精品解析：2022年江苏省苏州市常熟市兴隆中学九年级数学中考考前模拟试卷 (2)

初三数学中考考前模拟试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. ﹣2 B. C. 0 D. 6 2. 瓦当，是指古代中国建筑中覆盖建筑檐头筒瓦前端的遮挡．瓦当上刻有文字、图案，也有用四方之神“朱雀”“玄武”“青龙”“白虎”做图案的．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2022 年冬奥会由北京和张家口两市联合承办．北京到张家口的自驾距离约为196000 米．196000 用科学记数法表示应为（ ） A. 1.96×105 B. 19.6×104 C. 1.96×106 D. 0.196×106 4. 如图，边长相等的正方形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 5. 若将一组数据中的每个数都加3，那么所得的这组新数据（ ） A. 平均数不变 B. 中位数不变 C. 众数不变 D. 方差不变 6. 下列坐标平面内的点，在直线的是（ ） A. B. C. D. 7. 足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x负的场数为y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②④ 9. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝60，∠B＝∠D＝90，AB＝AD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，则sin∠ECF＝（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为（2，0），（2，0），（4，3），以点C为圆心，2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 4的相反数是____． 12. 某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是_____． 13. 因式分解：________________． 14. 如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长．若以裙子的腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm，那么裙子的腰节到脚尖的距离为______cm．（结果保留根号） 15. 扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为______（结果保留）． 16. 如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，把直线绕点顺时针旋转30°交轴于点，则线段长为______． 17. 如图，在矩形中，，．①以点为圆心，以不大于长为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线交于点，则长为______． 18. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为漂亮点．已知二次函数（）的图像上有且只有一个漂亮点．且当时，二次函数（）的最小值为，最大值为4，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共10小题，共76分） 19. 计算：． 20. 解不等式组： 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 为评估九年级学生在“新冠肺炎”疫情期间居家在线学习数学的效果，某中学组织了一次调研测试，并随机抽取了部分学生的数学成绩进行统计，把这些成绩分为优、良、中、不及格四类，绘制成了如下两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）一共抽取了_____名学生的数学成绩，补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （2）在扇形统计图中，“优”的圆心角度数为______．； （3）若该校九年级共有600人参加了这次调研测试，请估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩为优？ 23. 现有A，B两个不透明的袋子，分别装有3个小球（每个袋中的小球除颜色外，其他完全相同）．A袋装有1个白球，2个红球；B袋装有1个红球，2个白球． （1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机摸出一个球，则摸出的小球是红球的概率为______； （2）甲、乙两人玩摸球游戏，并设计了如下规则：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球．若甲、乙两人摸到的小球颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．这个游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由） 24. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内， （1）转动连杆BC，手臂CD，使，，如图2，求手臂端点D离操作台的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：，）． （2）物品在操作台上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，0），B（0，1），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，n），点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为t（0＜t＜3），EFy轴交直线AB于点F，D是y轴上任意一点，连接DE、DF． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当t为何值时，△DEF为等腰直角三角形． 26. 如图，是的直径，点，在上，，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若的半径长为5，，求的长． 27. 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． （1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形； （2）理解运用：如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG．求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形； （3）如图3，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m2．计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 28. 如图，已知抛物线与轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与 轴交于点C，OA=OC=3． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为1：2两部分，请求出点的坐标； （3）在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学中考考前模拟试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. ﹣2 B. C. 0 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小， 可得6＞＞0＞﹣2， 所以这四个数中，最大的数是6． 故答案为：D． 2. 瓦当，是指古代中国建筑中覆盖建筑檐头筒瓦前端的遮挡．瓦当上刻有文字、图案，也有用四方之神“朱雀”“玄武”“青龙”“白虎”做图案的．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答即可． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误； B．既是轴对称图形也是中心对称图形，故选项正确； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 2022 年冬奥会由北京和张家口两市联合承办．北京到张家口的自驾距离约为196000 米．196000 用科学记数法表示应为（ ） A. 1.96×105 B. 19.6×104 C. 1.96×106 D. 0.196×106 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【详解】196000=1.96×105， 故选A． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4. 如图，边长相等的正方形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】C 【解析】 【详解】分析：首先分别求出正六边形和正方形的内角，然后求出∠1的度数． 详解：∵正六边形的内角为：(6－2)×180°÷6=120°，正方形的内角为：90°， ∴∠1=120°－90°=30°， 故选C． 点睛：本题主要考查的是正多边形的内角计算法则，属于基础题型．理解计算公式是解决这个问题的关键． 5. 若将一组数据中的每个数都加3，那么所得的这组新数据（ ） A. 平均数不变 B. 中位数不变 C. 众数不变 D. 方差不变 【答案】D 【解析】 【分析】由每个数都加3，那么所得的一组新数据的平均数、中位数、众数都加3，方差不变，由此可得答案． 【详解】解：将一组数据中的每个数都加3，那么所得的这组新数据平均数、中位数、众数都加3，而方差不变， 故选：D． 【点睛】此题考查平均数、众数、中位数、方差的定义及变化规律，数据定义是解题的关键． 6. 下列坐标平面内的点，在直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把题目中四个选项的点分别代入函数解析式，判断左右是否相等即可． 【详解】解：A.当x=-1时，y=-（-1）+3=4≠2，故点（-1，2）不在直线y=-x+3上，此选项不符合题意； B. .当x=-1时，y=-（-1）+3=4≠-2，故点（-1，-2）不在直线y=-x+3上，此选项不符合题意； C. .当x=1时，y=-1+3=2，故点（1，2）在直线y=-x+3上，此选项符合题意； D. .当x=1时，y=-1+3=2，故点（1，-2）不在直线y=-x+3上，此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，注意：图象上的点的坐标要适合直线解析式． 7. 足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x负的场数为y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设这个队胜x场，负y场，根据在8场比赛中得到12分，列方程组即可． 【详解】解：设这个队胜x场，负y场， 根据题意，得 ． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题关键是找到题目中的等量关系． 8. 如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式确定顶点坐标，利用抛物线的轴对称性求出点的坐标，代入解析式求及、坐标，逐一判断即可． 【详解】解：由得顶点为，由得顶点为(−3,−1)，两点关于原点对称，故①正确； ∵，抛物线对称轴为直线，点、关于直线对称， ∴点A的横坐标为，即，故②错误； 把代入得，解得， ∵抛物线对称轴为直线，点A、C关于直线对称， ∴点C的横坐标为，即，故③正确； 令，则，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 9. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝60，∠B＝∠D＝90，AB＝AD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，则sin∠ECF＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接AC，EF，过点E作EN⊥CF于点N，证明△ABC≌△ADC，得到，，再证明△BEC≌△DFC，得到，设，，再求出BC、CE、CF，设，则也可表示出，在Rt△CEN和Rt△FEN中，由勾股定理可得，，求出NF的长，再解出EN的长，最后求出所求角的正弦值即可． 【详解】如图，连接AC，EF，过点E作EN⊥CF于点N， ∵在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（HL）， ∴，， 又∵， ∴， ∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴， ∵在△BEC和△DFC中， ， ∴△BEC≌△DFC（SAS）， ∴， 设，， ∵，， ∴， ∵在Rt△BEC中，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∵在Rt△CEN和Rt△FEN中，由勾股定理可得，， ∴， ∴， 解得，则， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，等腰三角形和等边三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为（2，0），（2，0），（4，3），以点C为圆心，2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点O为圆心，2为半径画⊙O，连接ON交⊙O于点，连接CM， 由点M为线段QP的中点，得，从而得点M在⊙O上，由勾股定理得，进而求得MN的最小值． 【详解】解：以点O为圆心，2为半径画⊙O，连接ON交⊙O于点，连接CM， 点M为线段QP的中点， ， 点M在⊙O上运动， N（4，3）， ， 即， ， MN的最小值为3， 故选B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理，构造辅助线，找出点M的运动轨迹是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 4的相反数是____． 【答案】-4 【解析】 【分析】根据符号相反且绝对值相等的两个数互为相反数进行解答． 【详解】解：4的相反数是-4 故答案为：-4． 【点睛】本题考查相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是本题的解题关键． 12. 某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据平均数的定义计算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数． 【详解】∵某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5， ∴x=5×5﹣4﹣4﹣5﹣6=6， ∴这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6， ∴这组数据的中位数是5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平均数和中位数，弄清题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．平均数为一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；将一组数据按从小到大顺序排列，处于最中间位置的一个位置的一个数据，或是最中间两个数据的平均数称为中位数． 13. 因式分解：________________． 【答案】 【解析】 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】， 故答案为 ． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14. 如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长．若以裙子的腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm，那么裙子的腰节到脚尖的距离为______cm．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割的黄金数得腰节到脚尖的距离：脚尖到头顶距离=即可解答． 【详解】解：设腰节到脚尖的距离为xcm，根据题意， 得：， 解得：， ∴腰节到脚尖的距离为（）cm， 故答案为：． 【点睛】本题考查黄金分割，熟知黄金分割和黄金数=较长线段：全线段是解答的关键． 15. 扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积，利用扇形的面积公式求解即可，掌握扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形的面积为， 由题意得，弧长为，半径为， ∴扇形的面积， 故答案为：． 16. 如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，把直线绕点顺时针旋转30°交轴于点，则线段长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点的坐标，从而可得，过点作于点，根据直角三角形的性质可得，设，则，，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即， ， 如图，过点作于点， 由旋转的性质得：， ，， 设，则， ， ， 在中，，即， 解得或， 当时，，舍去， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、含角直角三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 17. 如图，在矩形中，，．①以点为圆心，以不大于长为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线交于点，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由作图步骤可知AG是的角平分线，MN是CQ的垂直平分线，则BQ=AB=1，利用勾股定理可得AQ=QG=，因为AD∥BQ，所以，则，即，解得OQ=，所以OG=OQ+QG=． 【详解】由题意可知：AG是的角平分线，MN是CQ的垂直平分线， =45°， BQ=AB=1， 在中，， AD∥BQ， ，即，解得OQ=， OG=OQ+QG=． 【点睛】本题主要考查了角平分线、垂直平分线的作图方法，相似三角形判定，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线、垂直平分线的作图方法以及找准相似三角形进行线段计算． 18. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为漂亮点．已知二次函数（）的图像上有且只有一个漂亮点．且当时，二次函数（）的最小值为，最大值为4，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数（）的图象上有且只有一个完美点求出a=-1，再根据函数的解析式可求m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数（）的图象上有且只有一个完美点， 设完美点的坐标为(n，n), ∴方程n=an2+6n-即an2+5n-=0有两个相等的实数根， ∴∆＝0， ∴a=-1，二次函数的解析式为: y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4, 当x=3时，函数有最大值为4, 又∵当时，二次函数最小值为， ∴令-x2+6x-5=-12， 则x=7或-1， ∴要使函数最小值为-12，最大值为4，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的性质，根据函数图象确定m的取值是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共76分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂和特殊角三角函数值以及二次根式的化简，再根据实数的计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角三角函数值，二次根式的化简，实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 20. 解不等式组： 【答案】1≤x＜4． 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【详解】解：， 由①可得：x＜4， 由②可得：x≥1， 所以不等式组的解集为：1≤x＜4． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），也可以利用数轴确定解集. 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先按照分式运算法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式= ＝ ＝ ＝ 把a=+1代入，原式＝． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是依据分式运算法则正确化简，代入数值准确计算． 22. 为评估九年级学生在“新冠肺炎”疫情期间居家在线学习数学的效果，某中学组织了一次调研测试，并随机抽取了部分学生的数学成绩进行统计，把这些成绩分为优、良、中、不及格四类，绘制成了如下两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）一共抽取了_____名学生的数学成绩，补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （2）在扇形统计图中，“优”的圆心角度数为______．； （3）若该校九年级共有600人参加了这次调研测试，请估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩为优？ 【答案】（1）50，补全条形统计图见解析； （2）72； （3）120名． 【解析】 【分析】（1）由良的人数除以占的百分比得到调查的总人数，乘以20%即可得到中的人数；从而补全条形统计图； （2）成绩类别为“优”的扇形所占的百分比＝成绩类别为“优”的人数÷被抽取的学生总数，其对应的圆心角的度数＝×成绩类别为“优”的扇形所占的百分比即可解答； （3）利用样本估计总体思想求解即可． 【小问1详解】 解：（名）， “中”的人数为：（名）． 补全图形如下： 故答案为：50； 【小问2详解】 解：扇形统计图中“优”的圆心角度数为： ． 故答案为：72． 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计该校九年级共有120名学生的成绩为优． 【点睛】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，从条形统计图和扇形统计图获取所需信息是解答本题的关键． 23. 现有A，B两个不透明的袋子，分别装有3个小球（每个袋中的小球除颜色外，其他完全相同）．A袋装有1个白球，2个红球；B袋装有1个红球，2个白球． （1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机摸出一个球，则摸出的小球是红球的概率为______； （2）甲、乙两人玩摸球游戏，并设计了如下规则：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球．若甲、乙两人摸到的小球颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．这个游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由） 【答案】（1） （2） 解：这个游戏规则不公平．理由如下： 根据题意，列表如下：        红1 红2 白 白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，白） 白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，白） 红 （红，红1） （红，红2） （红，白） 由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有5种，颜色相同的结果有4种， ∴P（颜色不相同）=，P（颜色相同）=， ∵＜， ∴这个游戏规则不公平． 【解析】 【分析】（1）由概率公式即可得出答案； （2）由列表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种，由概率公式，即可得出答案． 【小问1详解】 解：共有3种等可能结果，而摸出红球的结果有2种， ∴P（摸出红球）=， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内， （1）转动连杆BC，手臂CD，使，，如图2，求手臂端点D离操作台的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：，）． （2）物品在操作台上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 【答案】（1）106cm；（2）能碰到，见解析 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数值解直角三角形即可完成求解； （2）求出端点D能够到的最远距离，进行比较即可得出结论． 【详解】解：（1）过点C作于点P， 过点B作于点Q，如图1， ， ， 在中，， ． ， ． ∴手臂端点D离操作台 l 的高度DE的长为106cm． （2）能． 理由：当点B，C，D共线时，如图2， ，， 在中，， ． 手臂端点D能碰到点M． 【点睛】本题考查了直角三角形的应用，涉及到了解直角三角形等知识，解决本题的关键是能读懂题意，并通过作辅助线构造直角三角形，能正确利用三角函数值解直角三角形等，考查了学生的综合分析与知识应用的能力． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，0），B（0，1），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，n），点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为t（0＜t＜3），EFy轴交直线AB于点F，D是y轴上任意一点，连接DE、DF． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当t为何值时，△DEF为等腰直角三角形． 【答案】（1）一次函数表达式为，反比例函数表达式为 （2）或 【解析】 【分析】( 1 ) 先用待定系数法求出一次函数的解析式，则可求出C点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数式即可； (2)分三种情况讨论，即①当∠FDE为直角时，则△DEF为等腰直角三角形，根据建立方程；②当时，根据建立方程； ③当∠FED为直角时，和∠FDE为直角时得到的等式相同；结合t的范围，分别求出方程的解，即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得， ∴， ∵点在一次函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意得：， ， ∴， ①如图，当时，过作， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或， ∵， ∴； ②如图，当时，， ∴， 整理得：， 解得：或， ∵， ∴； ③如图，当时，， ∵等式同②， ∴； 综上所述，当或时，为等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法求函数表达式等知识点，解题的关键是要注意分类求解，避免有所遗漏． 26. 如图，是的直径，点，在上，，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若的半径长为5，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 则，又， ， ，， ， 又是直径， 是的半径； 与相切； （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定． （1）连接，证明，则，即可证明是的切线； （2）设，求出，根据等角对等边得到，求出，根据等角对等边得到，由（1）知，证明，得到，进而计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ，，， 在中，， ， ， ，，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， 故的长为． 27. 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． （1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形； （2）理解运用：如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG．求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形； （3）如图3，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m2．计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）42000元. 【解析】 【分析】（1）如图1，作的中线，与的面积相等（作中线也可以）; （2）如图2，过点作交的延长线于．证明，推出可得结论; （3）首先，过作于，过作于，证，得，则；其次，过点作，交的延长线于，证得，得到，再证，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积得，求出，即可求解． 【小问1详解】 如图1中，作的中线，与的面积相等（作中线也可以）; 【小问2详解】 证明：如图，过点作交的延长线于; 四边形，四边形都是正方形， ，，， ， ， ， ， ，， ， 与为偏等积三角形; 【小问3详解】 首先，过作于，过作于，如图所示， 则， 、是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ，， ， 其次，如图，过点作，交的延长线于， 则， 点为的中点， ， 在和中， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 修建小路的总造价为：（元． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明和是解题的关键，属于中考常考题型． 28. 如图，已知抛物线与轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与 轴交于点C，OA=OC=3． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为1：2两部分，请求出点的坐标； （3）在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（-2，-3）或（-1，-4） （3）（0，2）或（0，-2） 【解析】 【分析】（1）先求出A、C的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）先求出直线AC的解析为，根据AC把△ABP的面积分成1:2两部分，得到，如图所示，过点P作PD⊥x轴于D，过点Q作DE⊥x轴于E， 先求出，设点P的坐标为（m，），则点D的纵坐标为，点D的坐标为（，），然后求出点B的坐标，从而求出∴，证明△BEQ∽△BDP，得到，据此求解即可； （3）分两种情况当点N在x轴上方时，过点N作NH⊥直线BC于H，过点H作HE⊥y轴于E，HF⊥x轴于F，求出直线BC的解析式为，证明HN=HF，四边形EOFH是矩形，得到∠EHF=90°，OE=HF，证明△NEH≌△BFH得到NE=BF，设H坐标为（m，3m-3），则NE=BF=m-1，OE=3m-3ON=EN+OE=4m-4，CE=3m-3+3=3m，点N的坐标为（0，4m-4），NC=4m-1在Rt△NCH中，由，得到，由此求解即可；当点N在x轴下方时，利用等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵OA=OC=3， ∴点A的坐标为（-3，0），点C的坐标为（0，-3）， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设直线AC的解析式为， ∴， ∴， ∴直线AC的解析为， ∵AC把△ABP的面积分成1:2两部分， ∴或（此种情况不符合题意，舍去）， 如图所示，过点P作PD⊥x轴于D，过点Q作QE⊥x轴于E， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为（m，），则点Q的纵坐标为， ∴点Q的坐标为（，）， 令y=0，则， 解得或， ∴点B的坐标为（1，0）， ∴， ∵PD⊥x轴，QE⊥x轴， ∴， ∴△BEQ∽△BDP， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为（-2，-3）或（-1，-4）； 【小问3详解】 解：如图1所示，当N在x轴上方时，过点N作NH⊥直线BC于H，过点H作HE⊥y轴于E，HF⊥x轴于F， 设直线BC的解析式为， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为， ∵∠BNO+∠BCO=45°， ∴∠NBH=45°， ∴∠HNB=45°=∠HBN， ∴HN=HF， ∵EH⊥OE，FH⊥OF，OE⊥OF， ∴四边形EOFH是矩形， ∴∠EHF=90°，OE=HF， ∵∠NHE+∠BHE=90°=∠BHF+∠BHE， ∴∠NHE=∠BHF， 又∵∠HEN=∠HFB=90°， ∴△NEH≌△BFH（AAS）， ∴NE=BF， 设H坐标为（m，3m-3）， ∴NE=BF=m-1，OE=3m-3 ∴ON=EN+OE=4m-4，CE=3m-3+3=3m， ∴点N的坐标为（0，4m-4），NC=4m-1 在Rt△NCH中，， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点N的坐标为（0，2）； 如图2所示，当点N在x轴下方的点时， 由等腰三角形的性质可知当（N点为图1中的N）时，， ∵， ∴， ∴点的坐标为（0，-2）， 综上所述，在轴上是否存在一点（0，2）或（0，-2），使得． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $