精品解析：江苏常熟市外国语初级中学2021-2022学年八年级上学期10月数学学情自测

2021-2022学年江苏省苏州市常熟外国语中学八年级（上）月考 数学试卷（10月份） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 13或10 3. 下列说法中，正确的是（　　） A. ＝±5 B. ＝﹣3 C. ±＝±6 D. ＝﹣10 4. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 5. 在下列结论中，正确的是（　　） A. B. x2的算术平方根是x C. ﹣x2一定没有平方根 D. 的平方根是 6. 如图，中，，，的垂直平分线交于点D，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线，已知 AB=5，AD=3，则 BC的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 10 D. 8 8. 如图，已知的周长是，和分别平分和，过点作的垂线交于点，且，则的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE=72°，则∠CDE的度数是（　　）    A. 63° B. 65° C. 75° D. 84° 10. 如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E、F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为 （　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 计算：=_______． 12. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则顶角为____________度． 13. 若某个正数的两个平方根分别是2a﹣1与2a+5，则a=_____． 14. 若直角三角形斜边上的高和中线长分别是10cm，12cm，它的面积为____． 15. 如图，已知，数轴上点所表示的数是_____． 16. 如图，在△ABC中，EDBC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=6，DC=8， DE=20，则FG=_________． 17. 如图，在RtΔABC中，∠C=90º， BC=6cm， AC=8cm，如果按图中所示方法将ΔBCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C'处，那么ΔADC'的周长是________cm． 18. 如图△ABC 中，AC=BC，∠ACB=120°，点 D 在线段 AB 上运动（D 不与 A、B 重合），连接 CD，作∠CDE=30°，DE 交 BC 于点 E，若△CDE 是等腰三角形，则∠ADC 的度数是___________. 三、解答题（共10小题，共76分） 19. 求下列各式中x的取值 (1) 2x2-8 =0 (2)4(2x-1)2 =9 20. 已知的平方根是，的平方根是，求的平方根． 21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C 在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′； （2）四边形ABCA′的面积为 ； （3）在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短，则这个最短长度的平方为 ． 22. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°．O为AB的中点，点E在BC上，且CE=AC，BAE=15°，求∠COE的度数． 23. 如图，在中，，垂足分别为点，求证：． 24. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C与A重合，点D落在点G处．若长方形的长BC为8，宽AB为4，求： （1）AE和 DE的长； （2）阴影部分的面积． 25. 如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE． （1）若∠BAE=40°，求∠C的度数； （2）若△ABC的周长为16cm，AC=6cm，求DC长． 26. 如图，在△ABC中,AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G, CD=AE. (1)求证: CG=EG. (2)已知BC=13, CD=5,连结ED,求△EDC 的面积. 27. 如图1，已知和都是等边三角形，且点E在线段上． （1）求证：； （2）过点E作交于点G，试判断的形状并说明理由； （3）如图2，若点D在射线上，且，求证：． 28. 在△ABC中，，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F． （1）如图①，当AE⊥BC时，求证：DEAC； （2）若，． ①如图②，当DE⊥BC时，求x的值； ②是否存在这样的x的值，使得△DEF是等腰三角形？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年江苏省苏州市常熟外国语中学八年级（上）月考 数学试卷（10月份） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 2. 已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 13或10 【答案】B 【解析】 【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【详解】解：①当腰是3，底边是7时，3+3<7不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是3，腰长是7时，7+7>3能构成三角形，则其周长=3+7+7=17． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键． 3. 下列说法中，正确的是（　　） A. ＝±5 B. ＝﹣3 C. ±＝±6 D. ＝﹣10 【答案】C 【解析】 【分析】根据，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，负数没有算术平方根进行分析计算即可． 【详解】解：A、＝5，故原题计算错误； B、＝3，故原题计算错误； C、＝±6，故原题计算正确； D、不能开平方，故原题计算错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简和算术平方根和平方根，关键是掌握. 4. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 5. 在下列结论中，正确的是（　　） A. B. x2的算术平方根是x C. ﹣x2一定没有平方根 D. 的平方根是 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐项进行判断． 【详解】A选项：，故错误； B选项：当x为负数时，它的算术平方根为-x，故错误； C选项：-x2，当x=0时，平方根为0，故错误； D选项：的平方根是，正确； 故选：D. 【点睛】考查了平方根与算术平方根，解题的关键正确理解平方根和算术平方根的定义． 6. 如图，中，，，的垂直平分线交于点D，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等求出的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角的性质可得，然后求解即可． 【详解】解：，， ， 垂直平分线， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 7. 如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线，已知 AB=5，AD=3，则 BC的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 10 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到 AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可求得结论． 【详解】∵AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线， ∴AD⊥BC，BD=CD， ∵AB=5，AD=3， ∴BD= =4， ∴BC=2BD=8， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的知识，利用等腰三角形三线合一的性质找出直角三角形是解题的关键． 8. 如图，已知的周长是，和分别平分和，过点作的垂线交于点，且，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过作于，于，根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：连接，过作于，于， 和分别平分和，，， ，， 的周长是， ， 的面积 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出是解此题的关键． 9. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE=72°，则∠CDE的度数是（　　）    A. 63° B. 65° C. 75° D. 84° 【答案】D 【解析】 【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE=3∠ODC=72°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数． 【详解】∵OC=CD=DE， ∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC， ∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC， ∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°， ∴∠ODC=24°， ∵∠CDE+∠ODC=180°﹣∠BDE=108°， ∴∠CDE=108°﹣∠ODC=84°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 10. 如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E、F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为 （　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】连接AD，根据等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质结合三角形的面积公式求出AD的长，再根据垂直平分线的性质知点C关于直线EF的对称点为点A，故A、M、D共线时△CDM的周长的最小，由此即可得出结论． 【详解】连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴， 解得，AD=12， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 计算：=_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【详解】解：原式==4． 故答案为4． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 12. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则顶角为____________度． 【答案】50或80##80或50 【解析】 【分析】已知等腰三角形的一个内角为50°，根据等腰三角形的性质可分情况解答：当50°是顶角或者50°是底角两种情况． 【详解】解：此题要分情况考虑： ①50°是它的顶角； ②50°是它的底角，则顶角是． 故答案为：50或80． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 13. 若某个正数的两个平方根分别是2a﹣1与2a+5，则a=_____． 【答案】-1 【解析】 【详解】根据平方根的意义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，可知2a-1+2a+5=0，解得a=-1. 故答案为-1. 14. 若直角三角形斜边上的高和中线长分别是10cm，12cm，它的面积为____． 【答案】120 【解析】 【分析】由直角三角形斜边上的中线求解斜边的长，再利用面积公式求解面积即可得到答案． 【详解】解：如图，CD是直角三角形斜边上的高，CE斜边上的中线， ∴ ∠ACB=90°，CD⊥AB，AE=BE， ∴AB=2CE， ∵CE=12cm， ∴AB=24cm， ∵CD=10cm， ∴． 故答案为：120． 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形的面积，掌握以上知识是解题的关键． 15. 如图，已知，数轴上点所表示的数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段CB的长度，得出CA的长度，求出点A与原点的距离，即可得出数轴上点A所表示的数． 【详解】解：根据题意，由勾股定理得：CB=， ∴CA=CB=， ∴A到原点的距离是， ∵A在原点左侧， ∴点A所表示的数是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系、勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 16. 如图，在△ABC中，EDBC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=6，DC=8， DE=20，则FG=_________． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意易得∠ABG=∠GBC=∠EGB，∠ACF=∠FCB=∠DFC，进而得到BE=EG，FD=DC，然后由BE=6，DC=8， DE=20可求解． 【详解】解： EDBC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F， ∠ABG=∠GBC=∠EGB，∠ACF=∠FCB=∠DFC， BE=EG，FD=DC， BE=6，DC=8， DE=20， ； 故答案为6． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握“双平等腰”这个模型是解题的关键，即角平分、线平行、形等腰． 17. 如图，在RtΔABC中，∠C=90º， BC=6cm， AC=8cm，如果按图中所示方法将ΔBCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C'处，那么ΔADC'的周长是________cm． 【答案】12. 【解析】 【分析】先根据勾股定理得到AB=10cm，再根据折叠的性质得到DC=DC′，BC=BC′=6cm，则AC′=4cm，然后可求出ΔADC'的周长. 【详解】解： ∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm， ∴AB==10cm， ∵将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点， ∴△BCD≌△BC′D， ∴DC=DC′，BC=BC′=6cm， AC′=AB- BC′=10-6=4 ΔADC'的周长= AC′+ DC′+AD=4+DC+AD=4+AC=4+8=12(cm). 故答案是：12. 【点睛】本题考查了勾股定理在折叠中的应用，折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分． 18. 如图△ABC 中，AC=BC，∠ACB=120°，点 D 在线段 AB 上运动（D 不与 A、B 重合），连接 CD，作∠CDE=30°，DE 交 BC 于点 E，若△CDE 是等腰三角形，则∠ADC 的度数是___________. 【答案】60°或105° 【解析】 【分析】分类讨论：当CD=DE时；当DE=CE时；当EC=CD时；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算. 【详解】△CDE可以是等腰三角形， ∵△CDE是等腰三角形； ①当CD=DE时， ∵∠CDE=30°， ∴∠DCE=∠DEC=75°， ∴∠ADC=∠B+∠DCE=105°， ②当DE=CE时,∵∠CDE=30°， ∴∠DCE=∠CDE=30°， ∴∠ADC=∠DCE+∠B=60°. ③当EC=CD时， ∠BCD=180°−∠CED−∠CDE=180°−30°−30°=120° ∵∠ACB=180°−∠A−∠B=120°， ∴此时，点D与点A重合，不合题意. 综上,△ADC可以是等腰三角形,此时∠ADC的度数为60°或105°. 故答案为60°或105°. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是分情况讨论. 三、解答题（共10小题，共76分） 19. 求下列各式中x的取值 (1) 2x2-8 =0 (2)4(2x-1)2 =9 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（1）先整理，然后利用直接开平方法解方程，即可得到答案； （2）先整理，然后利用直接开平方法解方程，即可得到答案． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， ∴； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握直接开平方法解方程． 20. 已知的平方根是，的平方根是，求的平方根． 【答案】． 【解析】 【分析】利用平方根求出和的值，确定出的值，即可确定出平方根． 【详解】解：∵的平方根是，的平方根是， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C 在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′； （2）四边形ABCA′的面积为 ； （3）在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短，则这个最短长度的平方为 ． 【答案】（1）作图见解析；（2）8.5；（3）17 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）作出图形，根据勾股定理求得结果即可． 【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求； （2）四边形ABCA′的面积＝4×4﹣×2×1﹣1×4﹣3×3＝8.5； （3）连接AB′交直线l与点P，则PA+PB长的最短值＝AB′， ∴AB′＝； ∴这个最短长度的平方为17； 故答案为：8.5，17 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，作图-轴对称变换，正确的理解题意是解题的关键． 22. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°．O为AB的中点，点E在BC上，且CE=AC，BAE=15°，求∠COE的度数． 【答案】75° 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，根据直角三角形的性质得到，得到是等边三角形，，于是得到结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ，为的中点， ， 是等边三角形，， ， 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 23. 如图，在中，，垂足分别为点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质；首先根据可得，再由，可得，然后再利用定理可判定， 可得． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 24. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C与A重合，点D落在点G处．若长方形的长BC为8，宽AB为4，求： （1）AE和 DE的长； （2）阴影部分的面积． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）设，则，依据勾股定理列方程，即可得到和的长； （2）过作于，依据面积法即可得到的长，进而得出阴影部分的面积． 【详解】解：（1）由折叠可得，， 设，则， 在中，， ， 解得， ，； （2）如图所示，过作于， ，，，且， ， ， 即阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 25. 如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE． （1）若∠BAE=40°，求∠C的度数； （2）若△ABC的周长为16cm，AC=6cm，求DC长． 【答案】（1）35°；（2）5 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出∠AEB和∠C=∠EAC，即可得出答案； （2）根据已知能推出2DE+2EC=10cm，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵AD⊥BC，BD=DE，EF垂直平分AC， ∴AB=AE=EC， ∴∠C=∠CAE， ∵∠BAE=40°， ∴∠AED=（180°-40°）=70°， ∴∠C=∠AED=35°； （2）∵△ABC周长16cm，AC=6cm， ∴AB+BC=10cm， ∴AB+BE+EC=10cm， 即2DE+2EC=10cm， ∴DE+EC=5cm， ∴DC=DE+EC=5cm． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 26. 如图，在△ABC中,AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G, CD=AE. (1)求证: CG=EG. (2)已知BC=13, CD=5,连结ED,求△EDC 的面积. 【答案】（1）证明：连接ED， ∵AD⊥BC ∴∠ADB=90° ∵CE是AB边上的中线 ∴E是AB的中点 ∴DE=AB 又∵AE=AB ∴AE=DE ∵AE=CD ∴DE=CD 即△DCE是等腰三角形， ∵DG⊥EC， ∴CG=EG； （2）7.5 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一的性质即可得证； （2）过点E作EF⊥BC于点F，首先求出BD，再根据等腰三角形三线合一得DF=4，利用勾股定理求出EF即可求出△EDC的面积. 【详解】（1）略 （2）如图，过点E作EF⊥BC于点F， ∵BC=13, CD=5 ∴BD=13-5=8，DE=CD=5 ∵DE=AB=BE， ∴△BDE为等腰三角形， 又∵FE⊥BD， ∴DF=BD=4 在Rt△DEF中， ∴S△EDC= 【点睛】本题考查直角三角形与等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形三线合一的性质是解决本题的关键. 27. 如图1，已知和都是等边三角形，且点E在线段上． （1）求证：； （2）过点E作交于点G，试判断的形状并说明理由； （3）如图2，若点D在射线上，且，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）等边三角形，理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得到，从而可证得，即可由平行线的判定定理得出结论； （2）根据等边三角形的性质得，再根据得 ，，从而得即可得出结论； （3）过E作交于M，先证明，得到，从而得出，再由（1）得，得出，则，从而有，根据，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中, ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下： 如图1，∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； 【小问3详解】 证明：如图2，过E作交于M， 由（2）可得是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴． 28. 在△ABC中，，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F． （1）如图①，当AE⊥BC时，求证：DEAC； （2）若，． ①如图②，当DE⊥BC时，求x的值； ②是否存在这样的x的值，使得△DEF是等腰三角形？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）①5；②存在；或 【解析】 【分析】（1）由翻折的性质可得∠E＝∠B，由等角代换可得∠B＝∠CAF，进而得出∠E＝∠CAF，即可证明DEAC； （2）①由三角形内角和定理可得，结合可得∠C，∠B的度数．由翻折的性质可得∠EDA＝∠BDA，求出∠BDA，进而利用三角形内角和定理求出；②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x的代数式表示出∠FDE、∠DFE的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x值即可． 【小问1详解】 解：∵∠BAC＝， ∴， ∵AE⊥BC， ∴， ∴， ∴， 由翻折的性质可得：∠E＝∠B， ∴， ∴DEAC； 【小问2详解】 解：∵∠BAC＝， ∴， ∵， ∴，， ①由翻折的性质可得：∠EDA＝∠BDA， ∵DE⊥BC ∴， ∴∠BDA＝∠EDA＝， ∴， 故x的值为5； ②∵，， ∴，， 由翻折的性质可得：，，， ∴， ， 当∠FDE＝∠DFE时，, 解得：； 当∠FDE＝∠E时，，解得：； 当∠DFE＝∠E时，，解得：（舍去）； 综上所述，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等，或． 【点睛】本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定、三角形外角的性质等，解题的关键是熟知图形翻折的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $