专题02 期末复习之有理数混合运算 简便算法与规律探究（考情分析+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学七年级上册易错点重难点培优专题复习

该初中数学讲义以“有理数混合运算”为核心，通过考情分析表格系统梳理乘方符号规则、运算顺序等6大期末考点，明确复习目标与考察形式，按“基础-提升-培优”分层呈现知识脉络，突出运算律与简便方法的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题强化运算顺序与符号规则，提升题如裂项相消培养推理意识，培优题如购物满减情境问题发展应用意识。同步练习覆盖选择、解答等题型，助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

专题02 有理数混合运算 期末考点 复习目标 考察形式 1.乘方的定义与符号规则 1.明确乘方底数、指数的含义； 2.熟练判断乘方运算的符号（正数乘方为正，负数奇次幂为负、偶次幂为正）；3.区分与的本质区别 1.基础必考题，多为选择/填空（1题）； 2.常作为混合运算的基础步骤，易错点高频考察 2.有理数混合运算顺序 1.牢记“先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”； 2.掌握多层括号的去括号顺序（小→中→大） 1.覆盖全题型，基础题（选择/填空）直接考察顺序，解答题贯穿全程； 2.易错点集中在忽视括号优先级导致计算失误 3.运算律的应用（加法交换律/结合律、乘法分配律） 1.熟练运用运算律进行凑整、简化计算； 2.掌握乘法分配律正用、逆用的适用场景 1.核心考点，解答题（1-2题）必考； 2.简便计算题型是提升题、培优题的核心载体 4.分数/小数混合运算转化 1.掌握小数与分数的互化技巧； 2.理解通分、约分的本质，避免转化失误 1.基础中档题，多融入混合运算中考察； 2.易错点为通分不彻底、小数转分数漏分母 5.含绝对值、括号的混合运算 1.结合绝对值非负性化简；2.灵活处理括号与运算律的结合应用 1.提升题常见，选择/填空（1题）或解答题（步骤）； 2.需分类讨论绝对值内符号的情况偶见 6.情境化/规律探究类混合运算 1.能从生活、跨学科情境中提取数学信息，转化为混合运算； 2.探究数列、循环、图形关联的运算规律，并用简便方法推导 1.创新题、培优题高频，多为选择压轴/解答题最后一问； 2.结合购物、物理、化学等情境，体现素养导向 【题型1】乘方的符号易错辨析（易错题型） 1.易错点总结 混淆与的底数：的底数是，先算再添负号；的底数是，整体进行乘方运算。 忽视负数乘方的符号规律：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，0的任何非零次幂为0。 2.避坑攻略 先圈出底数：带括号则括号内整体为底数，无括号则单个数字为底数。 计算步骤：先判断符号（根据指数奇偶性+底数正负），再计算绝对值的乘方。 示例：，。 【例题1】.（25-26七年级上·海南·期中）下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，先直接计算每组表达式的数值，再判断是否相等即可． 【详解】解：A．，，，故A不符合题意； B．，，，故B符合题意； C．，，，故C不符合题意； D．，，，故D不符合题意． 故选：B． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·福建莆田·期中）计算 (1)； (2) 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． （1）先算乘方，再计算括号内的及绝对值，再算乘除，最后算加法即可； （2）根据有理数混合运算的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式=， ， ； （2）解：原式 =， 【变式题1-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)9 (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算： （1）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （5）根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)6 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握有理数混合运算的法则是解题的关键． （1）先去括号，然后根据有理数的加减法则计算，即可作答； （2）先运算乘方以及化简绝对值，再运算乘除，最后运算减法，即可作答； （3）运用有理数的乘法分配律进行计算，即可作答； （4）先运算乘方并将乘法转化为乘法，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【基础题型】 【题型2】混合运算中的简便运算(运算律正逆用)(提升题型) 1.期末考点总结 考察乘法分配律正用()、逆用()，加法交换律/结合律的综合应用。 核心是识别简便运算特征(如相同因数、凑整因数、分数分母相同)。 2.解题攻略 正用分配律：括号外的因数与括号内各项分别相乘，再加减(适合括号内为加减、因数能凑整的情况)。 逆用分配律：提取各项的公共因数(整数、分数、小数均可)，将式子化为“因数×(和/差)”形式。 关键技巧：遇分数分母为，优先找能被整除的因数。 【例题2】.（25-26七年级上·安徽马鞍山·开学考试）计算下面各题．（能简便的要简便计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)2 (2)7.8 (3)90 (4)1000 (5)4 (6)9 【分析】本题考查了有理数的混合运算，加法以及乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）将除法化为乘法，约分计算即可； （2）先利用乘法分配律计算括号内乘法，再计算括号内加减法，最后计算乘除法即可； （3）利用加法交换律和结合律简便计算即可； （4）将拆分为，再根据乘法交换律和结合律简便计算即可； （5）利用乘法分配律简便计算即可； （6）利用乘法分配律简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·山东德州·期中） 利用运算律有时能进行简便计算． 例1 例2    请你参考黑板中老师的两个讲解，用相应的方法简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了乘法分配律． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题2-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)27 (2)11 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更简便，要注意对运算算式的整理． （1）把带分数化为假分数，然后利用有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·江苏盐城·月考）请你参考黑板上老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算 例1： 例2： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，能够熟练运用乘法分配律是解题的关键． （1）把写成，利用乘法分配律进行计算； （2）逆用乘法分配律，提取，进行简便计算即可． 【详解】（1） （2） ． 【题型3】生活情境混合运算(购物满减、阶梯收费等)(培优题型) 1.期末考点总结 考察从生活情境中提取数学信息(如满减规则、阶梯电价、里程计费)，转化为混合运算。 核心是“理解规则→建立算式→简便计算”，体现数学应用素养。 2.解题攻略 步骤1：梳理情境规则 步骤2：根据已知条件建立运算算式(含乘方、乘除、加减，必要时加括号)。 步骤3：运用凑整、分配律简便计算，验证结果是否符合实际情境(如费用为正数)。 【例题3】.（25-26七年级上·江西赣州·期中）每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知两家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付_________元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付_________元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这两家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 【答案】(1)3200，3190； (2)在A店铺需支付：元；在B店铺需支付：元． 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （1）根据题意可以分别得到两家店铺需要支付的费用； （2）根据题意可以用代数式表示出在两家店铺的购买费用． 【详解】（1）解：在A店铺5条被子作一单购买，需支付：（元）， 在B店铺5条被子作一单购买，需支付：（元）， 故答案为：3200，3190； （2）解：在A店铺a条被子作一单购买，需支付：（元）， 在B店铺a条被子作一单购买，需支付：． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·湖北武汉·期中）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，一般情况下，天头长和地头长的比为，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．若某副对联长为，宽为，装裱后左右边的宽均为． (1)装裱后天头长与地头长的和为___________，天头长为___________，地头长为___________．（用含的式子表示）； (2)若，求装裱后对联的长与宽的差； (3)市场调查发现，对联装裱一般有两种方式：一种是普通机器装裱，另一种是手工装裱．据调查，某装裱服务公司的收费标准为：一副对联如果装裱左、右宽度为，则普通机器装裱收费为装裱后的面积每平方米100元，满30元减3元；手工装裱收费为装裱后的面积在平方米内，每平方米120元，若超出平方米，超出的部分打八折．小明同学准备装裱一副对联，是选择普通机器装裱划算还是选择手工装裱划算？请你说明理由．（结果精确到．友情提醒：1平方米等于10000平方厘米） 【答案】(1)；； (2) (3)选择普通机器装裱划算，理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，有理数的四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的可求出装裱后天头长与地头长的和，再根据天头长和地头长的比为可求出答案； （2）根据（1）所求求出装裱后对联的长与宽，再求出它们的差即可； （3）根据（2）所求求出对应的面积，再分别求出机器和手工装裱的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：∵装裱后左右边的宽均为， ∴装裱后天头长与地头长的和为， ∵天头长和地头长的比为， ∴天头长为，地头长为； （2）解：当时，， ∴装裱后对联的长为，宽为， ∴装裱后对联的长与宽的差为； （3）解：选择普通机器装裱划算，理由如下： 由（2）可知，装裱后对联的面积为， 选择普通机器装裱的费用（没有优惠）为元， 则选择普通机器装裱的费用（有优惠）为元； 选择手工装裱的费用为元， ∵， ∴选择普通机器装裱划算． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 【项目主题】某新能源汽车耗电情况· 【项目背景】近几年全球新能源汽车发展迅猛，新能源汽车产销量大幅增加，小明家购置了一辆续航为（充满电能行驶的最大路程）的新能源纯电动汽车，小明想记录汽车行驶过程中的耗电情况． 【项目实施】 他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如表（单位：．以为标准，超过的部分记为“”，不足的部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● 【项目任务】 (1)“■”处的数为______，“●”处的数为______． (2)行驶路程最多的一天与最少的一天相差______． (3)请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，续航里程还剩多少． 【答案】(1) (2) 14 (3) 43km 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的实际应用、有理数正负数的应用等知识点，理解题意、列出正确的算式是解题的关键． （1）观察表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，据此即可解答； （2）先确定最多的一天和最少的一天，然后再作差即可； （3）先求出新能源纯电动汽车7天行驶的总路程，再用续航总里程减去这七天的总路程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵第三天行驶了，第六天行驶了， ∴第三天记录的数为，第六天记录的数为， ∴“■”处的数为，“●”处的数为． 故答案为：，． （2）解：由表格可知：行驶路程最多的一天，最少的一天为， 所以行驶路程最多的一天与最少的一天相差． 故答案为：14． （3）解：新能源纯电动汽车7天行驶的总路程为， ， 答：续航里程还剩． 【变式题3-3】.（2025七年级上·河北·专题练习）在国家政策的引导和支持下，我国新能源汽车行业迅猛发展，新能源汽车以其环保、节能、使用成本低等优点，越来越受到人们的青睐． (1)小华家的旧车要换新了．爸爸计划将家里的燃油车换成新能源电动车，妈妈担心电动车不划算．爸爸收集了以下数据： 车辆价格 燃油车：11.5万元/辆 电动车：14.5万元/辆 家庭年里程 约15000千米 燃油车 油耗每百千米约8升 油价约7元/升 电动车 电耗每百千米约15度 电费约0.6元/度 从数学的角度，你会怎么用“数据”帮小华爸爸说服妈妈？综合上面的信息，先列式计算出关键数据，再写一句说服语（15个字以上），说服语中要包含关键数据．（注：暂不考虑车辆使用年限、保值率、充电便利性等外部因素） (2)小华爸爸购买某品牌的新能源电动车时，看到了以下购车政策： 官方指导价：相当于厂商建议零售价 包含： 车辆裸车价 13%的增值税 基础配置费用 不包含：购置税等附加费用 促销优惠： 购置税减免：新能源电动车可免征车辆购置税（税率为10%），单车最高减免不超过3万元； 打折活动：该品牌当前推出“绿色出行” 促销，对官方指导降价10%优惠． 豪华车税：若车辆减免优惠及打折后的总价超过 40万元的车型，需额外征收5%的消费税 已知小华爸爸买车最终实际支付了47.25万元，求这辆车的官方指导价是多少万元？ 【答案】(1)见解析 (2)50万 【分析】本题主要考查了分析问题和解决问题的能力，有理数四则混合运算的应用和列一元一次方程解决实际问题． （1）分别求出燃油车、新能源电动车每年的费用，然后求出两种车的差价，年费差价，再求出差价可弥补年费用差的时间，即可说明； （2）设这辆车的官方指导价为万元，由题中的等量关系可列出方程，解出即可． 【详解】（1）解：燃油车年油费：（元）， 车辆差价：（万元），3万元（元）， 电动车年电费：（元）， 年费用差：（元）， 差价可弥补年费用差的时间：（年）， 说服语：虽然新能源电动车贵3万元，但年省7050元，约4.26年补差价，长期看购买新能源电动车更划算． （2）解：设这辆车的官方指导价为万元， 由题意得，， ， ， 答：这辆车的官方指导价是50万元． 【提升题型】 【题型4】分数拆分简便运算(裂项相消)(提升题型) 1.期末考点总结 考察分数拆分规律(如，)。 核心是识别裂项特征，通过“相消”简化求和运算。 2.解题攻略 识别裂项类型：观察分母是否为两个连续整数的乘积(或差为定值的两个整数乘积)。 拆分公式：按规律拆分每一项(标注拆分依据)，确保拆分前后值相等。 相消计算：将拆分后的式子按顺序排列，抵消中间相同项，剩余首尾项求和。 示例：。 【例题4】.（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）观察下列各式：我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于，可以用裂项的方法变形为． 类比上述方法，解答下列各题： (1)___________ (2)计算：___________． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据题中给出的规律即可求出答案； （2）根据题中给出的规律展开计算即可求出答案； （3）根据规律，对所求的式子进行整理，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·浙江·阶段练习）阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）利用裂项法解答即可求解； （）把算式转化为，再利用裂项法解答即可求解； （）用裂项的方法变形为，进而计算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （） ； （） ． 【变式题4-2】.（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减． 例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：_________． (2)探究并计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中裂项方法是解答的关键． （1）根据题中例子可写出相应的等式； （2）①根据式子特点，采用裂项的方法进行计算即可； ②将原式变形，然后采用裂项方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，猜想， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 【变式题4-3】.（24-25七年级上·山东济南·期中）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________ 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由； 【答案】（1），11； （2）； （3）； （4）永远不可能倒完，见解析 【分析】本题考查了数字类问题的探索，理解题意掌握对分数的处理方法是解题的关键． （1）观察式子左右两边的数字，即可求解； （2）观察式子左右两边的数字，即可求解； （3）根据（1）中的规律， 依次化简每个式子，然后求解即可． （4根据题意第次后剩余的水量为，根据（1）化简式子即可求解； 【详解】（1）第6等式：； 故答案为：，11； （2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律： ． （3）原式= = ． （4） ．永远不可能倒完． 【题型5】混合运算中的规律探究题(循环、数列求和)(培优题型) 1.期末考点总结 考察循环运算规律(如“计算多次同一算式，寻找结果循环周期”)、数列求和规律(如等差数列、裂项数列)。 核心是“计算前几项→发现规律→用简便方法推导结果”。 2.解题攻略 循环规律：计算前3-5次运算结果，识别循环周期(如周期为2、3)，用“总次数÷周期”求余数，确定最终结果。 数列求和规律：观察数列特征(如连续整数、分数裂项、正负交替)，选择对应简便方法(如等差数列求和公式、裂项相消)。 【例题5】.（25-26七年级上·安徽合肥·期中）点 A 从原点出发第一次向右移 1 个单位对应点表示的数为， 第二次再向左移 2 个单位对应点表示的数为， 第三次再向右移 3 个单位对应点表示的数为， 第四次再向左移 4 个单位对应点表示的数为， 如此往返，第 n 次运动结束后表示的数为．则的值为（      ） A． B．若 n 为偶数，则． 若 n 为奇数，则 C．若 n 为偶数，则． 若 n 为奇数，则 D．若 n 为偶数，则． 若 n 为奇数，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，整式的加减计算，分n为偶数和n为奇数两种情况，表示出，据此讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ……， 以此类推可知，当n为奇数时，当n为偶数时，， ∴当n为偶数时， ； 当n为奇数时， ， 故选：B． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·重庆巴南·期中）有依次排列的两个整式： ，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串： ，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，该整式串包含5个整式；以此类推．记第n次操作得到的整式串之和为．以下四个结论：①第三次操作后的整式串中共有8个整式；②第n次操作后的整式串共有个整式（n为正整数）；③第2025次操作后的整式串中所有整式的和为；④的值为2．正确的有 （   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查整式串的操作规律，通过分析每次操作后整式个数的变化规律和整式和的变化规律，判断各结论的正误，整式个数遵循 的规律，整式和每次操作增加2. 【详解】解：∵初始整式串：，和为 第一次操作后整式串：，个数为 ，和为 第二次操作后整式串：，个数为 ，和为 第三次操作后整式串个数应为 ，故①错误 第 次操作后整式个数为 ，故②正确 第 次操作后整式和为 ， ∴ 第2025次操作后和为 ，故③错误 ∵，故④正确 综上，正确结论有②和④，共2个， 故选：B. 【变式题5-2】.（25-26八年级上·广西桂林·期中）观察下面的式子：，，，…，可以发现它们的计算规律是（n为正整数）．若一容器装有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的，…，如此下去，第n次倒出的水量是升水的，…，按这种倒水方式，前n次倒出水的总量为（     ）升． A．1升 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数字规律，理解数字规律的计算是关键． 根据题意，第k次倒出的水量为升，利用规律，将前n次倒出的水量求和，通过望远镜求和化简即可． 【详解】解：设前n次倒出水的总量为， ∵ ， 又∵ ， ∴ ， 中间项相互抵消， ∴ 故前n次倒出水的总量为升， 故选：B． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知三个数将其中任意两个数相减后取绝对值再加上第三个数，因不同的选择可得到三个结果，称为第一次操作；将按照上述的方法再进行一次操作，可得到三个结果，以此类推，第次操作后的得到的三个结果记为，下列说法： ①若，则三个数中最大的数是11； ②若，且中最小值为8，则或； ③若，则． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的运算以及规律探究，熟练掌握绝对值的性质和通过分析前几次操作结果找规律的方法是解题的关键． 分别对三个说法进行分析，通过计算每次操作的结果，结合绝对值的性质和规律探究来判断对错． 【详解】解：∵ ，，三个数为，，． ∴ 第一次操作：；；． ∴ 中最大的数是，故①正确． ∵ ，三个数为，，． ∴ 第一次操作：；；． 当时，或，解得或． 当时，或，解得或． 当时，，解得． 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，，满足最小值为． 故仅满足，故②错误． ∵ ，三个数为，，． ∴第一次操作：；；． 第二次操作：；；． 第三次操作：；；． 第四次操作：；；． ……， ∴第11次操作：；；． ∴，故③错误． 综上，正确的个数为． 故选：． 【培优题型】 【题型6】复杂除法运算巧解——倒数法的灵活运用 1.期末考点总结 考察倒数的性质(的倒数为，)、除法与乘法的转化； 核心是利用倒数将复杂分数除法(如)转化为整式乘法，简化计算。 2.解题攻略 步骤1：对复杂除法算式的“整体分母”取倒数，将原式转化为“分子×(整体分母的倒数)”(如)； 步骤2：先计算倒数部分的加减运算(通分凑整)，再与分子相乘； 步骤3：结合乘法分配律简化计算，避免直接通分导致的复杂运算； 【例题6】.（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）项目式学习 项目背景 在有理数除法运算中，当除数是一个复杂的多项式时，直接计算比较繁琐，可先求原式的倒数，再利用乘法分配律简化计算，最后取倒数得到结果． 学习目标 理解“倒数法”在有理数除法中的原理；熟练运用乘法分配律进行有理数乘法运算． 材料阅读 计算：． 解：原式的倒数： 故原式． 任务解决 用倒数法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，乘法运算律，倒数的定义，根据题干的运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：原式的倒数： 故原式． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 【实践探究】 课堂上老师给出一道计算题，计算：．同学们积极思考，主动出击，有三位同学的做法如下： 甲：原式 ． 乙：原式． 丙：原式的倒数为 ． 故原式． 认真阅读，请解答下列问题： （1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，也有正确的解法，你认为甲、乙、丙谁的解法是错误的，谁的解法是正确的． 【小试牛刀】 （2）用甲、乙、丙的所有正确的解法进行解答，计算：． 【拓展延伸】 （3）用甲、乙、丙的所有正确的解法中，你认为比较简便一种解法进行解答，计算； 【答案】（1）甲的解法错误，乙与丙的解法正确；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的乘除运算法则，利用一个非零数的倒数的倒数是自身是解题关键． （1）根据除法运算法则，正负号变化规则，倒数的定义和乘法运算法则判断即可； （2）根据解法三，先求倒数，将除法化为乘法，再求倒数即可； （3）根据解法三，先求倒数，将除法化为乘法，再求倒数即可． 【详解】解：（1）解法一中，除法是没有分配律的，计算是错误的； 则甲的解法错误，乙与丙的解法正确； （2）原式的倒数为 故原式； （3）原式的倒数为 故原式． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·江苏南京·月考）阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法__________是错误的． (2)请用你认为简便的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查倒数与分数的混合运算，能够根据题目中几种方式进行计算是解题的关键． （1）除法没有分配律，乘法有分配律； （2）选取解法中正确的一种解法进行解题即可． 【详解】（1）解法一是错误的，除法没有分配律； 故答案为：一． （2）原式的倒数为， 其值 ， ∴原式． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·安徽合肥·期中）数学老师布置了一道思考题：“计算：”． 甲、乙、丙三位同学仔细思考了一番，分别给出了自己的解答过程． 甲：原式． 乙：原式． 丙：原式的倒数为， 其值， 所以原式． (1)上述解法的结果不同，肯定有错误的解法．你认为解法错误的是哪位同学： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (2)在正确的解法中，你认为谁的解法较简捷： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (3)用你认为简便的方法计算：． 【答案】(1)甲 (2)丙 (3) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）观察三种解法，找出出错的即可； （2）观察三种解法，找出简捷的即可； （3）利用简便方法求出原式的值即可． 【详解】（1）解：除法没有分配律，故甲同学计算错误； 乙和丙的计算没有问题； 故答案为：甲； （2）解：观察计算过程，丙的解法最简捷， 故答案为：丙； （3）解：先求原式的倒数： ， ∵为的倒数， ∴． 【题型7】等比数列求和探究——错项相减法的规范应用 1.期末考点总结 考察等比数列的特征(后项与前项的比值为定值，即公比)； 核心是掌握错项相减法的规范步骤，解决简单等比数列(公比为整数或简单分数)的求和问题。 2.解题攻略 步骤1：设等比数列前项和为(如)； 步骤2：将等式两边同乘公比，得到； 步骤3：用原式减去乘公比后的式子(错项相减)，抵消中间同类项，得到； 步骤4：整理得()，代入数值计算； 关键技巧：公比时，(常数列求和)，需先判断公比是否为1。 【例题7】.（25-26七年级上·安徽安庆·期中）为了求的值，可令，则，因此，所以，即． 依照以上推理计算：． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是有理数的乘方的应用、数字类规律探索，解题关键是理解题目中的求解方法． 利用题中的方法求出原式的值即可． 【详解】解：设， 则， 因此， 所以， 即． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·甘肃酒泉·期中）数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令，① 则，② 得． 根据以上方法请计算： (1)；（写出过程，结果用幂表示） (2)______．（结果用幂表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算．理解并掌握题干中的计算方法是解题的关键． （1）根据题中计算方法，可以对所求式子变形，从而完成解答； （2）根据题中计算方法，可以对所求式子变形，从而完成解答． 【详解】（1）解：令，① 则，② ②－①可得：． 所以． （2）解：令，① 则，② ②－①可得：，解得：． 所以． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·福建福州·期中）阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘方的应用，掌握“错位相减法”是解题关键． （1）仿造例题，设，则，作差求解即可； （2）仿造例题，设，则，作差求解即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② 得，则． （2）解：设，① 则，② 得， 则． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·四川·期中）北师大版教材中第二章习题中，同学们利用正方形面积通过数形结合完成了的求值，除了数形结合的方法以外，这类式子也有另一种代数求法，解法如下： 设．  ① 将①（注意：是前面式子中后一个除以前一个数的值） ．  ② 将得， 所以 ，． (1)完成下列计算：___________； __________；（用幂表示结果） (2)利用上述方法，求出的值； (3)【新情景】小聪同学用乐高积木块搭建了一个神奇的“知识塔”，塔的第1级用了 块积木，第2级用了块，第3级用了 块，……，按照此规律，直到第12级用了 块．已知每级塔的积木块数都符合 层级数的规律，若 ，求出建造这座“知识塔”总共需要的积木块数（用含 a 的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）利用同底数幂乘法法则及乘法分配律计算即可； （2）设，则，两式相减并计算即可； （3）根据题意令，则，将两式作差后再利用题干中的方法计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：设，① 将得：，② 得：， ∴， ∴； （3）解：设，① 将得：，② 得：， 由（2）可知， ∴． ∵若， ∴， ∴， ∴． 【题型8】数形结合进阶——有理数简便计算探究 1.期末考点总结 考察等比数列（后项与前项比值为定值）的识别与求和； 核心是运用数形结合思想推导求和公式，实现不同情境下的类比迁移。 2.解题攻略 步骤1：识别数列类型（如为等比数列，公比）； 步骤2：若用错项相减，设为前项和，两边同乘公比，两式相减抵消中间项； 步骤3：若用数形结合，借助正方形/三角形面积模型，通过“整体减空白”快速求和； 步骤4：类比迁移时，套用已推导公式，替换公比（如）计算。 【例题8】.（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）新考法·探究与运用 阅读材料，回答问题． 如图1，将一张等边三角形纸片剪成4个较小的大小、形状一样的等边三角形纸片，把这次操作记为第1次操作；再将其中右下角的等边三角形纸片按同样的方法剪成4个更小的大小、形状一样的等边三角形纸片，把这次操作记为第2次操作⋯⋯． (1)第n次操作后，共能得到 个等边三角形纸片． (2)若原等边三角形纸片的边长为1，设为第n次操作所剪出的等边三角形的边长，如( 则 (用含 n的式子表示) (3)类比等边三角形纸片的裁剪方式，将一张边长为1的正方形纸片按照如图2 所示的方式进行裁剪，其中纸片①的面积是正方形纸片面积的，纸片②的面积是纸片①面积的设为纸片n的面积，运用（2）的结论，可直接得出 (4)运用(3)的结论，计算 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每剪一次，等边三角形的个数增加3，据此写出代数式即可； （2）依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答； （3）大正方形纸片的面积为1，则，，， ，，由图可知，，，即可得出规律求解； （4）先提取，然后运用（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 剪1次共得到的等边三角形个数为：； 剪2次共得到的等边三角形个数为：； 剪3次共得到的等边三角形个数为：； …， 所以剪n次共得到的等边三角形个数为个． 故答案为：． （2）解：因为原等边三角形的边长为1， 所以第1次所剪出的小等边三角形的边长为：； 第2次所剪出的小等边三角形的边长为：； 第3次所剪出的小等边三角形的边长为：； …， 所以第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，即， 故答案为：； （3）解：大正方形纸片的面积为1， 则，，， ，， 由图可知，，， 则， 即． 故答案为：． （4）解： ． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… ① ② ③ 阴影面积 面积 (1)根据图形填写上表； (2)计算： ①______； ②______； ③______； (3)类比：小华在计算l时利用了如图2所示的正方形模型，设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为 ①第n次分割后，空白部分的面积是______． ②求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③ (3)①；② 【分析】本题考查了有理数的乘方、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1分别求出部分①⑥的面积，再根据阴影部分的面积等于部分⑥的面积的一半即可得； （2）①根据题意计算即可；②根据题意计算即可；③将转化为，再去括号，计算即可得； （3）①根据第次分割后，空白部分的面积归纳类推出一般规律，由此即可得； ②根据①中的规律求出，再将所求出式子的转化为，代入计算即可得． 【详解】（1）解：由图1可知，部分①的面积为， 部分②的面积为， 部分③的面积为， 部分④的面积为， 部分⑤的面积为， 部分⑥的面积为， 则阴影部分的面积为． 则填表如下： ① ② ③ 阴影面积 面积 （2）解：①根据图形得：； ② ③ ； 故答案为：①；②；③． （3）解：由图2可知，第1次分割后，空白部分的面积为， 第2次分割后，空白部分的面积为， 第3次分割后，空白部分的面积为， 归纳类推得：第次分割后，空白部分的面积是， 故答案为：． ②由上可知，第100次分割后，空白部分的面积是， ∴， ∴ ． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·山东日照·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 材料一：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令……① 等式两边同时乘以2，得……② 由②式减去①式，得， ∴． 材料二：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是部分①的面积的一半，依此类推， ∴． 阅读材料，解决问题： (1)利用材料一提供的方法，请你求出的值． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料二的启发求的值是 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查规数字类和图形类规律探索，理解材料的方法，采用数形结合的方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法求解即可； （2）根据材料提示方法求解即可． 【详解】（1）解：设， 等式两边同时乘以得，， ∴， ， ∴； （2）解：如图2，将一个边长为1的正方形纸片分割， 部分（1）的面积是正方形面积的一半，即（1）的面积为， 部分（2）的面积是部分（1）的面积的一半，即（2）的面积为， 依此类推，（3）的面积为， （2025）个图形的面积为， ∴求的值， 即为求将边长为1的正方形的面积减去第（2025）个图形的面积， ∴． 故答案为：． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·福建漳州·期中）综合探究 数形结合和归纳法是解决数学问题的重要思想方法和策略． 探究一：如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… （1）根据图形填写下表： ① ② ③ 阴影面积 面积 （2）计算：；(请写出计算过程) 探究二：小华在计算时，类比探究一利用如图2所示的正方形模型．设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；；… （3）第次分割后，空白部分的面积是___________； （4）由此计算的值．(请写出计算过程) （5）通过以上探究，小华得出结论：___________． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查了有理数的乘方、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1分别求出部分①⑥的面积，再根据阴影部分的面积等于部分⑥的面积即可得； （2）将转化为，再去括号，计算即可得； （3）根据第次分割后，空白部分的面积归纳类推出一般规律，由此即可得； （4）根据①中的规律求出，再将所求出式子的转化为，代入计算即可； （5）类比前面的方法，推导式子的结果． 【详解】（1）解：观察图形可知：部分①的面积为， 部分②的面积为， 部分③的面积为， 阴影部分的面积是， 故答案为：； （2）解：根据图形规律可得：； （3）解：根据题意：设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分， 阴影部分的面积为，空白部分面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为， 则第n次分割后，阴影部分的面积和为，空白部分的面积是， 故答案为：； （4）解：根据第n次分割阴影部分的面积和为，空白部分的面积是， ，两边同除以2，得算． （5）解：根据（4）可得 ． 故答案为：． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东威海·期中）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，有理数的大小比较．通过计算每个选项的数值或比较大小来判断是否正确，即可． 【详解】解：A、因为，则，故本选项错误，不符合题意； B、因为，则，故本选项错误，不符合题意； C、因为，则，故本选项错误，不符合题意； D、因为，且，则，故本选项正确，符合题意； 故选：D 二、填空题 2．（25-26七年级上·浙江金华·阶段练习）阅读材料：求 首先设① 则② 得 即 以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法” ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方，读懂材料，运用题目中的解题方法，掌握类比思想求解是解题的关键． 设，根据材料中的解法求解即可． 【详解】解：设①， 则②， ，得， ∴， 即． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·全国·阶段练习）一个点从数轴上表示的点开始移动，第一次先向左移动个单位，再向右移动个单位；第二次先向左移动个单位，再向右移动个单位；第三次先向左移动个单位，再向右移动个单位；则第次移动后这个点在数轴上表示的数是 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴上的规律探究，掌握知识点的应用是解题的关键．根据第一次移动后这个点在数轴上表示的数是；第二次移动后这个点在数轴上表示的数是；第三次移动后这个点在数轴上表示的数是；第四次移动后这个点在数轴上表示的数是；；从而得出第次移动后这个点在数轴上表示的数． 【详解】解：第一次移动后这个点在数轴上表示的数是； 第二次移动后这个点在数轴上表示的数是； 第三次移动后这个点在数轴上表示的数是； 第四次移动后这个点在数轴上表示的数是； ； 第次移动后这个点在数轴上表示的数是； 故答案为：． 三、解答题 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘法分配律的逆用，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）先根据有理数乘法分配律的逆用将原式变形为，再计算加法，然后计算乘法即可得； （2）先根据有理数乘法分配律的逆用将原式变形为，再计算加减法，然后计算乘法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 5．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）我们知道，高斯在小时候通过巧妙方法计算出了的结果．裂项相消法是另一种常用的求和方法（如，求和时可抵消中间项）．请结合这两种思路，回答以下问题． 【基础求和，巩固高斯法】 （1）直接用高斯求和法“（首项末项）项数”计算下列各题． ①； ②（用含有的代数式表示，为正整数）； ③． 【变式求和，运用裂项相消法】 （2）计算的值． 【综合应用，关联计算】 （3）若，求的值． 【答案】（1）① 210；② ；③ ；（2）；（3）40 【分析】本题主要考查数字的变化规律，理解高斯求和法和裂项相消法是解题的关键． （1）①直接利用高斯求和法计算即可； ②直接利用高斯求和法计算即可； ③直接利用高斯求和法计算即可； （2）观察题中所给出的例子，直接利用裂项相消法计算即可； （3）先用高斯求和法计算，用裂项相消法计算，再将计算结果代入等式即可计算出的值． 【详解】解：（1）① ； ② ； ③ ； （2） ； （3）， ， ∵， ∴， 解得． 6．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）阅读并回答下列问题： 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达伊尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格里，赏给我1粒麦子，第二个小格里给2粒，第三个小格里给4粒，以后每个小格都比前一个小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了宰相的要求．那么，满足宰相要求的麦粒到底有多少呢？ 即求的值，如何求它的值呢？ 设，① 则 ．② 得． (1)求的值（写出计算过程）． (2)求的值（写出计算过程）． (3)如图，假设一棵小树的主干向上长出3根支干，每个支干又长出3根小分支，按此规律继续生长，则第次生长后，这棵小树的主干、支干、小分支的总数是_______根．（假设每次生长，新长出来的3根支干都不和生长前的支干共线） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）设，则，可得，据此可得答案； （3）由题意得，第n次生长后，这棵树的枝干共有：，据此仿照（2）求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴得， ∴； （2）解：设， ∴ ∴得， ∴， ∴； （3）解：由题意得，第n次生长后，这棵树的枝干共有：， 设， ∴， ∴得， ∴． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·湖北恩施·期中）解答下列问题： (1)计算，方方同学的计算过程如下：原式．请你判断方方同学的计算过程是否正确．若不正确，请你写出正确的计算过程； (2)请你参考下面黑板上老师的讲解，完成简便运算． 例1   例2   例3  ，；，…… 发现与关系是______． 用简便方法计算：①； ②； ③． 【答案】(1)不正确，正确的计算过程见解析 (2)互为相反数；①；②；③ 【分析】本题考查有理数的混合运算，绝对值，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题的关键． （1）根据除法没有分配律，可判断方方同学的计算过程是否正确；先通分计算括号里的加法，再算除法，据此写出正确的计算过程即可； （2）根据例3可知与关系是互为相反数； ①仿照例1，利用乘法的分配律计算即可； ②仿照例2，逆用乘法的分配律计算即可； ③先根据绝对值的性质化简绝对值，再根据加减运算法则计算加减法即可． 【详解】（1）解：除法没有分配律，故方方同学的计算过程不正确； 正确的计算过程如下： ； （2）解：发现与关系是互为相反数； 故答案为：互为相反数； ① ； ② ； ③ ． 8．（25-26六年级上·山东东营·期中）计算：（能简便运算的要简便运算） (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) 6 (2) 7 (3) 24 (4) (5) 2 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则，运算律和运算顺序是解题的关键． （）根据有理数加减运算法则和加法运算律即可求解； （）根据有理数乘除混合运算法则即可求解； （）先算乘方，再计算乘法，最后算加减即可； （）先将除法变形为乘法，再根据乘法分配律运算即可； （）先算乘方，根据乘法分配律进行计算，同时计算，最后计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 9．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）在计算时，现有以下三种不同的思路： 思路① 思路② 思路③ 用分别除以，，，再把所得结果相加． 先求出，，的和，再用除以这个和． 先简便运算 ，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，正确的思路有_________；（填序号） (2)原式的结果是_________； (3)请参考思路③，计算：． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是明确“除法不满足分配律”，并能利用“除以一个数等于乘它的倒数”结合分配律简化计算． （1）判断思路正误：根据除法法则，分配律仅适用于乘法，除法不满足此规律，故思路①错误；思路②（先算括号内的和再除）、思路③（先算倒数的除法再求倒数）均符合法则，正确； （2）选择思路②或思路③计算即可； （3）参考思路③，先计算，再计算其倒数即可． 【详解】（1）解：思路①：有理数除法不满足分配律，故思路①错误，不符合题意； 思路②：先算括号内和再相除，符合除法法则，故思路②正确，符合题意； 思路③：先算倒数的除法再求倒数，符合除法法则，故思路③正确，符合题意； 故答案为：②③； （2）解：选择思路2计算： ， 故答案为：； （3）解： ， ∴． 10．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… (1)根据图形填写下表； ① ② ③ 阴影面积 面积 ______ (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______； ②由此计算的值． (4)拓展：计算______． 【答案】(1) (2) (3)①；② (4) 【分析】本题考查了有理数的乘方、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1分别求出部分①⑥的面积，再根据阴影部分的面积等于部分⑥的面积即可得； （2）将转化为，再去括号，计算即可得； （3）①根据第次分割后，空白部分的面积归纳类推出一般规律，由此即可得； ②根据①中的规律求出，再将所求出式子的转化为，代入计算即可； （4）类比前面的方法，推导式子的结果． 【详解】（1）解：观察图形可知：部分①的面积为， 部分②的面积为， 部分③的面积为， 阴影部分的面积是， 故答案为：； （2）解：根据图形规律可得：； （3）解：根据题意：设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分， 阴影部分的面积为，空白部分面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为， ①则第n次分割后，阴影部分的面积和为，空白部分的面积是， 故答案为：； ②根据第n次分割阴影部分的面积和为，空白部分的面积是， ，两边同除以2，得算． （4）解：拓展：原式 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积m等分， 所有空白部分的面积之和为，最后阴影部分的面积是． ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数混合运算 期末考点 复习目标 考察形式 1.乘方的定义与符号规则 1.明确乘方底数、指数的含义； 2.熟练判断乘方运算的符号（正数乘方为正，负数奇次幂为负、偶次幂为正）；3.区分与的本质区别 1.基础必考题，多为选择/填空（1题）； 2.常作为混合运算的基础步骤，易错点高频考察 2.有理数混合运算顺序 1.牢记“先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”； 2.掌握多层括号的去括号顺序（小→中→大） 1.覆盖全题型，基础题（选择/填空）直接考察顺序，解答题贯穿全程； 2.易错点集中在忽视括号优先级导致计算失误 3.运算律的应用（加法交换律/结合律、乘法分配律） 1.熟练运用运算律进行凑整、简化计算； 2.掌握乘法分配律正用、逆用的适用场景 1.核心考点，解答题（1-2题）必考； 2.简便计算题型是提升题、培优题的核心载体 4.分数/小数混合运算转化 1.掌握小数与分数的互化技巧； 2.理解通分、约分的本质，避免转化失误 1.基础中档题，多融入混合运算中考察； 2.易错点为通分不彻底、小数转分数漏分母 5.含绝对值、括号的混合运算 1.结合绝对值非负性化简；2.灵活处理括号与运算律的结合应用 1.提升题常见，选择/填空（1题）或解答题（步骤）； 2.需分类讨论绝对值内符号的情况偶见 6.情境化/规律探究类混合运算 1.能从生活、跨学科情境中提取数学信息，转化为混合运算； 2.探究数列、循环、图形关联的运算规律，并用简便方法推导 1.创新题、培优题高频，多为选择压轴/解答题最后一问； 2.结合购物、物理、化学等情境，体现素养导向 【题型1】乘方的符号易错辨析（易错题型） 1.易错点总结 混淆与的底数：的底数是，先算再添负号；的底数是，整体进行乘方运算。 忽视负数乘方的符号规律：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，0的任何非零次幂为0。 2.避坑攻略 先圈出底数：带括号则括号内整体为底数，无括号则单个数字为底数。 计算步骤：先判断符号（根据指数奇偶性+底数正负），再计算绝对值的乘方。 示例：，。 【例题1】.（25-26七年级上·海南·期中）下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式题1-1】.（25-26七年级上·福建莆田·期中）计算 (1)； (2) 【变式题1-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【基础题型】 【题型2】混合运算中的简便运算(运算律正逆用)(提升题型) 1.期末考点总结 考察乘法分配律正用()、逆用()，加法交换律/结合律的综合应用。 核心是识别简便运算特征(如相同因数、凑整因数、分数分母相同)。 2.解题攻略 正用分配律：括号外的因数与括号内各项分别相乘，再加减(适合括号内为加减、因数能凑整的情况)。 逆用分配律：提取各项的公共因数(整数、分数、小数均可)，将式子化为“因数×(和/差)”形式。 关键技巧：遇分数分母为，优先找能被整除的因数。 【例题2】.（25-26七年级上·安徽马鞍山·开学考试）计算下面各题．（能简便的要简便计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式题2-1】.（25-26七年级上·山东德州·期中） 利用运算律有时能进行简便计算． 例1 例2    请你参考黑板中老师的两个讲解，用相应的方法简便计算： (1)； (2)． 【变式题2-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·江苏盐城·月考）请你参考黑板上老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算 例1： 例2： (1)； (2)． 【题型3】生活情境混合运算(购物满减、阶梯收费等)(培优题型) 1.期末考点总结 考察从生活情境中提取数学信息(如满减规则、阶梯电价、里程计费)，转化为混合运算。 核心是“理解规则→建立算式→简便计算”，体现数学应用素养。 2.解题攻略 步骤1：梳理情境规则 步骤2：根据已知条件建立运算算式(含乘方、乘除、加减，必要时加括号)。 步骤3：运用凑整、分配律简便计算，验证结果是否符合实际情境(如费用为正数)。 【例题3】.（25-26七年级上·江西赣州·期中）每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知两家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付_________元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付_________元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这两家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 【变式题3-1】.（25-26七年级上·湖北武汉·期中）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，一般情况下，天头长和地头长的比为，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．若某副对联长为，宽为，装裱后左右边的宽均为． (1)装裱后天头长与地头长的和为___________，天头长为___________，地头长为___________．（用含的式子表示）； (2)若，求装裱后对联的长与宽的差； (3)市场调查发现，对联装裱一般有两种方式：一种是普通机器装裱，另一种是手工装裱．据调查，某装裱服务公司的收费标准为：一副对联如果装裱左、右宽度为，则普通机器装裱收费为装裱后的面积每平方米100元，满30元减3元；手工装裱收费为装裱后的面积在平方米内，每平方米120元，若超出平方米，超出的部分打八折．小明同学准备装裱一副对联，是选择普通机器装裱划算还是选择手工装裱划算？请你说明理由．（结果精确到．友情提醒：1平方米等于10000平方厘米） 【变式题3-2】.（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 【项目主题】某新能源汽车耗电情况· 【项目背景】近几年全球新能源汽车发展迅猛，新能源汽车产销量大幅增加，小明家购置了一辆续航为（充满电能行驶的最大路程）的新能源纯电动汽车，小明想记录汽车行驶过程中的耗电情况． 【项目实施】 他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如表（单位：．以为标准，超过的部分记为“”，不足的部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● 【项目任务】 (1)“■”处的数为______，“●”处的数为______． (2)行驶路程最多的一天与最少的一天相差______． (3)请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，续航里程还剩多少． 【变式题3-3】.（2025七年级上·河北·专题练习）在国家政策的引导和支持下，我国新能源汽车行业迅猛发展，新能源汽车以其环保、节能、使用成本低等优点，越来越受到人们的青睐． (1)小华家的旧车要换新了．爸爸计划将家里的燃油车换成新能源电动车，妈妈担心电动车不划算．爸爸收集了以下数据： 车辆价格 燃油车：11.5万元/辆 电动车：14.5万元/辆 家庭年里程 约15000千米 燃油车 油耗每百千米约8升 油价约7元/升 电动车 电耗每百千米约15度 电费约0.6元/度 从数学的角度，你会怎么用“数据”帮小华爸爸说服妈妈？综合上面的信息，先列式计算出关键数据，再写一句说服语（15个字以上），说服语中要包含关键数据．（注：暂不考虑车辆使用年限、保值率、充电便利性等外部因素） (2)小华爸爸购买某品牌的新能源电动车时，看到了以下购车政策： 官方指导价：相当于厂商建议零售价 包含： 车辆裸车价 13%的增值税 基础配置费用 不包含：购置税等附加费用 促销优惠： 购置税减免：新能源电动车可免征车辆购置税（税率为10%），单车最高减免不超过3万元； 打折活动：该品牌当前推出“绿色出行” 促销，对官方指导降价10%优惠． 豪华车税：若车辆减免优惠及打折后的总价超过 40万元的车型，需额外征收5%的消费税 已知小华爸爸买车最终实际支付了47.25万元，求这辆车的官方指导价是多少万元？ 【提升题型】 【题型4】分数拆分简便运算(裂项相消)(提升题型) 1.期末考点总结 考察分数拆分规律(如，)。 核心是识别裂项特征，通过“相消”简化求和运算。 2.解题攻略 识别裂项类型：观察分母是否为两个连续整数的乘积(或差为定值的两个整数乘积)。 拆分公式：按规律拆分每一项(标注拆分依据)，确保拆分前后值相等。 相消计算：将拆分后的式子按顺序排列，抵消中间相同项，剩余首尾项求和。 示例：。 【例题4】.（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）观察下列各式：我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于，可以用裂项的方法变形为． 类比上述方法，解答下列各题： (1)___________ (2)计算：___________． (3)计算：． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·浙江·阶段练习）阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 【变式题4-2】.（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减． 例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：_________． (2)探究并计算下列各式： ①； ②． 【变式题4-3】.（24-25七年级上·山东济南·期中）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________ 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由； 【题型5】混合运算中的规律探究题(循环、数列求和)(培优题型) 1.期末考点总结 考察循环运算规律(如“计算多次同一算式，寻找结果循环周期”)、数列求和规律(如等差数列、裂项数列)。 核心是“计算前几项→发现规律→用简便方法推导结果”。 2.解题攻略 循环规律：计算前3-5次运算结果，识别循环周期(如周期为2、3)，用“总次数÷周期”求余数，确定最终结果。 数列求和规律：观察数列特征(如连续整数、分数裂项、正负交替)，选择对应简便方法(如等差数列求和公式、裂项相消)。 【例题5】.（25-26七年级上·安徽合肥·期中）点 A 从原点出发第一次向右移 1 个单位对应点表示的数为， 第二次再向左移 2 个单位对应点表示的数为， 第三次再向右移 3 个单位对应点表示的数为， 第四次再向左移 4 个单位对应点表示的数为， 如此往返，第 n 次运动结束后表示的数为．则的值为（      ） A． B．若 n 为偶数，则． 若 n 为奇数，则 C．若 n 为偶数，则． 若 n 为奇数，则 D．若 n 为偶数，则． 若 n 为奇数，则 【变式题5-1】.（25-26八年级上·重庆巴南·期中）有依次排列的两个整式： ，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串： ，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，该整式串包含5个整式；以此类推．记第n次操作得到的整式串之和为．以下四个结论：①第三次操作后的整式串中共有8个整式；②第n次操作后的整式串共有个整式（n为正整数）；③第2025次操作后的整式串中所有整式的和为；④的值为2．正确的有 （   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式题5-2】.（25-26八年级上·广西桂林·期中）观察下面的式子：，，，…，可以发现它们的计算规律是（n为正整数）．若一容器装有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的，…，如此下去，第n次倒出的水量是升水的，…，按这种倒水方式，前n次倒出水的总量为（     ）升． A．1升 B． C． D． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知三个数将其中任意两个数相减后取绝对值再加上第三个数，因不同的选择可得到三个结果，称为第一次操作；将按照上述的方法再进行一次操作，可得到三个结果，以此类推，第次操作后的得到的三个结果记为，下列说法： ①若，则三个数中最大的数是11； ②若，且中最小值为8，则或； ③若，则． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【培优题型】 【题型6】复杂除法运算巧解——倒数法的灵活运用 1.期末考点总结 考察倒数的性质(的倒数为，)、除法与乘法的转化； 核心是利用倒数将复杂分数除法(如)转化为整式乘法，简化计算。 2.解题攻略 步骤1：对复杂除法算式的“整体分母”取倒数，将原式转化为“分子×(整体分母的倒数)”(如)； 步骤2：先计算倒数部分的加减运算(通分凑整)，再与分子相乘； 步骤3：结合乘法分配律简化计算，避免直接通分导致的复杂运算； 【例题6】.（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）项目式学习 项目背景 在有理数除法运算中，当除数是一个复杂的多项式时，直接计算比较繁琐，可先求原式的倒数，再利用乘法分配律简化计算，最后取倒数得到结果． 学习目标 理解“倒数法”在有理数除法中的原理；熟练运用乘法分配律进行有理数乘法运算． 材料阅读 计算：． 解：原式的倒数： 故原式． 任务解决 用倒数法计算：． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 【实践探究】 课堂上老师给出一道计算题，计算：．同学们积极思考，主动出击，有三位同学的做法如下： 甲：原式 ． 乙：原式． 丙：原式的倒数为 ． 故原式． 认真阅读，请解答下列问题： （1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，也有正确的解法，你认为甲、乙、丙谁的解法是错误的，谁的解法是正确的． 【小试牛刀】 （2）用甲、乙、丙的所有正确的解法进行解答，计算：． 【拓展延伸】 （3）用甲、乙、丙的所有正确的解法中，你认为比较简便一种解法进行解答，计算； 【变式题6-2】.（25-26七年级上·江苏南京·月考）阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法__________是错误的． (2)请用你认为简便的方法计算：． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·安徽合肥·期中）数学老师布置了一道思考题：“计算：”． 甲、乙、丙三位同学仔细思考了一番，分别给出了自己的解答过程． 甲：原式． 乙：原式． 丙：原式的倒数为， 其值， 所以原式． (1)上述解法的结果不同，肯定有错误的解法．你认为解法错误的是哪位同学： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (2)在正确的解法中，你认为谁的解法较简捷： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (3)用你认为简便的方法计算：． 【题型7】等比数列求和探究——错项相减法的规范应用 1.期末考点总结 考察等比数列的特征(后项与前项的比值为定值，即公比)； 核心是掌握错项相减法的规范步骤，解决简单等比数列(公比为整数或简单分数)的求和问题。 2.解题攻略 步骤1：设等比数列前项和为(如)； 步骤2：将等式两边同乘公比，得到； 步骤3：用原式减去乘公比后的式子(错项相减)，抵消中间同类项，得到； 步骤4：整理得()，代入数值计算； 关键技巧：公比时，(常数列求和)，需先判断公比是否为1。 【例题7】.（25-26七年级上·安徽安庆·期中）为了求的值，可令，则，因此，所以，即． 依照以上推理计算：． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·甘肃酒泉·期中）数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令，① 则，② 得． 根据以上方法请计算： (1)；（写出过程，结果用幂表示） (2)______．（结果用幂表示） 【变式题7-2】.（25-26七年级上·福建福州·期中）阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·四川·期中）北师大版教材中第二章习题中，同学们利用正方形面积通过数形结合完成了的求值，除了数形结合的方法以外，这类式子也有另一种代数求法，解法如下： 设．  ① 将①（注意：是前面式子中后一个除以前一个数的值） ．  ② 将得， 所以 ，． (1)完成下列计算：___________； __________；（用幂表示结果） (2)利用上述方法，求出的值； (3)【新情景】小聪同学用乐高积木块搭建了一个神奇的“知识塔”，塔的第1级用了 块积木，第2级用了块，第3级用了 块，……，按照此规律，直到第12级用了 块．已知每级塔的积木块数都符合 层级数的规律，若 ，求出建造这座“知识塔”总共需要的积木块数（用含 a 的式子表示）． 【题型8】数形结合进阶——有理数简便计算探究 1.期末考点总结 考察等比数列（后项与前项比值为定值）的识别与求和； 核心是运用数形结合思想推导求和公式，实现不同情境下的类比迁移。 2.解题攻略 步骤1：识别数列类型（如为等比数列，公比）； 步骤2：若用错项相减，设为前项和，两边同乘公比，两式相减抵消中间项； 步骤3：若用数形结合，借助正方形/三角形面积模型，通过“整体减空白”快速求和； 步骤4：类比迁移时，套用已推导公式，替换公比（如）计算。 【例题8】.（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）新考法·探究与运用 阅读材料，回答问题． 如图1，将一张等边三角形纸片剪成4个较小的大小、形状一样的等边三角形纸片，把这次操作记为第1次操作；再将其中右下角的等边三角形纸片按同样的方法剪成4个更小的大小、形状一样的等边三角形纸片，把这次操作记为第2次操作⋯⋯． (1)第n次操作后，共能得到 个等边三角形纸片． (2)若原等边三角形纸片的边长为1，设为第n次操作所剪出的等边三角形的边长，如( 则 (用含 n的式子表示) (3)类比等边三角形纸片的裁剪方式，将一张边长为1的正方形纸片按照如图2 所示的方式进行裁剪，其中纸片①的面积是正方形纸片面积的，纸片②的面积是纸片①面积的设为纸片n的面积，运用（2）的结论，可直接得出 (4)运用(3)的结论，计算 【变式题8-1】.（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… ① ② ③ 阴影面积 面积 (1)根据图形填写上表； (2)计算： ①______； ②______； ③______； (3)类比：小华在计算l时利用了如图2所示的正方形模型，设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为 ①第n次分割后，空白部分的面积是______． ②求的值． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·山东日照·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 材料一：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令……① 等式两边同时乘以2，得……② 由②式减去①式，得， ∴． 材料二：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是部分①的面积的一半，依此类推， ∴． 阅读材料，解决问题： (1)利用材料一提供的方法，请你求出的值． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料二的启发求的值是 ． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·福建漳州·期中）综合探究 数形结合和归纳法是解决数学问题的重要思想方法和策略． 探究一：如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… （1）根据图形填写下表： ① ② ③ 阴影面积 面积 （2）计算：；(请写出计算过程) 探究二：小华在计算时，类比探究一利用如图2所示的正方形模型．设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；；… （3）第次分割后，空白部分的面积是___________； （4）由此计算的值．(请写出计算过程) （5）通过以上探究，小华得出结论：___________． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东威海·期中）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（25-26七年级上·浙江金华·阶段练习）阅读材料：求 首先设① 则② 得 即 以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法” ． 3．（25-26七年级上·全国·阶段练习）一个点从数轴上表示的点开始移动，第一次先向左移动个单位，再向右移动个单位；第二次先向左移动个单位，再向右移动个单位；第三次先向左移动个单位，再向右移动个单位；则第次移动后这个点在数轴上表示的数是 三、解答题 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2)． 5．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）我们知道，高斯在小时候通过巧妙方法计算出了的结果．裂项相消法是另一种常用的求和方法（如，求和时可抵消中间项）．请结合这两种思路，回答以下问题． 【基础求和，巩固高斯法】 （1）直接用高斯求和法“（首项末项）项数”计算下列各题． ①； ②（用含有的代数式表示，为正整数）； ③． 【变式求和，运用裂项相消法】 （2）计算的值． 【综合应用，关联计算】 （3）若，求的值． 6．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）阅读并回答下列问题： 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达伊尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格里，赏给我1粒麦子，第二个小格里给2粒，第三个小格里给4粒，以后每个小格都比前一个小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了宰相的要求．那么，满足宰相要求的麦粒到底有多少呢？ 即求的值，如何求它的值呢？ 设，① 则 ．② 得． (1)求的值（写出计算过程）． (2)求的值（写出计算过程）． (3)如图，假设一棵小树的主干向上长出3根支干，每个支干又长出3根小分支，按此规律继续生长，则第次生长后，这棵小树的主干、支干、小分支的总数是_______根．（假设每次生长，新长出来的3根支干都不和生长前的支干共线） 7．（25-26七年级上·湖北恩施·期中）解答下列问题： (1)计算，方方同学的计算过程如下：原式．请你判断方方同学的计算过程是否正确．若不正确，请你写出正确的计算过程； (2)请你参考下面黑板上老师的讲解，完成简便运算． 例1   例2   例3  ，；，…… 发现与关系是______． 用简便方法计算：①； ②； ③． 8．（25-26六年级上·山东东营·期中）计算：（能简便运算的要简便运算） (1) (2) (3) (4) (5) 9．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）在计算时，现有以下三种不同的思路： 思路① 思路② 思路③ 用分别除以，，，再把所得结果相加． 先求出，，的和，再用除以这个和． 先简便运算 ，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，正确的思路有_________；（填序号） (2)原式的结果是_________； (3)请参考思路③，计算：． 10．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… (1)根据图形填写下表； ① ② ③ 阴影面积 面积 ______ (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______； ②由此计算的值． (4)拓展：计算______． 学科网（北京）股份有限公司 $