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接，，设点P的纵坐标为m，当时，求m的值． 【变式3-3】抛物线y＝（x+m）2+m，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，D是抛物线的顶点． （1）如图1，若m＝﹣2时，求C，D的坐标； （2）如图2，直线OD交抛物线于E，P是对称轴上一点，若PB＝PD＝DE，求m的值． （3）如图3，当m＝﹣1时，Q是抛物线对称轴上的定点，若Q到抛物线上的任意一点的距离的最小值为1，求Q的坐标． 知识点4 倍线段 类型 倍线段 图示 条件 结论 ，即 解题思路 作如图辅助线，则，即 【题型4 二次函数与倍线段】 【例4】如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点 （1）直接写出点A、B、C的坐标； （2）点为线段AB上一点（点M不与点AB重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的的面积； （3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若，求点F的坐标． 【变式4-1】如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求与的值． (2)观察图象，直接写出不等式的解集是______． (3)如图2，点在抛物线上，且点在第四象限，轴，交轴于点，若，求点的坐标． 【变式4-2】综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，交直线于点Q．    (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； (2)在点P运动的过程中，若，求点P的坐标； (3)在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知拋物线． (1)如图1，直线交抛物线L于M、N两点（M在N的左边）． ①求M，N两点的坐标； ②若点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴的平行线交线段于点G，过点P作轴的平行线交抛物线L于点H，满足，求点P的横坐标； (2)如图2，直线交抛物线L于A、B两点（点A在B的右边），直线交抛物线L于C、D两点（点C在D的左边），分别交轴于E、F两点，试问的值是否为定值，说明你的理由． 知识点5 线平行 类型 线平行k相等 图示 条件 ， 结论 ①若AB∥CD，则 ②若，则AB∥CD 【题型5 二次函数与平行】 【例5】如图1，抛物线经过点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，点为轴下方抛物线上一动点，过点作的平行线交直线于点，当时，求出点的坐标； (3)如图2，若经过点的直线与抛物线交于、两点，点在点右边，经过点的两直线、与抛物线均有唯一公共点，且、与轴不平行，试说明点在某条定直线上运动，并求出这条定直线． 【变式5-1】（第二十二章二次函数突破20二次函数与线段（三）平行线）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，E，F为线段上两点，分别交抛物线于另一点M，N．若，求证：． 【变式5-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，抛物线与x轴分别交于点A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求c的值； (2)若点D与C关于原点O对称，作射线交抛物线于点E，若． ①如图1，在直线下方的抛物线上有一点 P，若平分，求P点的横坐标； ②如图2，直线交抛物线于另一点 F，直线交抛物线于另一点H，且M，N分别为线段，的中点，若，求证：直线与经过原点的一条定直线平行． 【变式5-3】（2026·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线是平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹． (1)求曲线的方程； (2)设直线与交于点为轴上一动点，将点绕点旋转后刚好落在曲线上，请直接写出所有满足条件的点的坐标； (3)已知轴上一定点，设曲线与轴交于点，(点在点的左侧)，过点作直线与交于点(不与点重合)．设直线与直线交于点，求证：点在一条定直线上运动． 知识点6 垂直 类型 垂直构三垂直全等（或勾股） 图示 条件 解题思路 截取等线段构三垂直全等点Q坐标直线CP联立求点P 【题型6 二次函数与垂直】 【例6】在平面直角坐标系中，有一抛物线．    (1)抛物线分别交x轴于，交y轴于C，，连． ①直接写出抛物线和直线的解析式； ②如图1，D为第四象限抛物线上的一动点，连交于E，若，求D点坐标． (2)如图2，抛物线顶点为O点，A，B，C分别为抛物线上一点，C在第三象限，A，B两点关于y轴对称，连并延长交y轴于D，连交y轴于E，设D点的纵坐标为m，E点的纵坐标为n，，当与垂直时，求的长． 【变式6-1】如图，对称轴为直线的抛物线图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为，点C的坐标为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，若点P为抛物线在第二象限内线段上方的一个动点，过P作垂直x轴于M交线段于点N．若．求点P的坐标． 【变式6-2】如图，抛物线经过点，两点，对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)若过点C的直线l的表达式为，当直线l与抛物线有两个不同交点时，求k的取值范围； (3)在（2）条件下，当直线l与BC垂直时，与对称轴交于点E．此时抛物线上是否存在点P，使得，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过，，三点，点的坐标是，点的坐标是，动点在抛物线上． (1) ， ，点的坐标为 ；(直接填写结果) (2)是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若动点在直线下方的抛物线上运动，求的边上的高的最大值． 参考知识：①设，则； ②若直线与直线垂直，则． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $