专题02 相反数与绝对值（重难点讲义）数学人教版七年级上册

本讲义聚焦初中数学“相反数与绝对值”核心知识点，系统梳理相反数的定义（只有符号不同的两个数）、几何意义（数轴原点两侧等距）、性质（和为0）及多重符号化简（奇负偶正），进而衔接绝对值的定义（数轴点到原点距离）、几何与代数意义、非负性及重要推论（|a|=|b|则a=±b），构建从概念到性质再到应用的学习支架。 该资料亮点在于题型分层设计，典例与变式结合，突出数形结合（如利用数轴化简绝对值、求最值），培养几何直观与推理意识。实际应用案例（如会议楼层选择）提升应用意识，巩固与强化训练助力课后查漏补缺，课中教师可通过典例引导学生抽象数学关系，提升教学效果。

专题02 相反数与绝对值 1. 掌握相反数的定义、几何意义和性质，能熟练求任意有理数的相反数； 2. 理解绝对值的几何意义和代数意义，熟记绝对值的非负性； 3. 掌握多重符号化简方法，能结合数轴化简含绝对值的式子； 4. 会利用相反数、绝对值的性质解决基础求值问题。 一、 相反数 （1）定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如5和-5互为相反数； 【注意】：（1）0的相反数是0；（2）代数表示：任意数a的相反数是-a； （2）核心性质：互为相反数的两个数和为0，即若a、b互为相反数，则a+b=0； （3）几何意义：数轴上互为相反数的两个点，分布在原点两侧，且到原点的距离相等； （4）多重符号化简：遵循“奇负偶正”，负号个数为奇数结果为负，偶数结果为正。 二、 绝对值 （1）绝对值的定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|； （2）核心性质：绝对值具有非负性，即，任何数的绝对值都不会是负数； （3）重要推论：若|a|=|b|，则a=b或a=-b；若|a|=0，则a=0； （4）易错点：负数的绝对值是它的相反数（是正数），不是负数。 题型01相反数的定义 【典例】的相反数是（     ） A． B． C． D．2022 【变式】的相反数是（     ） A．2 B． C． D． 题型02化简多重符号 【典例】下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】下列化简结果错误的是（    ） A． B． C． D． 题型03绝对值的几何意义 【典例】下列各数在数轴上表示的点到原点的距离最近的是（  ） A． B． C．0.5 D．2025 【变式】四个有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则这四个点中表示的数的绝对值最大的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型04绝对值的非负性 【典例】如果，那么______． 【变式】已知a为有理数，则的最小值为__________． 题型05利用数轴化简绝对值 【典例】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________ ．         【变式】已知、、在数轴上的位置如图所示，化简______． 题型06利用绝对值求最值 【典例】数学实验室：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是____，数轴上表示和的两点之间的距离是________． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____数轴上表示和的两点之间的距离表示为_________． (3)若表示一个有理数，则的最小值_______． (4)若表示一个有理数，且，则满足条件的数的是_______． 【变式】【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【巩固训练】 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 3．的相反数是（     ） A． B． C． D． 4．点P、Q、M、N在数轴上的位置如图所示，则所表示的数的绝对值最大的是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 5．下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 6．化简：_______；_______． 7．如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 8．当______时，的最小值是______． 9．如图，数轴上的点所表示的数为最小的正整数，点所表示的数为，将点向右移动个单位长度得到点，同时将点向左移动个单位长度得到点． (1)在移动之前，点所表示的数为______； (2)点所表示的数为_____；（用含的代数式表示） (3)若，两点所表示的数互为相反数，求的值． 10．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【强化训练】 1．在，，，，中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，点A是数轴上一点，点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数可能是（   ） A．0 B．1 C． D．25 3．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．2024和 C．和2024 D．和 4．如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 __． 5．若，则________． 6．式子的最小值是______． 7．已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示： (1)在数轴上表示出数，的相反数的位置； (2)若数与其相反数相距12个单位长度，则数表示的数是 ； (3)在（2）的条件下，若表示数的点与表示数的相反数的点相距3个单位长度，求数表示的数． 8．已知与互为相反数． (1)求a、b的值； (2)求的倒数． 9．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 举例：数轴上表示2和5两点间的距离是3；表示和5两点间的距离是7； 一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离可表示为； 运用： (1)若，则a的值为________； (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则________． (3)若代数式，求a的值． 10．数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相反数与绝对值 1. 掌握相反数的定义、几何意义和性质，能熟练求任意有理数的相反数； 2. 理解绝对值的几何意义和代数意义，熟记绝对值的非负性； 3. 掌握多重符号化简方法，能结合数轴化简含绝对值的式子； 4. 会利用相反数、绝对值的性质解决基础求值问题。 一、 相反数 （1）定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如5和-5互为相反数； 【注意】：（1）0的相反数是0；（2）代数表示：任意数a的相反数是-a； （2）核心性质：互为相反数的两个数和为0，即若a、b互为相反数，则a+b=0； （3）几何意义：数轴上互为相反数的两个点，分布在原点两侧，且到原点的距离相等； （4）多重符号化简：遵循“奇负偶正”，负号个数为奇数结果为负，偶数结果为正。 二、 绝对值 （1）绝对值的定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|； （2）核心性质：绝对值具有非负性，即，任何数的绝对值都不会是负数； （3）重要推论：若|a|=|b|，则a=b或a=-b；若|a|=0，则a=0； （4）易错点：负数的绝对值是它的相反数（是正数），不是负数。 题型01相反数的定义 【典例】的相反数是（     ） A． B． C． D．2022 【答案】D 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． 【变式】的相反数是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数的基本定义，直接根据定义计算即可得到结果； 【详解】解：根据相反数定义，数的相反数为， ∴ 的相反数为 ； 题型02化简多重符号 【典例】下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的符号化简规则，根据负负得正和正负得负等基本性质化简即可． 【详解】解：∵选项A∶，∴A错误． ∵选项B∶，∴B错误． ∵选项C∶，符合负负得正，∴C正确． ∵选项D∶ ，∴D错误． 故选C． 【变式】下列化简结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握化简多重符号法则是解题关键．根据化简多重符号的法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，符合题意； B、，则此项正确，不符合题意； C、，则此项正确，不符合题意； D、，则此项正确，不符合题意； 故选：A． 题型03绝对值的几何意义 【典例】下列各数在数轴上表示的点到原点的距离最近的是（  ） A． B． C．0.5 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，由点到原点的距离是该数的绝对值，据此比较各选项的绝对值大小，绝对值最小的点距离原点最近，即可求解． 【详解】解：因为， 所以表示的点到原点的距离最近； 故选：A． 【变式】四个有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则这四个点中表示的数的绝对值最大的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作a的绝对值，记为，因此哪个点与原点的距离最大，哪个点表示的数的绝对值最大． 【详解】解：由数轴知，点A到原点的距离大于3小于4， 点B到原点的距离大于1小于2， 点C到原点的距离大于0小于1， 点D到原点的距离大于2小于3， 综上可知，点A到原点的距离最大， 故这四个点中表示的数的绝对值最大的点是点， 故选：A． 题型04绝对值的非负性 【典例】如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的定义分析，当时，；当时，，据此即可解答． 【详解】解：根据绝对值的定义，当时，；当时，． 当时，成立；当时，也成立； 故由，可知， 故答案为：． 【变式】已知a为有理数，则的最小值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，，从而推导出表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为1． 故答案为：1． 题型05利用数轴化简绝对值 【典例】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________ ．         【答案】 【分析】本题主要考查数轴的应用， 绝对值，解题的关键是熟记绝对值的规律∶正数和0的绝对值等于它本身， 负数的绝对值等于它的相反数． 由数轴可得， 则，再根据绝对值的规律化简即可． 【详解】解：由数轴可得， 则， ∴． 故答案． 【变式】已知、、在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】0 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号、化简绝对值、整式的加减运算等，解题的关键是根据a、b、c在数轴上的位置得出，．根据a、b、c在数轴上的位置判断出，得出，，去绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：根据a、b、c在数轴上的位置可知：， ∴，， ∴ ． 故答案为：0． 题型06利用绝对值求最值 【典例】数学实验室：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是____，数轴上表示和的两点之间的距离是________． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____数轴上表示和的两点之间的距离表示为_________． (3)若表示一个有理数，则的最小值_______． (4)若表示一个有理数，且，则满足条件的数的是_______． 【答案】(1)， (2)， (3)5 (4)或 【分析】本题主要考查绝对值的意义及两点间距离公式，熟练掌握绝对值的意义及两点间距离公式是解题的关键． （1）根据两点间距离公式得出结论即可； （2）根据两点间距离公式得出结论即可； （3）根据绝对值的意义得出结论即可； （4）根据绝对值的意义得出结论即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为，； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为，； （3）解：根据绝对值的定义有：可表示为点到与两点距离之和，根据几何意义分析可知： 当在与之间时，有最小值， 故答案为； （4）解：当时，， 解得：， 此时符合； 当时，， 此时不符合题意，舍去； 当时，， 解得：， 此时符合； 故答案为或． 【变式】【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 【巩固训练】 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，则 ． 2．如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【答案】B 【分析】根据字母a在数轴上的位置，得出，从而得出，从而得出答案． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴， ∴可能是1.7． 3．的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数的定义，任意数的相反数为，根据相反数定义计算即可得出结果． 【详解】解：的相反数是． 4．点P、Q、M、N在数轴上的位置如图所示，则所表示的数的绝对值最大的是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，熟知数轴上的点离原点越远，其对应的数的绝对值越大是解题的关键． 根据数轴上的点离原点越远，其对应的数的绝对值越大，即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，点P离原点的距离大于1， 点Q、M、N离原点的距离均小于1， 即所表示的数的绝对值最大的是点P． 故选：A． 5．下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值的性质、正负数的定义、举反例判断命题的真假等知识点，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性、正负数的定义以及举反例判断命题的真假逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则，即，故a不一定为负数，可能为零，A错误； B．由，则，故一定是正数，B正确； C．由时，或，故不一定相等，C错误； D．例如，，但，故不一定是正数，D错误． 故选B． 6．化简：_______；_______． 【答案】 4 / 【分析】本题考查多重符合的化简，去括号，掌握相关知识点是解题的关键． 第一个空利用相反数的概念，负负得正；第二个空应用去括号法则，括号前是负号，括号内各项变号． 【详解】解：，． 故答案为：4，． 7．如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 【答案】P 【分析】本题主要考查了相反数和绝对值的概念．先根据N，Q表示的有理数互为相反数，确定原点的位置，再确定图中表示绝对值最小的数是点P． 【详解】解：∵N，Q表示的有理数互为相反数， ∴原点在的中点处， 此时距离原点最近的点为P， 即图中表示绝对值最小的数是点P． 8．当______时，的最小值是______． 【答案】 【分析】表示数轴上点到点的距离，原式可转化为数轴上一点到三个定点，，的距离之和，当取奇数个定点中位于中间的点时，距离之和取得最小值，代入计算即可得到结果． 【详解】根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 因此表示点到，，三点的距离之和， 将三点从小到大排列为，共奇数个点，中间点为，此时距离之和最小， 将代入原式． 9．如图，数轴上的点所表示的数为最小的正整数，点所表示的数为，将点向右移动个单位长度得到点，同时将点向左移动个单位长度得到点． (1)在移动之前，点所表示的数为______； (2)点所表示的数为_____；（用含的代数式表示） (3)若，两点所表示的数互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据有理数的有关概念即可求解； （）利用数轴上两点间距离公式解答即可求解； （）利用数轴上两点间距离公式求出点所表示的数，进而根据相反数的定义列出方程解答即可求解； 本题考查了数轴与有理数，相反数的定义，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点所表示的数为最小的正整数， ∴在移动之前，点所表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵将点向右移动个单位长度得到点， ∴点所表示的数为， 故答案为：； （3）解：∵点所表示的数为，将点向左移动个单位长度得到点， ∴点所表示的数为， ∵，两点所表示的数互为相反数， ∴， 解得． 10．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【答案】(1)， (2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1 (3)在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，或 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式直接计算或者列方程，结合绝对值的几何意义解方程即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为或，或，故结果是8； （2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离， 若，则或； （3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，若，则或． 【强化训练】 1．在，，，，中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：，是正数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； 综上，负数共有个． 2．如图，点A是数轴上一点，点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数可能是（   ） A．0 B．1 C． D．25 【答案】C 【分析】由数轴可得，点表示的数约为，再结合相反数的定义即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得，点表示的数约为， ∵点A，B表示的数互为相反数， ∴点B表示的数可能是． 3．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．2024和 C．和2024 D．和 【答案】A 【分析】本题考查相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可． 【详解】解：A、和互为相反数，故A选项符合题意； B、2024和互为倒数，故B选项不符合题意； C、和2024不互为相反数，故C选项不符合题意； D、和不互为相反数，故D选项不符合题意； 故选：A． 4．如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 __． 【答案】 【分析】由绝对值的定义，再根据原点左边的数是负数即可得出答案． 【详解】解：由题意得：点B表示的数是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了数轴，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解本题的关键． 5．若，则________． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0．根据绝对值和平方的非负性，得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 6．式子的最小值是______． 【答案】 0.25/ 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值化简的方法，正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数．将原式化简为，令，求出，令，求出，令，求出，根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，即可进行解答． 【详解】解：原式， 令，则，令，则，令，则， ①当时，则， ， ； ②当时，则， ， ； ③当时，则； ④当时，则， ， ； 综上，，即式子的最小值是． 故答案为：． 7．已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示： (1)在数轴上表示出数，的相反数的位置； (2)若数与其相反数相距12个单位长度，则数表示的数是 ； (3)在（2）的条件下，若表示数的点与表示数的相反数的点相距3个单位长度，求数表示的数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)3 【分析】本题考查了数轴与相反数，掌握a的相反数为是解题的关键． （1）根据互为相反数的点到原点的距离相等在数轴上表示出，； （2）先得到b表示的点到原点的距离为6，然后根据数轴表示数的方法得到b表示的数； （3）由（2）得表示数的相反数为，再利用数a表示的点与数b的相反数表示的点相距3个单位长度，然后根据数轴表示数的方法得到a表示的数． 【详解】（1）解：数，的相反数的位置如图， （2）解：数与其相反数相距12个单位长度，则表示的点到原点的距离为6， 所以表示的数是； 故答案为：； （3）解：由（2）得表示数的相反数为， 而表示数的点与表示数的相反数的点相距3个单位长度，且， 所以表示的数是3． 故答案为：3． 8．已知与互为相反数． (1)求a、b的值； (2)求的倒数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性，解题的关键是利用“互为相反数的两个数和为0”，并结合非负性求解． （1）根据互为相反数的两数和为0，结合绝对值与平方数的非负性，列方程求解； （2）代入的值计算，再求其倒数． 【详解】（1）解：由题意可得：． 解得； （2）解：将代入，得： ， 5的倒数是， 的倒数是． 9．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 举例：数轴上表示2和5两点间的距离是3；表示和5两点间的距离是7； 一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离可表示为； 运用： (1)若，则a的值为________； (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则________． (3)若代数式，求a的值． 【答案】(1)或5 (2)7 (3)或7． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义与化简，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义和代数意义． （1）直接根据数轴上两点之间的距离的意义计算即可； （2）根据a的范围化简绝对值，再计算即可； （3）分，，三种情况，去绝对值，得到方程，解之即可． 【详解】（1）解：表示数轴上a与2的距离为3， ∴这样的a值为或5， 故答案为：或5； （2）解：∵数轴上表示数a的点位于与2之间， ∴ ， 故答案为：； （3）解：， 当时， ， 解得：； 当时， ，不符合题意； 当时， ， 解得：； 综上：a的值为或7． 10．数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或，图见解析 (3)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可； （3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， 在数轴上标记x所在的位置如图所示： （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $