21.1二次函数 教学设计 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数概念及一般形式（a≠0），通过复习一次函数、反比例函数知识，结合水产养殖围网面积、销售额增长率等生活情境引入新课，搭建新旧知识桥梁形成学习支架。 以生活实例为载体引导学生抽象二次函数模型，培养抽象能力与模型意识。通过合作探究分析实际问题中自变量取值范围，变式练习强化应用，提升应用意识。助力学生建立数学与现实联系，为教师提供清晰教学路径，提高课堂效率。

21.1二次函数教学设计 学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 21 课题 21.1二次函数 课时 1 教材分析 二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数、反比例函数之后接触的又一重要初等函数，在数学知识体系中起螺旋上升的作用。本节从生活情境出发，通过面积、增长率等实际问题引入二次函数概念，让学生体会函数模型思想。教学重点为二次函数的概念及一般形式（a≠0），难点是理解二次项系数a≠0的条件及实际问题中自变量的取值范围。 学情 分析 九年级学生已具备一次函数和反比例函数的知识基础，对函数概念有初步认识，但抽象思维能力仍较弱。二次函数形式较复杂，学生容易混淆二次项系数、一次项系数和常数项，对a≠0条件的理解不够深入。部分学生列函数关系式时存在困难，尤其是实际问题中自变量取值范围的确定。教学中需从具体实例入手，降低难度，帮助学生建立学习信心。 核心素养目标 1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 2.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 3.从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 教学重点 理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 教学难点 能根据实际问题确定自变量的取值范围。 教学 准备 多媒体课件 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 复习提问，温故孕新 1、我们学习过哪些函数？ 学习过的函数有一次函数，正比例函数是其特殊形式． 2、学习函数应从哪几方面进行探究呢？ 学习函数一般是从函数的定义、函数的一般形式、函数的图象及其性质、函数的实际应用等方面进行探究． 学生回顾旧知，回答问题。 通过复习重新巩固函数相关知识。 二、引新 创设情境，引入课题 这些美丽的弧线会与某种函数有联系吗？ 学生看图片，思考问题。 通过问题，自然引入课题。 二、探究 合作探究，活动领悟 思考： 问题1、某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？ 解:设围成的矩形水面的一边长为 x m，面积为 S m²，则有 S = x(20 - x)=- x2 + 20x S 与 x 是函数关系吗？ 这里x的取值有什么限制？ 这里的x表示的是矩形的一个边长x>0 长40m的围网 x＜20 所以x的取值范围是：0＜x＜20 二次函数自变量的取值范围：一般都是全体实数，但是在一些实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义. 问题2 某公司今年第1个月销售额为100万元.公司制定销售目标，计划每月销售额增长率为x%. 按此计划，第3个月的销售额是多少万元? 按题意，第2个月的销售额为100(1+) 万元，则第3个月的销售额(单位：万元)为 =100(1+)²=100²+ 200 此式表示了与每月销售增长率之间的关系，对于的每一个值，都有唯一的一个对应值，即是x的函数. 问题3、在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起后，排球离地面的高度 h m 与被垫起后的时间t s 满足h = 10t - ×10t2 + 0.2排球离地面的最大高度是多少？ h = -5t2 + 10t + 0.2. 追问：h与t 是函数关系吗？ 对于 t 的每一个值，h 都有唯一的一个对应值，即 h 是 t 的函数. 问题1中，函数的表达式为S=x(20-x)=- 问题2中，函数的表达式为y= =100 问题3中，函数的表达式为h=10t= 这三个问题中的函数都是用自变量的二次整式表示的。 归纳 二次函数的定义： 一般地，表达式形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数叫做 x 的二次函数. 其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； （2）a，b，c 为常数，且 a ≠ 0； （3）等式右边的自变量最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流。 引导学生通过自主发现与协作交流，深入理解判别式△=b²−4ac的数学本质及其对根的情况的决定作用。 三、变式 师生互动，变式深化 例、关于x的函数是二次函数，求m的值。 解：由题意可得，m2–m=2，m+1≠0. 解得，m=2. 所以m=2时函数是二次函数. 总结： 1.等号右边的整式要含有二次项。 2.二次项系数不等于0。 同学们完成，有困难时可请小组同学帮助。 巩固本节课所学知识，激发学生学习热情。让学生感知数学来源于生活。 四、尝试 尝试练习，巩固提高 尝试练习，巩固提高 1．下列函数中一定是二次函数的是(　D　) A.y＝3x－1 B. y＝ax2＋bx＋c C. y=+x D． s＝2t2－2t＋1 2. 把方程化成一般形式，则 的值是( B ) A. B. 7 C. D. 1 3.若是关于的方程 的解，则代数式 的值是 -1 . 4. 如图，它是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是 11 . 5. 已知二次函数 . （1）将二次函数化为一般形式,并指出相应的,, 的值； （2）当时,求 的值； （3）当时,求 的值. 解：（1）y=3(x−1)^2+2=3x^2−6x+5,其中a=3,b=−6 ,c=5 . （2）当x=4时，y=3×(4−1)^2+2=29 . （3）当y=77时，3(x−1)^2+2=77,解得x=6或x=−4 . 独立完成基础练习，小组讨论难题。 巩固知识，提升应用能力，兼顾不同学习需求。 五、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 二次函数的概念 各小组思考，代表总结本节课内容。 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。 板书设计 作业设计 1. 下列函数关系中，是二次函数的是( D ) A. 生产100吨钢材，工作效率和工作时间 之间的关系 B. 当速度为时，汽车行驶的距离与时间 之间的关系 C. 长方形的周长一定时，长方形的长与宽 之间的关系 D. 高为的圆柱形储油罐的体积为 ,底面圆的半径为 2.一元二次方程 3=5 的二次项系数和一次项系数分别是（ C ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，–5 D. 5，0 3.已知关于 的方程 –2+3=0 是一元二次方程，则k= 3 . 4.2026年4月24日，第十一个“中国航天日”主场活动在成都启动，主题为“七秩问天路 携手探九霄”.某航天文创店采购了一批空间站主题钥匙扣，进货价为7.5元/件，在一段时间里，销售单价是13.5元，销售量是500件，而销售单价每降低1元就可多售出200件，当销售单价为 元时，获取利润为元，则与 之间的函数关系式为 y=(x−7.5)(3 200−200x) . 5.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程. 证明:∵m2-8m+17=(m-4)2+1>0, ∴不论m取任何值，该方程都是一元二次方程. 教学反思 本节课从生活实例引入二次函数概念，多数学生能理解定义、识别一般式各系数。但少数学生对二次函数的判定仍有疏漏，后续需增加针对性辨析练习，结合更多生活场景强化概念理解，夯实基础。 学科网（北京）股份有限公司 $