精品解析：2022年江苏省南通海门市万年初级中学九年级中考数学考前适应性练习 (3)

九年级中考考前适应性练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如果温度上升，记作，那么温度下降记作（ ） A. B. C. D. 2. 据国家卫健委统计，截至2022年3月5日，国内累计接种新冠疫苗31.5亿剂．将数据31.5亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列由相同小正方体搭成的四个立体图形中，有一个图形的主视图与其它三个不同，这个立体图形是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（ ） A. 长方体 B. 球体 C. 圆柱 D. 圆锥 6. 若一次函数的图象经过点A（2，0），点B（0，－3），则该函数图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 若菱形ABCD的对角线，，则菱形ABCD的面积为（ ） A. 16 B. 16 C. 32 D. 64 8. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（ ）． A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 9. 如图，中，，，，动点P沿折线运动，到点B停止，动点Q沿运动到点C停止，点P运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为2.5cm/s，设运动时间为，的面积为S，则S与对应关系的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 10. 已知直线过点，并与x轴负半轴相交，若，则m的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11－12题每小题3分，第13－18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若分式有意义，则的取值范围是______． 12. 计算×（－）的结果是______ ． 13. 不等式组的解集是______． 14. 若，是关于x的方程的两个根，且，则k＝______． 15. 《九章算术》卷一“方田”中给出了计算弧田面积的经验公式：弧田面积＝（弦×矢+矢×矢）÷2．弧田由圆弧和其所对弦围成，弦指圆弧所对的弦长，矢指半径与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为120°，半径为4m的弧田（如图阴影部分），按照上述公式计算出该弧田的面积为______． 16. 某校航模小组打算制作模型飞机，设计了如图所示的模型飞机机翼图纸，图纸中，均与水平方向垂直．根据图中数据，机翼外缘CD的长为______cm．（结果取整数，参考，，） 17. 如图，中，，P是边上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得，连接．若，，则线段______． 18. 已知实数a，b，c满足，，当时，多项式的最大值为m，最小值为n，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）先化简，后求值：，其中． 20. 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成．利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度2的地方（即同时使，），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，判断这时CD与AB之间的数量关系，并说明理由． 21. 在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下： 9.6 8.8 8.8 8.9 8.6 8.7 对打分数据有以下两种处理方式： 方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计： 平均分 中位数 方差 8.9 a 0.107 方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计： 平均分 中位数 方差 b 8.8 c （1）a＝ ，b＝ ，c＝ ； （2）你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由． 22. 一个质地均匀的正四面体（其四个面是四个全等的正三角形），四个面上分别写有1，2，3，4这四个整数． （1）抛掷这个正四面体一次，向下一面的数字是2的概率为 ； （2）抛掷这个正四面体两次，求向下一面的数字两次相同的概率． 23. 某校有4个测温通道，分别被记为A，B，C，D，学生可随机选取其中的一个通道测温进校．某日早晨，小明和小东两名同学先后测温进校． （1）小明选择A通道测温进校的概率是______； （2）求小明和小东选择不同通道测温进校的概率． 24. 某商店销售A，B两种商品，每次销售同一种商品的单价相同，具体信息如下表： 次数 销售数量（件） 销售金额（元） A B 第一次 2 3 46 第二次 3 5 74 （1）求A，B两种商品的销售单价； （2）已知商店计划购进A，B两种商品共150件，A，B两种商品的进价分别是4元/件和7元/件，且购进A种商品不超过B种商品数鱼的一半，购进的商品能全部售出．请设计出销售利润最大的进货方案，并说明理由． 25. 已知中，AB＝10，，点E在边AB上，点A关于直线DE的对称点为点F，连接DF，EF． （1）如图1，若点F落在边CD上，判断四边形AEFD的形状并证明； （2）如图2，若E是边AB的中点，BF＝6，求的值； （3）如图3，若E，F，C三点在一条直线上，且，求AE的长． 26. 矩形ABCD中，，，E是射线CD上一点，点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上． （1）如图，当点E在边CD上时； ①若，DF的长为______； ②若时，求DF的长； （2）作∠ABF的平分线交射线DA于点M，当时，求DF的长． 27. 在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴纵对称．其中一点叫做另一点关于x轴的纵对称点．如，点，关于x轴纵对称．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为． （1）下列各点中，与点A关于x轴纵对称的点是______（只填序号）； ①；②；③；④． （2）若点A关于x轴的纵对称点B恰好落在直线上，的面积为3，求k的值； （3）抛物线上恰有两个点与点A关于x轴纵对称，且这两个点之间的距离不超过6，请直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级中考考前适应性练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如果温度上升，记作，那么温度下降记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据具有相反意义的量进行书写即可． 【详解】由题知：温度上升，记作， ∴温度下降，记作， 故选：A． 【点睛】本题考查了具有相反意义的量的书写形式，熟知此知识点是解题的关键． 2. 据国家卫健委统计，截至2022年3月5日，国内累计接种新冠疫苗31.5亿剂．将数据31.5亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：亿， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 3. 下列由相同小正方体搭成的四个立体图形中，有一个图形的主视图与其它三个不同，这个立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图中的主视图解答即可． 【详解】解：选项B、C、D的主视图的底层两个小正方形，上层左边一个小正方形， 选项A的主视图的底层两个小正方形，上层是两个小正方形， 故选：A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由积的乘方可判断C，由幂的乘方运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：A．，故本选项不合题意； B．，故本选项不合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法运算，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键． 5. 如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（ ） A. 长方体 B. 球体 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆柱的三视图特征判断即可； 【详解】解：由图形可得：其主视图和俯视图为长方形，左视图为圆， 符合圆柱的三视图特征， 故选： C． 【点睛】本题考查了三视图：正对着我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面；在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图；掌握常见几何体的三视图特征是解题关键． 6. 若一次函数的图象经过点A（2，0），点B（0，－3），则该函数图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由A、B坐标求出函数解析式判断即可； 【详解】解：点A（2，0），点B（0，－3），代入得： ，解得：， ∴，一次函数经过一、三、四象限， 故选： B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质：在y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，b＞0时直线经过第一、二、三象限，b=0时直线经过原点及第一、三象限，b＜0时直线经过第一、三、四象限． 7. 若菱形ABCD的对角线，，则菱形ABCD的面积为（ ） A. 16 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】过A作AE⊥BC于E，由菱形性质和∠ABC=60°，可得△ABC是等边三角形，解Rt△ABE求得AE即可解答； 【详解】解：由题意作图如下，过A作AE⊥BC于E， 由菱形的性质可得：AB=BC， ∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=8， Rt△ABE中，AE=ABsin∠B=， ∴菱形ABCD面积=BC•AE=， 故选： C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角函数等知识；掌握菱形的性质是解题关键． 8. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（ ）． A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】对一元二次方程变形，设得到，利用的一个根是可得，从而求出x即可． 【详解】解：对于一元二次方程即， 设，则可得， 而关于x的一元二次方程的一个根是， 所以有一个根为， 所以， 解得， 所以一元二次方程必有一根为． 9. 如图，中，，，，动点P沿折线运动，到点B停止，动点Q沿运动到点C停止，点P运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为2.5cm/s，设运动时间为，的面积为S，则S与对应关系的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出当时，时和时S关于t的函数解析式，再根据解析式判断函数图象即可． 【详解】解：由题意得：AB， 当时，点P在AC上，点Q在AB上， 则AP＝AC－CP＝4－2t，AQ＝AB－BQ＝5－2.5t， 如图，过点Q作QM⊥AC于M， ∴sin∠A＝，即， ∴， 此时， 当时，点P在AB上，点Q在AC上， 则AP＝2t－4，AQ＝2.5t－5， 如图，过点P作PN⊥AC于N， 同理可得：， 此时， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当时，函数图象为二次函数的图象的一部分， 当时，点Q与点C重合，点P在AB上， 此时， ∴当时，函数图象为直线的一部分， 故选：B． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，正确表示出的面积并能够根据函数解析式选择相应的函数图象是解题的关键． 10. 已知直线过点，并与x轴负半轴相交，若，则m的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得直线经过一二三象限，k>0，b>0，得出0<k<1，然后利用代入消元法得出m=4-k，求解不等式即可得出结果． 【详解】解：∵直线y=kx+b过点(2,2)，并与x轴负半轴相交， ∴直线经过一二三象限， ∴k>0，b>0， 将点(2，2)代入解析式可得：2=2k+b， ∴b=2-2k，k=1-<1， ∴0<k<1， ∴m=3k+2b=3k+4-4k=4-k， ∴3<4-k<4， 即3<m<4， 故选：A． 【点睛】题目主要考查一次函数的基本性质及不等式的性质，根据题意得出一次函数所经过的象限是解题关键． 二、填空题（本大题共8小题，第11－12题每小题3分，第13－18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不等于零，即可求解． 【详解】解：∵分式 有意义， ∴分母 ， ∴， 故答案为：． 12. 计算×（－）的结果是______ ． 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减乘除混合运算，准确计算是解题的关键． 13. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式的解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 14. 若，是关于x的方程的两个根，且，则k＝______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意可知，一元二次方程根的判别式等于0，进而即可求解． 【详解】解：∵若，是关于x的方程的两个根，且， ∴． 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 15. 《九章算术》卷一“方田”中给出了计算弧田面积的经验公式：弧田面积＝（弦×矢+矢×矢）÷2．弧田由圆弧和其所对弦围成，弦指圆弧所对的弦长，矢指半径与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为120°，半径为4m的弧田（如图阴影部分），按照上述公式计算出该弧田的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意分别求得“矢”和“弦”，根据公式计算即可求解． 【详解】如图， 根据题意，，， ， ，， 矢，弦， 弧田面积＝（弦×矢+矢×矢）÷2， 故答案为： 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，求得“矢”和“弦”的长是解题的关键． 16. 某校航模小组打算制作模型飞机，设计了如图所示的模型飞机机翼图纸，图纸中，均与水平方向垂直．根据图中数据，机翼外缘CD的长为______cm．（结果取整数，参考，，） 【答案】5 【解析】 【分析】过点A作DC的垂线，交DC的延长线于点E．过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F．易证四边形AFDE是矩形，那么AE=FD=30cm，DE=AF．解Rt△AEC，求出EC=AE=30cm．再解Rt△BFD，根据正切函数定义可得BF=FD•tan27°≈15.3cm．最后根据CD=DE-CE=AF-CE=AB+BF-CE，代入数据即可求得CD的长． 【详解】解：过点A作DC的垂线，交DC的延长线于点E． 过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F． 在四边形AFDE 中，∵AB∥CD，∠AED=90°， ∴∠FAE=90°． 又∠AFD=90°， ∴四边形AFDE是矩形， ∴AE=FD=30cm，DE=AF． 在Rt△AEC中，∵∠AEC=90°，∠CAE=45°，AE=30cm， ∴EC=AE=30cm． 在Rt△BFD中，∵∠BFD=90°，∠BDF=27°，FD=30cm， ∴tan27°=， ∴BF=FD•tan27°≈15.3cm． ∴CD=DE-CE=AF-CE=AB+BF-CE≈5cm． 故机翼外缘CD的长度约为5cm． 故答案为：5 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，利用条件作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，也考查了三角函数的定义． 17. 如图，中，，P是边上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得，连接．若，，则线段______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于点D，证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点D，则， 线段绕点P逆时针旋转得， ， ， ， ， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得． 18. 已知实数a，b，c满足，，当时，多项式的最大值为m，最小值为n，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据已知等式求得，设，进而转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质求得的值，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 解得 设 对称轴为直线，开口向下，顶点为， 当时， 时，y取得最小值，最小值为 当x=1时，y取得最大值，最大值为m=0， 当时，最大值为m，最小值为n， ， 故答案为：16 【点睛】本题考查了二次函数的性质，将多项式表示成关于的二次函数关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）先化简，后求值：，其中． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用乘方的定义、二次根式的性质、0指数幂的定义进行计算即可； （2）先对括号里进行约分与通分，再计算括号外的乘法运算，对结果进行化简即可，最后代入数值进行计算． 【详解】解：（1）解：原式， ． （2）原式 把代入，得 原式． 【点睛】本题考查了有理数的乘方、0指数幂、分式的加减乘除混合运算等内容，解题关键是牢记运算法则和定义． 20. 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成．利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度2的地方（即同时使，），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，判断这时CD与AB之间的数量关系，并说明理由． 【答案】，证明见解析 【解析】 【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】． 证明：∵，， ∴ 又∵ ∴． ∴， 即 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型． 21. 在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下： 9.6 8.8 8.8 8.9 8.6 8.7 对打分数据有以下两种处理方式： 方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计： 平均分 中位数 方差 8.9 a 0.107 方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计： 平均分 中位数 方差 b 8.8 c （1）a＝ ，b＝ ，c＝ ； （2）你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由． 【答案】（1）8.8，8.8，0.005 （2） 解：答案不唯一， 参考答案一：方式二更合理． 理由：方式二去掉了最高分和最低分，减少了极端分值对平均分的影响，比方式一更合理． 参考答案二：方式一更合理． 理由：方式一没有去掉任何数据，用6个原始数据计算平均分，能全面反映所有评委的打分结果，比方式二更合理． 【解析】 【分析】（1）根据中位数、平均数、方差的数据特征进行求解即可． （2）根据方式一、二对应的数据特征进行合理分析即可． 【小问1详解】 解：将数据排序得：8.6 8.7 8.8 8.8 8.9 9.6 则位于中间的数为：8.8 ，8.8， 中位数 平均数 方差 故答案为：8.8，8.8；0.005； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了统计初步中的数据特征，涉及到平均数、中位数、方差等数据特征，熟知每个数据的特征是解决本题的关键． 22. 一个质地均匀的正四面体（其四个面是四个全等的正三角形），四个面上分别写有1，2，3，4这四个整数． （1）抛掷这个正四面体一次，向下一面的数字是2的概率为 ； （2）抛掷这个正四面体两次，求向下一面的数字两次相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意画出树状图，根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 抛掷这个正四面体一次，一共有4种等可能的情况，故向下一面的数字是2的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 树状图如下： 由树状图可知，抛掷这个正四面体两次，共有16种等可能的结果． 其中向下一面的数字两次相同的结果共有4种． ∴P（向下一面的数字两次相同）． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 23. 某校有4个测温通道，分别被记为A，B，C，D，学生可随机选取其中的一个通道测温进校．某日早晨，小明和小东两名同学先后测温进校． （1）小明选择A通道测温进校的概率是______； （2）求小明和小东选择不同通道测温进校的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，小明和小东选择不同通道测温进校的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：小明选择A通道测温进校的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 共有16个等可能的结果，小王和小李两同学选择不同通道测温进校园（记为事件A）的结果有12个， ∴. 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 24. 某商店销售A，B两种商品，每次销售同一种商品的单价相同，具体信息如下表： 次数 销售数量（件） 销售金额（元） A B 第一次 2 3 46 第二次 3 5 74 （1）求A，B两种商品的销售单价； （2）已知商店计划购进A，B两种商品共150件，A，B两种商品的进价分别是4元/件和7元/件，且购进A种商品不超过B种商品数鱼的一半，购进的商品能全部售出．请设计出销售利润最大的进货方案，并说明理由． 【答案】（1）单价为8元/件，B单价为10元/件 （2）购进A种商品50件，购进B种商品100件；理由见解析 【解析】 【分析】（1）设A单价为x元/件，B单价为y元/件．由题意列出二元一次方程组，解方程组求解即可， （2）设购进A种商品m件，则购进B种商品件，利润为W元，根据题意列出不等式求得的范围，然后列出关于的函数关系式，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设A单价为x元/件，B单价为y元/件．由题意， 得 解得 答：A单价为8元/件，B单价为10元/件． 【小问2详解】 设购进A种商品m件，则购进B种商品件，利润为W元． ， 解得，即． ． ∵W随着m的增大而增大， ∴当时，W最大． 此时销售利润最大的进货方案为购进A种商品50件，购进B种商品100件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出方程组和函数关系是解题的关键． 25. 已知中，AB＝10，，点E在边AB上，点A关于直线DE的对称点为点F，连接DF，EF． （1）如图1，若点F落在边CD上，判断四边形AEFD的形状并证明； （2）如图2，若E是边AB的中点，BF＝6，求的值； （3）如图3，若E，F，C三点在一条直线上，且，求AE的长． 【答案】（1）菱形；证明见解析 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据对称的性质，以及平行四边形的性质，根据等角对等边求得，即可判断四边形AEFD是菱形； （2）连接AF交DE于点H，则点H为AF中点，勾股定理求得，根据正切的定义即可求解； （3）证明，可得，设，则，．代入建立方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：菱形，理由如下： 证明：由对称得DA＝DF，，AE＝EF． ∵， ∴． ∴． ∴AD＝AE． ∴． ∴四边形AEFD是菱形； 【小问2详解】 解：连接AF交DE于点H，则点H为AF中点， ∵E是边AB的中点， ∴． ∴． 在Rt△ADH中，， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴∠CDE＝∠AED． ∵∠AED＝∠DEF， ∴∠CDE＝∠CED． ∴． ∵， ∴． ∵∠A＝∠DFE，∠BFE＝∠DFE， ∴∠BFE＝∠A． ∵， ∴∠BFC＝∠ABC． ∴． ∴，即． 设，则，． ∴．解得． ∴AE的长为2． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的性质，菱形的判断，求正切，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 26. 矩形ABCD中，，，E是射线CD上一点，点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上． （1）如图，当点E在边CD上时； ①若，DF的长为______； ②若时，求DF的长； （2）作∠ABF的平分线交射线DA于点M，当时，求DF的长． 【答案】（1）①2；② （2）2或18 【解析】 【分析】(1)利用勾股定理进行解答，即可得出答案； (2)利用角的平分线的定义，进行等量代换进行解答即可． 【小问1详解】 解：①2． ②∵矩形ABCD中，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵点C、F关于BE的对称点， ∴． ∴． 【小问2详解】 ①如图1，当点F在边AD上时， 过点M作于点N， ∵BM平分∠ABF，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． 设，则． ∴． 在中，， ∴． 解得，（舍去）． ∴． ∴矩形ABCD中，． ∴． ②如图2，当点F在边DA延长线上时， 同①可得，，． ∴． ∴，． ∴综上所述：或18． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的综合应用，解题时注意分类思想与方程思想的运用． 27. 在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴纵对称．其中一点叫做另一点关于x轴的纵对称点．如，点，关于x轴纵对称．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为． （1）下列各点中，与点A关于x轴纵对称的点是______（只填序号）； ①；②；③；④． （2）若点A关于x轴的纵对称点B恰好落在直线上，的面积为3，求k的值； （3）抛物线上恰有两个点与点A关于x轴纵对称，且这两个点之间的距离不超过6，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）①④ （2）或 （3）且或 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴纵对称的点的定义即可得到答案； （2）根据关于x轴纵对称的点的定义，设，画出图形，分x>0，x<0进行讨论即可； （3）根据成纵对称的点的定义，可知这两个点的纵坐标为-1，把题目转化为方程问题，表示出两点间的距离，解不等式即可得到答案，注意横坐标不能相等这个条件． 【小问1详解】 解：①④， 根据关于x轴纵对称的点的定义：横坐标不相等，纵坐标互为相反数，可得答案为①④； 【小问2详解】 解：设． ①如图1，当时， ． 解得：． ∴． ∴． 解得：． ②如图2，当时 ． 解得：． ∴． ∴． 解得：． ∴综上所述：或． 【小问3详解】 解：设这两个点的坐标分别为（x1，-1），（x2，-1），则由题意可得， x1，x2是方程的两个根，即的两个根， 由根与系数的关系可得，x1+x2=2，x1x2= ， 这两个点之间的距离为， 则， 即，即，化简得 ， 当a>0时，不等式变形为 ，解之得 ， 当a<0时，不等式变形为 ，解之得 ∵这两个点与点A关于x轴纵对称， ∴这两个点的横坐标不能等于2， 即（2，-1）这个点不在抛物线上， 所以4a-4a-3a≠-1， 即 ， 综上可知，且或． 【点睛】本题属于新定义题，是一次函数与几何图形，二次函数与一元二次方程的综合，难度较大，解题的关键是理解新定义，并能灵活运用所学知识进行解答． 第1页/共1页 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