第5章《分式与分式方程》暑假复习与巩固练习2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级下册复习巩固 第四章 因式分解 本章复习目标 理解分式的核心概念，掌握分式有意义、值为 0 的条件，熟练运用分式基本性质进行约分、通分，发展数学抽象与代数推理能力。 熟练掌握分式的乘除、加减及混合运算，能正确进行分式化简求值，提升代数运算能力，形成规范的运算习惯。 理解分式方程的概念与增根本质，掌握分式方程的标准解法，能列分式方程解决行程、工程、销售等实际问题，发展数学建模与应用意识。 本章知识框架 知识点复习 5.1 认识分式 知识点 1：分式的定义 一般地，用A,B表示两个整式，A÷B可以表示成_____的形式，如果B中含有______，那么称为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。 分式的三个核心条件： 形如的形式； A,B都是整式； 分母B中含有字母。 注意：π是常数不是字母，含π的式子不是分式。 知识点 2：分式的条件 分式有意义的条件：分母______，即B≠0； 分式无意义的条件：分母______，即B=0； 分式值为 0 的条件：分子______且分母______，即A=0且B≠0。 知识点 3：分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个______的整式，分式的值不变。 用式子表示：（其中M是不等于 0 的整式）。 易错提醒：必须强调M=0，否则分式无意义。 知识点 4：约分与最简分式 约分：把一个分式的分子和分母的_____约去，这种变形称为分式的约分。 约分的关键是确定分子分母的公因式，约分结果必须是整式或最简分式。 最简分式：分子和分母没有______的分式，叫做最简分式。 5.2 分式的乘除法 知识点 1：分式的乘法法则 两个分式相乘，把______相乘的积作为积的分子，把______相乘的积作为积的分母。 用式子表示：。 运算步骤：先约分，再相乘，结果化为最简分式。 知识点 2：分式的除法法则 两个分式相除，把除式的______颠倒位置后，再与被除式相乘。 用式子表示：。 核心：除法变乘法，除式颠倒，再按乘法法则计算。 知识点 3：分式的乘方 分式乘方，把分子、分母分别______，用式子表示：(ba​)n=bnan​（n为正整数）。 5.3 分式的加减法 知识点 1：同分母分式加减法 同分母的分式相加减，______不变，把______相加减。 用式子表示：。 注意：分子是多项式时，减法要给分子加括号，避免符号错误。 知识点 2：通分与最简公分母 根据分式的基本性质，异分母分式可以化为同分母分式，这一过程称为分式的______。 通分的关键是确定最简公分母，确定方法： 定系数：取各分母系数的______； 定字母 / 因式：取所有出现过的字母（或因式）； 定指数：取相同字母（或因式）的______次幂。 知识点 3：异分母分式加减法 异分母的分式相加减，先______，化为同分母的分式，再按同分母分式加减法法则计算。 用式子表示：。 知识点 4：分式的混合运算 分式混合运算顺序与整式一致：先算______，再算______，最后算加减；有括号先算括号内的，结果化为最简分式或整式。 5.4 分式方程 知识点 1：分式方程的定义 ______中含有未知数的方程叫做分式方程。 核心特征：分母里含有未知数，与整式方程的本质区别是分母是否含未知数。 知识点 2：分式方程的解法 解分式方程的核心思想是 “转化”，将分式方程转化为整式方程求解，标准步骤： 去分母：方程两边同乘______，约去分母，化为整式方程； 解整式方程：按一元一次方程解法求解； ______：把整式方程的根代入最简公分母，若最简公分母不等于 0，则是原方程的根；若最简公分母等于 0，则是增根，原方程无解。 知识点 3：增根 增根的定义：使得原分式方程______为 0 的根，它是去分母后整式方程的根，但不是原分式方程的根； 增根产生的原因：去分母时方程两边同乘了使分母为 0 的整式，扩大了未知数的取值范围。 知识点 4：分式方程的实际应用 列分式方程解应用题的一般步骤： 审：审题，找等量关系； 设：设未知数； 列：根据等量关系列分式方程； 解：解分式方程； 验：双检验 —— 检验是否是______，检验是否符合______； 答：写出答案。 常见题型：行程问题、工程问题、销售问题、浓度问题。 本章核心数学思想 【本章核心数学思想】 类比思想：类比分数的性质与运算学习分式，类比一元一次方程解法学习分式方程，实现知识正向迁移。 转化思想：将分式除法转化为乘法、异分母分式转化为同分母分式、分式方程转化为整式方程，化未知为已知。 数学建模思想：将行程、工程、销售等实际问题抽象为分式方程模型，用代数方法解决实际问题。 整体思想：分式化简求值中，将某一代数式看作整体代入，简化计算过程。 本章易错点提醒 分式条件判断错误：判断分式值为 0 时，只考虑分子为 0，忽略分母不为 0 的前提；判断分式有意义时，错把分子为 0 当作无意义。 分式性质应用错误：运用分式基本性质时，分子分母乘除不同的整式，或乘除了值为 0 的整式；约分漏乘符号。 分式运算符号错误：分子为多项式的减法运算，未给分子加括号，导致符号错误；除法运算未颠倒除式直接约分。 解分式方程漏检验：忘记检验增根，直接把整式方程的根当作原方程的解；去分母时漏乘不含分母的常数项。 通分约分错误：最简公分母找错，漏取字母最高次幂；约分不彻底，结果不是最简分式。 实际问题漏检验：只检验是否为增根，忘记检验解是否符合实际意义（如时间、长度为正）。 知识点练习 一、选择题 1.下列各式中，是分式的是（       ） A.a＋b B. C. D. 2.下列分式变形正确的是（        ） A. B. C. D. 3.下列计算正确的是（       ） A. B. C. D. 4.已知，则代数式的值为（       ） A. B. C. D. 5.某中学举行攀登一座高的山，第一小组的攀登速度是第二小组的倍．第一小组比第二小组早到达山顶，求两个小组的攀登速度各是多少，若设第二小组的速度为，则可列出方程为（     ） A. B. C. D. 6.若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A. B. C. D.2 7.如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A.﹣2 B.0 C.1 D.3 8.已知两个分式：；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；第二次操作，将作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；②当时，； ③在第（n为正整数）次操作的结果中：．以上结论正确的个数是（       ） A.0 B.1 C.2 D.3 二、 填空题 9.函数中，自变量的取值范围是________． 10.分式的最简公分母是________． 11.已知，则________． 12.若关于的分式方程有增根，则________． 13.关于的不等式组有解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为________． 三、 解答题  14.计算： （1）； （2）； （3）． 15.解分式方程： （1）； （2）． 16.已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为． （1）求的值． （2）当分式的值为正整数时，求整数的值． 17.“彩线轻缠红玉臂，小符斜挂绿云鬓”一年一度的端午节来临前夕，某超市欲购进，两种品牌的粽子，已知购进每盒品牌的粽子比每盒品牌的粽子少元，用元购进品牌粽子和用元购进品牌粽子的数量相同． （1）求，两种品牌粽子每盒进价分别为多少元； （2）超市准备购进两种粽子共盒，且至少购进品牌粽子盒，并将品牌粽子每盒加价元销售，品牌粽子每盒加价元销售，通过计算说明购进品牌粽子多少盒能获得最大利润，并求最大利润． 18.阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． （1）若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． （2）已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． （3）已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八年级下册复习巩固 第四章 因式分解 本章复习目标 理解分式的核心概念，掌握分式有意义、值为 0 的条件，熟练运用分式基本性质进行约分、通分，发展数学抽象与代数推理能力。 熟练掌握分式的乘除、加减及混合运算，能正确进行分式化简求值，提升代数运算能力，形成规范的运算习惯。 理解分式方程的概念与增根本质，掌握分式方程的标准解法，能列分式方程解决行程、工程、销售等实际问题，发展数学建模与应用意识。 本章知识框架 知识点复习 5.1 认识分式 知识点 1：分式的定义 一般地，用A,B表示两个整式，A÷B可以表示成______的形式，如果B中含有___字母___，那么称为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。 分式的三个核心条件： 形如的形式； A,B都是整式； 分母B中含有字母。 注意：π是常数不是字母，含π的式子不是分式。 知识点 2：分式的条件 分式有意义的条件：分母___不等于0___，即B≠0； 分式无意义的条件：分母___等于0___，即B=0； 分式值为 0 的条件：分子___等于0___且分母___不等于0___，即A=0且B≠0。 知识点 3：分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个___不等于0___的整式，分式的值不变。 用式子表示：（其中M是不等于 0 的整式）。 易错提醒：必须强调M=0，否则分式无意义。 知识点 4：约分与最简分式 约分：把一个分式的分子和分母的___公因式___约去，这种变形称为分式的约分。 约分的关键是确定分子分母的公因式，约分结果必须是整式或最简分式。 最简分式：分子和分母没有__公因式____的分式，叫做最简分式。 5.2 分式的乘除法 知识点 1：分式的乘法法则 两个分式相乘，把__分子____相乘的积作为积的分子，把___分母___相乘的积作为积的分母。 用式子表示：。 运算步骤：先约分，再相乘，结果化为最简分式。 知识点 2：分式的除法法则 两个分式相除，把除式的___分子和分母___颠倒位置后，再与被除式相乘。 用式子表示：。 核心：除法变乘法，除式颠倒，再按乘法法则计算。 知识点 3：分式的乘方 分式乘方，把分子、分母分别__乘方____，用式子表示：(ba​)n=bnan​（n为正整数）。 5.3 分式的加减法 知识点 1：同分母分式加减法 同分母的分式相加减，__分母____不变，把___分子___相加减。 用式子表示：。 注意：分子是多项式时，减法要给分子加括号，避免符号错误。 知识点 2：通分与最简公分母 根据分式的基本性质，异分母分式可以化为同分母分式，这一过程称为分式的__通分____。 通分的关键是确定最简公分母，确定方法： 定系数：取各分母系数的__最小公倍数____； 定字母 / 因式：取所有出现过的字母（或因式）； 定指数：取相同字母（或因式）的___最高___次幂。 知识点 3：异分母分式加减法 异分母的分式相加减，先___通分___，化为同分母的分式，再按同分母分式加减法法则计算。 用式子表示：。 知识点 4：分式的混合运算 分式混合运算顺序与整式一致：先算__乘方____，再算___乘除___，最后算加减；有括号先算括号内的，结果化为最简分式或整式。 5.4 分式方程 知识点 1：分式方程的定义 ___分母___中含有未知数的方程叫做分式方程。 核心特征：分母里含有未知数，与整式方程的本质区别是分母是否含未知数。 知识点 2：分式方程的解法 解分式方程的核心思想是 “转化”，将分式方程转化为整式方程求解，标准步骤： 去分母：方程两边同乘___最简公分母___，约去分母，化为整式方程； 解整式方程：按一元一次方程解法求解； ___检验___：把整式方程的根代入最简公分母，若最简公分母不等于 0，则是原方程的根；若最简公分母等于 0，则是增根，原方程无解。 知识点 3：增根 增根的定义：使得原分式方程__分母____为 0 的根，它是去分母后整式方程的根，但不是原分式方程的根； 增根产生的原因：去分母时方程两边同乘了使分母为 0 的整式，扩大了未知数的取值范围。 知识点 4：分式方程的实际应用 列分式方程解应用题的一般步骤： 审：审题，找等量关系； 设：设未知数； 列：根据等量关系列分式方程； 解：解分式方程； 验：双检验 —— 检验是否是___增根___，检验是否符合__实际意义____； 答：写出答案。 常见题型：行程问题、工程问题、销售问题、浓度问题。 本章核心数学思想 【本章核心数学思想】 类比思想：类比分数的性质与运算学习分式，类比一元一次方程解法学习分式方程，实现知识正向迁移。 转化思想：将分式除法转化为乘法、异分母分式转化为同分母分式、分式方程转化为整式方程，化未知为已知。 数学建模思想：将行程、工程、销售等实际问题抽象为分式方程模型，用代数方法解决实际问题。 整体思想：分式化简求值中，将某一代数式看作整体代入，简化计算过程。 本章易错点提醒 分式条件判断错误：判断分式值为 0 时，只考虑分子为 0，忽略分母不为 0 的前提；判断分式有意义时，错把分子为 0 当作无意义。 分式性质应用错误：运用分式基本性质时，分子分母乘除不同的整式，或乘除了值为 0 的整式；约分漏乘符号。 分式运算符号错误：分子为多项式的减法运算，未给分子加括号，导致符号错误；除法运算未颠倒除式直接约分。 解分式方程漏检验：忘记检验增根，直接把整式方程的根当作原方程的解；去分母时漏乘不含分母的常数项。 通分约分错误：最简公分母找错，漏取字母最高次幂；约分不彻底，结果不是最简分式。 实际问题漏检验：只检验是否为增根，忘记检验解是否符合实际意义（如时间、长度为正）。 知识点练习 一、选择题 1.下列各式中，是分式的是（       ） A.a＋b B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据分式的定义判断即可. 【解答】 解：A. 是整式，故选项不符合题意； B. 是整式，故选项不符合题意； C. 是整式，故选项不符合题意； D. 是分式，故选项符合题意； 故选：D. 2.下列分式变形正确的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，分子分母同时改变符号，分式值不变. 【解答】 解：A、 A错误； B、 该变形给分子乘a，分母乘b，不符合分式基本性质， B错误； C、 该变形给分子分母同时减去同一个数，不符合分式基本性质， C错误； D、 符合分式基本性质， D正确. 故选：D. 3.下列计算正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查分式的四则运算， 按照分式四则运算法则一一计算并判断即可． 【解答】 解：．，计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：． 4.已知，则代数式的值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由利用分式的加减运算法则得出，代入原式计算可得． 【解答】 ， ， 则， ，即， 则原式， 故选． 5.某中学举行攀登一座高的山，第一小组的攀登速度是第二小组的倍．第一小组比第二小组早到达山顶，求两个小组的攀登速度各是多少，若设第二小组的速度为，则可列出方程为（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设第二小组的速度为，则第一小组的速度为，根据第一小组比第二小组早15min到达山顶，列出分式方程即可，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【解答】 解：设第二小组的速度为，则第一小组的速度为， 由题意得：， 故选：C. 6.若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A. B. C. D.2 【答案】 A 【解析】 本题主要考查分式方程无解的情况，分清分式方程无解的情况包括整式方程有增根或整式方程本身无解是解题的关键． 首先对分式方程进行求解，发现整式方程总是有解，因此只需考虑增根情况，求得增根进行求解m的值即可． 【解答】 解： 方程有增根时x=2，代入得 ，解得：m=-2， 当m=-2时，分式方程无解， 故选：A. 7.如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A.﹣2 B.0 C.1 D.3 【答案】 A 【解析】 解关于y的不等式组 ，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程 有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可. 【解答】 由关于y的不等式组 ，可整理得 该不等式组解集无解， 即 又 得 而关于x的分式方程 有负数解，且 且 且 于是 ，且a为不等于2的整数 、、、0、1、3 则符合条件的所有整数a的和为-2. 故选A. 8.已知两个分式：；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；第二次操作，将作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；②当时，； ③在第（n为正整数）次操作的结果中：．以上结论正确的个数是（       ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】 C 【解析】 本题考查分式的化简以及探究式子的规律．通过计算确定第2n个式子的变化规律和第 个式子的变化规律，然后确定一般形式，进行判定即可. 【解答】 当 为奇数时（1除外）， 当2n为偶数时， 故 ①正确； 当 时， ，故 ②正确； 由规律知，故 ③错误； 综上，正确的有 ，一共2个. 故选：C. 二、 填空题 9.函数中，自变量的取值范围是___且 且 _____． 【答案】 且 且 【解析】 根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂的定义，分别列出关于x的不等式，求解后取公共部分，即可得到自变量x的取值范围. 【解答】 解：要使函数 有意义，需同时满足： ， 解得 且 且 . 故答案为： 且 且 . 10.分式的最简公分母是________． 【答案】 【解析】 根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母. 【解答】 解： 故 的最简公分母为： 故答案为： 11.已知，则_____1___． 【答案】 1 【解析】 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则，正确将已知变形进而化简是解题关键.将 变形得到 ，代入分式化简即可得解. 【解答】 解： 故答案为：1. 12.若关于的分式方程有增根，则____2____． 【答案】 2 【解析】 根据分式方程增根的定义得到使分母为 0的根x=1，再将分式方程化为整式方程，进而求出参数 m的值. 【解答】 解：令x-1=0，得增根x=1， 方程两边同乘最简公分母x-1得：m+(x-1)=2x， 将x=1代入m+x-1=2x，得m+1-1=2×1， m=2， 验证：当m=2时，原方程为, 去分母得2+x-1=2x， 解得x=1, x=1让分母x-1=0，是增根，符合题意.  故答案为：2. 13.关于的不等式组有解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为____3____． 【答案】 3 【解析】 先求解不等式组，根据不等式组有解求出a的取值范围；再求解分式方程，结合分式方程有整数解以及a的取值范围确定满足条件的a的值，据此求解即可. 【解答】 解：不等式组 ①② 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 解得：； 方程 ， 方程两边同乘得：， 整理得：， 分式方程有解， ，即时， ，即， ， ， ， 方程有整数解， 是2的因数， 2的因数有、， 当，即时，，是分式方程的增根，不符合题意； 当，即时，，是分式方程的整数解，符合题意； 当，即时，，是分式方程的整数解，符合题意； 当，即时，，是分式方程的整数解，， 此情况不符合题意， 综上所述，满足条件的所有整数a的和为． 故答案为：3. 三、 解答题  14.计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】 【解析】 （1）根据分式的加减计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再根据分式的乘除混合计算法则求解即可； （3）先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，再进行约分即可． 【解答】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ．  15.解分式方程： （1）； （2）． 【答案】 原分式方程无解 【解析】 （1）将两个分式方程分别去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验分母是否不为零，即可得到原方程的解。 【解答】 （1）解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 检验：当 时，， 是原分式方程的解； （2）解：整理得 ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 检验：当 时，， 原分式方程无解。  16.已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为． （1）求的值． （2）当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】 ， 整数的值为，， 【解析】 （1）根据使得分式无意义，时分式的值为，即可解得； （2）将，代入，得到分式为，逐一代入整数的值即可求解． 【解答】 （1）解： 当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为， ， 解得， （2）解： ，， ， 当，， ，， ，， 综上，整数的值为，，  17.“彩线轻缠红玉臂，小符斜挂绿云鬓”一年一度的端午节来临前夕，某超市欲购进，两种品牌的粽子，已知购进每盒品牌的粽子比每盒品牌的粽子少元，用元购进品牌粽子和用元购进品牌粽子的数量相同． （1）求，两种品牌粽子每盒进价分别为多少元； （2）超市准备购进两种粽子共盒，且至少购进品牌粽子盒，并将品牌粽子每盒加价元销售，品牌粽子每盒加价元销售，通过计算说明购进品牌粽子多少盒能获得最大利润，并求最大利润． 【答案】 品牌粽子每盒进价15元，品牌粽子每盒进价20元 购进品牌粽子80盒时，获得最大利润1560元 【解析】 （1）利用“数量相等”的等量关系列分式方程求解进价； （2）建立利润关于品牌数量的一次函数，结合函数增减性和约束条件，求最大利润. 【解答】 （1）解：设品牌粽子每盒进价为元，则品牌粽子每盒进价为元， 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，则， 故品牌粽子每盒进价15元，品牌粽子每盒进价20元. （2）解：设购进品牌粽子盒，则购进品牌粽子盒，其中, 总利润， 随的增大而减小，则当取最小值80时，最大, 故最大利润为：（元）. 18.阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． （1）若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． （2）已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． （3）已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】 A与B互为“关联分式”，关联值k=2 1 1或 【解析】 （1）根据“关联分式”定义，计算出A+B=2，进而即可判断； （2）由C与D互为“关联分式”、k=2，得，求出M=-3x-6，将M=-3x-6代入D，进而即可求解； （3）由P与Q互为“关联分式”、k=2，列方程化简得(1-m)x=-4. 方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可. 【解答】 （1）解：A与B互为“关联分式”，关联值k=2，理由如下： 由题意得，A+B= = = = =2， ∵ 2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴ 关联值k=2； （2）解：C与D互为“关联分式”，关联值k=2， 解得M=-3x-6； 当M=-3x-6时，D= = =， D为正整数，且x为正整数， 当2-x=1时，解得x=1； 当2-x=3时，解得x=-1（舍去）， x的值为1； （3）解：P与Q互为“关联分式”，关联值k=2， 解得(m-1)x=4， 关于x的方程无解， 当m-1=0时，即m=1，此时方程变为0·x=4，无实数解，符合要求； 原分式方程的增根为x=3（使分母为0）， 将x=3代入整式方程：3(m-1)=4 3m-3=4 解得m=； 此时整式方程的解x=3是增根，原分式方程无解，符合要求。 综上，实数m的值为1或. 学科网（北京）股份有限公司 $