4 第5天 函数的应用-【预备新高一】2026-2027学年初升高数学预习衔接练习

在第一象限内的图象为C1,y=x1在第一象 限内的图象为C4,y=x3在第一象限内的图 象为C2,y=x2在第一象限内的图象为C3: 6.BCD【解析】根据幂函数的图象特征，可知 选项A不符合题意，选项B,C符合题意；对 于选项D,y=x与y=x3的图象有3个交点， 分别是(-1，-1)，(0,0)，(1,1)，故选项D 符合题意。 7.(1)因为f(x)为幂函数，所以m2-m-1=1, 解得m=-1或m=2, 当m=-1时，m2-2m-1=2,则f(x)=x2; 当m=2时，m2-2m-1=-1,则f(x)=x1 故f(x)=x2或f(x)=x (2)当f(x)=x2时，函数f(x)的图象经过坐 标原点，不满足要求；当f(x)=x1时，函数 f(x)的图象不经过坐标原点，此时f(x)的单 调递减区间为(-∞，0)和(0，+∞)，无单调 递增区间： (3)若函数f(x)的图象经过坐标原点，则 f(x)=x2.由f(2-x)>f(x),可得(2-x)2>x2, 解得x<1,则原不等式的解集为(-∞，1). 第5天函数的应用 【即学即练】 1.(1)由题意可得，y=50x-100-(2x2+5x)= -2x2+45x-100,x∈N*. (2)当y>0时，开始盈利， 即-2x2+45x-100>0, 整理，可得2x2-45x+100<0, 解得c<20 因为x∈N*,所以x≥3，即从第三年开始盈利. 3参考答案8 2.设饼干的质量为xg,则其售价y(元)与质 量x(g)之间的函数解析式为y=(ax+ bWx)(1+0.2)=1.2(ax+bx). 1.6=1.2(100a+√/100b), 由题意有 3=1.2(200a+√/200b), 4 -=100a+10b, a≈0.011， 即 解得{ b≈0.028， ≈200a+14.14b, 所以y≈1.2(0.011x+0.028Vx) 当x=1000时，y≈1.2×(0.011×1000+ 0.028×/1000)≈14.26. 所以该种饼干1000g装的合理售价为 14.26元. 3.(1)当销售价为每件50元时，月销售量为 y=-2×50+140=40(百件)，则该店月销售收 入为50×40×100=200000（元），进货支出为 40×40×100=160000(元)，故该店的员工人 数为20000-16000-1000-10 3000 (2)设销售单价定为x元时，该专卖店月利 润为f(x)元， 则f(x)=(x-40)·y×100-5×3000- 10000,整理得 r-200x2+22000x-585000,40≤x≤60， f(x)= -50x2+7000x-225000,60<x≤80， -200(x-55)2+20000,40≤x≤60， 即f(x)= L-50(x-70)2+20000,60<x≤80. 当40≤x≤60时，f(x)在x=55时有最大值， 最大值为f(55)=20000; 当60<x≤80时，f(x)在x=70时有最大值， 最大值为f(70)=20000. 31 3预备新高一数学8 综上所述，当销售单价定为55元或70元 时，该专卖店月利润最大，最大利润为 20000元. 【练新题】 1.(1)由题意得，利润=总收人-投入成本-固 定成本，即P=8x-R-2, 故P= 8s-(+4x）-2.0≤<1，eN, 8x-(10x-32)-2,x≥7，x∈N*, 所以利润P表示为月产量x的函数为 P=3+4-2,0≤<7，xeN', x 【-2x+30,x≥7，x∈N. (2)当0≤x<7时，P=- 3+4x二2，令-+ 4x-2≥10，解得x=6. 当x≥7时，P=-2x+30,令-2x+30≥10，解 得x≤10，所以7≤x≤10. 综上所述，月产量x的取值范围是6≤x≤10 (x∈N*) 2.(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为41 元时，一次订购量为x个， 则0=100+52-41-650 0.02 (2)当0<x≤100时，f(x)=52: 当100<x<650时，f(x)=52-0.02(x-100)= 4 当x≥650时，fx)=41. 52,0<x≤100，x∈N, 所以f(x)=54- 0100<r<650,xeN, 41,x≥650，x∈N*. 32 (3)由(2)知，当x=500时f()=54-500 50 44.设工厂获得的利润为L元，则L=(44- 30)×500=7000, 即当销售商一次订购500个零件时，该厂获 得的利润是7000元 第6天周末复盘与检测 【即学即练】 1.[5,+∞)(-∞，2]【解析】函数f(x)的 定义域为(-∞，2]U[5,+∞)，而u=x2-7x+ 10=(名)”-？的图象开日向上，对称轴 9 为直线x=子，放u=2-7x+10在(-0,2]上 单调递减，在[5，+∞)上单调递增.因为y= √m是[0，+∞)上的增函数，所以f(x)的单调 递减区间为(-∞，2]，单调递增区间为[5， +0). 2.[-5,+∞)【解析】因为函数在区间[4， +∞)上单调递增，f(x)的图象开口向上，且 对称轴为直线x=-a-1,所以由二次函数图 象可知-a-1≤4，解得a≥-5. 【周小测】 1.B【解析】对于A,f(x)=x2(x∈R),与 g(x)==lx1(x∈R)的对应关系不同， 所以不是同一个函数；对于B,f(x)= 压)=1(>0)，与g(x)=, =1(x>0) (E)2 的定义域相同，对应关系也相同，所以是同 一个函数；对于C,f(x)=1(x∈R),与 g(x)=（x-1)°=1(x≠1)的定义域不同，所 x2-9 以不是同一个函数；对于D,f(x)= t+3=t-第5天 温故知新 常见的函数模型 (1)正比例函数模型：y=x(k是常数，k≠0) (2)一次函数（线性函数）模型：y=kx+b(k,b 是常数，k≠0) 第1步 知识点/1解答函数应用题的基本思想与 步骤 ★★★☆☆ 1.高中新学习的函数模型 (1)幂函数型模型：f(x)=x“（x是自变 量，是常数) f(x),x∈D, f2(x),x∈D2, (2)分段函数模型：f(x)= fn(x),x∈Dn 2.解答应用题的一般步骤 审题 理解问题 明确题目要求解决的问题是什 么，需要找到哪些未知量 建模 将实际问题转化为数学模型， 建立模型 确定函数的自变量和因变量， 以及函数的解析式 利用建立的数学模型，通过代 求解 求解模型 数运算、方程求解、不等式求解 等数学方法，求出未知量的值 第四周函数的概念与性质8 函数的应用 (3)二次函数模型：y=ax2+bx+c(a,b,c是常 数，a≠0) (4)反比例函数模型：y=一（飞是常数，k≠0） 学新知 还原 将求解得到的结果代回实际问 验证结果 题中，检查是否符合实际情况 和题目要求 将最终结果用准确的语言表达 答问 出来，如果题目有特定的单位 写出答案 或格式要求，那么需要按照要 求给出答案 知识点2确定函数解析式 ★★★☆☆ 1.函数模型的特点和应用 模型 特点 应用 适用于变量之间呈线性 ·次函数 函数图象为 关系的情况，如匀速运动 模型 一条直线 的位移与时间关系 适用于变量之间呈二次 二次函数 关系的情况，如自由落体 函数图象为 运动中的位移与时间关 模型 条抛物线 系，或现实生活中的最 优、最省问题 93 预备新高一数学8 续表 2.确定函数解析式的基本方法 模型 特点 应用 方法 内容 适用于变量之间呈幂增 已知条件中给出了含参数的函数解析 幂函数 函数图象为 长（衰减）关系的情况， 式或根据已知条件可确定函数模型，此 模型 幂函数曲线 如生物学中的种群增长 待定 种情形下应用待定系数法求出函数解 模型 系数法 析式中的相关参数（未知系数）的值， 就可以确定函数的解析式 函数在不 适用于实际问题在不同 分段函数 同的区间 的范围内有不同的理解 先让自变量x取一些特殊值，计算出对 模型 内有不同 和意义的情况，如阶梯电 归纳法 应的函数值，从中发现规律，再推广到 的解析式 价、税收计算等 般情形，从而得到函数的解析式 第2步 过典例 题型1) 二次函数的应用 即学即练 [答案见P31] 典例某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高 科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产.已知生产每 1.某工厂年初用100万元购 件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10 进一台新的设备，该设备使用 元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减 后，每年的总收入预计为50万 少0.1万件.设销售单价为x元，第一年年获利y万元.（年获利= 元.设使用x年后该设备的维 年销售额-生产成本-投资) 修、保养费用为2x2+5x(x∈ (1)试写出y与x之间的函数解析式； N*)万元，盈利总额为y万元 (2)若在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售的情况 (1)写出y与x之间的函数解 下，公司两年总获利不低于11.3万元，则第二年的销售单价应 析式； 定在什么范围内？ (2)使用该设备后，从第几年 【解析】(1)依题意得，年销量为2-0.1(x-10)=(3-0.1x)万件， 开始盈利？ 所以y=(3-0.1x)(x-4)-5-15=-0.1x2+3.4x-32,x≥10. (2)由(1)知，y=-0.1(x-17)2-3.1,所以当x=17时，ymx=-3.1, 即当第一年销售单价定为17元时，第一年年获利最大. 设公司两年总获利为w万元， 则0=(3-0.1x)(x-4)-3.1=-0.1x2+3.4x-15.1,x≥10， 令w≥11.3，即-0.1x2+3.4x-15.1≥11.3， 整理得x2-34x+264≤0，解得12≤x≤22， 所以第二年的销售单价的范围是12≤x≤22， 94 第四周 名师点晴 在二次函数的实际应用中，取最大（小）值时要注意顶点的横坐标是 否在定义域内，若不在定义域内，则要根据图象对称轴的位置来确 定函数在定义域内的单调性，进而求出最大（小）值 题型2)幂函数的应用 典例2某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债 券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产 品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知当投资1万元时， 两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元 (1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式； (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配 资金才能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？ 【解析】(1)设两类产品的收益与投资额x的函数关系式分别为(x)= k1x(x≥0)，g(x)=k2Nx(x≥0)， 由道意得f1)=k=0125=g8(1)=6=05 2 所以)=8（≥0），g(x)=7(x≥0)。 (2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20-x)万元， 依题意，获得收益为yx)+g(20-)名+号20(0≤≤20， 令t=√/20-x(0≤t≤25)，则x=20-t, 所以y0号日23， 所以当t=2,即x=16时，y取得最大值，ymx=3. 故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最 大收益，最大收益是3万元 题型3)分段函数的应用 典例3提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状 况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：km/h)是车流密 度x(单位：辆/km)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/km 时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/km 时，车流速度为60km/h.研究表明：当20≤x≤200时，车流速度 函数的概念与性质 2.某种品牌的饼千，其100g 装的售价为1.6元，其200g 装的售价为3元，假定该商品 的售价由三部分组成：生产成 本、包装成本、利润.生产成本 与饼干质量成正比，比例系数 为a,包装成本与饼干质量的 算术平方根（估计值）成正比， 比例系数为b,利润率为20%， 试写出该种饼干1000g装的 合理售价.（参考数据：√200≈ 14.14,√/1000≈31.62，结果 保留两位小数) 95 预备新高一数学8 v是车流密度x的一次函数， (1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的解析式； (2)当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观 测点的车辆数，单位：辆/h)f(x)=x·(x)可以达到最大？并求 出最大值.（精确到1辆/h) 3.小张经营一家消费品专卖 【解析】(1)由题意得，当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一 店，已知该消费品的进价为每 次函数，不妨设v(x)=ax+b(a≠0) 件40元，该店每月销售量 因为当x=200时，v=0;当x=20时，v=60, y(百件)与销售单价x(元/件) 1 Q=- 之间的关系为 200a+b=0, 3, 所以可列方程组 解得 r-2x+140,40≤x≤60， 120a+b=60, 200 b= 3 Y= 1 2x+50,60<x≤80， 因此，当20≤x≤200时，(x)=1x+200 3 员工每人每月工资为3000 当0≤x≤20时，v(x)=60. 元，该店还应交付的其他费用 60,0≤x≤20 为每月10000元. 综上，v(x)= 1200 (1)当销售价为每件50元时， 3+3 20<x≤200. 该店正好收支平衡，求该店的 (2)因为车流量f(x)=x·v(x), 员工人数； ,60x,0≤x≤20 (2)若该店只有5名员工，问 所以f(x)= .200 销售单价定为多少元时，该专 f3x2+3x,20<x≤200 卖店月利润最大？并求出最 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，所以其最大值在x=20时取得， 大利润.（利润=收入-支出） 最大值为f(20)=60×20=1200; 当20<≤20时9)=子+20：-1 3(x-100)2+10000。 3图象开口 向下，对称轴为直线x=100, 所以其最大值在x=100时取得，最大值为代100)=10000 3333 3 因为3333>1200，所以当车流密度x=100时，车流量f(x)达到最大， 最大值为3333辆/h. 名师点晴 (1)在求最值时，检查分段点和区间的端，点，因为最值可能出现在这 些点 (2)将求得的结果代入原函数，验证是否满足题目要求.同时，检查 结果是否在定义域内，是否符合实际情境。 96 第四周函数的概念与性质& 第3步 练新题 日答案见P32 ⑨建议用时：20分钟 9实际用时：分钟 1.某科技公司生产某种产品的固定成本为2 2.某厂生产某种零件，每个零件的成本为30 万元，每月生产x件，需要另外投入成本R 元，出厂单价定为52元，该厂为鼓励销售商 订购，决定当一次订购量超过100个时，每 +4x,0≤x<7,x∈N* 万元，其中R= 3 每件 多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就 10x-32,x≥7，x∈N*, 降低0.02元，但实际出厂单价不能低于 产品的售价为8万元，假设该公司所生产的 41元. 产品本年度都可以销售完毕 (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际 (1)将利润P(单位：万元)表示为月产量x 出厂单价恰好降为41元？ 的函数； (2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂 (2)为了让公司所获得利润P不低于10万 单价为f(x)元，写出函数f(x)的解析式。 元，求月产量x的取值范围。 (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂 获得的利润是多少元？（工厂售出一个零 件的利润=实际出厂单价-成本) 第4步 查效果 必会知识点 对点题号 错题题号 纠错时间 1.解答函数应用题的基本思想与步骤 1、2 2.确定函数解析式 2 今天的我： ☐超级棒！ ☐还不错！ ☐需要继续努力。 97