专题21.1 二次函数及其图象和性质（高效培优讲义）数学新教材沪科版九年级上册

本讲义聚焦二次函数及其图象和性质核心知识点，从概念入手，逐步探究y=ax²、y=ax²+k、y=a(x-h)²等形式的图象特征与性质，延伸至一般式y=ax²+bx+c的五点绘图法和性质分析，最终落脚于表达式确定，构建递进式学习支架。 资料以实际问题情境引导学生抽象二次函数关系，培养模型意识，通过“即学即练”和题型分类强化推理能力，借助五点绘图法发展几何直观。课中助力教师分层教学，课后提供变式练习帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题21.1 二次函数及其图象和性质 教学目标 1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 3.掌握用描点法画出二次函数的图象。 4.掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 5.经历探索二次函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数的性质。 教学重难点 1.重点 （1）结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念. （2）掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 2.难点 （1）能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系； （2）理解二次函数的性质 知识点01 二次函数相关概念 1．二次函数的概念：一般地，形如________________________的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【即学即练】 1.下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2.当函数是二次函数时，则a的取值范围为（） A． B． C． D． 知识点02 二次函数和的图象和性质 1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 的性质：上加下减。 【即学即练】 1.抛物线与的共同特点是（    ） A．开口都向上 B．对称轴都是y轴 C．都有最高点 D．都是y随x的增大而增大 2.已知点A(3,m)是抛物线y=-x2上的一点. (1)m的值为_________;  (2)当x>0时,y随x的增大而_________;(填“增大”或“减小”)  (3)点A关于x轴的对称点B的坐标为_________,点A关于y轴的对称点C的坐标为_________,点A关于原点O的对称点D的坐标为_________;  (4)试判断点B,C,D中,哪些点在抛物线y=-x2上,哪些点在抛物线y=x2上? 知识点03 二次函数和的图象和性质 1. 的性质：左加右减。 2. 的性质： 【即学即练】 1.二次函数y=-(x+1)2+2的图象大致是 (　　) A B C D 2. 已知二次函数的图象经过，两点．若，，则a的值可能是（    ） A．2 B．4 C．5 D．9 知识点04 二次函数的图象和性质 1.二次函数图象的画法： 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。 画草图时应抓住以下几点：________________________________________________ 2.二次函数的性质 （1） 当时，抛物线开口____________，对称轴为____________，顶点坐标为____________． 当时，随的增大而____________；当时，随的增大而____________；当时，有最小值____________． （2） 当时，抛物线开口____________，对称轴为____________，顶点坐标为____________．当时，随的增大而____________；当时，随的增大而____________；当时，有最大值____________． 【即学即练】 1.二次函数y=-4x2+16x-19的图象的顶点坐标是 (　　) A.(2,-3) B.(2,3) C.(3,-2) D.(3,2) 2.二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，下列结论： ①； ②； ③； ④（为实数）． 其中结论正确的为（    ） A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 知识点05 二次函数表达式的确定 1.二次函数解析式的表示方法 （1）一般式：________________________（，，为常数，）； （2）顶点式：________________________（，，为常数，）； （3）交点式：________________________（，，是________________________）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【即学即练】 1.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表: x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … (1)求该二次函数的表达式; (2)若点A(-1,y1),B(4,y2)在这个函数的图象上,则y1_______y2.(填“>”“<”或“=”)  2.已知抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且P（1，﹣3），B（4，0） （1）点A的坐标是　 　； （2）求该抛物线的解析式； （3）直接写出该抛物线的顶点C的坐标． 题型01 二次函数的定义 【典例1】下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数中属于二次函数的是（　　） A．y＝x（x+1） B．x2y＝1 C．y＝2x2﹣2（x2+1） D．y＝ 【变式2】若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1 【变式3】若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0 题型02 根据实际问题列出二次函数表达式 【典例1】一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（    ） A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2 【变式1】正方形边长，若边长增加，增加后正方形的面积为，与的函数关系式为 ． 【变式2】如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数． 【变式3】某商场以每件40元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为t＝180﹣3x． （1）试写出每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式（毛利润＝销售价﹣进货价）； （2）每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ 题型03 二次函数和的图象和性质 【典例1】二次函数的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式1】关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．拋物线顶点 【变式2】已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【变式3】已知抛物线y=-x2+1，下列结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）； ③抛物线的对称轴是y轴； ④抛物线的顶点坐标是（0，1）； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的． 其中正确的个数有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型04 二次函数和的图象和性质 【典例1】由二次函数解析式可知（    ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为 C．其最大值为2 D．对称轴为 【变式1】抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】对于的图象下列叙述正确的是（） A．顶点坐标为 B．对称轴为 C．当时y随x增大而增大 D．当时y随x增大而减小 【变式3】顶点为（5，1），形状与函数y=x2的图象相同且开口方向相反的抛物线是（ ） A．y=(x-5) 2+1 B．y=x 2- 5 C．y=（x-5）2- 1 D．y=（x+5）2 -1 题型05 二次函数的图象和性质 【典例1】一位同学在画二次函数的图象时，把看成了，结果所画图像是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（    ） A．24 B． C． D．12 【变式1】抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．b2﹣4ac＜0 B．abc＜0 C． D．a﹣b+c＜0 【变式2】如图，抛物线与直线交于点和点，抛物线顶点为，直线与轴交于点． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）若轴上存在点使的面积为9，求点的坐标． 题型06 二次函数的增减性 【典例1】若二次函数的图象经过三点，则 的大小关系是（        ） A． B． C． D． 【变式1】二次函数的图象上有两点， ，则a，b的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是 ．  【变式3】已知二次函数，当函数值随值的增大而增大时，的取值范围是 ． 题型07 确定二次函数的表达式 【典例1】已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点． (1)求这个函数的关系式； (2)试判断点是否在此函数图象上． 【变式1】已知平面直角坐标系，抛物线经过点和两点. (1)求抛物线的表达式； (2)如果将这个抛物线向右平移个单位，得到新抛物线经过点，求的值. 题型08 一次函数与二次函数图象共存问题 【典例1】在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式1】在直角坐标系中，函数y= 3x与y= －x2+1的图象大致是（ ） A． B． C． D． 1.下列函数是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2.若函数是二次函数，则________． 3.某产品进货单价为元，按一件售出时，能售件，如果这种商品每涨价元，其销售量就减少件，设每件产品涨元，所获利润为元，可得函数关系式为（ ） A． B． C． D． 4.长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则与的关系式为（ ） A． B． C． D． 5.由二次函数，可知(　　) A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=2 C．其最小值为1 D．当时，随的增大而增大 6.已知点A（1，y1），，C（2，y3），都在二次函数的图象上，则（ ） A． B． C． D． 7.二次函数y=-（x-2）2的图象与y轴( ) A．没有交点 B．有交点 C．交点为(1，0) D．交点为(0，) 8.下列对二次函数y＝2(x＋4)2的增减性描述正确的是( ) A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而增大 C．当x＞－4时，y随x的增大而减少 D．当x＜－4时，y随x的增大而减少 9.当2.5≤x≤5时，二次函数y=－（x－1）2+2的最大值为__. 10.已知抛物线y=-x2+1，下列结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）； ③抛物线的对称轴是y轴； ④抛物线的顶点坐标是（0，1）； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的． 其中正确的个数有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 11.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B(﹣1，0)，则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中结论正确的有（ ） A．①③ B．①④ C．①② D．①③④ 12.某商场以每件40元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为t＝180﹣3x． （1）试写出每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式（毛利润＝销售价﹣进货价）； （2）每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ 13．某商场购进一批单价为元的日用品，经试销发现，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，假定每月销售件数（件）是价格（元/件）的一次函数，则与之间的关系式是________，销售所获得的利润为（元）与价格（元/件）的关系式是________． 14．已知二次函数的图像的对称轴为直线，开口向下，且与轴的其中的一个交点是，下列结论：①;②;③;④正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或．其中正确的结论是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.1 二次函数及其图象和性质 教学目标 1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 3.掌握用描点法画出二次函数的图象。 4.掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 5.经历探索二次函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数的性质。 教学重难点 1.重点 （1）结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念. （2）掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 2.难点 （1）能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系； （2）理解二次函数的性质 知识点01 二次函数相关概念 1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【即学即练】 1.下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，如果（a，b，c是常数，），那么y叫做x的二次函数．此题将式子整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可． 【详解】解：A、分母中含自变量，不是二次函数，故本选项错误； B、该函数的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误； C、该函数不符合二次函数的定义，属于一次函数，故本选项错误； D、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确． 故选：D． 2.当函数是二次函数时，则a的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义：形如、、是常数的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义解答即可； 【详解】解：由题意得：，即， 故选：B． 知识点02 二次函数和的图象和性质 1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 的性质：上加下减。 【即学即练】 1.抛物线与的共同特点是（    ） A．开口都向上 B．对称轴都是y轴 C．都有最高点 D．都是y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的性质．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题． 【详解】解：抛物线开口向下，经过原点，有最高点，对称轴是y轴，在对称轴左侧，随增大而增大，在对称轴右侧，随增大而减小， 抛物线开口向上，经过原点，有最低点，对称轴是y轴，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大， ∴抛物线和的共同性质是：对称轴都是y轴， 故选：B． 2.已知点A(3,m)是抛物线y=-x2上的一点. (1)m的值为_________;  (2)当x>0时,y随x的增大而_________;(填“增大”或“减小”)  (3)点A关于x轴的对称点B的坐标为_________,点A关于y轴的对称点C的坐标为_________,点A关于原点O的对称点D的坐标为_________;  (4)试判断点B,C,D中,哪些点在抛物线y=-x2上,哪些点在抛物线y=x2上? 【答案】(1)-9；(2)减小；(3)(3,9)　(-3,-9)　(-3,9)；(4)点C在抛物线y=-x2上,点B,D在抛物线y=x2上. 【分析】根据二次函数的图象及性质进行分析，即可得到答案 【详解】(1)将x=3带入表达式，可以得到m=-9； (2)对于抛物线y=-x2，当x>0时,y随x的增大而减小； (3)点A关于x轴的对称点B的坐标为(3,9)　点A关于y轴的对称点C的坐标为(-3,-9)　，点A关于原点O的对称点D的坐标为(-3,9)； (4)分别将点B、C、D的横坐标带入表达式，与纵坐标进行对比，可以得到点C在抛物线y=-x2上,点B,D在抛物线y=x2上. 知识点03 二次函数和的图象和性质 1. 的性质：左加右减。 2. 的性质： 【即学即练】 1.二次函数y=-(x+1)2+2的图象大致是 (　　) A B C D 【答案】B 【分析】根据二次函数表达式，得到开口方向，顶点坐标，即可判断大致图象 【详解】∵y=-(x+1)2+2, ∴抛物线的对称轴为直线x=-1,顶点为(-1,2), 由a=-1<0知抛物线的开口向下, 故选项B正确. 故选B. 2. 已知二次函数的图象经过，两点．若，，则a的值可能是（    ） A．2 B．4 C．5 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性确定出对称轴的范围，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵图象经过，两点，， ∴对称轴在5到10之间， ∴a的值可能是9． 故选D． 知识点04 二次函数的图象和性质 1.二次函数图象的画法： 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 2.二次函数的性质 （1） 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． （2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值． 【即学即练】 1.二次函数y=-4x2+16x-19的图象的顶点坐标是 (　　) A.(2,-3) B.(2,3) C.(3,-2) D.(3,2) 【答案】A 【分析】用配方法可以得到顶点坐标 【详解】∵y=-4x2+16x-19=-4(x-2)2-3, ∴二次函数y=-4x2+16x-19的图象的顶点坐标为(2,-3), 故选A. 2.二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，下列结论： ①； ②； ③； ④（为实数）． 其中结论正确的为（    ） A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图像与系数的关系、平方差公式等知识，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①；由与的关系及时可判断②；利用，根据时，时可判断③；由时取最小值可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴交点在轴下方， ∴， ∴，故①正确； ∵时，，故②不正确； ∵， 且，， ∴，故③不正确； ∵时，为最小值， ∴，故④正确． 综上所述，结论正确的有①④． 故选：A． 知识点05 二次函数表达式的确定 1.二次函数解析式的表示方法 （1）一般式：（，，为常数，）； （2）顶点式：（，，为常数，）； （3）交点式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【即学即练】 1.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表: x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … (1)求该二次函数的表达式; (2)若点A(-1,y1),B(4,y2)在这个函数的图象上,则y1_______y2.(填“>”“<”或“=”)  【答案】(1)y=x2-4x+5；(2)> 【分析】(1)将坐标带入表达式，求出a、b、c的值，即可得到表达式；(2)根据二次函数的增减性判断 【详解】解:(1)将点(0,5),(1,2),(2,1)分别代入函数表达式,得 解得 ∴该二次函数表达式为y=x2-4x+5. (2)二次函数的对称轴为x=2，开口向上，因为x=-1离对称轴较远，因此对应的y较大，故填>。 2．已知抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且P（1，﹣3），B（4，0） （1）点A的坐标是　 　； （2）求该抛物线的解析式； （3）直接写出该抛物线的顶点C的坐标． 【答案】（1）（﹣4，0）；（2）y= x2﹣ ；（3）顶点C的坐标是（0，﹣）． 【分析】(1)由题意可知该抛物线的对称轴是轴，点与点关于轴对称，即可求出点坐标；(2)将，代入抛物线解析式中，利用待定系数法即可求解抛物线的解析式；(3)根据(2)中抛物线的解析式，可得顶点坐标. 【详解】解：(1)∵该抛物线的对称轴是轴， ∴点与点关于轴对称， ∵， ∴； (2)把点，代入， 得：， 解得， ∴该抛物线的解析式为2； (3)由(2)知，该抛物线的解析式为2，则顶点C的坐标是． 故答案为(1)；(2)2；(3)顶点的坐标是． 题型01 二次函数的定义 【典例1】下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数，根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A、，该函数整理后是一次函数，故本选项不符合题意； B、时，是一次函数，故本选项不符合题意； C、，该函数是二次函数，故本选项符合题意； D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】下列函数中属于二次函数的是（　　） A．y＝x（x+1） B．x2y＝1 C．y＝2x2﹣2（x2+1） D．y＝ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数，根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A、y＝x2+x，是二次函数； B、y＝，不是二次函数； C、y＝﹣2，不是二次函数； D、不是整式，不是二次函数； 故选：A． 【变式2】若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1 【答案】B 【分析】根据二次函数的系数不为0，指数为2，可以得到关于a的关系式，进行解答。 【详解】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数， ∴|a+3|＝2且a+1≠0， 解得a＝﹣5， 故选：B． 【变式3】若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0 【答案】A 【分析】根据二次函数的系数不为0，指数为2，可以得到关于a的关系式，进行解答。 【详解】解：由题意得：a﹣2≠0， 解得：a≠2， 故选：A． 题型02 根据实际问题列出二次函数表达式 【典例1】一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（    ） A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2 【答案】D 【分析】根据原价×（1-折旧率）=现价，可以得到表达式。 【详解】根据题意知y＝100（1﹣x）2， 故选：D． 【变式1】正方形边长，若边长增加，增加后正方形的面积为，与的函数关系式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据正方形面积等于边长的平方，即可求解． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 【变式2】如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数． 【答案】y=﹣0.5x2+25x 【分析】根据长方形的面积公式可以求得 【详解】解：∵与墙平行的边的长为x（m），则垂直于墙的边长为：=（25﹣0.5x）m， 根据题意得出：y=x（25﹣0.5x）=﹣0.5x2+25x 【变式3】某商场以每件40元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为t＝180﹣3x． （1）试写出每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式（毛利润＝销售价﹣进货价）； （2）每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ 【答案】507元. 【分析】（1）根据毛利润=销售价-进货价可得y关于x的函数解析式； （2）将（1）中函数关系式配方可得最值情况. 【详解】解：（1）根据题意，y=（x-42）t=（x-42）(-3x+204)=-3x2+330x-8568， 由得42≤x≤68； （2）∵y=-3x2+330x-8568=-3（x-55）2+507， ∴当x=55时，y的最大值507元. 题型03 二次函数和的图象和性质 【典例1】二次函数的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．把，，分别代入计算即可判断． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图象不经过点，， 当时，， ∴二次函数的图象不经过点， 当时，， ∴二次函数的图象经过点． 故选：C． 【变式1】关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．拋物线顶点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质可进行求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、因为，所以抛物线开口向上，故正确，不符合题意； 、因为抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，所以，故正确，不符合题意； 、抛物线的对称轴为直线，故错误，符合题意； 、因为抛物线的对称轴为直线，当时，，所以，故正确，不符合题意； 故选：． 【变式2】已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)向下；y轴；；减小； (3) 【分析】本题考查二次函数的基础知识点， （1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （2）观察函数图象求解即可； （3）观察函数图象求解即可； 解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． 【详解】（1）解：如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小； 故答案为：向下；y轴；；减小； （3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【变式3】已知抛物线y=-x2+1，下列结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）； ③抛物线的对称轴是y轴； ④抛物线的顶点坐标是（0，1）； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的． 其中正确的个数有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解． 【详解】①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误； ②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正确； ③抛物线的对称轴=0，是y轴，故本小题正确； ④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确； 综上所述，正确的有②③④⑤共4个． 故选B． 题型04 二次函数和的图象和性质 【典例1】由二次函数解析式可知（    ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为 C．其最大值为2 D．对称轴为 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．据此逐个判断即可． 【详解】解：A、∵，∴其图象开口向上，故A不正确，不符合题意； B、C、∵，∴其图象的对称轴为，其最小值为2，故B、C不正确，不符合题意； D、∵该函数图象开口向上，对称轴为，∴对称轴为，故D正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求二次函数的性质，根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 【变式2】对于的图象下列叙述正确的是（） A．顶点坐标为 B．对称轴为 C．当时y随x增大而增大 D．当时y随x增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性．根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】由二次函数可知，开口向上．对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随增大而增大，故A、B、D错误，C正确； 故选：C． 【变式3】顶点为（5，1），形状与函数y=x2的图象相同且开口方向相反的抛物线是（ ） A．y=(x-5) 2+1 B．y=x 2- 5 C．y=（x-5）2- 1 D．y=（x+5）2 -1 【答案】A 【分析】形状与函数y=x2的图象相同开口方向相反，二次项系数是-，再用顶点式求即可． 【详解】∵形状与函数y=x2的图象相同且开口方向相反， ∴二次项系数是- ∵抛物线顶点坐标为(5,1)， ∴抛物线解析式为y= - (x-5)2+1 故选：A． 题型05 二次函数的图象和性质 【典例1】一位同学在画二次函数的图象时，把看成了，结果所画图像是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（    ） A．24 B． C． D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 利用二次函数平移规律 “上加下减，左加右减”的原则结合对称轴的性质进行解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为， 把看成了， 所画图象的对称轴为， 两条对称轴关于y轴对称， 所画图像是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象， ，即． 故选D． 【变式1】抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．b2﹣4ac＜0 B．abc＜0 C． D．a﹣b+c＜0 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴交点等性质可以判断a、b、c的符号，进而得到结论 【详解】抛物线与x轴有两个不同的交点，故b2﹣4ac>0，A错误；对称轴，C正确；抛物线开口向下，a<0，0，则b0，与y轴交点在y轴正半轴，c>0，故abc>0；当x=-1时，y=a-b+c，此时对应点在x轴上方，所以a-b+c>0，故选C 【变式2】如图，抛物线与直线交于点和点，抛物线顶点为，直线与轴交于点． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）若轴上存在点使的面积为9，求点的坐标． 【答案】（1）；；（2）或． 【分析】（1）根据抛物线顶点为，可设抛物线的解析式为，将代入后即可得出抛物线解析式，再设一次函数的解析式为，并结合和可得方程组，求解后可得一次函数解析式； （2）设P（0，n），根据S△PAB＝S△PAC−S△BPC列出关于n的方程，解方程求得n值，则得点的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点为， ∴设二次函数解析式为， 将代入得， ． 解得：． ∴二次函数解析式为． 设一次函数的解析式为， 将和代入得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）由一次函数可知． 设， ∴． ∴． ∴． 解得：或16． ∴或． 题型06 二次函数的增减性 【典例1】若二次函数的图象经过三点，则 的大小关系是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知图象开口向下，求出对称轴，图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小． 【详解】解：二次函数的解析式为， 函数图象开口向下，对称轴为， ，，到对称轴的距离分别为：，，． 函数图象开口向下， 图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小， ． 故选B． 【变式1】二次函数的图象上有两点， ，则a，b的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据函数解析判断出二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：对于二次函数， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，， 故选:B． 【变式2】已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是 ．  【答案】 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴开口向下，当x时，函数值随着自变量的增大而增大， 又∵直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大， ∴， 故答案为：． 【变式3】已知二次函数，当函数值随值的增大而增大时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，正确利用对称轴判断函数增减性是解题关键； 直接利用二次函数的性质得出抛物线，开口向上，在对称轴右边的函数值随值的增大而增大，即可得出答案． 【详解】二次函数中 此函数开口向上，对称轴为直线， 在对称轴右边的函数值随值的增大而增大， 即当时函数值随值的增大而增大． 故答案为：． 题型07 确定二次函数的表达式 【典例1】已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点． (1)求这个函数的关系式； (2)试判断点是否在此函数图象上． 【答案】(1) (2)在此函数图象上，见解析 【分析】本题主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数是本题得关键. （1）根据题意设出，将抛物线的顶点坐标代入可得：.再把代入，求出的值，即可得出二次函数的解析式； （2）代入即可判断. 【详解】（1）解：设二次函数的关系式为：， ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线表达式为：， 将点代入函得， 解得， ∴二次函数的关系式为； （2）解：当时，， ∴在此函数图象上. 【变式1】已知平面直角坐标系，抛物线经过点和两点. (1)求抛物线的表达式； (2)如果将这个抛物线向右平移个单位，得到新抛物线经过点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解以及二次函数的平移，注意计算的准确性即可． （1）将点和代入即可求解； （2）由（1）得，设平移后的抛物线表达式为，将点代入即可求解． 【详解】（1）解：将点和代入得： 解得 ∴抛物线的表达式是：. （2）解：由（1）配方得： 根据题意可设平移后的抛物线表达式为 ∵经过点； ∴ 解得：， ∵ ∴. 题型08 一次函数与二次函数图象共存问题 【典例1】在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中a、c的正负情况，即可判断哪个选项是正确的，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：A、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意； B、一次函数中，，二次函数中，，故选项符合题意； C、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意； D、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】在直角坐标系中，函数y= 3x与y= －x2+1的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与二次函数图象与系数的关系可以判断 【详解】由一次函数的性质可知，y= 3x的函数图像过一、三象限，由二次函数性质可得y= －x2+1中a<0，抛物线开口向下，故选D. 1.下列函数是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数概念，含x的二次项，系数不为0，整式函数来判断即可． 【详解】、是一次函数，故不正确； 、原函数可化为：，自变量的最高次数是，故故不正确； 、原函数可化为：，自变量的最高次数是，故故不正确； 、与是二次函数关系，故本选项正确． 故选择： 2.若函数是二次函数，则________． 【答案】4 【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案． 【详解】由题意得：，且， 解得：． 故答案为：． 3.某产品进货单价为元，按一件售出时，能售件，如果这种商品每涨价元，其销售量就减少件，设每件产品涨元，所获利润为元，可得函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总利润=单件利润×数量建立等式就可以得出结论． 【详解】解：由题意，得 y=（10+x-9）（100-10x）， y=-10x2+90x+100． 故选D． 4.长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则与的关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小正方形边长为x，底面长宽均减少2x，列出函数关系式. 【详解】解：设小正方形边长为x，由题意知： 现在底面长为20-2x，宽为10-2x， 故y=（10-2x）（20-2x）， 故选C. 5.由二次函数，可知(　　) A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=2 C．其最小值为1 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可． 【详解】解：由二次函数y=2（x-3）2+1，可知： A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误； B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误； C．其最小值为1，故此选项正确； D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误． 故选：C． 6.已知点A（1，y1），，C（2，y3），都在二次函数的图象上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】解：∵二次函数中，，对称轴， ∵点A（1，y1），，C（2，y3），在对称轴的右侧， 对称轴的左侧y随x的增大而减小， ∵， ∴ 故选：A． 7.二次函数y=-（x-2）2的图象与y轴( ) A．没有交点 B．有交点 C．交点为(1，0) D．交点为(0，) 【答案】B 【分析】令x=0，可得图象与y轴交点坐标 【详解】∵由x＝0得， ∴二次函数y=-（x-2）2的图象与y轴交于点（0，-1）. 故选：B. 8.下列对二次函数y＝2(x＋4)2的增减性描述正确的是( ) A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而增大 C．当x＞－4时，y随x的增大而减少 D．当x＜－4时，y随x的增大而减少 【答案】D 【分析】由表达式可得到对称轴，进而得到增减性情况 【详解】由函数表达式可以得到函数的对称轴是x=-4，抛物线开口向上，所以当x<-4时，y随的增大而减小，当x>-4时，y随x 的增大而增大．故选D. 9.当2.5≤x≤5时，二次函数y=－（x－1）2+2的最大值为__. 【答案】 【分析】根据二次函数的性质进行解答即可 【详解】解：函数y＝－（x－1）2＋2的图象的开口向下，对称轴为直线x＝1， 当2.5≤x≤5时，y的值随x值的增大而减小， 所以当x＝2.5时，y最大＝－（2.5－1）2＋2＝-． 故答案为-. 10.已知抛物线y=-x2+1，下列结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）； ③抛物线的对称轴是y轴； ④抛物线的顶点坐标是（0，1）； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的． 其中正确的个数有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解． 【详解】①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误； ②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正确； ③抛物线的对称轴=0，是y轴，故本小题正确； ④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确； 综上所述，正确的有②③④⑤共4个． 故选B． 11.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B(﹣1，0)，则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中结论正确的有（ ） A．①③ B．①④ C．①② D．①③④ 【答案】B 【分析】由图象可知，当x＝1时，y＝a+b+c最大，故①正确；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故②错误；二次函数与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故③错误；对称轴为x＝1，B（﹣1，0），所以A（3，0），由图象可得，y＞0时，﹣l＜x＜3，故④正确． 【详解】解:①由图象可知，x=1时，y=a+b+c最大，因此二次函数的最大值为a+b+c，故①正确； ②由图象可知，x=-1时，y=0，即a-b+c=0，因此a-b+c=0，故②错误； ③由图象可知，函数图象与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故③错误； ④∵对称轴为x=1，B(-1，0)， ∴A(3，0)， ∴y＞0时，-1＜x＜3， 故④正确， 则答案为：①④． 故选：B． 12.某商场以每件40元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为t＝180﹣3x． （1）试写出每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式（毛利润＝销售价﹣进货价）； （2）每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ 【答案】507元. 【分析】（1）根据毛利润=销售价-进货价可得y关于x的函数解析式； （2）将（1）中函数关系式配方可得最值情况. 【详解】 解：（1）根据题意，y=（x-42）t=（x-42）(-3x+204)=-3x2+330x-8568， 由得42≤x≤68； （2）∵y=-3x2+330x-8568=-3（x-55）2+507， ∴当x=55时，y的最大值507元. 13．某商场购进一批单价为元的日用品，经试销发现，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，假定每月销售件数（件）是价格（元/件）的一次函数，则与之间的关系式是________，销售所获得的利润为（元）与价格（元/件）的关系式是________． 【答案】 【分析】利用待定系数法，即可求得y与x之间的函数解析式．再根据利润=（售价-成本）×售出件数，即可得到w与x之间的关系式． 【详解】解：∵每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数，可设y=kx+b， 把（20，360），（25，210）代入，得： ，解得k=-30，b=960． ∴y=-30x+960． w=（x-16）（-30x+960）． 14．已知二次函数的图像的对称轴为直线，开口向下，且与轴的其中的一个交点是，下列结论：①;②;③;④正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意，由对称轴为直线，开口向下，则，抛物线与x轴的另一个交点为，当时，可判断①；当时，可判断②；由，可判断③；由，代入计算，即可判断④；然后得到答案. 【详解】解：根据题意， ∵二次函数的图像的对称轴为直线，开口向下，且与轴的其中的一个交点是， ∴，抛物线与x轴的另一个交点为，， 由图可知，当时，函数图像在x轴上方，则， ∴当时，，故①正确； ∵抛物线经过点， ∴当时，，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵，则， ∴，故④正确； ∴正确的选项有①③④，共3个； 故选：C. 15．关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或．其中正确的结论是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由题意可求次函数y=ax2-4ax-5的对称轴为直线，由对称性可判断①；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， ∴x1=2+m与x2=2-m关于直线x=2对称， ∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等； 故①正确； 当x=3时，y=-3a-5，当x=4时，y=-5， 若a＞0时，当3≤x≤4时，-3a-5＜y≤-5， ∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个， ∴， 若a＜0时，当3≤x≤4时，-5≤y＜-3a-5， ∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个， ∴， 故②正确； 若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6， ∴△＞0，25a-20a-5≥0， ∴， ∴； 若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6， ∴△＞0，25a-20a-5≤0， ∴ ∴a＜， 综上所述：当a＜或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6． 故③正确； 故选：D． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $